最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现
最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现_0
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现最小二乘法的基本原理和多项式拟合 matlab 实现最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数 p(x) 同所给数据点(xi, yi) (i=0, 1, , m) 误差 ri p(xi) yi(i=0, 1, , m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 riri p(xi) yi(i=0, 1, , m) 绝对值的最大值max0 i m，即误差向量 r (r0, r1, rm) T 的范数；二是误差绝对值的和i 0mri，即误差向量 r 的 1范数；三是误差平方和 i 0 rm2i 的算术平方根，即误差向量 r 的 2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和 i 0 体大小。
rm2i 来度量误差 ri(i=0， 1，， m) 的整数据拟合的具体作法是：对给定数据 (xi, yi) (i=0, 1, ， m) ，在取定的函数类中,求 p(x) , 使误差 ri p(xi) yi(i=0, 1, , m)的平方和最小，即 i 0 rm2i i 0 p(x) y iim2 min 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xi, yi) (i=0, 1, , m) 的距离平方和为最小的曲线y p(x) （图 6-1）。
函数 p(x) 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数 p(x) 的1 / 15方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法 .61 二多项式拟合为所有次数不超过 n(n m) 的多项式构假设给定数据点(xi, yi) (i=0, 1, , m) ， pn(x) akxkk 0n 成的函数类，现求一 m , 使得 2 I pn(xi) yi i 0 2 n akxik yi mini 0 k0 (1) m 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的 pn(x) 称为最小二乘拟合多项式。
最小二乘法matlab程序
最小二乘法（Least Squares Method，LSM）是一种数值计算方法，用于拟合曲线，求解未知参数的值。
它的基本思想是，通过求解最小二乘误差的最优解，来拟合曲线，从而求得未知参数的值。
本文将介绍最小二乘法在Matlab中的实现原理及程序编写。
一、最小二乘法的原理最小二乘法是一种数值计算方法，它的基本思想是，通过求解最小二乘误差的最优解，来拟合曲线，从而求得未知参数的值。
最小二乘法的基本原理是：给定一组数据点，用直线拟合这组数据点，使得拟合直线与这组数据点的误差的平方和最小。
具体地说，假设有一组数据点，其中每个数据点都可表示为(x_i, y_i)，i=1,2,3,...,n，其中x_i和y_i分别表示第i个数据点的横纵坐标。
拟合这组数据点的直线通常用一元线性函数表示，即y=ax+b，其中a和b是未知参数。
最小二乘法的思想是：求出使误差的平方和最小的a和b，即求出最优解。
二、Matlab程序编写1. 准备工作首先，我们需要准备一组数据点，每个数据点都可表示为(x_i, y_i)，i=1,2,3,...,n，其中x_i和y_i分别表示第i个数据点的横纵坐标。
例如，我们可以准备一组数据点：x=[1,2,3,4,5];y=[2,4,6,8,10];2. 程序编写接下来，我们就可以开始编写Matlab程序了。
首先，我们需要定义一个一元线性函数，用于拟合这组数据点。
函数的形式为：y=ax+b，其中a和b是未知参数。
%定义函数f=@(a,b,x)a*x+b;然后，我们需要定义一个误差函数，用于计算拟合直线与这组数据点的误差的平方和。
%定义误差函数error=@(a,b)sum((y-f(a,b,x)).^2);最后，我们就可以使用Matlab提供的fminsearch函数，求解最小二乘误差的最优解，即求出最优a和b的值。
%求解最优解[a,b]=fminsearch(error,[1,1]);经过上面的程序编写，我们就可以求得未知参数a和b的最优值。
matlab最小二乘拟合二次多项式
在对Matlab最小二乘拟合二次多项式进行深度评估之前，我们首先需要了解最小二乘法和二次多项式的概念。
最小二乘法是一种数学优化技术，用于寻找一组参数，使得一个数学模型的预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
而二次多项式则是指数为2的多项式，一般表示为y = ax^2 + bx + c。
这两者结合起来，就构成了Matlab中使用最小二乘法进行二次多项式拟合的基础。
接下来，我们来探讨如何在Matlab中进行最小二乘拟合二次多项式的操作。
我们需要明确拟合的数据和拟合的方式。
拟合数据通常是一组已知的点集，而拟合的方式则是通过最小二乘法来寻找二次多项式的系数。
在Matlab中，可以使用polyfit函数来实现这一过程。
该函数可以接受输入的数据点集和多项式的次数，然后返回拟合的多项式系数。
在使用polyfit函数时，我们需要注意一些参数的设置，比如数据点集的选择、多项式次数的确定以及拟合精度的评估。
通常情况下，我们可以先通过绘制原始数据的散点图来观察数据的分布规律，然后根据实际情况选择合适的多项式次数。
之后，可以使用polyval函数来计算拟合的多项式函数值，并与原始数据进行比较，以评估拟合的效果。
在实际应用中，最小二乘拟合二次多项式可以用于曲线拟合、数据分析、信号处理等各个领域。
在实验数据处理中，我们常常需要利用最小二乘法对实验数据进行拟合，从而得到实验数据的规律性和趋势。
又如在控制系统设计中，我们可以利用最小二乘法对系统的输入和输出数据进行拟合，从而得到系统的数学模型。
Matlab中的最小二乘拟合二次多项式是一种非常常用的数据拟合技术，可以广泛应用于科学研究和工程领域。
通过对拟合数据的深度评估和合理选择拟合方式，我们可以得到准确的拟合结果，并从中获取有价值的信息。
掌握和理解最小二乘拟合二次多项式的方法对于我们在科学研究和工程实践中具有重要意义。
最小二乘拟合是一项非常重要的数学技术，在工程领域尤其重要。
它可以应用于曲线拟合、数据分析、信号处理以及控制系统设计等多个领域。
Matlab最小二乘法曲线拟合
最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。
拟合的模型主要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型......一般对于LS问题，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或优化工具箱提供的极小化函数求解。
在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。
在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。
“\”命令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2];执行：para=X\ypara中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;这种方法对于系数是线性的模型也适应。
2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)设计矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];para=X\y3.多重回归(乘积回归)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是预测变量，y是响应变量。
设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！para=X\ypolyfit函数polyfit函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵。
1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2p=polyfit(x,y,2)然后可以使用polyval在t处预测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数可以给出置信区间。
[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了标准差[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处预测在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也适应假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是优化工具箱的极小化函数。
最小二乘法曲线拟合-原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：kk x a x a a x +++=...)(10ϕ2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x 必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
加权最小二乘法 拟合多项式 matlab
加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）是一种经典的拟合方法，用于处理数据中的噪声和异常值。
在拟合多项式的过程中，加权最小二乘法能够更好地适应不同的数据权重，从而得到更准确、更可靠的拟合结果。
结合Matlab强大的数学计算和可视化工具，我们可以更方便、更高效地实现加权最小二乘法拟合多项式。
一、加权最小二乘法的基本原理1. 加权最小二乘法的概念在拟合多项式过程中，常常会遇到数据噪声较大或者部分数据异常值较大的情况。
此时，普通的最小二乘法可能无法有效地拟合数据，因此需要引入加权最小二乘法。
加权最小二乘法通过为每个数据点赋予不同的权重，对异常值和噪声进行更有效的处理。
2. 加权最小二乘法的数学原理加权最小二乘法的数学原理主要是在最小化误差的基础上，引入权重矩阵来调整不同数据点的重要性。
通过优化残差的加权和，可以得到适应不同权重的拟合结果。
二、Matlab中的加权最小二乘法1. Matlab工具Matlab提供了丰富的数学计算和拟合工具，通过内置的polyfit函数和curve fitting工具箱，可以方便地实现加权最小二乘法拟合多项式。
Matlab还提供了丰富的可视化工具，可以直观展示加权最小二乘法的拟合效果。
2. 加权最小二乘法的实现在Matlab中，可以通过指定权重向量来调用polyfit函数，实现加权最小二乘法拟合多项式。
利用Matlab内置的拟合评估工具，可以对拟合效果进行全面评估和优化。
三、实例分析以实际数据为例，我们可以在Matlab环境下进行加权最小二乘法的拟合多项式实例分析。
通过构建数据模型、指定权重、调用polyfit函数并结合可视化工具，可以全面了解加权最小二乘法在拟合多项式中的应用效果。
四、个人观点和总结在实际工程和科学研究中，加权最小二乘法拟合多项式是一种非常有效和重要的数据处理方法。
结合Matlab强大的数学计算和可视化工具，可以更方便、更高效地实现加权最小二乘法拟合多项式。
最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现
最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir2[]∑==-mi iiy x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
最小二乘法求二次拟合多项式 matlab
最小二乘法求二次拟合多项式 matlab最小二乘法求二次拟合多项式 Matlab1. 介绍最小二乘法是一种常用的数学优化方法，用于寻找一组参数，使得模型预测值与实际观测值之间的平方误差和最小。
在拟合多项式曲线时，最小二乘法能够帮助我们找到最佳的拟合曲线，从而更好地描述数据之间的关系。
2. 理论基础在进行二次拟合时，我们希望找到一个二次多项式曲线，使得该曲线能够最好地拟合给定的数据点。
二次多项式的一般形式为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为待定系数，需要通过最小二乘法来求解。
3. Matlab实现步骤我们需要将实际观测数据以矩阵的形式输入到Matlab中。
假设我们已经将x轴与y轴的观测数值分别存储在矩阵X和Y中。
接下来，我们可以使用Matlab中的polyfit函数来进行最小二乘法拟合。
该函数的语法为：p = polyfit(X, Y, n)，其中n为多项式的次数。
对于二次拟合，我们将n设为2。
函数将返回多项式系数p，其中p(1)对应于二次项的系数a，p(2)对应于一次项的系数b，p(3)对应于常数项c。
我们可以使用polyval函数来计算拟合的二次多项式在给定x轴数值下的y轴预测值。
语法为：Y_fit = polyval(p, X)。
4. 个人观点和理解最小二乘法求二次拟合多项式在实际工程和科学研究中具有非常重要的应用价值。
通过这种方法，我们能够利用已知数据点来构建一个更加准确的模型，从而能够更好地理解数据之间的关系。
在使用Matlab进行二次拟合时，我们不仅可以得到拟合的二次多项式曲线，还能够通过拟合结果进行后续的数据预测和分析。
这种方法不仅简单高效，而且在处理实际问题时非常有用。
总结通过最小二乘法求解二次拟合多项式，我们能够通过Matlab快速、准确地得到拟合曲线的系数，从而更好地理解数据之间的关系。
这种方法也为我们提供了一种有效的工程应用解决方案。
最小二乘法求二次拟合多项式 Matlab的方法对于分析实验数据和建立数据模型有着重要的意义，值得我们深入学习和应用。
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最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir2[]∑==-mi iiy x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二 多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然∑∑==-=mi nk i k i k y x a I 020)(为n a a a ,,10的多元函数，因此上述问题即为求),,(10n a a a I I =的极值 问题。
由多元函数求极值的必要条件，得nj x y x a a Im i j i nk i k i k j ,,1,0,0)(200==-=∂∂∑∑== (2)即nj y x a xn k mi i j i k mi k j i,,1,0,)(0==∑∑∑===+ (3)（3）是关于n a a a ,,10的线性方程组，用矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i n i m i i i m i i n mi n imi n imi n i mi n i mi im i imi nimi iy x y x y a a a x xx x xxx x m 00010020101020001(4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出k a (k=0,1,…，n)，从而可得多项式∑==nk kk n x a x p 0)( (5)可以证明，式（5）中的)(x p n 满足式（1），即)(x p n 为所求的拟合多项式。
我们把[]∑=-mi i i ny x p2)(称为最小二乘拟合多项式)(x p n 的平方误差，记作[]∑=-=mi i i n y x p r222)(由式(2)可得∑∑∑===-=m i n k mi i k i k i y x a y r222)( (6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n ；(2) 列表计算∑==mi j in j x)2,,1,0( 和∑==mi ij in j y x)2,,1,0( ；(3) 写出正规方程组，求出n a a a ,,10；(4) 写出拟合多项式∑==nk kk n x a x p 0)(。
在实际应用中，m n <或m n ≤；当m n =时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。
例1 测得铜导线在温度i T (℃)时的电阻)(Ωi R 如表6-1，求电阻R 与温度 T 的近似函数关系。
i0 1 2 3 4 5 6 i T (℃) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 )(Ωi R76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10数为T a a R 10+=列表如下i i T i R 2i T i i R T0 19.1 76.30 364.81 1457.330 1 25.0 77.80 625.00 1945.000 2 30.1 79.25 906.01 2385.425 3 36.0 80.80 1296.00 2908.800 4 40.0 82.35 1600.00 3294.000 5 45.1 83.90 2034.01 3783.890 650.085.10 2500.00 4255.000 ∑245.3565.59325.8320029.445正规方程组为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡445.200295.56583.93253.2453.245710a a解方程组得921.0,572.7010==a a故得R 与T 的拟合直线为T R 921.0572.70+=利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。
例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。
6-2例2 例2 已知实验数据如下表 i0 1 2 3 4 5 6 7 8 i x1345678910iy10 5 4 2 1 1 2 3 4试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。
解 设拟合曲线方程为2210x a x a a y ++=列表如下I i xi y2i x3i x4i xi i y x i i y x 20 1 10 1 1 1 10 10 1 3 5 9 27 81 15 45 2 4 4 16 64 256 16 64 3 5 2 25 125 625 10 50 4 6 1 36 216 1296 6 36 5 7 1 49 343 2401 7 49 6 8 2 64 512 4096 16 128 7 9 3 81 729 6561 27 243 810 4 100 1000 10000 40 400 ∑53323813017253171471025得正规方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡102514732253173017381301738152381529210a a a解得2676.06053.3,4597.13210=-==a a a故拟合多项式为22676.06053.34597.13x y +-=*三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1 设节点n x x x ,,,10 互异，则法方程组（4）的解存在唯一。
证 由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。
用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i n i m i i i m i i n mi n imi n imi n i mi n i mi im i imi nimi iy x y x y a a a x xx x xxx x m 00010020101020001（7）有非零解。
式(7)可写为nj a xn k k mi k j i ,,1,0,0)(0==∑∑==+ （8）将式（8）中第j 个方程乘以ja (j=0,1,…，n)，然后将新得到的n+1个方程左右两端分别 相加，得∑∑∑===+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡nj n k k m i k j i j a x a 00000)(因为[]∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=======+===+===⎥⎦⎤⎢⎣⎡m i m i mi i n n k ki k n j j i j n j n k k j i j k nj n k k m i k j i j x p x a x a x a a a x a 00020000000)())(()( 其中∑==nk kk n x a x p 0)(所以0)(=i n x p (i=0,1,…,m))(x p n 是次数不超过n 的多项式，它有m+1＞n 个相异零点，由代数基本定理，必须有010===n a a a ，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。
因此正规方程组（4）必有唯一解 。
定理2 设na a a ,,1,0 是正规方程组（4）的解，则∑==nk kk n x a x p 0)(是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。
证 只需证明，对任意一组数nb b b ,,1,0 组成的多项式∑==nk kk n x b x Q 0)(，恒有[][]∑∑==-≥-mi i i n mi i i n y x p y x Q 022)()(即可。
[][][][][][]()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+≥-⋅-+-=---n j mi j i n k i ki k j j m i nj n k i k i k ji j j i i n mi i n i n m i i n i n mi i i n mi i i nx y x a a b y x a x a b y x p x p x Q x p x Q y x p y x Q00000002222)(20)()()(2)()()()(因为k a (k=0,1,…，n)是正规方程组（4）的解，所以满足式（2），因此有[][]0)()(022≥---∑∑==mi i i n mi i i ny x p y x Q故)(x p n 为最小二乘拟合多项式。
*四 多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。
而且①正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；②拟合节点分布的区间[]m x x ,0偏离原点越远，病态越严重；③i x (i=0,1,…，m)的数量级相差越大，病态越严重。