比较审敛法的极限形式
高等数学-无穷级数简要讲解-2
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
级数复习
级 数 期末复习题补充一、 判断题1．正项级数 ∑∞=1n n u 发散，则其部分和数列趋于无穷大。
（ ∨ ）2． 若1lim =∞→n nn v u ，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛同时发散。
（ × ） 3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=12n n u 一定收敛。
（ × ）4．若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则必有1lim1<+∞→nn n u u （ × ）{}115..().n n n n n u S u ∞∞==∑∑若的部分和数列有界，则收敛 ×1116.(1).().n n n n n u u u ∞-+=-≥∑若交错级数收敛，则必有×).(.,1lim .711发散则若∑∞=+∞→>n n nn n u u u∨).(.)1(.81条件收敛收敛，则必为级数若∑∞=-n n n a ×9.若级数()∑∞=+1n n nv u收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛)(×10.若,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n n u 必定收敛)(×11.级数()∑∞=+-2)12(121n n n 收敛)(∨12.级数∑∞=+11ln n n n 发散)(∨13.级数∑∞=11n nnn收敛)(×14.级数∑∞=121n n 收敛)(×15. 若级数∑∞=13n nn u收敛，则级数∑∞=1n nu必收敛)(∨16.级数∑∞=121cosn n 收敛)(×二、选择题：1．设幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在 x = -1 处条件收敛，则级数∑∞=1n n a _________.A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性不能确定 答案：应选A2．设级数∑∞=1n n a 条件收敛，那么级数∑∞=+12n nn a a _________.A. 必定条件收敛B. 必定绝对收敛C. 必定发散D. 敛散性不能确定 答案：应选C111122113..()..(||||).().n n n n nn n nn n nn n n n n u v A uv B u v C uv D uv ∞∞==∞∞==∞∞==+++∑∑∑∑∑∑若与都发散，则_______.发散必发散必发散必发散答案：应选C4．设级数1n n a ∞=∑绝对收敛，则11(1)n n n a n ∞=+∑（ ）.A ．发散B ．条件收敛C ．敛散性不能判定D ．绝对收敛 答案：应选D115.(0)lim,..1.1.1.1n n n n n na a a r a A r B r C r D r ∞+→∞=>=>≥<≤∑若收敛，且存在则_______答案：应选D6．设幂函数∑=-n n nn x a 1)12(在x=2处收敛，则级数∑∞=-1)2(n n n a ________A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 收敛性不能确定 答案：应选A7．设级数∑∞=12n n u 收敛，则∑∞=-1)1(n nnnu （ ）。
级数_基本考点以及解题方法
本章节基本考点以及解题方法1.基本考点：● 级数的敛散性；● 幂级数的收敛半径和收敛区间； ● 函数展开成幂级数； ● 求幂级数的和函数；●给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结)2.解题方法归纳：● 级数的敛散性此考点分为3种题型： （1）正项级数 比较审敛法：nn n n )12(1∑∞=+ 比较审敛法的极限形式： ))10(1(32∑∞=-+n n n n∑∞=+1)11ln(n n 分析：比值审敛法： ∑∞=•1!2n nn n n 分析：（2）交错项级数 莱布——尼兹定理：∑∞=+-111)1(n nn（3）任意项级数绝对收敛与相对收敛： 分析：注意：要学会这三种方法的综合运用！● 幂级数的收敛半径和收敛区间 此考点分为三种题型：（1）∑∞=-1)1(n n nn x （2）∑∞=--1)21(2)1(n n n n x n （3）∑∞=-11221n n n x对于（1）有：a. 利用定理2得收敛半径；b. 分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（2）有： a. 令t ；b. 利用定理2得t 的收敛半径；c. 将t 的范围转化为了x 的范围，并分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（3）有：只能通过“比值审敛法&绝对收敛”求其收敛区间；● 函数展开成幂级数； 此考点分为两种题型：（1）展开成x 的幂级数 （1）)4(1)(x x f +=（2）x e x x f 22)(=（2）展开成)(0x x -幂级数● 求幂级数的和函数；大都是建立在7个常用函数展开式的基础之上进行分析的，通过恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）等方法，求得展开式或和函数；难点体现在“恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）”这个问题上，故重点讨论之；以“典型例题在恒等变换时设计到的问题”为讨论的基础：附：7个常用的函数展开式① ),(.....!1+∞-∞∈=∑∞=x x n e n nx② ),(.....!121)1(/)!12(1)1(sin 0121121+∞-∞∈+---=∑∑∞=+∞=--x x n x n x n n n n n n ）（③ ),(.....)!2(1)1(cos 02+∞-∞∈-=∑∞=x x n x n n n④)1,1( (11)0-∈=-∑∞=x x x n n ⑤)1,1(......)1(11-∈-=+∑∞=x x x n n n ⑥ ]1,1(......11)1(/1)1()1ln(0111-∈+--=+∑∑∞=+∞=-x x n x n x n n n n n n ⑦ ]1,1(......11/1)1ln(101-∈+=-∑∑∞=∞=+x x n x n x n n n n● 给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结，多以选择题为主！)做这些题目之前一定要知道的一些知识：（1）与“级数收敛的必要条件”有关的几个问题【2组4项】 对于级数∑∞=1n nu，有以下分析：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ； 若级数∑∞=1n nu发散，则k u n n =∞→lim （k 可以为0）；若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu 的敛散性不确定； 若0lim ≠=∞→k u n n ，则必发散；分析：这种类型题的考点在于“正项级数”与“不确定是否为正项级数”两种情况● 对于“正项级数”，只需要以以上两种为基础进行分析，问题即可解决；对于“不确定是否为正项级数”，以上两种分析是基础，另外还需结合——“交错项级数、任意项级数”的分析方法，并结合“P-级数（很重要，它在选择题中起到的作用很”；（2）与“级数的基本性质3、4”有关的几个问题【3组】① 在两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv中，有以下分析：若一个收敛，一个发散，则有)(1∑∞=±n n nv u发散；若两者都收敛，则)(1∑∞=±n n nv u收敛；若两者都发散，则)(1∑∞=±n n nv u的敛散性不确定；② 对①反过来有：若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必收敛；若级数)(1∑∞=±n n nv u收敛若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu必发散；若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必发散；若级数)(1∑∞=±n n nv u发散若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu不确定；③ 对两个级数的乘积分析 a. 两个级数收敛 乘： nn1)1(-（收敛） / 211)1(n n -（发散） 除： 41)1(n n-与21)1(n n -（收敛） / n n 1)1(-（发散）b. 两个级数发散乘：n1（收敛） / 211n （发散） 除： n 1与211n （收敛） / n1（发散） c.一个收敛、一个发散乘：n 1与21n（收敛） / 321n 与231n （发散） 除： n 1与31n （收敛） / n 1与21n（发散）综上所述有：两个级数相乘、相除，结果的敛散性不能确定；（极限中无穷小的概念要深刻体会！） （3）级数的“绝对值、次方”产生的问题∑∞=1)(n k nu（其中0>k ，k 奇偶不分）收敛；∑∞=1n nu收敛；这是很多问题分析的基础！（4）只有当两个级数收敛时，才可以比较其和的大小！ 如：若),3,2,1( =<n v u n n ，则∑∑∞=∞=≤11n n n nv u.............（错误）（5）级数的收敛域问题“收敛域的端点值是否收敛？”这个问题要好好考虑！考点体现在：通过四则运算，得到其收敛半径相同，但是这个四则运算有可能会改变端点值的敛散性，因此收敛域有可能会不同。
数项级数及审敛法
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
正项级数
n > N时,恒有 时
或
( l − ε )vn < un < ( l + ε )vn .
由比较原则及(4)式得 由比较原则及 式得, 当 0 < l < +∞ 时, 级数 式得 同时收敛或同时发散. 这就证得了(i). 与 ∑ vn 同时收敛或同时发散 这就证得了 .
(4)
∑u
n
un ≤ l < 1,
(9)
则级数 ∑ un 收敛;
(ii) 若对一切 n > N 0 , 成立不等式
n
un ≥ 1,
(10)
则级数 ∑ un 发散.
n n 证 由(9)式有 un ≤ l , 因为等比级数 ∑ l 当 1 < l < 1 式有
也收敛, 时收敛 , 故由比较原则 这时级数 ∑ un 也收敛, 对 故由比较原则, 于情形(ii), 由(10)式可得 于情形 式可得
n
判定下列级数的敛散性: 例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (2) ∑ n ; n =1 3 − n 1 sin n = 1, 原级数发散 (1) ∵ lim n sin 1 = lim 解 原级数发散. n→ ∞ n n→ ∞ 1 n 1 n 3 − n = lim 1 = 1, ( 2) ∵ lim n→ ∞ 1 n→ ∞ n 1− n n 3 3 ∞ 1 故原级数收敛. ∵ ∑ n收敛 , 故原级数收敛 n =1 3
∞
( 2) 设 sn → ∞ ( n → ∞ ) 且 un ≤ v n ,
则 σ n ≥ sn → ∞
∴
不是有界数列 定理证毕. 定理证毕
∑ vn发散. n =1
∞
反常积分的审敛法
§２ 反常积分的审敛法()()AaF A f x dx =⎰()()baa f x dx f x dx ∞⎫⎪⎬⎪⎭⎰⎰收敛⇔lim ()lim ()A b A F A F A -→→+∞⎧⎪⎨⎪⎩存在存在． 一 Cauchy 收敛原理 绝对收敛（可积） ()a f x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⇒⎰收敛且aafdx f dx +∞+∞≤⎰⎰．条件收敛()af x dx +∞⎰收敛但()af x dx +∞⎰发散．定理１（Cauchy 收敛原理） 反常积分()af x dx +∞⎰收敛00,A a ε⇔∀>∃≥，..s t0,,A A A '''∀>()A A f x dx ε'''<⎰．二 非负函数反常积分审敛法（绝对收敛判断法）１．比较判断法：若存在常数k ，..[,):()()0s t x a k x f x ϕ∀∈+∞≥≥，则： （１）()a x dx ϕ+∞⎰收敛 ()a f x dx +∞⇒⎰收敛．（２）()af x dx +∞⎰发散 ()ax dx ϕ+∞⇒⎰发散．１＇．极限形式比较判别法：若在[,)a +∞上()f x 和()x ϕ非负，且()lim()x f x l x ϕ→+∞=，则：（１）当0l ≤<+∞时，()a x dx ϕ+∞⎰收敛 ()a f x dx +∞⇒⎰收敛． （２）当0l <≤+∞时，()a x dx ϕ+∞⎰发散 ()af x dx +∞⇒⎰发散． （１）＇当0l <<+∞时，()ax dx ϕ+∞⎰敛散 ()af x dx +∞⇒⎰敛散．（２）＇0l =时， （３）＇l =∞时．２．Cauchy 判别法（与p 积分比较）：若()f x 在[,)[,),(0)a b a a ⎧⎫⎨⎬+∞>⎩⎭上非负，存在任意正常数,..k s t （１）若(),1(),1()p p k f x p x k f x p n x ⎧⎫≤>⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪≤<-⎪⎪⎩⎭则()a f x dx +∞⎰收敛（２）若(),1p kf x p x≥≤则()a f x dx +∞⎰发散．２＇极限形式Cauchy 判别法：若()f x 在[,),(0)a a +∞>上非负lim ()px x f x l →∞=，则：（１）若0l ≤<+∞时且1p >，则收敛， （２）若0l <≤+∞时且1p ≤，则发散，例：1+∞⎰()n mn a x x →+∞m n ≥时，发散；m n <时，收敛． 例：(0)a x x e dx a +∞-≥⎰2lim 0a x x x x e -→∞⋅=例：1ln k xdx x α+∞⎰1α≤时，1ln lim lim ln k k x x xx x x xαα-→∞→∞⋅==+∞发散，1α>时，存在常数1p α<<，则ln ln lim lim 0k k pp x x x xx xx αα-→∞→∞⋅==收敛．10ln ,()k x dx k x αα>⎰，0ln (1)lim 1kk x x x x αα+-→+⋅=，∴ 1k α<+时，收敛；1k α≥+时，发散．例：111111211111111p p p p qqqqx x x x dx dx dx dx x x x x ----+∞+∞++++=----⎰⎰⎰⎰1００12．三 条件收敛判断法（一般函数反常积分）（A D -判别法）定理（积分第二中值定理）：设()[,]f x R a b ∈，在[,]a b 上()g x 单调，则[,]a b ξ∃∈..s t()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰．证：特殊情形：()f x 连续，()g x 可导．设()()xaF x f x dx =⎰可导，即()()F x f x '=，()()()()()()()()bbbba aaaf xg x dx F x g x dx F x g x F x g x dx ''==-⎰⎰⎰()()()()baF b g b F x g x dx'=-⎰[,]()()()()a b b baag b f x dx F g x dx ξξ∃∈'=-⎰⎰()(()())()()g b F b F g a F ξξ=-+．定理：若下列条件之一满足，则()()af xg x dx +∞⎰收敛．（１）（Abel 判别法）()af x dx +∞⎰收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界；（２）（Dirichlet 判别法）()()AaF A f x dx =⎰有界，lim ()0x g x →∞=，()g x 单调．证：设(),[,)g x G x a ≤∀∈+∞，0ε∀>．()af x dx +∞⎰收敛，00A ∴∃≥，..s t0,A A A '''∀≥，有()2A A f x dx Gε'''<⎰，[,]()()()()()()A A A A A A f x g x dxg A f x dx g A f x dx ξξξ'''∃∈''''''''''=+⎰⎰⎰()()()()22A A g A f x dx g A f x dx G G GGξξεεε''''''≤+<⋅+⋅=⎰⎰．证明Dirichlet 判别法： 设()(),[,)AaF A f x dx M A a =≤∀∈+∞⎰，0ε∀>，lim ()0x g x →+∞=，0A a ∴∃≥，0x A ∀>：()4g x Mε<．0,A A A '''∀>：()()()()()()(22)4A A A A f x g x dx g A f x dx g A f x dx M M Mξξεε'''''''''≤+≤+=⎰⎰⎰．例：讨论1sin pxdx x +∞⎰敛散性．(0)p > 解：（１）1p >时，sin 1p px x x≤，∴绝对收敛． （２）01p <≤时，1sin Axdx ⎰有界，1px 单调且1lim 0p x x →+∞=，1sin p x dx x +∞∴⎰收敛． 此时， 2sin sin 1cos 222px x xx x x x ∴≥=- 112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰收敛，∴21sin pxdx x+∞⎰发散，∴ 1sin p xdx x +∞⎰发散，∴01p <≤时，1sin p x dx x+∞⎰条件收敛． 四 瑕积分收敛判别法Cauchy 原理()baf x dx ⎰收敛0,0,0,:εδηηδ'''⇔∀>∃>∀<<()b a f x dx ηηε''-'-<⎰１．Cauchy 判别法：()0f x ≥在[,]a b 上，若存在常数0k >，..s t （１）()()pkf x b p ≤-且1p <，则，收敛．（２）()()pkf x b p ≥-且1p ≥，则，发散．例：()af x dx +∞⎰收敛，且()f x 在[,)a +∞上一致连续，则lim ()0x f x →+∞=．证：0,0,,[,),x x a x x εδδ''''''∀>∃>∀∈+∞-<：()()(*)2f x f x ε'''-<又()af x dx +∞⎰收敛，∴对000.,,:4A a A A A εδ'''>∃≥∀>()4A A f x dx εδ'''<⎰，200,,()24x xx A x A f t dt δδεδ+∴∀>+><⎰．[,]22()()()4242x x x xf t dt f f δξδεδδεδεξξ∃∈++<=<⇒<⎰．0()()()()222x f x f f x f δεεξξξε≤-≤⇒-<⇒<+<．。
二、交错级数及其审敛法
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
n2 en
绝对收敛.
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
也收敛.
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且
(n=1,2,3…)
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
也收敛 ;
(2) 若级数
10-2正项级数 (2)
k 1
k 1
这就证明了两者同时收敛的情形.
同理可证明两者同时发散的情形.
例7
证明级数
1
n2 n ln n
发散；而级数
1 n2 n ln2 n
收敛。
解 对第一个级数，考察函数 f ( x) 1 ( x 2)
x ln x
由于
1
2
dx ln(ln x) x ln x
2
由积分审敛法可知，级数
证明级数
n1
1 n!
收敛。
证明 由于 n! 1 2 2
2 2n1 ,
所以有
1 n!
1 2n1 ,
1 2n1
n1
收敛，根据比较审敛法知，级数 1 收敛。
n1 n!
例3 判断级数的收敛性.
4
1
(1) ln(1 ); (2)
.
n1
nn
n1 n n n
解 (1) 级数
1
n1 n n
是 p 32的p-级数，收敛。
取0
l 2
，存在N，
当n>N时, un l l , 即
vn
2
l
3l
2 vn un 2 vn
由推论1知， un , vn有相同的收敛性.
n1
n1
(2) 由 lim un 0,
v n n
当n充分大时，有
un vn
1,即
2
un
vn 2
，
若
vn 收敛，则
vn 收敛，从而 un
收敛。
n1
n2
n
1 ln
n
发散。
对第二个级数，取函数
1 f ( x) x ln2 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
比较审敛法的极限形式是什么?
1、比较审敛法的极限形式是比较审敛法的极限形式是若为低阶无穷小的级数收敛。
则一般项为较高阶或同阶无穷小的级数必定也收敛。
两个一般项为同阶无穷小（特别是等价无穷小）的级数同敛同散同时收敛或同时发散，即敛散性必定相同。
2、比较审敛法的极限形式的准则
数列极限的柯西准则与级数收敛的柯西审敛原理7.2常数项级数的审敛法7.2.1正项级数比较审敛法的极限形式的无穷小表示7.2.2正项级数的两个审敛定理的证明7.2.3利用收敛级数的必要条件求数列极限。
则级数发散。
同样这种比较也可以采用极限形式：若，则级数发散；若，则级数收敛。
如果，则本判别法无法进行判断。
根值根值审敛法：对于正项级数，如果从某一个确定的项开始。