流体力学第二章流体静力学
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第二章 流体静力学
1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点.
2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。
① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。
② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。
共同点：不体现粘性,无切应力
3º 适用范围：理想流体、实际流体
4º 主要内容:
流体平衡微分方程式
静力学基本方程式（重点)
等压面方程(测压计）
作用于平面和曲面上的力（难点)
重力
压力
重力
直线惯性力
压力
质量力
质量力
重力
离心惯性力 压力 重力
压力
第一节 流体静压强及其特性
一、 基本概念
1、 流体静压强:静止流体作用在单位面积上的力。
设微小面积上的总压力为，则 平均静压强： 点静压强： 即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。
单位：N/m 2 (Pa)
2、 总压力：作用于某一面上的总的静压力.P
单位：N (牛）
3、流体静压强单位:
国际单位：N/m 2
＝Pa
物理单位：dyn/cm 2
1N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2
工程单位:kgf/m 2
混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压）
1 at=1 kgf/cm
2 =9。8×104Pa=10m 水柱
1atm ＝1.013×105Pa ＝10。3 m 水柱
二、 流体静压强特性
1、 静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向--方向特性。 （垂直并指向作用面）
证明： 反证法证明之。
有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体.设切割面
上任一点m 处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为和切应力。而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力,如果有拉应力或切应力存在,将破坏平衡，这与静止的前提不符.所以静压强的方向只能是沿着作用面内法线方向。
p A ∆P ∆A P
p ∆∆=A P p A ∆∆=→∆lim 0n p τp ΔP
ΔA
2、 静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等,而与作用面的方位无关，即只是位
置的函数=（ x ， y , z ) ——大小特性。（各向相等）
证明思路：
1、选取研究对象（微元体)
2、受力分析（质量力与表面力）
3、导出关系式
4、得出结论
1、选取研究对象（微元体）
从静止流体中取出一微小四面体OABC,其坐标如图，三个垂直边的长度分别为dx 、dy 、dz ，设、、、（n 方向是任意的）分别表示作用在OAC 、OBC 、OAB 、ABC 表面上的静压强，与x 、y 、z 轴的夹角为、、。
2、受力分析（质量力与表面力)
流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。
(1）表面力
表面力与作用面的面积成正比。作用在OAC 、OBC 、OAB 、ABC 面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面)
(2）质量力
质量力与微元体的体积成正比。
四面体的体积：
四面体的质量：
设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X 、Y 、Z ，则质量力F 在坐标轴方向的分量是：
3、导出关系式
因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为零。则在x 方向上，有：
将上面各表面力、质量力表达式代入后得
又即为ABC 在yoz 平面上的投影面积， 则当dx 、dy 、dz 趋于零时也就是四面体缩小到o 成为一个质点时，有：
p p p ∑=0F x p y p z p n p ∆∆∆∆n p αβγ∆∆∆∆dxdydz V OABC 61=dxdydz M ρ61=∑=0F αcos ⋅dA
∆
同理：
即： 4、得出结论
因n 方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等.在连续介质中，仅是位置坐标的连续函数=( x , y ， z ）。
说明：
以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面.如：
n y p p =n z y x p p p p
===p p p 同一点受力各向相等,但位置不同，大小
不同。呈什么关系？＝》第二节中讨论
第二节 流体平衡微分方程式
一、方程式的建立
它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。
● 根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零,可建
立方程.
● 方法：微元分析法.在流场中取微小六面体,其边长为dx 、dy 、dz ,然后进行受力分析，列
平衡方程.
以x 轴方向为例，如图所示
1、取研究对象
微元体：无穷小平行六面体，
dx 、dy 、dz → 0
微元体中心：A(x ， y ， z ）
A 1点坐标： A 1(x-dx/2，y ，z)
A 2点坐标： A 2(x+dx/2，y,z)
2、受力分析
（1）表面力
设A 处压强： p (x ，y ，z)
因压强分布是坐标的连续函数,则A 1点、A 2点的压强p 1、p 2可按泰勒级数展开,
略去二阶以上无穷小量，得到A 1、A 2处的压强分别为：
则表面力在x 方向的合力为：
（2）质量力
微元体质量：M ＝ρdxdydz
设作用在单位质量流体的质量力在x 方向上的分量为X 。
则质量力在x 方向的合力为：X·ρdxdydz
3、导出关系式：
对微元体应用平衡条件，则
4、结论：
同理，在y 和z 方向可求得：
（Ⅰ）
——欧拉平衡微分方程式
∑=0F 01=∂∂-z p Z ρ
X 、Y 、Z-—单位质量力在x 、y 、z 轴方向的分量 、、单位质量流体所受的表面力在x 、y 、z 轴方向上的分量 说明：
（1） 公式的物理意义：
平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。
（2）公式适用条件：
理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。
二、方程的积分(压强分布公式）
1、利用Euler 平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler 方程分别乘以dx ，dy ，dz ，然后相加，得
(1） 因为 p ＝p (x ,y ,z ）,所以上式等号左边为压强p 的全微分dp ，则上式可写为
（Ⅱ）
2、势函数(力函数）
对于不可压缩流体：ρ＝const
因为Ⅱ式左边是压强p 的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个函数U （x ，y ，z ）的全微分，即：
又因为
则有
（Ⅲ） 该函数 U (x ，y,z ） 称为势函数。
显然, U （x ，y,z )在 x ,y ，z 方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的投影.因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。
把 代入Ⅱ式得
所以 令 p ＝p 0时,U ＝U 0 ， 则 C ＝p 0－ρU 0
x p ∂∂-ρ1y p ∂∂-ρ1z p ∂∂-ρ1)(Zdz Ydy Xdx dz z p dy y p dx x p ++=∂∂+∂∂+∂∂ρ)(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρdz z U dy y U dx x U dU ∂∂+∂∂+∂∂=x U X ∂∂=y U Y ∂∂=z U Z ∂∂=dz z U dy y U dx x U dU ∂∂+∂∂+∂∂=C U p
+=ρ
（Ⅳ） —-帕斯卡（Pascal ）定律：
在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。
三、等压面
1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p ＝const)
2、方程:
由Ⅱ式
由 p ＝const → dp ＝0
得 3、 等压面性质
① 等压面就是等势面。因为 。 ② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。
证明：沿等压面移动无穷小距离 则由空间解析几何:单位质量力做的功应为
所以，质量力与等压面相垂直.
③ 等压面不能相交
相交 → 一点有2个压强值：错误
④ 绝对静止流体的等压面是水平面
X ＝Y ＝0，Z ＝－g + 性质②
⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面
证明:在分界面上任取两点A 、B ，两点间势差为dU ，压差为dp 。因为它们同属于两种流体,设一种为ρ1，另一种为ρ2,则有：
dp ＝ ρ1 dU 且 dp ＝ ρ2 dU
因为 ρ1≠ ρ2≠0
所以 只有当dp 、 dU 均为零时,方程才成立.
说明：
等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。
()0
0U U p p -+=ρ)(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ0=++Zdz Ydy Xdx
dU dp
ρ=dz k dy j dx i L d
++=
第三节 重力作用下的流体平衡
本节只研究流体相对于地球没有运动的静止状态.
一、静力学基本方程式
1、坐标系的原点选在自由面上，z 轴垂直向上,液面上的压强为p 0，则
X ＝0,Y ＝0，Z ＝－g
代入公式: (1)
得： （2）
对于不可压缩流体（公式使用条件之一)，γ＝const ，积分（2）式得：
（3）
——静力学基本方程形式之一
2、由（3）式得 代入边界条件：z ＝0时，p ＝p 0
则 p 0＝C’
所以 （4） 令 —z ＝h （点在液面以下的深度h ）
则 （5) ——静力学基本方程形式之二。
3、说明：
（1）适用条件：静止、不可压缩流体。
（2）静止流体中任一点的压强p 由两部分组成，即液面压强p 0与该点到液面间单位面积上的液柱重量。
推广：已知某点压强求任一点压强
（3） 静止流体中,压强随深度呈线性变化
用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图,称为压强分布图。 大小：静力学基本方程式
方向:垂直并且指向作用面（特性一)
)(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρdz dz g dp
γρ-=-=)(0
1
=+dp dz γγγ2
21
1p z p z +=+C z p
'+-=γz p
p γ-=0h p
p γ+=0h γ
例题:
（4） 同种连续静止流体中,深度相同的点压力相同.连通器：
二、几种压强的表示（基准不同）
1、绝对压强: p 绝
是以绝对真空为零点而计量的压强。
2、相对压强（表压）：p 相 或 p 表
是以当地大气压为零点而计量的压强。
3、真空压强（真空度）： p v 或p 真
当绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与绝对压强的差值。 注：① 只有当时，才用真空度的概念
② 气体的压强都是绝对压强
③ 尽可能用表压：p a 在液体内部等值传递的
三、压强的度量
1、应力单位： Pa ， Kgf/cm 2（即at ），dyn/cm 2
2、大气压单位：
1atm ＝760mmHg ＝1.0336 Kgf/cm 2= 10.336mH 2O=1.013×105N/m 2 1at ＝735mmHg ＝1 Kgf/cm 2＝9。8×104Pa ＝10mH 2O=9.8×104Pa 3、 液柱高单位：mmHg ，mH 2O 四、静力学基本方程式的意义
1、 几何意义
——位置水头：该点到基准面的高度。 ——压力水头：该点压强的液柱高度.
——测压管水头：为一常量
静止流体中各点的测压管水头是一个常数。
2、物理意义 -—比位能：单位重量流体所具有的位能。
-—比压能：单位重量流体从大气压力为基点算起所具有的压力势能. 0<表p z γp
γp z +z G Gz z =γp
是一种潜在的势能，若在某点压力为p,接出一测压管，则在该压力作用下，液面上升的高度为 ——总势能:为一常量
静止流体中，单位重量流体的总势能是恒等的。
五、测压计
1、分类:根据适用范围、适用条件的不同,分为液式、金属式、电测式。
2、液式测压计
原理： （p 、p 0的标准必须一致，用表压）
方法：找等压面 (性质5:两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面）
特点：结构简单、使用方便、制造简单,常用于实验室中.
a. 液面计
b. 测压管
c ．U 形管测压计
d ．组合式U 形管测压计
e ．U 形管压差计
f ．组合式U 形管压差计
先找等压面 : a —a 面、b －b 面
写出等压面压力表达式：a －a 面上
所以
当两测点在同一水平面上时：
所以
3、金属测压计
(1）原理：弹性元件在压力作用下产生弹性变形。
（2）分类：弹簧管式、薄膜式压力表.
（3)缺点：易坏（超量程操作)
4、电测式测压计
电量 → 数字信号γp
γp
z +h p p γ+=0()1221h h h p p Hg --∆=-γγ12h h h -=∆()h p p p Hg ∆-=-=∆γγ21
第四节 几种质量力作用下的流体平衡
1º 研究对象：相对于坐标系静止的流体称为相对平衡流体.
本节讨论两种情况：
•
等加速直线运动 • 等角速旋转运动 2º 研究方法:
利用达朗贝尔原理
的动力学问题 变为 的静力学问题
达朗贝尔原理：
如果在运动的质点上加上惯性力，则作用在质点上的主动力、约束力与惯性力平衡.
3º 研究目的：
•
压强分布公式 •
等压面方程 • 自由液面方程
一、等加速水平运动容器中流体的相对平衡
1、问题描述：
如图，作用在流体上的质量力除重力外，还有一个与加速度方向相反的惯性力。显然，
在不变时，亦不变化.这时,流体相对于容器不动。如果把坐标固定在容器上，据达朗贝尔原理，把惯性力加在液体质点上，容器内液体在重力mg 和惯性力 F 的作用下,处于相对平衡。
2、等加速直线运动流体的压强分布及等压面方程。
取坐标如图。任取一点m ,作用在质点上的质量力为 mg ( ↓)，ma (←)，合力R 与z 轴成
α角。
X ＝—a ，Y ＝0，Z ＝—g
代入公式
则: （1）
① 等压面方程
令dp ＝0，则 adx + gdz ＝0
所以 （2） 结论：
∑=ma F ∑=0F a a m F
=a m F
=)(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ)(gdz adx dp +-=ρC gz ax
=+质量力包括重力和惯
a 。 等压面是一簇平行斜平面
b 。 等压面与x 轴夹角为：（等压面与重力和惯性力的合力垂直) ② 自由液面：x ＝0，z ＝0 → C ＝0
则自由液面方程为： (3）
z s —-自由液面上点的z 坐标
③ 静压强分布
设ρ＝const ，对（1)式积分,得
（4） 由边界条件： x ＝0，z ＝0时,p ＝p 0
得: C ＝p 0
则： （5） -—符合静力学基本方程式
例1：如图，汽车上有一长方形水箱，高H ＝1。2m,长L ＝4m ，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为3m/s 2
向前行驶时，水箱底面上前后两点A 、B 的静压强(装满水).
解：
分析：自由液面在哪里?
水箱处于顶盖封闭状态，当加速时，液面不变化，但由于惯性力而引起的液体内部压力分布规律不变，自由液面仍为一倾斜平面，符合 等压面与x 轴方向之间的夹角
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
1、问题描述:
容器以ω角速度绕轴旋转时，由于粘性作用,靠近壁处流体首先被带动旋转，平衡后,各
流体质点具有相同的角速度，此时，液体与容器一起旋转.相对于作等角速运动的圆桶而言，
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-g a tg 1
α0=+s gz ax
x g a z s -
=C gz ax p ++-=)(ρ)(0gz ax p p
+-=ρh p z z p z x g a g p p s γγρ+=-+=--+=000)()(0=+s gz ax
g a tg =
θ
流体处于相对平衡状态。
受力分析：液体中任一质点所受的质量力有
重力 ： G
惯性力： F ，且 F ∝mw 2
r
则 随 r 增大而增大. 2、压强分布、等压面方程
坐标固定在容器上，坐标原点O 在旋转轴与自由液面的交点，z 轴竖直向上。
因为 (力) 所以 (单位质量力）
所以
（1） （2） 而 （3）
把（1)、（2）、（3）式代入Euler 方程的积分式
(4） ① 等压面方程 令(4）式dp ＝0,得 积分得： (5) 所以得等压面方程 （6）
结论：等压面是一簇绕z 轴旋转的抛物面。
② 自由液面方程
对于自由液面，r ＝0，z ＝0
得 C ＝0
则得到自由液面方程： (7)
（7'）
z s 为水面高出xoy 平面的垂直距离。
③ 流体静压强分布
F G R +=r M F 2
ω=r M F f 2ω==x r f X x 22cos ωαω=⋅==y r f Y y
22sin ωαω=⋅==g Z -=)()(22gdz ydy xdx Zdz Ydy Xdx dp -+=++=ω
ωρρ(
)C gdz y x =-+222221ωωC gz r =-2221ω02122=-s gz r ωg r z s 22
2ω=
不可压ρ＝const ,积分(4)式得：
即 （8)
代入边界条件：r ＝0,z ＝0时,p ＝p 0
得： C ＝p 0
则： （9）
结论:在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。
例1：
（1)装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡
分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：
（不能体现绝压、表压）
作用于顶盖上的压强：（表压）
（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡
压强分布规律：
边缘A 、B 处：r ＝R ，z ＝0时，p ＝0
作用于顶盖上的压强：
例2：
已知：r 1，r 2，Δh
求：ω0
解： (1）
（2） C gz y x p +-+=)22(2222ωωρC z g r p +-⋅=)2(22ωγh p z z p z g r p p s γγωγ+=-+=-⋅+=00220)()2(C z g r
p +-⋅=)2(22ωγg r p 222ωγ=C
z g r p +-⋅=)2(22ωγ()2222r R g p --=ωγ0212120=-s z g r ω0222
220=-s z g r ω
因为 所以 h z z
s s ∆=-122
12202r r h g -∆=
ω
作用面上的总压力
1º解决问题：力的大小、方向、作用点
2º 预备知识
面积矩
惯性矩
移轴定理 力矩原理
平行力系合成
微积分
3º 作用面：
平面：水平、垂直、倾斜
曲面：二向（柱面)、三向（球面)
4º 方法：解析法、图解法
5°说明:p 一般用相对压强(表压）表示
第五节 静止液体作用在平面上的总压力
平行力系问题。
1、问题描述：
设静止液体中有一任意形状的平面，它与水平面的夹角为α，面积为A 。
2、坐标：选坐标如图
原点——取在自由液面上；
X 轴——平面或其延伸面与自由液面的交线；
Y 轴——垂直于ox 轴沿着平面向下。
3、分析
(一) 总压力的大小 在A 上取微元面积dA ,坐标为y ，其上所受总压力为dP ,dA 对应水下深度为h 。则： （*)
在面积A 上积分：
（1）
A y ydA c A ⋅=⎰⎰=dA y J x 2A y J J
c c x 2
+=dA y hdA dA p dP αγγsin ⋅==⋅=⎰⎰⎰===A A A ydA dA y dP P αγαγsin sin
面积A 对ox 轴的面积矩，即
所以 (2） ——总压力计算公式
结论：总压力＝形心处压强×平面面积
问题：平面形心处压强与平面的平均压强大小一样么？（一样）
（二） 总压力的方向： 垂直并指向平面
（三） 总压力的作用点（压力中心）
设总压力P 的作用点为D 点，对应坐标为 y D 。
根据平行力系的力矩原理：每一微小面积上所受的对x 轴的静力矩之和应该等于作用在面积A 上的合力对x 轴的静力矩。即： （3）
因为（*）式 和（2）式 得 （4)
所以
（5) 其中是面积A 对 ox 轴的惯性矩。由于y 坐标,计算不便,可利用平行移轴定理换算成：对通过面积形心c 且平行于ox 轴的轴线的惯性矩Jc
据平行移轴定理，有： （6) 所以 所以
或 其中偏心距
其中，J c —- 平面对通过形心 c 并与 x 轴平行的轴的惯性矩，单位m 4。
A y ydA c A ⋅=⎰A p A h A y P
c c c ===γ
αγsin A p A h P c
c ==γ⎰⋅=⋅dP
y y P D dA y dP αγsin ⋅=A p A y A h P
c c c =⋅==αγγsin ⎰=dA y y Ay y D c αγαγsin sin A y J A y dA y y c x c D ==⎰2⎰=dA y J x 2A y J J
c c x 2
+=A y A y J A y J y c c c c x D 2+==A y J y y c c c D +=e y y c D +=0>=
A y J e c c
y c —- 形心 c 到坐标原点的距离。
压力中心（作用点）D 永远在平面形心C 的下边，距离为偏心距e
(四） 说明：
① 当α＝90º,
； 当α＝0º，h D ＝h C ，y D ＝y C
② 两侧都有液体:P ＝P 1－P 2
③ 形心y c 若p 0≠0 折算成水柱高度: p 0＝0（等效自由液面）
y c =? 5m ？ 10m ? 2。5m? 7。5m ？
注意坐标!若接测压管,高15m （折算液面）
所以，y c = 10m
y c =5m+8m ＝13m
总结:若液面上表压强不为0时，即p 0≠p a ，可将表压换算成液柱高加到原来的液面上，以一个表压为0的假想液面来计算总压力大小、方向、作用点。
4、图解法求总压力
它是利用画出流体静压强的分布图来计算作用在平面上总压力的方法。此法适用于沿深度为等宽的矩形平面。
如图： P ＝Ωb （9）
B —— 受压面宽
Ω——压强分布图面积
Ω在如图情况下的计算方法：
压力方向：水平向右.
压力作用点:在受压面对称轴上，且作用线通过压强分布图的形心。
5、例题：
闸门宽1。2m ，铰在A 点，压力表G 的读数为－14700Pa ，在右侧箱中装有油,其重度γ0＝
A h J h h c c c D +=
8.33KN/m 3，问在B 点加多大的水平力才能使闸门AB 平衡？
解：把p 0折算成水柱高：
相当于液面下移1.5m ，如图示虚构液面
则左侧：
压力中心距A 点：3.11－2＝1。11m
右侧：
设在B 点加水平力F 使闸门AB 平衡,对A 点取矩 ∑ M A ＝0
即 第六节 静止流体作用在曲面上的总压力
它包括压力的大小、作用点及作用方向三个方面。求解时，通常将总压力分解成空间坐标系的三个分量,求出各分量后再合成。
工程上遇到最多的是二向曲面（柱面）。因此，我们只推导如图所示曲面总压力计算公式。
求总压力问题就是空间力系的合成问题。
取坐标如图，
原点——自由液面上； y 轴—-与二向曲面的母线平行.
设α为dA 法线方向与x 轴方向夹角,则
一、 总压力大小
①化整为零
②变不平行为平行
即曲面上所受的液体总静压力P 可分解为在ox 轴方向的水平分力P x 和在oz 轴方向的垂直分力P z 。
1、水平分力
γ＝C ，
所以 （1） 式中为面积A 在yoz 平面上的投影面对oy 轴的面积矩。
2、垂直分力 m p h 5.198********-=-==γ()()N A h P c 7056022.11298001=⨯⨯+⨯==γKN A h P c o 992.192.122233.82=⨯⨯⨯==γAB F h P h P
D D +'
='2211x c x c A x x A p A h hdA P ===⎰γγx c x c x A P A h P
==γx c A x A h hdA =⎰
流体力学__第二章习题解答
第2章 流体静力学 2.1 大气压计的读数为100.66kPa(755mmHg)，水面以下7.6m 深处的绝对压力 为多少？ 知：a a KP P 66.100= 3/1000m kg =水ρ m h 6.7= 求：水下h 处绝对压力 P 解： a a KP gh P P 1756.71000807.96.100=⨯⨯+=+=ρ 2.2 烟囱高H=20m ，烟气温度t s =300℃，压力为p s ，确定引起火炉中烟气自动 流通的压力差。烟气的密度可按下式计算：p=（1.25-0.0027t s ）kg/m 3，空气ρ=1.29kg/m 3。 解：把t 300s C =︒代入3s (1.250.0027)/s t kg m ρ=-得 3s (1.250.0027)/s t kg m ρ=- 33 (1.250.0027300)/0.44/kg m kg m =-⨯= 压力差s =-p ρρ∆a （）gH ，把 31.29/ a k g m ρ=，30.44/s kg m ρ=，9.8/g N kg =，20H m =分别代入上式可得 s =-20p Pa ρρ∆⨯⨯a （）gH =(1.29-0.44)9.8 166.6Pa = 2.3 已知大气压力为98.1kN/m 2。求以水柱高度表示时：（1）绝对压力为 117.2kN/m 2时的相对压力；（2）绝对压力为68.5kN/m 2时的真空值各为多少？ 解：（1）相对压力：p a =p-p 大气=117.72-98.1=19.62KN/2 m 以水柱高度来表示：h= p a/ g ρ=19.62* 310 /（9.807* 3 10）=2.0m （2）真空值：2 v a p =p p=98.168.5=29.6/m KN -- 以水柱高度来表示：h= p a/ g ρ=29.6* 310 /（9.807* 3 10） =3.0m
流体力学课后习题答案第二章
第二章 流体静力学 2-1 密闭容器测压管液面高于容器内液面h=1.8m,液体密度为850kg/m3, 求液面压强。 解：08509.8 1.814994Pa p gh ρ==??= 2-2 密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa,压力表中心比A 点高0.4米，A 点在液面下1.5m ，液面压强。 解： 0()490010009.8(0.4 1.5) 49009800 1.15880Pa M B A p p g h h ρ=+-=+??-=-?=- 2-3 水箱形状如图，底部有4个支座。试求底面上的总压力和四个支座的支座反力，并讨论总压力和支座反力不相等的原因。 解：底面上总压力（内力，与容器内的反作用力平衡） ()10009.81333352.8KN P ghA ρ==??+??= 支座反力支座反力（合外力） 3312()10009.8(31)274.4KN G g V V ρ=+=??+= 2-4盛满水的容器顶口装有活塞A ，直径d=0.4m ，容器底直径D=1.0m ，高h=1.8m 。如活塞上加力为2520N(包括活塞自重)。求容器底的压强和总压力。 解：压强2252010009.8 1.837.7kPa (0.4)/4 G p gh A ρπ= +=+??= 总压力 237.71/429.6KN P p A π=?=??= 2-5多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程单位为m ，试求水面的绝对压强。 解：对1-1等压面 02(3.0 1.4)(2.5 1.4)p g p g ρρ+-=+-汞 对3-3等压面 2(2.5 1.2)(2.3 1.2)a p g p g ρρ+-=+-汞 将两式相加后整理 0(2.3 1.2)(2.5 1.4)(2.5 1.2)(3.0 1.4)264.8kPa p g g g g ρρρρ=-+-----=汞汞绝对压强 0.0264.8+98=362.8kPa abs a p p p =+= 2-6水管A 、B 两点高差h 1=0.2m ，U 形管压差计中水银液面高差h 2=0.2m 。试求A 、B 两点的压强差。 解：122()A B p g h x h p gx gh ρρρ+++=++Q 汞 212()13.69.80.219.8(0.20.2)22.7kPa A B p p gh g h h ρρ∴-=-+=??-??+=汞或直接用压差计公式求解1p A B A B p p p z z h g g ρρρρ??????+-+=- ? ? ??????? 2-7盛有水的密闭容器，水面压强为p 0,当容器自由下落时，求容器内水的压强分布规律。 自由下落时加速度方向向下，惯性力方向向上，其单位质量力为g +，则 () 00 0dp Xdx Ydy Zdz X Y Z g g dp p p ρ=++===-==∴= 2-8已知U 形管水平段长l=30cm ，当它沿水平方向作等加速运动时，液面高差h=5cm ，试求它的加速度a.
流体力学第二篇习题解答
第2章 流体静力学 大气压计的读数为(755mmHg)，水面以下7.6m 深处的绝对压力为 多少？ 知：a a KP P 66.100= 3/1000m kg =水ρ m h 6.7= 求：水下h 处绝对压力 P 解： a a KP gh P P 1756.71000807.96.100=⨯⨯+=+=ρ 烟囱高H=20m ，烟气温度t s =300℃，压力为p s ，确信引发火炉中 烟气自动流通的压力差。烟气的密度可按下式计算：p=（）kg/m 3，空气ρ=1.29kg/m 3。 解：把t 300s C =︒代入3s (1.250.0027)/s t kg m ρ=-得 3s (1.250.0027)/s t kg m ρ=- 33 (1.250.0027300)/0.44/kg m kg m =-⨯= 压力差s =-p ρρ∆a （）gH ，把31.29/a kg m ρ=， 30.44/s kg m ρ=，9.8/g N kg =，20H m =别离代入上式可得 s =-20p Pa ρρ∆⨯⨯a （）gH =(1.29-0.44)9.8 166.6Pa = 已知大气压力为m 2。求以水柱高度表示时：（1）绝对压力为m 2时 的相对压力；（2）绝对压力为m 2时的真空值各为多少？ 解：（1）相对压力：p a =p-p 大气=2m 以水柱高度来表示：h= p a/ g ρ=* 310 / （* 3 10）=2.0m （2）真空值：2 v a p =p p=98.168.5=29.6/m KN --
以水柱高度来表示：h= p a/ g ρ=* 310 /（* 3 10）=3.0m 如下图的密封容器中盛有水和水银，假设A 点的绝对压力为 300kPa ，表面的空气压力为180kPa ，那么水高度为多少？压力表B 的读数是多少？ 解：水的密度1000 kg/m 3，水银密度13600 kg/m 3 A 点的绝对压力为： )8.0(20g gh p p H g o h A ρρ++= 300⨯3 10=180⨯3 10+⨯ h+⨯⨯ 求得： h=1.36m 压力表B 的读数 p (300101)199g a p p KPa KPa =-=-= 如下图，在盛有油和水的圆柱形容器的盖上加载F=5788N 已知 h 1=50cm ，h 2=30cm ，d=0.4cm ，油密度ρ油=800kg/m 3水银密度ρ Hg =13600kg/m 3，求U 型管中水银柱的高度差H 。 解：盖上压强125788 46082.80.2F p Pa S π = ==⨯ 2211121112 46082.810009.8070.58009.8070.3 136009.807 0.4Hg H O H O Hg gH p gh gh p gh gh H g m ρρρρρρ=++⇒ ++=+⨯⨯+⨯⨯= ⨯≈ 如右图所示为一密闭水箱，当U 形管测压计的读数为12cm 时，试 确信压力表的读数。 解：容器内真空压强：0136009.80.1216005.24Hg p gh ρ==⨯⨯= 压力表的读数
流体力学第二章参考答案
第二章 流体静力学 2-1 将盛有液体的U 形小玻璃管装在作水平加速运动的汽车上(如图示)，已知L ＝30 cm ，h ＝5cm ，试求汽车的加速度a 。 解：将坐标原点放在U 形玻璃管底部的中心。Z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致，则玻璃管装在作水平运动的汽车上时，单位质量液体的质量力和液体的加速度分量分别为 0,0,,0,0x y z x y z g g g g a a a a ===-=== 代入压力全微分公式得d (d d )p a x g z ρ=-+ 因为自由液面是等压面，即d 0p =，所以自由液面的微分式为d d a x g z =- 积分的：a z x c g =-+，斜率为a g -，即a g h L = 解得21.63m/s 6g a g h L == = 2-2 一封闭水箱如图示，金属测压计测得的压强值为p ＝4.9kPa(相对压强)，测压计中心比A 点高z ＝0.5m ，而A 点在液面以下h ＝1.5m 。求液面的绝对压强和相对压强。 解：由0p gh p gz ρρ+=+得相对压强为 30() 4.91010009.81 4.9kPa p p g z h ρ=+-=⨯-⨯⨯=- 绝对压强0( 4.998)kPa=93.1kPa abs a p p p =+=-+ 2-3 在装满水的锥台形容器盖上，加一力F ＝4kN 。容器的尺寸如图示，D ＝2m ，d ＝l m ，h ＝2m 。试求(1)A 、B 、A ’、B ’各点的相对压强；(2)容器底面上的总压力。
解：(1)02 5.06kPa 4 F F p D A π===,由0p p gh ρ=+得： 0 5.06kPa A B p p p === ''0 5.06kPa+10009.82Pa 24.7kPa A B p p p gh ρ==+=⨯⨯= (2) 容器底面上的总压力为2 '24.7kPa 77.6kN 4 A D P p A π==⨯= 2-4 一封闭容器水面的绝对压强p 0＝85kPa ，中间玻璃管两端开口，当既无空气通过玻璃管进入容器、又无水进人玻璃管时，试求玻璃管应该伸入水面下的深度h 。 解：取玻璃管的下口端面为等压面，则0a p gh p ρ+= 3 0(9885)10 1.33m 10009.8 a p p h g ρ--⨯===⨯ 2-5 量测容器中A 点压强的真空计如2.3.3节图2-9所示，已知z ＝l m ，h ＝2m ，当地大气压强p a ＝98kPa(绝对压强)，求A 点的绝对压强、相对压强及真空度。 解：根据液体静力学基本方程0p p gh ρ=+，由abs a p gz p ρ+=得到绝对压强 abs (980009.810001)Pa 88200Pa=88.2kPa a p p gz ρ=-=-⨯⨯= 相对压强abs (8820098000)Pa 9800Pa=9.8kPa a p p p =-=-=-- 真空度8820098000m 1m 9.81000 a abs V p p h g ρ--===⨯ 2-6 如图所示密闭容器，上层为空气，中层为密度为30834kg/m ρ=的原油，下层为密度为31250kg/m G ρ=的甘油，测压管中的甘油表面高程为9.14m ，求压力表G 的读数。 解：取原油与甘油的接触面为等压面，则012G G p gh gh ρρ+= 即：8349.8(7.62 3.66)12509.8(9.14 3.66)G p +⨯⨯-=⨯⨯- 解得：34.76kPa G p = 2-7 给出图中所示AB 面上的压强分布图。
流体力学第二章流体静力学
流体力学第二章流体静力学 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（流体力学第二章流体静力学）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为流体力学第二章流体静力学的全部内容。
第二章 流体静力学 1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点. 2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。 ① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。 ② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。 共同点：不体现粘性,无切应力 3º 适用范围：理想流体、实际流体 4º 主要内容: 流体平衡微分方程式 静力学基本方程式（重点) 等压面方程(测压计） 作用于平面和曲面上的力（难点) 重力 压力 重力 直线惯性力 压力 质量力 质量力 重力 离心惯性力 压力 重力 压力
第一节 流体静压强及其特性 一、 基本概念 1、 流体静压强:静止流体作用在单位面积上的力。 设微小面积上的总压力为，则 平均静压强： 点静压强： 即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。 单位：N/m 2 (Pa) 2、 总压力：作用于某一面上的总的静压力.P 单位：N (牛） 3、流体静压强单位: 国际单位：N/m 2 ＝Pa 物理单位：dyn/cm 2 1N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2 工程单位:kgf/m 2 混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压） 1 at=1 kgf/cm 2 =9。8×104Pa=10m 水柱 1atm ＝1.013×105Pa ＝10。3 m 水柱 二、 流体静压强特性 1、 静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向--方向特性。 （垂直并指向作用面） 证明： 反证法证明之。 有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体.设切割面 上任一点m 处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为和切应力。而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力,如果有拉应力或切应力存在,将破坏平衡，这与静止的前提不符.所以静压强的方向只能是沿着作用面内法线方向。 p A ∆P ∆A P p ∆∆=A P p A ∆∆=→∆lim 0n p τp ΔP ΔA
贾月梅主编《流体力学》第二章课后习题答案
第2章 流体静力学 2-1是非题(正确的划“√”，错误的划“?”) 1. 水深相同的静止水面一定是等压面。（√） 2. 在平衡条件下的流体不能承受拉力和剪切力，只能承受压力，其沿内法线方 向作用于作用面。（√） 3. 平衡流体中，某点上流体静压强的数值与作用面在空间的方位无关。（√） 4. 平衡流体中，某点上流体静压强的数值与作用面在空间的位置无关。（?） 5. 平衡流体上的表面力有法向压力与切向压力。（?） 6. 势流的流态分为层流和紊流。（?） 7. 直立平板静水总压力的作用点就是平板的形心。（?） 8. 静止液体中同一点各方向的静水压强数值相等。（√） 9. 只有在有势质量力的作用下流体才能平衡。（√） 10. 作用于平衡流体中任意一点的质量力矢量垂直于通过该点的等压面。（√） ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2-4 如题图2-4所示的压强计。已知：25.4a cm =，61b cm =，45.5c cm =， 30.4d cm =，30α=?，31A g cm γ=，31.2B g cm γ=，32.4g g cm γ=。求压强 差?B A p p -= a b
题图2-4 解：因流体平衡。有 ()2 sin 30sin 3025.4161 2.445.5 1.20.530.4 2.40.51.06A A g B B g B A B A P a b P c d P P g P P N cm γγγγ+?+?=+???+??? ∴-=?+?-??-???-= 2-5 如图2-5所示，已知10a cm =，7.5b cm =，5c cm =，10d cm =，30e cm =， 60θ=?，2 13.6Hg H O ρρ=。求压强?A p = 解： ()()2cos60gage A Hg H O Hg P a c b e d γγγ=+?-?+?-()32 4 1513.67.51513.6102.6 2.610g N cm Pa -=?-?+???==? 答：42.610gage A P Pa =? 2-8 .如图2-8所示，船闸宽B =25m-，上游水位H 1=63m ，下游水位H 2=48m ，船闸用两扇矩形门开闭。求作用在每扇闸门上的水静压力及压力中心距基底的标高。 解：1）对于上游侧（深水区）两闸门受力题图2-8 1 11322 1 102563486698.6252 H F B H g kN γ= ???=????= 方向指向下游 1111 632133 D H H m ==?=（离基底高） 2）对于下游侧（浅水区）两闸门受力
流体力学讲义 第二章 流体静力学
第二章流体静力学 作用在流体上的力有面积力与质量力。静止流体中，面积力只有压应力——压强。流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。 第一节作用于流体上的力 一、分类 1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。 2.按作用方式分：质量力和面积力。 二、质量力 1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。单位牛顿（N）。 2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。 (2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。 最常见的质量力有：重力、惯性力。 问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？ A. f水
流体力学第二章及答案
第二章流体力学试题及答案 作业: 习题第二章3,8,12,19; 思考题第二章 思考题: 1. 什么是等压面？等压面应用的条件是什么？ 2. 若人能承受的最大压力为1.274MP在（相对压强），则潜水员的极限潜水深度为多少？ 3. 压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强？ 4. 如图所示，若某点测压管水头为-0.5m,压强水头为1.5m，则测压管最小长度应该为多少？ 判断题: 1. 平面上静水总压力的大小等于压力中心点的压强与受力面面积的乘积。 2. 物体的浮力就是作用于该物体上的静水总压力的水平分力。 3. 二向折面上静水总压力可以按二向曲面静水总压力的方法计算。 4. 曲面上静水总压力的水平分力等于曲面的铅垂投影面上所受的静水总压力。 选择题: 1：露天水池水深5m处的相对压强为： A. 5kPa ; B. 49kPa ; C. 147kPa ; D. 205kPa 2. 在密闭容器上装有U形水银测压计，其中1,2,3点位于同一水平面上，其压强关系为: A. p1=p2=p3 ; B. p1>p2>p3 ; C. p1 3. 图示水深相差h 的A\B 两点均位于箱内静水中，连接两点的U 形压差计的液面高差hp ，试问下列三个hp 哪一个正确？ 实验思考题： 有一盛水的密闭容器，其底部用软管和玻璃筒联通，容器和筒内的水面在同一水平面上。当玻璃筒上下升降式，问： 1.水面压强p0是否变化？如有变化分析其变化情况。 2.容器与玻璃筒内的水面是否还在同一平面上？如不在同一平面上，哪一个水面高？ 作图题：绘出压力体的平面图 , ,C g g p p B p p A m B A m B A ρρρ--- 流体力学第二章 流体静力学概述一、流体静压强特性二、重力场中流体静压强的分布静止流体平衡微分方程、压强测量 三、相对静止状态下流体的平衡四、作用在壁面上的流体静压力西安交通大学流体力学课程组 2.1流体静压强的特性流体静压强rΔP p= limΔS→ 0Δ SrΔPBΔS 流体静压强的方向垂直于作用面，并指向流体内部p s 西安交通大学流体力学课程组 流体静压强的特性2静止流体任意点处静压强的大小与其作用面方位无关，只是作用点位置的函数质量力r 1 f ρ dxdydz 6pydx z C pndz pxdy B y 表面力1 p x dydz 2 1 p y dxdz 2A x O pz 西安交通大学流体力学课程组 流体静压强的特性3表面力1 pz dxdy 2 pnΔAz C 所受合力为零py pndz pxdy B y O p= f ( x, y, z )x dx A pz 理想流体压强西安交通大学流体力学课程组 p= f ( x, y, z ) 2.2静止流体平衡微分方程质量力r f ρδxδyδz表面力δz p 1δz p+ z 2 z p 1δx x p x 2 y p 1 p δy y 2 p 1δx p+ x 2西安交通大学流体力学课程组O(p) δy δx p 1 p+δy y 2 p 1δz p z 2 静止流体平衡微分方程2六面体微元所受的表面力合力r p r p r pδ xδ yδ z jδ xδ yδ z kδ xδ yδ z i x y z r p r p r p = i+ j+k δ xδ yδ z= pδ xδ yδ z y z x 压强梯度西安交通大学流体力学课程组 静止流体平衡微分方程3静止流体受力平衡r f ρδxδyδz pδxδyδz= 0 静止流体平衡方程-欧拉平衡方程r 1 f p= 0 ρ 静止流体中压强的变化由质量力引起西安交通大学流体力学课程组 力势函数fx fy f z 1 p=0ρ x 1 p=0ρ y 1 p=0ρ z ρ=常数 f x f y y= x f y f z= y z f z f x x= z 力势函数Π fx= x西安交通大学流体力学课程组 Π (x, y, z), Π fy= y, Π fz= z 平衡微分方程的积分Π 1 x ρ Π 1 yρ Π 1 zρ p= 0× dx x p= 0× dy y p= 0× dz z 求和 dΠ+ dp ρ 工程流体力学第二章题库 一、名词解释 1、流体静力学基本方程及适用条件 z+p／ρg=c 适用于不可压缩重力流体平衡状态。 2、总势能 p／ρg 单位重力作用下流体的压强势能，位势能和压强势能之和称为总势能。 3、流体静力学基本方程的物理意义： 当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时，在流体中的任意点上，单位重力下流体的总势能为常数。 4、流体静力学基本方程的几何意义： 不可压缩的重力流体处于平衡状态时，静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线。 5、流体静压强的传递现象（帕斯卡原理） 均值不可压缩的重力流体处于平衡状态时，自由液面上的压强p0对内部任意点上的影响是同样的，即施加于自由液面的压强，将以同样的大小传递到液体内部任意点上。 6、绝对压强 以绝对真空为基准度量的压强称为绝对压强，用p表示。 7、计示压强 以大气压为基准度量的压强称为计示压强或相对压强，用p a表示。 8、真空状态和真空 当被测流体的绝对压强低于大气压时，测得的计示压强为负值，此时，称该流体处于真空状态。负的表压强称为真空，用p v表示。 9、静压强：当流体处于平衡或相对平衡状态时，作用在流体上的应力只有法向应力而没有切向应力，此时，流体作用面上负的法向应力就是静压强p，即：错误！未找到引用源。 10、浮体：流体力学中将部分沉浸在液体中的物体称为浮体。 11、潜体：全部沉浸在液体中的物体称为潜体。 12、沉体：沉入液体底部固体表面的物体称为沉体。 二、简答题 1、写出流体静力学基本方程的几种表达式。说明流体静力学基本方程的适用范围以及物理意义、几何意义。 z+p／ρg=c z1+p1/ρg=z2+p2/ρg适用范围：适用于不可压缩重力流体平衡状态。流体力学第二章
流体力学第二章题库