九年级数学上册章节重点复习考点讲义(人教版)正多边形和圆综合题(解析版)

专题12 正多边形和圆（综合题）知识互联网易错点拨知识点01：正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．细节剖析:判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点02：正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.细节剖析:要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点03：正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆细节剖析:（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点04：正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O 的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….细节剖析:画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.易错题专训一．选择题1．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG 为（）A．3B．C．D．3【易错思路引导】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．【规范解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．2．（2022•游仙区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110°B．120°C．118°D．122°【易错思路引导】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．【考察注意点】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．3．（2022•太原一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个【易错思路引导】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【规范解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故选：D．【考察注意点】本题主要考查圆的基本性质，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．4．（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（）A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm【易错思路引导】根据正方形性质得到△AOD为等腰直角三角形，根据正方形和圆的关系得到AC的长度，根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度．【规范解答】解：如图所示，∵AC＝BD＝22.25mm，∴AO＝OD＝＝mm．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴△AOD为等腰直角三角形，∴AD＝AO＝mm．故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，掌握正多边形和圆的关系，得到△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2022•固安县模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线A'﹣B'﹣C扫过的面积（阴影部分面积）之比是（）A．3：1 B．4：1 C．5：2 D．2：1【易错思路引导】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．【规范解答】解：正六边形的面积＝6××（2a）2＝6a2，阴影部分的面积＝a•2a＝2a2，∴空白部分与阴影部分面积之比是＝6a2：2a2＝3：1，故选：A．【考察注意点】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题6．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝18 ．【易错思路引导】连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出n．【规范解答】解：连接CE，正n边形的中心角的度数为：，则∠ECF＝×，∠AEC＝，∵∠EGF＝30°，∴∠ECF+∠AEC＝30°，∴×+＝30°，解得：n＝18，故答案为：18．【考察注意点】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是解题的关键．7．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为54 厘米．【易错思路引导】根据对称性和周长公式进行解答即可．【规范解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．【考察注意点】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．8．（2022•陈仓区二模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A 落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为54°．【易错思路引导】根据正五边形的性质可求出角A的度数，再根据等腰三角形以及三角形的内角和可求出∠ABE，再根据正方形的性质求出∠ABG即可．【规范解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠BAE＝＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，又∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，∴∠ABG＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54°．【考察注意点】本题考查正五边形，正方形以及等腰三角形，掌握正五边形、正方形、等腰三角形的性质是正确计算的前提．9．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为1，则阴影部分的面积等于．【易错思路引导】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE，代入数据即可得到结论．【规范解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F．∵如图是由圆的六等分点连接而成，∴△ABC与△ADE是等边三角形，∵圆的半径为1，∴AH＝，BC＝AB＝，∴AE＝，AF＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝××+×××3＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键．10．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 2 ．【易错思路引导】根据正六边形的性质可得∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，从而利用等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCA＝30°，进而求出∠ABM＝90°，BM＝CM，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案为：2．【考察注意点】本题考查了等腰三角形的判定，正多边形和圆，多边形的内角与外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．11．（2022•河北二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为20 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是27 ．【易错思路引导】根据拼图，由“外围”的边长进行计算即可．【规范解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，可知这个正多边形为正十二边形，如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，故答案为：20，27．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，理解“外围”的意义是正确解答的前提，得出外围正多边形的边数是解决问题的关键．12．（2021秋•西湖区校级月考）如图，⊙O的内接正六边形，点M，N分别为AF，BC边的中点，直线MN与⊙O交于点PQ，若AB＝1，则PQ＝．【易错思路引导】如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．利用勾股定理求出PK，再利用垂径定理，可得结论．【规范解答】解：如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，CF∥AB，CF经过圆心O，∵CN＝BN，AM＝MF，∴MN∥AB∥CF，∴OK＝JK，∵OA＝OB＝AB＝1，∴OJ＝，∴OK＝，∵AB∥PQ，OJ⊥AB，∴OK⊥PQ，∴PK＝QK＝＝＝，∴PQ＝2PK＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，垂径定理，梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF ＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长．【易错思路引导】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．【规范解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，∴四边形ABPN是平行四边形，∴PN＝AB＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，∴△ANG是等边三角形，∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠PCG＝∠DHC，∵∠CPG＝∠D，∴△CPG∽△HDC，∴＝，∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴DH＝，∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．14．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为．【易错思路引导】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理即可得出结论．【规范解答】解：连接CE，作EF⊥PF．∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，∴△APD∽△CPE，∴＝，∵P为边CD的中点∴PD＝PC＝，PA＝＝，＝，∴PE＝，∵FE∥AD∴△APD∽△EPF，∴＝，∴＝，∴PF＝，∴EF＝＝1，∴DE＝＝＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．三．解答题15．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．（1）求证：AO＝CD；（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．【易错思路引导】（1））根据正五边形的性质可知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，所以∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，因此∠AOB ＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，推出AB＝AO，则CD＝AO；（2）根据圆周角定理求出∠BDE、∠E的度数，进而证明DF∥AE；证明AF∥DE，AE＝DE，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵五边形是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，∴∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，∴AB＝AO，∴CD＝AO；（2）四边形AODE是菱形；理由如下：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠BDE＝＝72°，∠E＝×360°＝108°，∴∠BDE+∠E＝180°，DO∥AE；同理可证：AO∥DE，而AE＝DE，∴四边形AODE是菱形．【考察注意点】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜测、合情推理、科学论证．16．（2021•云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【易错思路引导】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【规范解答】解：（1）连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为BC的中点，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．【考察注意点】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．17．（2019秋•长乐区期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交于E 点，连接BE，求∠ABE的度数．【易错思路引导】求出圆内接正方形的中心角度数∠AOD，再根据垂径定理求出∠AOE，由圆周角定理得出答案．【规范解答】解：如图，连接OA、OD，∵四边形ABCD是圆内接正方形，∴∠AOD＝＝90°，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠AOE＝∠AOD＝×90°＝45°，∴∠ABE＝∠AOE＝×45°＝22.5°．【考察注意点】本题考查正多边形和圆，圆周角定理以及垂径定理，求出圆内接正方形的中心角度数是解决问题的关键．18．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．求正方形ABCD的边长和边心距．【易错思路引导】过点O作OE⊥BC，垂足为E．解直角三角形求出BC，OE即可．【规范解答】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．19．（2022•包河区校级二模）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，连接DG，交BC于点H．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）求证：DH＝CE．【易错思路引导】（1）证明CF∥BE，BF∥EC可得结论；（2）证明△DCH≌△CBE（ASA），可得结论．【规范解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DF，∴∠DCE＝∠CEB，∵∠F＝∠BEC，∴∠F＝∠DCE，∴BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形；（2）∵BF∥EC，∴∠CBF＝∠BCE，∵∠CDH＝∠CBG，∴∠CDH＝∠BCE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCH＝∠CBE＝90°，在△DCH和△CBE中，，∴△DCH≌△CBE（ASA），∴DH＝CE．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．【易错思路引导】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．【规范解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，如图，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）连接OD，如图，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．【考察注意点】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答。