物理竞赛-力学_舒幼生_第四章角动量定理天体运动
力学_舒幼生_第四章角动量定理、天体运动
若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
8
例1
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
A
v
mg
M mgd 1
L0
d2
B
d1
M mgd 1
L mvd2
9
例2
匀速圆周运动
选择圆心O为参考点 力矩 角动量
v
R
⊙
M 0
L mvR
F心
O
角动量守恒 其它任何点则没有这种情况
O
10
例3
地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
15
（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动
dW T dr Tdr
2 m v2 m v0 r02 T r r3
W
r0 / 3 2
r0
2 m v0 r02 1 2 3 dr m v0 ( 4 1) 3 r 2
它恰好等于小球的动能增量
1 2 1 2 1 2 3 Ek mv mv 0 mv 0 ( 4 1) 2 2 2
16
4.1.1 质点系角动量定理 角动量守恒定律
在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L
L Li
i
M内 0
质点系角动量定理： 质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
高中物理竞赛讲义-角动量
角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
第5章 角动量定理天体运动_2
������������2
=
������������(������������������������ + ������������03
������������������������)
������������ = ������������������������2������������
13
14
Mm
M +m
将引力公式代入
−
G
Mm r3
r
=
µa
24
上式可改写为
−
G
(M
+ m)m r3
r
=
ma
除了将太阳质量 M 换成 M+m 以外，所有结果保持不变。
开普勒第一、第二定律不依赖于太阳质量，保持不变。
小 行 星 带
15
行星的轨道方程 r =
p
1+ ε cosθ
p
=
L2 GMm2
,
ε=
1
+
2EL2 G2M 2m3
都与行星质量无关
三种可能的轨道：
(1) E > 0时, ε > 1, 为双曲线之一, M位于内焦点 (2) E = 0时, ε = 1, 为抛物线, M位于焦点 (3) E < 0时, ε < 1, 为椭圆, M位于其中一个焦点
作圆周运动的三体系统的平衡点是十八世纪末意大利数学家拉格朗日发现的， 但是直到二十世纪早期，在太阳-木星系统中，才首次观测到一个特洛伊小行 星。拉格朗日计算表明，对于作圆周运动、有引力相互作用的三个物体，第三 个物体可以处于五个特殊位置之一，在此处它是平衡的，原则上相对太阳和行 星可以保持一个固定的构型，这些位置称作拉格朗日点。
角动量定理及角动量守恒定律
精品文档，知识共享！！！角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示，定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。
二、力对转轴的力矩：力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M；2）刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩，用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角。
3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩M的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。
三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。
第四章_角动量守恒定律1
M = 0，角动量相对于
力心守恒 c)参考点必须是惯性系中的固定点 参考点必须是惯性系中的固定点
例： A
参考点： 参考点：
A点 点
O点 点
LA
θ
LO
l
rA × mg 重力矩： 重力矩：= lmg sin θτ ˆ = mgRτˆ
张力矩： 张力矩：
ro × mg = mgRτˆ
ro ×T mg π ˆ = sin( +θ )R(−τ ) cosθ 2 = −mgRˆ τ
dS 1 = r ×v = C dt 2
在这里我们可以直接引入 但是我们认为引入
r × v 为一个新的物理量 r × mv 为一个新的物理量将更合适
一、角动量
（动量矩）
对点的角动量： 对点的角动量： 1 定义： Lo = ro × mv 定义： 角动量是描述质点的运动方向 相对于参考点的变化或物体的 转动特征的物理量 2 各项意义： 各项意义：
O
Lo
mv
ro
ro
:位置矢量，由参考点指向质点，决定于参考 点 位置矢量，由参考点指向质点， 位置矢量 的选取，一般选取惯性系中的固定点为参考点。 的选取，一般选取惯性系中的固定点为参考点。
质点具有的动量与参考系的选取有关。 质点具有的动量与参考系的选取有关 m v :质点具有的动量与参考系的选取有关。 －－决定于参考点与参考系 决定于参考点与参考系。 Lo = ro × mv －－决定于参考点与参考系。对于不同参考 系中不同参考点的角动量是不同的， 系中不同参考点的角动量是不同的，所以一 般要指明某一角动量所对应的参考点， 般要指明某一角动量所对应的参考点，且角 动量要画在参考点上。 动量要画在参考点上。
一、角动量
物理、元培4学分力学教学计划
物理、元培4学分力学教学计划2007~2008年第一学期大课学时：60学时（含期中考试2学时）（2007年9月10日~2007年12月28日）大课时间：周一下午7、8节，周三下午7、8节大课地点：二教107室学生人数：150人教员：舒幼生、田光善、刘树新等教材：舒幼生《力学》，北京大学出版社参考书：赵凯华、罗蔚茵，《新概念物理教程∙力学》，高等教育出版社郑永令、贾起民，《力学》，高等教育出版社C ∙基特尔等，《力学》（伯克利物理学教程第一卷），科学出版社胡慧玲、林纯镇、吴惟敏，《理论力学基础教程》，高等教育出版社网上资源：成绩分配：平时作业15分期中考试35分期终考试50分课程进展：数学补充6学时一、行列式（0.5学时）二、矢量的代数运算（1.5学时）三、一元函数微积分（2.5学时）四、多元函数微积分（1.5学时）（习题课、收作业）第一章质点运动学6学时§1. 空间和时间（0.5学时）§2. 直线运动（1学时）§3. 平面曲线运动（3.5学时）§4. 空间曲线运动（0.5学时）§5. 参考系间的相对运动（0.5学时）（习题课、收作业）第二章牛顿定律、动量定理5学时§1. 牛顿定律（0.5学时）§2. 相互作用力（0.5学时）§3. 力学相对性原理（0.5学时）§4. 惯性力（2学时）§5. 动量定理（1.5学时）（习题课、收作业）第三章机械能定理6学时§1. 动能定理（1学时）§2. 保守力与势能（1.5学时）§3. 机械能定理（2学时）§4. 碰撞（1.5学时）（习题课、收作业）第四章角动量定理、天体运动5学时§1. 角动量定理（3学时）§2. 对称性与守恒律（0.5学时）§3. 天体运动（1.5学时）§4. 膨胀的宇宙（自学）（习题课、收作业）期中考试2学时第五章质心、刚体8学时§1. 质心（2学时）§2. 刚体定轴转动（2.5学时）§3. 刚体平面平行运动（2.5学时）§4. 刚体定点转动、刚体平衡（1学时）（习题课、收作业）第六章流体4学时§1. 流体静力学（0.5学时）§2. 流体运动学和质量守恒（0.5学时）§3. 理想流体的定常流动（2学时）§4. 粘滞流体的流动（1学时）（收作业）第七章振动和波10学时§1. 简谐振动的运动学描述（2学时）§2. 简谐振动的动力学性质（2学时）§3. 保守系的振动（0.5学时）§4. 阻尼振动、受迫振动自激振动（1.5学时）§5. 波的运动学描述（2学时）§6. 一维线性波动方程（1学时）§7. 波的能量（0.5学时）§8. 真空中的电磁波（0.5学时）（习题课、收作业）第八章狭义相对论8学时§1. 狭义相对论基本原理（0.5学时）§2. 狭义相对论时空度量相对性（1.5学时）§3. 狭义相对论时空变换及其推论（3学时）§4. 狭义相对论力学（3学时）（收作业）。
人大附中高中物理竞赛辅导课件(力学)运动定律：角动量定理、角动量守恒(共17张ppt)
解：已知
r
a
costi
b
sin
tj
v
dr dt
a
sin
ti
b
costj
L
r
mv
mab cos2 tk mab sin 2 tk
mabk
力径矩r：与M力o力对•F某的点矢rMO量的积F力.r矩等F于力的作用点的矢
d
m
d r sin
注意：
12））大方小向：Mr
rF sin F 的方向
Fd
L
r
mv
L
r
mv
L rmv sin rmv mr 2
质点作直线运动
Z Y
O
r
mv d
X
L L mv或r s：inLmmvvddkˆ
例线在一直质角量坐为标m下的的质矢点径沿为着：一r条空a间co曲s线t运i动 ，b s该in曲tj
其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。
（河南名校竞赛班讲义）
对上式积分：
Mdt
dL
L2
L1
t1
L1
角动量定理（积分形式）
作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
三、角动量守恒定 律
若 则：
MdL合外0力矩 L0
恒矢量
dt
角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所
受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考
点的角动量将保持不变。
注意：1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律， 无论在宏观上还是微观领域中都成立。
j
M
O
L vZ0
X
mv (
v0ti
mgv 0 t
1
物理竞赛：角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （5.1-4）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 ∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ∙∙。
（高考系列）高中物理竞赛教程（超详细）_第九讲_动量_角动量..
第四讲动量角动量和能量§4.1动虽与冲量动童定理4. 1. 1.动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv来星度物体的“运动量”，称之为动量。
4. 1. 2.冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F和力作用的时间也的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F△，叫做冲量。
4. 1. 3.质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：FAi=ma^t=/nAv=mv x-mv Q FZ=Np即冲量等于动量的增量，这就是质点动定理.在应用动量:定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一宣线上时，可将矢景投影到某方向上，分量式为：F4=mv tt-mv Qs气&=-mv Qy F=Z=mv c-mv0:对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个，外+L内=扪十1，一川+|。
第2个匕外+4内='"2四一华玲0第n个/“外+/”内=""”一〃"”0由牛顿第三定律：，内+匕内+....+A»内=0因此得到：L外+】2外+……+.外=(WiV l/+zn2v2/+......+m n v n,)_(w,v,0+/n2v20+......m…v nQ)即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
§4,2角动虽角动虽守值定律动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。
它的求法跟力矩完全一样，只要把力F换成动量P即可，故B点上的动量P对原点O的动量矩J为J=rxP(尸=OB)以下介绍两个定理：O（1）.角动量定理：质点对某点或某轴线的动景矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩，即dJ u出（M为力矩）。
角动量 角动量定理
d M (r P) dt
定义： L r P ——角动量
——角动量定理
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
3
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量定理。
t
t0
Mdt L L0
t
t0
Mdt
叫冲量矩
1
1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理 用绳系一质量为m小球使之在光滑的桌面上作圆周运动，球的速率
12
vo ，半径为ro 。问：当缓慢拉下绳的另一端，圆的半径变为 r 时 ，小球的速率v是多少？
解：因为通过转轴的合力矩为零，所以小球的角动量 守恒
Z
vo
ro
L
mr o vo mr v
ro v vo r
F
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
13
判断：匀速圆周运动的质点受到向心力的作用，所 以其角动量一定守恒。
L
mv
F
r
L
O
r
mv
F
O’
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
14
角动量守恒的情况: 匀速直线运动。 (1) 力 F等于零； (2) 力 F的作用线与通过固定点，即 r =0。 (3) 力 F 的作用线与矢径 r 共线即(sin=0)。
角动量
1. L r P
L 的方向符合右手法则.
L m vrsin
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
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2 vdt
1
d r (t)
O
过去 未来
41
牛顿第二定律具有时间反演对称性 经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律 胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性
阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等
不具有时间反演对称性
f
v
时间倒流在真实世界是不可能发生的
42
时间平移对称性 系统在时间平移，即在
mi ghi mihi g mghG
i
i
ri (mi g)
mi ri
g
mrG
g
rG
mg
i
i
重心是质点系重力分布中心
猫的空中转体
26
对称球的外引力分布中心
P
球心是对称球的外引力分布中心
27
例 质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质9量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫
角动量 L 守恒，横向力为零
F 2mvr 2Lr 2
径向力应合成mar
Fr
m
d 2r dt 2
r
d
dt
2
mr 2
2mv
mr 2 2Lr 1 L2 (1 2 2r 2 )r 3
m
22
*** 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心
外力矩是质点系角动量变化的原因
合力为零的外力矩
质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。
mv
2 0
(3
4 1)
它恰好等于小球的动能增量
Ek
1 2
mv2
1 2
mv02
1 2
mv02 (3
4
1)
16
*** 质点系角动量定理 角动量守恒定律
在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L
L Li
M内 0
i
质点系角动量定理：
质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和
等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
)l
2d
sin0
h l
2(m1
m2 )gh
1 2
(m1
m2
)l
2 2 0
此即机械能守恒
0
2 l
(m1 m2 )gh m1 m2
20
例 水平大圆盘绕中心竖直轴 8 以角速度ω旋转，质量m的
小球从中心出发，沿阿基米德螺 线运动，角动量 L 守恒。 试求小球所受真实力的 横向分量和径向分量。
⊙ω O
在 dt 时间
质点位移为 vdt，转过角度dθ
r 便会扫过面积 dS
dS
1
r vdt
r (t
dt)
vdt
2
面积速度
dS
1
r v
dt 2
d r (t)
O
速度 动量 动量定理
面积速度 角动量 角动量定理
3
质点在 S 系中相对 参考点O的 角动量 L L r mv r p
角动量随时间的变化与什么有关呢？
角动量
L mvd 2
9
例2 匀速圆周运动
选择圆心O为参考点
力矩
M 0
角动量 L mvR ⊙
角动量守恒
其它任何点则没有这种情况
v
R F心
O
O
10
例3 地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
11
例 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m， 4 取悬挂点O为参考点，
求摆球所受力矩和摆球角动量。
z
m2
l
m1
lO h
求ω0至少多大时，右端少年可着地？
力矩
M z m1gl cos m2gl cos
系统角动量 Lz (m1 m2 )l 2
19
角动量定理
Mz
dLz dt
(m1 m2 )l 2
d
dt
(m1 m2 )l 2
d d
积分
0
0
(m1
m2
)
gl
c
os
(d
)
0 0
(m1
m2
诺特
最伟大的女数学家
Emmy Noether (1882-1935)
46
诺特定理：论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系
连续变换的对称性都对应一条守恒定律
时间平移对称性 能量守恒定律 空间平移对称性 动量守恒定律 空间转动对称性 角动量守恒定律
47
牛顿定律 惯性系 质点
小结
动量定理 动量守恒定律 动能定理 机械能守恒定律 角动量定理 角动量守恒定律
第四章
角动量定理 天体运动
1
§4.1 角动量定理
*** 质点角动量定理
质点的运动状态：
(r ,
v)
d (mv) Fdt
v
r
d
(
1
mv
v)
F
dr
2
转动 相对某参考点的转动：相对某参考点的位置矢量r
速度v
2
惯性系 S 中的一个运动质点 在运动过程中相对某参考点O的径矢 r 会相应的旋转
极坐标系 角动量守恒 能量守恒
51
建立极坐标系
太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m， 某时刻 M至 m的径矢 r和 m的速度 v。
在径矢 r和速度 v确定的平面上， 建立以 M为原点的极坐标系。
vr
dr dt
,
v
r
d
dt
M
dr r vr
d v
v
m
F r
52
利用角动量 L 和能量 E 守恒
mrv L
摆球受张力和重力
L
张力对O点力矩为零
摆球所受力矩 M mgl sin ⊙
O
l
T
O mg
摆球角动量
L mvl
方向如图
选另一参考点 O
12
例 导出单摆的摆动方程 5
力矩和角动量都只有 z 轴分量
M z mgl sin
Lz
mlv
ml 2
d
dt
采用小角度近似 sin
O
l
⊙z
T
mg
利用角动量定理
t t t0
变换下具有的不变性。 牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性
自然界中除了与时空变换有关的对称性以外， 还有其它的对称性，物理学的后续课程中将会讨论。
43
§4.2.2 对称性原理
1 2
m1v12
1 2
m2v22
1 2
m1v120
1 2
m2v220
v1
(m1
m2 )v10 2m2v20 m1 m2
rG
mi ri
i
m
质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心位于其几何中心
25
质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量
质点系各质点重力作功之和 等于质点系重力作用于重心处所作的功
(mi g) dri g
mi dri
g
d
mi
ri
mg
drG
i
i
i
重力势能 重力的力矩
32
空间变换对称性
z
O
y
x
系统相对点、线、面的变换
33
镜面反演对称性
镜面反演：对平面直角坐标系，仅取x到-x （或y到-y，或z到-z）的变换。
一个系统若在镜面反演变换下保持不变， 则称这一系统具有镜面反演对称性。
34
35
空间平移对称性
系统在空间平移，即在
r
r
R(R为常矢量
)
变换下具有的不变性。
R
电 场
强
度
R
半径
39
时间变换对称性
一维的时间只能改变方向和平移， 所以只有两种变换：
时间反演对称性
t t
时间平移对称性
t t t0
40
时间反演对称性 时间反演即时间倒流
未来 过去
t t dt dt
v
dr
,
v v
dt
a
dv
,
a a, F F
dt
r (t dt)
真实力 非惯性系 惯性力
质点系
我们周围的世界
48
§4.3 天体运动
太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星
m木
M太 1047.35
太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。 卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。
多体问题 两体问题 单体问题
49
§4.3.1 天体运动
轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。
麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v
系统动量守恒 麦管移入桌面长度
m(u v) Mv
t
x vdt
m
t
udt
m
L
0
M m 0
M m
28
分两种情况讨论：
（1） M m, x L 2
麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。
dL
d(r
p)
dr
p
r
dp
dt dt dt
dt
其中
dr
p
v
p
0,
dp
F
dt
dL
dt
r
F
dt
L
p r
4
质点所受力相对参考点 O 的力矩
M rF
质点角动量定理： 质点所受力相对某参考点的力矩
等于质点相对该参考点角动量的变化率。