理论力学(周衍柏)第二章质点组力学
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周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
理论力学（周衍柏第二版）思考题习题答案第二章
第二章质点组力学第二章思考题2.1一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？2.2一均匀物体如果有三个对称面，并且此三对称面交于一点，则此质点即均匀物体的质心，何故？2.3在质点动力学中，能否计算每一质点的运动情况？假如质点组不受外力作用，每一质点是否都将静止不动或作匀速直线运动？2.4两球相碰撞时，如果把此两球当作质点组看待，作用的外力为何？其动量的变化如何？如仅考虑任意一球，则又如何？2.5水面上浮着一只小船。
船上一人如何向船尾走去，则船将向前移动。
这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。
2.6为什么在碰撞过程中，动量守恒而能量不一定守恒？所损失的能量到什么地方去了？又在什么情况下，能量才也守恒？2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？2.8轮船以速度V 行驶。
一人在船上将一质量为m 的铁球以速度v 向船首抛去。
有人认为：这时人作的功为()mvV mv mV v V m +=−+222212121你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？2.9秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？2.10在火箭的燃料全部燃烧完后，§2.7（2）节中的诸公式是否还能应用？为什么？2.11多级火箭和单级火箭比起来，有哪些优越的地方？第二章思考题解答2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。
对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。
2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。
2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有n 3个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。
理论力学第二章 质点组力学(2)
mr1
k2m
M m2
1 r22
r1 r1
从上式看出，力仍然与距离平方成反比， 故行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也如此。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
12
行星相对于太阳的相对运动
由方程
M
d 2 rS dt 2
GMm r r2 r
m
d 2 rP dt 2
GMm r2
r r
m1
m2
m2
v2
u2
u1
u2
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
且定义e: u1 u2 ev1 v2
式中e称为恢复系数。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
23
所以,考虑弹性碰撞问题,有以下两个方程
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
mv1 mv2 0
机械能守恒
r
（1） m1 v1
v2 m2
km1m2 a
1 2
m1v12
1 2
m2v22
km1m2 a/2
联立求解：
（2）
2k
2k
v1 m2
,
a m1 m2
v2 m1
a m1 m2
（3）
另：如果从动能定理出发
d
1 2
m1v12
1 2
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
1
第二章 质点组力学
理论力学教程周衍柏第三版课件
13
时钟的改进
14
长度(length)的计量
• 空间反映物质运动的广延量, 在三维空间里位置可由三个相 互独立的坐标来确定. 空间中两点间的距离为长度. • 1889年，第一届国际计量大会: 法国国际计量局铂铱合金 棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米. • 1960年，第十一届国际计量大会：采用氪86原子橙黄光波 长的1 650 763.73倍定义为1米, 实现了自然基准. 1983年，第十七届国际计量大会：1米定义为光在真空中传 • 播(1/299 792 458)秒的时间间隔内所经路程的长度.
2
理论力学与普物力学的关系
• 理论力学是力学的延续与提高 • 主要的概念和定律一样 • 理论力学用高等数学方法处理物理问
题
• 分析力学
3
理论力学的任务
研究物体机械运动的一般规律
理论力学的研究对象
有限个自由度的力学体系
两个模型
质点 刚体
4
理论力学研究的条件
宏观低速下 ①质量不变 ②绝对时间 ③绝对空间
dy dcosx y' sin x dx dx dy dlnx 1 y' dx x dx dy de x y' ex dx dx
yx
n
y sin x y cos x
y ln x
ye
x
28
2 导数运算定理
d du d v u ( x) v( x) dx dx dx
d dv du u ( x)v( x) v( x) u ( x) dx dx dx
du dv v ( x ) u ( x ) u ( x ) d dx dx v( x) 2 dx v( x)
理论力学第三版(周衍柏)全部习题答案
即
对两边积分
1.35解锤的压力是均匀增加的，设 ， 为常数，由题意可知 ，得
，
所以
，
即
故
两边同时积分
得
， ①
又因为当 增至极大值 后，又均匀减小到0，故此时有 为常数，
所以
即
②
由①得
③
整个过程压力所做功
又因为
即
对上式两边分段积分
得
1．36
解（a）保守力 满足条件 对题中所给的力的表达式，代入上式
即
所以此力是保守力，其势为
②
联立①② 得
③
齐次方程通解
非齐次方程③的特解
所以③的通解
代入初始条件： 时， 得 ；故有
即为 在任一时刻离上端 的距离.
1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.
运动的轨迹的切线方向上有:
①
法线方向上有：
②
对于①有 （ 为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即
又因为
即
③
设质点刚离开圆柱面时速度 ，离开点与竖直方向夹角 ，对③式两边积分
电子受力
则电子的运动微分方程为
②-③-④
由② ，即
⑤
代入③整理可得
⑥
对于齐次方程 的通解
非齐次方程的特解
所以非齐次方程的通解
代入初始条件： 时， 得
时， 得 ,故
⑦
同理，把⑦代入⑤可以解出
把⑦代入⑤
代入初条件 时， ，得 .所以
）
1.23证 （a）在1.22题中， 时，则电子运动受力 电子的运动微分方程
所以单摆振动周期
结论得证。
1.32解：设楔子的倾角为 ，楔子向右作加速度 的匀加速运动，如图1.32.1图。
对两边积分
1.35解锤的压力是均匀增加的，设 ， 为常数，由题意可知 ，得
，
所以
，
即
故
两边同时积分
得
， ①
又因为当 增至极大值 后，又均匀减小到0，故此时有 为常数，
所以
即
②
由①得
③
整个过程压力所做功
又因为
即
对上式两边分段积分
得
1．36
解（a）保守力 满足条件 对题中所给的力的表达式，代入上式
即
所以此力是保守力，其势为
②
联立①② 得
③
齐次方程通解
非齐次方程③的特解
所以③的通解
代入初始条件： 时， 得 ；故有
即为 在任一时刻离上端 的距离.
1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.
运动的轨迹的切线方向上有:
①
法线方向上有：
②
对于①有 （ 为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即
又因为
即
③
设质点刚离开圆柱面时速度 ，离开点与竖直方向夹角 ，对③式两边积分
电子受力
则电子的运动微分方程为
②-③-④
由② ，即
⑤
代入③整理可得
⑥
对于齐次方程 的通解
非齐次方程的特解
所以非齐次方程的通解
代入初始条件： 时， 得
时， 得 ,故
⑦
同理，把⑦代入⑤可以解出
把⑦代入⑤
代入初条件 时， ，得 .所以
）
1.23证 （a）在1.22题中， 时，则电子运动受力 电子的运动微分方程
所以单摆振动周期
结论得证。
1.32解：设楔子的倾角为 ，楔子向右作加速度 的匀加速运动，如图1.32.1图。
周衍柏理论力学课件(PPT可修改版本)
爱因斯坦 (1879-1955)
1879年 3月14日生于德国乌耳姆一个经营电器作坊的 小业主家庭。一年后，随全家迁居慕尼黑。在任工程 师的叔父等人的影响下,爱因斯坦较早地受到科学和哲 学的启蒙。1894年,他的家迁到意大利米兰,继续在慕尼 黑上中学的爱因斯坦因厌恶德国学校窒息自由思想的 军国主义教育，自动放弃学籍和德国国籍，只身去米 兰。1895年他转学到瑞士阿劳市的州立中学；1896年 进苏黎世联邦工业大学师范系学习物理学，
自然和自然规律为黑暗 所蒙蔽上帝说，让牛 顿来！一切遂臻光 明！
一、理论力学研究对象
物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。世界物质可分 为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：
物质层 次
宇观
线度 >108m
宏观
10-1—103m
亚宏观
10-6—10-3m
原子
10-10—10-9m
矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是 分析力学中最关键的量。
分析力学以达朗伯原理为基础，从分析质量和质量系能量情 况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量。
二、理论力学研究方法
观察、实验， 总结实验规律， 建立物理模型， 提出合 理假设， 数学演译、逻辑推理 ， 探讨规律， 实验验 证。 理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译 更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。
三、理论力学的内容结构
理论力学分为矢量力学（即牛顿力学）和分析力学两大部 分。
理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
1.18答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大，对地球的直接探测面积越大，其科学使用价值越高。
1.16答：若 ,在球坐标系中有
由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有 的关系。在直角坐标系中
故
事实上据“ ”算符的性质，上述证明完全可以简写为
这表明有心力场是无旋场记保守立场
1.17答平方反比力场中系统的势能 ，其势能曲线如题图1.17图所示，
由 。
若 ，其势能曲线对应于近日点 和远日点 之间的一段。近日点处 即为进入轨道需要的初动能若 则质点的运动无界，对应于双曲线轨道的运动；若 位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近日点，即对大的 质点的运动是无界的，当 很大时 ，还是选无限远为零势点的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小
1.3答：内禀方程中， 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于 恒位于密切面内，速度 总是沿轨迹的切线方向，而 垂直于 指向曲线凹陷一方，故 总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时， z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力 ，还受到被动的约反作用力 ，二者在副法线方向的分量成平衡力 ，故 符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若 大小不等， 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足 。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
1.16答：若 ,在球坐标系中有
由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有 的关系。在直角坐标系中
故
事实上据“ ”算符的性质，上述证明完全可以简写为
这表明有心力场是无旋场记保守立场
1.17答平方反比力场中系统的势能 ，其势能曲线如题图1.17图所示，
由 。
若 ，其势能曲线对应于近日点 和远日点 之间的一段。近日点处 即为进入轨道需要的初动能若 则质点的运动无界，对应于双曲线轨道的运动；若 位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近日点，即对大的 质点的运动是无界的，当 很大时 ，还是选无限远为零势点的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小
1.3答：内禀方程中， 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于 恒位于密切面内，速度 总是沿轨迹的切线方向，而 垂直于 指向曲线凹陷一方，故 总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时， z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力 ，还受到被动的约反作用力 ，二者在副法线方向的分量成平衡力 ，故 符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若 大小不等， 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足 。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
理论力学(周衍柏第三版)习题答案
由以上两式得
v0 s 1 at1 t1 2
再由此式得 证明完毕.
a
2st 2 t1 t1t 2 t1 t 2
1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题 1.2.1 图.
1 设 A 船经过 t 0 小时向东经过灯塔,则向北行驶的 B 船经过 t 0 1 小时经过灯塔任意时刻 A 2
r
r
把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
a // 2 r
1.7 解 由题可知
2 2
r
a r
x r cos ① ② y r sin
③ r cos r sin x sin r sin r 2 cos ④ cos 2r x r
对等式两边同时积分 ，可得： 1.6 解 由题可知质点的位矢速度 沿垂直于位矢速度 又因为
1 2T 2T t s c t 2 sin t 2T 2
v // r ①
v
即
r ， v // r
r r
v r 即 r
dv 2kv 2 dt
y3 p 1 y 2
2 3 2
⑤
又
dv dv dy dv y dt dy dt dy x yy p
把 y 2 2px 两边对时间求导得
又因为
2 y 2 v2 x
所以
2 y
v2 y2 ⑥ 1 2 p
d 15t 0 15t
2
1 15 t 0 1 15t 2
2
- - 1- -
v0 s 1 at1 t1 2
再由此式得 证明完毕.
a
2st 2 t1 t1t 2 t1 t 2
1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题 1.2.1 图.
1 设 A 船经过 t 0 小时向东经过灯塔,则向北行驶的 B 船经过 t 0 1 小时经过灯塔任意时刻 A 2
r
r
把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
a // 2 r
1.7 解 由题可知
2 2
r
a r
x r cos ① ② y r sin
③ r cos r sin x sin r sin r 2 cos ④ cos 2r x r
对等式两边同时积分 ，可得： 1.6 解 由题可知质点的位矢速度 沿垂直于位矢速度 又因为
1 2T 2T t s c t 2 sin t 2T 2
v // r ①
v
即
r ， v // r
r r
v r 即 r
dv 2kv 2 dt
y3 p 1 y 2
2 3 2
⑤
又
dv dv dy dv y dt dy dt dy x yy p
把 y 2 2px 两边对时间求导得
又因为
2 y 2 v2 x
所以
2 y
v2 y2 ⑥ 1 2 p
d 15t 0 15t
2
1 15 t 0 1 15t 2
2
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mi
i 1
n
mi yi
yc
i 1 n
mi
i 1
n
mi zi
zc
i 1 n
mi
i 1
质量连续分布的体系
rc
r dm
V
dm
V
在直角坐标系
xc
Vxdm Vdm
yc
V ydm Vdm
zc
V zdm Vdm
2.2 动量定理与动量守恒律
⑴动量定理
dp dt
n Fi(e)
i 1
或
dp
(
n
Fi(e))dt
i 1
写成分量形式
dpx
dt
d(n dt i1
mivix )
n
F(e) ix
Fx
i 1
dpy
dt
d(n dt i1
miviy )
n
F(e) iy
Fy
i 1
dpz
dt
d(n dt i1
miviz )
n
F(e) iz
Fz
i 1
⑵质心运动定理
n i 1
Fi(e)
m
dvc dt
m
d
2
rc
dt 2
内 力： 质点组中质点间的相互作用力。 外 力：质作点用组力以。外的物体对质点组内质 点的
⑵ 质心
质点组的全部质量可认为集中在某一点上 ，这
一点我们就叫做质点组的质心。
rc
n
mi ri
i 1
n
mi
i 1
质心定义为： n
rc
mi ri
i 1
n
mi
i 1
在直角坐标系
n
mi xi
xc
i 1 n
⑵ 机械能守恒定律
如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力 （或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。
T V E
⑶柯尼希定理
质点组动能
T=
1 2
n i 1
mi
u•r rc
r• ' ri
2
1 n
u•r 2 1 n
r•' 2 u•r n
r• '
2 i1 mi rc 2 i1 mi ri
设是人在抛掷重物过程中所增加的水平速度v，
人对惯性参考系（地面）的水平速度为，物体 对惯性参考系（地面）的水平速度为 ，则
水平动量守恒：
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
g
Q
V0
cos
P g
(V0
cos
v)
Q g
(V0
cos
v u)
由上式可得(：P Q)v Qu 0
即：v Q u PQ
设从最高点到落地的时间为t，则
mac
分量式为： mxc Fx,myc Fy,mzc Fz
⑶质点组的动量守恒定理
①当质点组不受外力或所受外力的矢量和为零，
n Fi(e) 0
i 1
dp 0, p为恒矢量
dt
p
mvc
,vc为恒矢量
如果作用在质点组上的诸外力在某一固定轴(设为x轴)上的投影之和为零,
n Fi(xe) 0
i 1
dPx 0 dt
n
Px mivix mvcx c(常数) i 1
例:水 时一平，个线将重成物量体为角以P的的相人速对,度于手他v拿uur0向自一前己个跳的重。速为当度Q他的ur跳物水到体平最,向以高后与
抛出。问由于物体的后抛使人的跳远的距离增 加了多少？
解：忽略空气阻力，则人和重物所组成的质点组 在水平方向的动量守恒。
rc • mi ri
i 1
1 u•r 2 1 n
r•' 2 u•r n
r• '
2 m rc 2 i1 mi ri
rc • mi ri
i 1
r•
因ri
'
是pi相对于质心c的位矢，故
n
r• '
uur M dt
其在直角坐标系的分量形式
J 2 x J1x
t2 t1
M ox dt
J 2 y J1y
t2 t1
M oy dt
J 2 z J1z
t2 t1
M oz dt
⑵动量矩守恒定律
① 如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即
② 如果
，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上
zi yi xi zi
n i n1 i 1
yi
F(e) iz
zi
F(e) iy
zi
F(e) ix
xi
F(e) iz
d
dt
n
mi xi yi yi xi
i 1
n i 1
xi
F(e iy
)
yi
F(e) ix
即 dJ x dt
M
ox
,
dJ y dt
M
oy
,
dJ z dt
M oz
质点组的动uJu量r2 矩的uJu积r1 分形式t1t2
)
dri
n
Fi ( e )
dri
i 1
i 1
注意 ① 在动量定理和动量矩定理中，内力均因
相等相反而消去； ② 在质点组动能定理中，内力所作元功之
和一般不能互相抵消，即质点组的动能并不一 定守恒；
③ 对特殊的质点组—对刚体来说，内力不 作功，即内力所作元功之和为零。
下面就让我们对第二点进行证明。
的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。
n
M ox 0
yi Fize zi Fiye 0,
i 1
即:Jx
n i 1
mi
yi
•
zi zi
•
yi
=常数
⑶对质心的动量矩定理
ur
mi
d 2 ri' dt 2
uur (i) Fi
uur (e) Fi
u•r•
mi rc
式中
mi
u•r• rc
为惯性力。
ur ' dJ
uur ' M
dt
若
uur ' M 0
⑷质心系中的动量矩守恒定律 则
ur ' J
常矢量
2.4动能定理与机械能守恒定律
⑴质点组的动能定理
o)的由质n个点质pi点, 作所用组在成该的质质点点上组所，有其内中力任和选外一力个的质矢量量m和i为,分，别位为矢为Fi(i)r,iFi((对e) 定,则点 质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所做元功之
t V0 sin
g
故，多跳的一段距离为
x
QuV0 sin
(P Q)g
2.3动量矩定理与动量矩守恒定律
⑴对固定点的动量矩定理
ur uur d J =Mdt
在直角坐标系的分量形式
dJ
M
dt
微分形式
质点组
d
dt
d
dt
n i n1 i 1
mi mi
yi zi zi xi
第二章质点组力学
❖ 2.1 ❖ 2.2 ❖ 2.3 ❖ 2.4 ❖ 2.5 ❖ 2.6 ❖ 2.7 ❖ 2.8
质点组 动量定理与动量守恒律 动量定理与动量矩守恒律 动能定理与机械能守恒定律 两体问题 质心坐标系与实验室坐标系 变质量物体的运动 位力定理
2.1 质点组
(1)质点组、内力和外力
质点组：我们把由许多（有限或无限）相互联 系着的质点所组成 的系统。
和,即
d(1 2
miri2 )
dTi
Fi (i )
dri
Fi ( e )
dri
其中,
ri 是质点的速度,
dri 则是它的位移。
对i求和
d
n i 1
(
1 2
mi
ri 2
)
n i 1
Fi (i )
dri
n i 1
Fi (
e)
dri
若用T表示质点组的动能，则
dT
n
Fi (i