初二数学人教版因式分解-讲义
人教版初二数学讲义《因式分解的概念和基本方法》
定 义示例剖析定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式． ()21a a a a +=+；()2324222x x x x +=+()()232236332131a b a b ab ab a a ab a ++=++=+实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的变形．因式分解与整式乘法是相反方向的变形．()ma mb mc m a b c −−−−→++++←−−−−因式分解整式乘法多项式−−−−→←−−−−因式分解整式乘法整式乘积 模块一 因式分解的概念知识导航知识互联网6因式分解的概念 和基本方法分解因式的注意事项：1、结果一定是乘积的形式；2、每一个因式都是整式；3、相同的因式的积要写成幂的形式.4、没有大括号和中括号；5、每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；6、单项式因式写在多项式因式的前面；7、每个因式第一项系数一般不为负；8、若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止.如：111x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭不是因式分解21(1)(1)x x x -=+-是因式分解()()22x y x y x y +-=-不是因式分解()23232x x x x +-=+-不是因式分解【例1】 ⑴下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A. 223()33ab a b a b ab +=+B. 2222421x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C. 224(2)(2)a b a b a b -=+-D. 23633(2)x xy x x x y -+=-⑵一次课堂练习，小胖同学做了如下4道分解因式题，你认为他做得不够完整的一题是（ ） A. ()321x x x x -=- B. ()2222x xy y x y -+=- C. ()22x y xy xy x y -=- D. ()()22x y x y x y -=+-【解析】 ⑴C. 其中A 是整式乘法不是因式分解；B 中的因式不是整式；D 不是恒等变形.⑵A. ()()()32111x x x x x x x -=-=-+【点评】 因式分解实质是一种恒等变形，是一种化和为积．．．．的变形．因式分解与整式乘法是相反方向的变形．因式分解的结果：每个因式都必须是整式．．，分解到不能再分解为止．【例2】 ⑴一个多项式分解因式的结果是33(2)(2)b b +-，那么这个多项式是（ ） A ．64b - B ．64b - C ．64b + D ．64b --⑵如果多项式235x mx --分解因式为()()57x x -+，则m 的值为（ ）A 、2-B 、2C 、12D 、12- ⑶若多项式2x ax b ++可因式分解为()()12x x +-，求a b +的值 .【解析】 ⑴ B.⑵ A ⑶ 3-.由题意()()22122x ax b x x x x ++=+-=--，故12a b =-=-，，3a b +=-. 夯实基础定 义示例剖析如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面进行因式分解。
八年级数学上册同步精品讲义(人教版)：因式分解(教师版)
C. 10x2 5x 5x(2x 1) ，是因式分解符合题意；
D. x2 16+6x (x+4)(x 4)+6x ，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．
A． a(m n) am an
B． x2 2x 1 (x 1)2
C．10x2 5x 5x(2x 1)
D． x2 16+6x (x+4)(x 4)+6x
【答案】C 【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【解析】解：A. a(m n) am an ,是乘法运算，不是因式分解，不合题意；
【点睛】本题主要考查了公因式，解题 的关键在于能够熟记公因式的定义． 【即学即练】 3．（2022·江苏常州·期中）把多项式-16x3+40x2y 提出一个公因式-8x2 后，另一个因式是______ ． 【答案】2x-5y ； 【解析】解：﹣16x3+40x2y=﹣8x2•2x+（﹣8x2）•（﹣5y）=﹣8x2（2x﹣5y）， 所以另一个因式为 2x﹣5y．故答案为 2x﹣5y 点睛：本题考查提公因式法分解因式，把多项式的各项写成公因式与另一个因式相乘的形式是解题的关键． 4.（2022·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____． 【答案】（x+2）（x﹣1） 【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可． 【解析】（x+2）x﹣x﹣2=（x+2）x-(x+2)=（x+2）（x﹣1），故答案为（x+2）（x﹣1）． 【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从 而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
人教版八年级上册 14.3 因式分解 讲义(二)
因式分解基本方法二这节课我们学什么1. 十字相乘法（二次系数为1或不为1）；2. 分组分解法（一三、二二型分组、五项、六项、七项）；知识点梳理1、2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++十字相乘法可以看做多项式与多项式相乘的逆运算，借助十字交叉线来分解因式．2、 将多项式进行分解后运用提取公因式法，十字相乘法和公式法进行分解，其中对于综合型题目需要能分组的分组，不能分组的化简后分组因式分解典型例题分析1、 十字相乘法（二次项系数为1）；例1、分解因式26x x +-【答案：(3)(2)x x +-】例2、分解因式22496x xy y --【答案：(12)(8)x y x y -+】 例3、分解因式2()3()54x y x y +-+-【答案：(9)(6)x y x y +-++】 例4、已知多项式256(8)()x mx x x n +-=+-，求m n +的值【答案：8】例5、分解因式(1)(2)(7)(8)8x x x x +++++ 【答案：22(910)(912)x x x x ++++】2、 十字相乘法（二次项系数不为1）；例6、分解因式222x xy y +-【答案：(2)()x y x y -+】例7、已知多项式22(35)()310x y x ny x mxy y ++=++，求m n 、的值【答案： 11m = 2n =】例8、已知x ay +是22253x xy y +-的一个因式，求a 的值 【答案：12-或 3】 例9、分解因式2(1)(2)(3)(6)3x x x x x ++++- 【答案：22(46)(86)x x x x ++++】3、 分组分解法（一三、二二型分组、五项、六项、七项）；例10、分解因式225526m m n n mn -++-+【答案：(3)(2)m n m n ----】例11、分解因式(1)(1)(1)xy x y xy ++++【答案： (1)(1)xy x xy y ++++】例12、分解因式22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-【答案： (1)(1)(1)(1)x x xy y x x xy y ++-+----】例13、分解因式2422(1)1a a a a ++-+【答案： 22(1)a a ++】例14、分解因式444222222222a b c a b b c c a ++---【答案： ()()()()a c b a c b a c b a c b +++--+--】例15、分解因式2231092x xy y x y --++- 【答案： (52)(21)x y x y +++-】例16、分解因式44(5)(3)32x x ++-【答案：22(5)(3)(5)(3)22(5)(3)x x x x x x ⎡⎡⎤⎡+++++-+++⎣⎢⎢⎥⎣⎣⎦】 例17、分解因式662264121x y x y ++-【答案：22442222(41)(16441)x y x y x y x y +-+-+++ 】 例18、分解因式42424(41)(3110x x x x x -++++）【答案： 2222(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+】 例19、分解因式432673676x x x x +--+【答案： (21)(2)(31)(3)x x x x +--+】例20、分解因式2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-【答案： 22(1)(1)x y --】例21、分解因式2(3)(1)(5)x x x +-+【答案：(3)(1)1(5)x x x x +-++（）】 例22、已知多项式2225101023x xy y x y -++--的值为0，求5x y -的值【答案： 3-或1】课后练习练1． 分解因式33()(2)8a b b a -+--+ ． 【答案：6()(2)a b b a ---】练2． 2323(1)x x x x +++-分解因式为 ．【答案：2234(1)(1)x x x x x x ++++++】练3． 分解因式22222()4()x xy y xy x y ++-+ ． 【答案：222()x xy y -+】练4． 分解因式22496x x y y --- ． 【答案：(31)(31)x y x y +---】练5． 分解因式32332a a a +++【答案：2(2)(1)a a a +++】练6． 因式分解2(1)(2)(3)(6)3x x x x x ++++-【答案：22(86)(46)x x x x ++++】练7． 拆项后分解因式2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【答案：2(2)(4)(58)x x x x ++++】练8． 计算333(1)(2)(32)x x x -+-+-【答案：3(32)(1)(2)x x x ---】练9． 分解因式212a a +-【答案：(4)(3)a a +- 】练10． 分解因式223223223()()()x y z x y z ++--+【答案：22223()()()()x y y z x z x z +++-】课后小测验1. 因式分解2253x x +-【答案： (21)(3)x x -+】2. 分解因式21832x x -+【答案：(16)(2)x x --】3. 证明2241293035x x y y -+++永远比0大 【答案：22(23)(35)11x y ++++≥】4. 分解因式2232a ab b --【答案：(3)()a b a b +-】5. 因式分解212a a +-【答案：(4)(3)a a +-】本章小结。
人教版 八年级数学 因式分解讲义 (含解析)
第9讲因式分解知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。
在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。
中学代数主要做好3件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟课前回顾整式的乘法回顾：（1）单项式×单项式（2）单项式×多项式a（b+c）=ab+ac（3）多项式×多项式（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd乘法公式回顾:1、平方差公式：（a+b）·（a-b）=a²-b²2、完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²幂的计算回顾：(m,n都是整数)(m,n都是整数)()n n nab a b=⋅(n是整数)m n m na a a-÷=（m、n都是整数且a≠0）nmnm aaa+=⋅mnnm aa=)(上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.先来做一个简单的复习吧三、十字相乘法：要点：一拆（拆常数项），二乘（十字相乘），三验（验证十字相乘后的和是否等于一次项）举例：x²+x-6x -2x 3 (-2x)+3x=x对于一般地：四、分组分解法：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式.例如：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）因式分解过程的一般步骤和注意点：1、一般步骤：先提公因式，再运用公式法或者十字相乘法，后分组分解，最后是重新整理再分解.2、注意点：在分解因式的时候要注意各个因式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.课堂精讲精练【例题1】分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）= ．【答案】（2﹣m）（n﹣2）【解析】直接提取公因式（n﹣2）进而分解因式即可．解：原式=2（n﹣2）﹣m（n﹣2）=（2﹣m）（n﹣2）．故答案为：（2﹣m）（n﹣2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】因式分解：3x2﹣18x= ．【答案】3x（x﹣6）【解析】直接找出公因式进而提取得出答案．解：3x2﹣18x=3x（x﹣6）．故答案为：3x（x﹣6）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】分解因式8x2y﹣2y= ．【答案】2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）=2y（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】因式分解：m²-n²= .9x2﹣4= ．【答案】(m+n)(m-n) (3x﹣2)(3x+2)【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．解：m²-n²=(m+n)(m-n).9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】分解因式：x2﹣9y2【答案】（x+3y）（x﹣3y）【解析】直接利用平方差公式分解因式即可．解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】因式分解：9﹣p2= ．【答案】（3﹣p）（3+p）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：9﹣p2=（3﹣p）（3+p）．故答案为：（3﹣p）（3+p）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】分解因式：x2﹣x+1= ．【答案】（x﹣1）2【解析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．解：原式=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】因式分解：﹣x2﹣y2+2xy= ．【答案】﹣（x﹣y）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式=﹣（x2+y2﹣2xy）=﹣（x﹣y）2．故答案为：﹣（x﹣y）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】分解因式：m2+2mn+n2= ．【答案】（m+n）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：m2+2mn+n2=（m+n）2．故答案为：（m+n）2．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：直接套用完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】因式分解：x2﹣4x+3= ．【答案】（x﹣1）（x﹣3）【解析】把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．教学建议：学会画十字相乘法图示.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25=（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．解：a2﹣2ab+b2﹣1，=（a﹣b）2﹣1，=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16（4）a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）（2）﹣2a（a﹣3）2 （3）（x﹣2）2；（4）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）.【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式（3）先展开，然后利用完全平方公式（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式．解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）讲解用时：3分钟解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【答案】（1）4x（2x﹣y）；（2）3x2（x+y）2；（3）（a﹣b）（a+c）．【解析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【答案】﹣6【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．解：∵xy=﹣3，x+y=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知ab=﹣2，a﹣b=3，求a3b﹣2a2b2+ab3的值.【答案】﹣18【解析】本题要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，故答案为：﹣18.讲解用时：3分钟解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】分解因式：2m2﹣m= ．【答案】m（2m﹣1）【解析】直接把公因式m提出来即可．解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．讲解用时：1分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】因式分解（1）m2﹣4n2（2）2a2﹣4a+2．【答案】（1）（m+2n）（m﹣2n）；（2）2（a﹣1）2【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）（2）原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．【答案】（1）（x﹣y）（3a+5b）；（2）x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（x﹣y）（3a+5b）（2）=x2（x4﹣y4）=x2（x2﹣y2）（x2+y2）=x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值．【答案】4【解析】首先提公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵a+b=2，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×2=4．讲解用时：2分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.【解析】（1）根据正方形面积求出即可；（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），（2）如图所示：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
(完整)初二数学人教版因式分解-讲义
八年级数学因式分解辅导学案因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a2-b 2=(a+b)(a-b)；(2 ) (a±b)2= a 2±2ab+b 2——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；例.已知a b c ，，是ABC 的三边，且222a bcab bc ca ，则ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca abc ab bcca222()()()0ab bc ca a bc选C练习 (1))(3)(2x yb y xa (2)1222baba(3)（x －1）（x ＋4）－36(4)（m 2＋n 2）2－4m 2n2(5)－2a 3＋12a 2－18a ；(6)9a 2(x －y)＋4b 2(y －x)；(7) (x ＋y)2＋2(x ＋y)＋1.三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbm an am 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
14.3.2因式分解(公式法第1课时)八年级数学上册课件(人教版)
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2
互动新授
人教版数学八年级上册
思考
多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
特点：这个多项式是两个数的平方差的形式.
∵平方差的形式为：(a+b)(a-b)=a2-b2 ∴a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解
互动新授
人教版数学八年级上册
用平方差公式分解因式：
变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解 因式.可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
x2-1
因式分解 整式乘法
(x+1)(x-1)
复习引入
人教版数学八年级上册
提公因式法分解因式： pa+pb+pc=p(a+b+c)
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解 因式的方法叫做提公因式法.
把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换 位置，就得到a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
（1）一个二项式.
（2）每项都可以化成整式的平方.
（3）整体来看是两个整式的平方差.
归纳总结
课堂小结
人教版数学八年级上册
用平方差公式分解因式：
把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
能用平方差公式分解因式的多项式的特点： （1）一个二项式. （2）每项都可以化成整式的平方. （3）整体来看是两个整式的平方差.
人教版八年级上册数学公开课《因式分解课件PPT》
小结：
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法：
（1）定系数 （2）定字母 （3）定指数 3、提公因式法分解因式的步骤（分两步）：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式；
4、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）某项提出莫漏1； （3）首项有负常提负，提出负号时要注意变
号
综合闯关：
1、计算（-2）101+（-2）100
2已知，2x+y=4,xy=3,求代数式2x 2y+xy 2的值
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方向的变 形
在下列等式中，从左到右的变形是因式分
解的有(
)
（1 ）am+bm+cm=m(a+b)+c
( 2 ) 24x 2y=3x8xy
( 3 ) 2x2 – 1=(x-1)(x+1)
( 4 ) (2x+1) 2=4x 2+4x+1
诊断：小明解得有误吗？
（1）把12x 2y+18xy 2分解因式 解：原式=3xy（4x+6y）
（2）把3x 2-6xy+x分解因式 解：原式=x(3x-6x)
（3）把-x 2+xy-xz分解因式 解：原式=-x(x+y-z)
注意:1.公因式要提尽 2.某项提出莫漏1 3.首项有负常提负
1、3mx-6my 2、x2y+xy2
14.3 因式分解
整式的乘法 用前面所学知识填空:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1.
14.3因式分解 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
(4) 2ax2+6ax+4a (4) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2) =2a(x+1)(x+2)
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
请直接口答计算结果：
1.(x+2)(x+1)= x2+3x+2 2.(x+2)(x-1)= x2+x-2
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍同号﹍，且a、b的符号与p的符号﹍相﹍同。 （2）当q＜0时，a、b﹍异号﹍，且﹍a、﹍b中﹍绝﹍对﹍值﹍较﹍大的﹍因﹍数与p的符号相同。
例２：试将x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
∴
x x
8 2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12
人教版八年级数学上册 14.3 因式分解大归类讲义
因式分解大归类知识点：因式分解：【定义】 把一个单项式或多项式化成几个整式的 乘积 的形式，这种式子变形叫做这个单项式或多项式因式分解，也叫做把个单项式或多项式分解因式。
整式乘法与因式分解的对比如：x x x x +=+2)1(， 称这种式子变形为整式的 乘法 。
反过来，)1(2+=+x x x x ，像这种式子的变形过程，称为多项式的因式分解。
一、提公因式法例1：把c ab b a 323128+分解因式 （温馨提示：方法是先“找”，再“提”）“找”238b a 与c ab 312的公因式：（1）先看系数：8和12的最大公约数是 ；（2）再找字母部分：3a 和a 的公因式是 （指数最小的就是它们的公因式），2b 和3b 的公因式是 ，所以，238b a 与c ab 312的公因式就是 。
解，原式=bc ab a ab 3424222⋅+⋅例2：把()()c b a c b a +-+236分解因式 （分析：“找”公因式，是 ）针对性练习：1、找下列各式的公因式（1）n m 2与3mn 公因式是 （2）102x 与x 15的公因式是（3） 23x 与212xy 的公因式是 （4）bc a ab c ab 223201612+-的公因式是2、把下列各式分解因式（1）abc a -2 （2）a a +2 （3）a a 2552+-（4）mn n m 282+ （5）10+2x x 15 （6）2293xy x -（7）22912y x xyz - （8）bc a ab c ab 223201612+-（9）()()c b c b a +-+32 （10）()()2222b a q b a p +-+（11）()()712742+-+x x a（12）()()q p q q p p +-+46 (13)(x －2)2－x ＋2二、利用“平方差公式”进行因式分解整式乘法的平方差公式：=-+))((b a b a ， ，这个变形过程是 因式分解 。
14因式分解-公式法课件人教版数学八年级上册
(4)ax2 2a 2 x a3 ;
(5) 3x2 6xy 3y 2.
初中数学
知识拓展
1.若x,y为任意实数,且m x2 y 2 , n 2xy, 则m,n的 大小关系是___m___n_____；
解: m n (x2 y 2 ) 2xy
(x y)2,
x, y 为任意实数, (x y)2 0.
初中数学
例 分解因式：
(1)16 x2 24 x 9;
分析：
16 x 2 (4x)2，9 32，
24x 2 4x 3，
16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
a2 2ab b2.
所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即
初中数学
例 分解因式：
解:(1)16 x2 24 x 9 （4x）2 24x 32 （4x）2 + 2 4x 3 32
请你根据所学知识将下面的多项式分解因式： (1)若多项式x2+mx+9为完全平方式，则m=_______;
完全平方公式： 有公因式先提公因式，再检查是否可用平方差公式.
4(m+2)(m-2)
例 利用简便方法计算.
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
若x,y为任意实数,且
则m,n的
Hale Waihona Puke 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，
[x2 − 2 x 2y (2 y)2 ]
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
在括号中填入适当的式子，使等式成立： 例 利用简便方法计算. 有两项是两数的平方和，
（x 2 y）2 ;
问题：因式分解的一般步骤是什么？
初中数学
例 分解因式：
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八年级数学因式分解辅导学案因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则A B C ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒== 选C练习(1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36(4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )；(7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a3)542-+x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析：（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（三）其他类型例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +-例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a练习一、填空题1．分解因式： m 3-4m= .2.分解因式： x 2-4y 2= __ _____.3.分解因式：244x x ---=___________ ______。
4.将x n-y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .5、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。
二、选择题6.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2-4x+47．把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（ ）A ．（x －y ）（x －y －1）B ．（y －x ）（x －y －1）C ．（y －x ）（y －x －1）D ．（y －x ）（y －x ＋1）8.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）A.2B.4C.2y 2D.4y 2三、把下列各式分解因式：9.2294n m -10、()()m m n n n m -+- 11、3222a a b ab -+12、()222416x x +- 13、22)(16)(9n m n m --+；因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：通常采用一“提”、二“公”、三“分”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；中考点拨例.在∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=求证：a c b +=2证明： a b c ab bc 222166100--++=∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=a ab b c bc b a b c b a b c a b c a b ca b c a b c a b c a c b 2222226910250350820880202即，即于是有即()()()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
练习 已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较a b c a b 222224+-和的大小。
：因式分解练习题精选一、分解因式：二．求代数式求值1、已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。
2、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值3、已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值三、计算：（1） 0.7566.24366.3⨯-⨯ （3）2244222568562⨯+⨯⨯+⨯（3）)1011)(911()311)(211(2232----四、试说明：对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除五、若a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，求a 2－b 2的值．六、用简便方法计算：⑴20042-2005×2003 ⑵22 293⎛⎫ ⎪⎝⎭。