人教中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．

（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °

（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．

要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．

【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．

（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．

试题解析：（1）连接FE，

∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，

∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．

∵，即．

∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．

（2）作图如下：

P（7，7），PH是分割线．

考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．

2．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．

（1）求证：∠ABD=2∠BDC；

（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；

（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）

2 DE=.

【解析】

【分析】

（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到

∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到

AB22

AD BD

+=26，由相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，

则∠CAB=∠BDC=α，

∵点C为弧ABD中点，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；

（2）∵CH ⊥AB ，∴∠ACE +∠CAB =∠ADC +∠BDC =90°， ∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ， ∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ；（3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ， ∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ， ∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴1

OH OC BD AB ==， ∵OH =5，∴BD =10，∴AB =22AD BD +=26，∴AO =13，∴AH =18，

∵△AHE ∽△ADB ，∴

AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =9

．

【点睛】

本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

3．如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为AB ，P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点，连接PQ.

发现：∠POQ ＝________时，PQ 有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P 是OB 中点，且QP ⊥OB 于点P ，求BQ 的长；

（2）如图3，将扇形AOB 沿折痕AP 折叠，使点B 的对应点B′恰好落在OA 的延长线上，求阴影部分面积；

探究：如图4，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．

【答案】发现： 90°，102；思考：（1）10

π=；（2）25π?1002+100；（3）点O 到折痕PQ 的距离为30. 【解析】

分析：发现：先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；

思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；

（2）先在Rt △B'OP 中，OP 2+(102?10)2=（10-OP ）2，解得OP=102?10，最后用面积的和差即可得出结论．

探究：先找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，证明四边形OCO′B 是矩形，由勾股定理求O′B ，从而求出OO′的长，则OM=

OO′=30．详解：发现：∵P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点， ∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB +=102；思考：（1）如图，连接OQ ，

∵点P 是OB 的中点，

∴OP=

12OB=1

2OQ ． ∵QP ⊥OB ， ∴∠OPQ=90°

在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=

OP OQ =， ∴∠QOP=60°， ∴l BQ =

601010

1803

ππ?=；（2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝2，在Rt △B'OP 中，OP 22?10)2=（10-OP ）2

解得OP=102?10，

S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101

210(10210)3602

π?-???-

＝25π?1002+100；

探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，

∴O′C=OB=10，

∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点， ∴O′C ⊥AO ， ∴O′C ∥OB ，

∴四边形OCO′B 是矩形，

在Rt △O′BP 中，226425-= 在Rt △OBO′K ，2210(25)=230-， ∴OM=

12OO′=1

×23030 即O 到折痕PQ 30

点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=

180

n R

π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．

4．（1）问题背景

如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AB=AC ，P 为BmC 上一动点（不与B ，C 重2PA=PB+PC ．

小明同学观察到图中自点A 出发有三条线段AB ，AP ，AC ，且AB=AC ，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：

第一步：将△PAC 绕着点A 顺时针旋转90°至△QAB （如图①）；第二步：证明Q ，B ，P 三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移

如图②，⊙O 的半径为3，点A ，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB=AC ，AB ⊥AC ，垂足为

A，求OC的最小值．（3）拓展延伸

如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=4

AC，AB⊥AC，垂足

为A，则OC的最小值为．

【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）3

．

【解析】

试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；

（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；

（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=4

OA，连接OQ，

BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=4

OC，当BQ最小时，OC最小；

试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

∵BC是直径，∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，

由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，

∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，

∴2AP=QB+BP=PC+PB，∴2．

（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，

∵AB ⊥AC,∴∠BAC=90°,

由旋转可得 QB=OC ，AQ=OA ，∠QAB=∠OAC ，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°， ∴在Rt △OAQ 中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB 中，BQ≥OQ ﹣OB=32﹣3 ，即OC 最小值是32﹣3；

（3）如图③中，作AQ ⊥OA ，使得AQ=

OA ，连接OQ ，BQ ，OB ．

∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC ==4

， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=

OC ，当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，] ∴BQ 的最小值为2， ∴OC 的最小值为34×2=32

，故答案为

．【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.

5．解决问题：

() 1如图①，半径为4的O 外有一点P ，且7PO =，点A 在O 上，则PA 的最大值和

最小值分别是______和______．

()2如图②，扇形AOB 的半径为4，45AOB ∠=，P 为弧AB 上一点，分别在OA 边找

点E ，在OB 边上找一点F ，使得PEF 周长的最小，请在图②中确定点E 、F 的位置并直接写出PEF 周长的最小值；

拓展应用

()3如图③，正方形ABCD 的边长为4

2；E 是CD 上一点(不与D 、C 重合)，

CF BE ⊥于F ，P 在BE 上，且PF CF =，M 、N 分别是AB 、AC 上动点，求PMN 周长的最小值．

【答案】（1）11，3；（2）图见解析，PEF 周长最小值为423）41042．【解析】【分析】

()1根据圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直

线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；

()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与

OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求，此时PEF 周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；

()3类似()2题作对称点，

PMN 周长最小12PP =，然后由三角形相似和勾股定理求解．

【详解】解：()1如图①，

圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在

过圆心的直线OP 上，

此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．

PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=，

PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=，故答案为11和3；

()2如图②，以O 为圆心，OA 为半径，画弧AB 和弧BD ，作点P 关于直线OA 的对称点

1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、

F 即为所求．

连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ，

由对称知识可知，1AOP AOP ∠∠=，2BOP BOP ∠∠=，1PE PE =，2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==，

12454590POP ∠=+=，

12POP ∴为等腰直角三角形，

121PP ∴==

PEF 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=，此时PEF 周长最小．

故答案为；

()3作点P 关于直线AB 的对称1P ，连接1AP 、1BP ，作点P 关于直线AC 的对称2P ，

连接1P 、2P ，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．如图③ 由对称知识可知，1

PM PM =，2PN P N =，PMN 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=，

此时，PMN 周长最小12PP =．

由对称性可知，1BAP BAP ∠∠=，2EAP EAP ∠∠=，12AP AP AP ==， ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC ∠∠∠∠∠+=+==

12454590P AP ∠=+=，

12P AP ∴为等腰直角三角形，

PMN ∴周长最小值12PP =，当AP 最短时，周长最小．连接DF ．

CF BE ⊥，且PF CF =，

45PCF ∠∴=，PC

=45ACD ∠=，

PCF ACD ∠∠∴=，PCA FCD ∠∠=，

又AC

=， ∴在APC 与DFC 中，AC PC

CD CF

=，PCA FCD ∠∠=

C AP ∴∽DFC ，

AP AC DF CD

∴== ∴

AP =

90BFC ∠=，取AB 中点O ．

∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短．

DF DO FO OC =-===

AP ∴最小值为AP = ∴此时，PMN 周长最小值

12PP =

===．

【点睛】

本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．

6．如图所示，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，点P 沿BA 方向，从点B 运动到点A ，速度为1cm/s ，若10AB cm ，点O 到AC 的距离为4cm ．

（1）求弦AC 的长；

（2）问经过多长时间后，△APC 是等腰三角形．【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或14

s 时，△APC 是等腰三角形；【解析】【分析】

（1）过O 作OD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求得AD 的长，再利用垂径定理即可求得AC 的长；（2）分AC=PC 、AP=AC 、AP=CP 三种情况求t 值即可. 【详解】

（1）如图1，过O 作OD ⊥AC 于D ，

易知AO=5，OD=4，从而AD==3，

∴AC=2AD=6；

（2）设经过t 秒△APC 是等腰三角形，则AP=10﹣t

①如图2，若AC=PC，过点C作CH⊥AB于H，

∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，

∴△AHC∽△ADO，

∴AC：AH=OA：AD，即AC： =5：3，

解得t=s，

∴经过s后△APC是等腰三角形；

②如图3，若AP=AC，

由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，

又∵AC=6，

则10﹣t=6，解得t=4s，

∴经过4s后△APC是等腰三角形；

③如图4，若AP=CP，P与O重合，

则AP=BP=5，

∴经过5s后△APC是等腰三角形．

综上可知当t=4或5或s时，△APC是等腰三角形．

【点睛】

本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当△BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．

7．如图，在ABC △中，10AC BC ==，

cos 5

C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以

PA 长为半径的

P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .

()1当P 与边BC 相切时，求P 的半径；

()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，

并直接写出x 的取值范围；

()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的

Q 与P 相交于AC 边上的点G 时，求相交

所得的公共弦的长.

【答案】（1）409；（2）()2

5880

010x x x y x -+=<<；（3）1025- 【解析】【分析】

（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=3

，则sinC=

45，sinC=

HP CP =R 10R -=4

，即可求解；（2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BF

，即：22

48805x x x y x

--+-=

，即可求解；

（3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可

求解．【详解】

（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，

连接HP，则HP⊥BC，

cosC=

，则sinC=

，

sinC=HP CP

10R

，解得：R=

；

（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=

，

设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，

则BH=ACsinC=8，

同理可得：

CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2BP=()2

+-=2880

x x

-+，DA=

x，则BD=45-

x，

如下图所示，

PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，

tanβ=2，则

EB=BDcosβ=（5

x）

x，

∴PD∥BE，

∴EB

＝

，即：2

4880

x x x y

--+-

=，

整理得：y=()2

5x x 8x 80

0x 10-+<<；

（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，

两个圆交于点G ，则PG=PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ，GD 为相交所得的公共弦， ∵点Q 时弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ， ∵AG 是圆P 的直径， ∴∠GDA=90°， ∴EP ∥BD ，

由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形， ∴AG=EP=BD ，

∴5 设圆的半径为r ，在△ADG 中， 55

AG=2r ， 5551

+，则：5

5 相交所得的公共弦的长为5 【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

8．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点．

（1）如图1，连接FA ，FC ，若∠AFC ＝2∠BAC ，求证：FA ⊥AB ；

（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接FA ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF ＝FG ．

①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；

②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．

【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE＝3

．

【解析】

【分析】

（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．

（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作

⊙F．因为AG AG

，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．

②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．

【详解】

（1）证明：连接OC．

∵OA＝OC，EC＝EA，

∴OF⊥AC，

∴FC＝FA，

∴∠OFA＝∠OFC，

∵∠CFA＝2∠BAC，

∴∠OFA＝∠BAC，

∵∠OEA＝90°，

∴∠EAO+∠EOA＝90°，

∴∠OFA+∠AOE＝90°，

∴∠FAO＝90°，

∴AF⊥AB．

（2）①解：结论：∠GFA ＝2∠ABC ．理由：连接FC ．

∵OF 垂直平分线段AC ， ∴FG ＝FA ， ∵FG ＝FA ，

∴FC ＝FG ＝FA ，以F 为圆心FC 为半径作⊙F ． ∵AG AG =， ∴∠GFA ＝2∠ACG ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵CD ⊥AB ，

∴∠ABC +∠BCA ＝90°， ∵∠BCD +∠ACD ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACG ， ∴∠GFA ＝2∠ABC ．

②如图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．

∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ， ∴△CDB ≌△AEO （AAS ）， ∴CD ＝AE ， ∵EC ＝EA ， ∴AC ＝2CD ．

∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°， ∴∠GFA ＝120°， ∵OA ＝OB ＝2， ∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1，

∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，

∴OG ∥AC ，

,33

DG OG ∴=

∴==，

∵FG＝FA，FH⊥AG，

∴AH＝HG

∠AFH＝60°，

∴AF

＝

sin60

=，

在Rt△AEF中，EF

=，

∴OF＝OE+EF＝4

，

∵PE∥OG，

∴PE EF

OG0F

=，

∴

=，

∴PE

．

【点睛】

圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

9．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．

（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．

（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．

（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．

【答案】（1）见解析；（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，见解析；（3）AH的长为3﹣1或3+1．

【解析】

【分析】

（1）在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，证明△FAG≌△FBC，根据全等三角形的性质得到FG＝FC，根据等腰三角形的性质得到EG＝EC，即可证明.

（2）在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，证明△FCG≌△FCB，根据全等三角形的性质得到FG＝FB，得到FA＝FG，根据等腰三角形的性质得到AE＝GE，即可证明.

（3）分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.

【详解】

解：（1）如图2，

在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，

∵点F是AFB的中点，FA＝FB，

在△FAG和△FBC中，

,FA FB FAG FBC AG BC =??

∠=∠??=?

∴△FAG ≌△FBC （SAS ）， ∴FG ＝FC ， ∵FE ⊥AC ， ∴EG ＝EC ，

∴AE ＝AG+EG ＝BC+CE ；

（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，理由：如图3，

在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ， ∵点F 是AFB 的中点， ∴FA ＝FB ， FA FB =, ∴∠FCG ＝∠FCB ，

在△FCG 和△FCB 中，,CG CB

FCG FCB FC FC =??

∠=∠??=?

∴△FCG ≌△FCB （SAS ）， ∴FG ＝FB ， ∴FA ＝FG ， ∵FE ⊥AC ， ∴AE ＝GE ，

∴CE ＝CG+GE ＝BC+AE ；

（3）在Rt △ABC 中，AB ＝2OA ＝4，∠BAC ＝30°，

∴1

2232

BC AB AC =

==，，当点P 在弦AB 上方时，如图4，

在CA 上截取CG ＝CB ，连接PA ，PB ，PG ， ∵∠ACB ＝90°， ∴AB 为⊙O 的直径， ∴∠APB ＝90°， ∵∠PAB ＝45°， ∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ， ∴PA ＝PB ，∠PCG ＝∠PCB ，

在△PCG 和△PCB 中， ,CG CB PCG PCB PC PC =??

∠=∠??=?

∴△PCG ≌△PCB （SAS ）， ∴PG ＝PB ， ∴PA ＝PG ， ∵PH ⊥AC ， ∴AH ＝GH ，

∴AC ＝AH+GH+CG ＝2AH+BC ， ∴2322AH =+，

∴31AH =，当点P 在弦AB 下方时，如图5，在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG ∵∠ACB ＝90°， ∴AB 为⊙O 的直径， ∴∠APB ＝90°， ∵∠PAB ＝45°， ∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ， ∴PA ＝PB ，

在△PAG 和△PBC 中，

,AG BC PAG PBC PA PB =??

∠=∠??=?

∴△PAG ≌△PBC （SAS ），