向量的坐标表示及其运算

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（2）向量的坐标表示及其运算（2）
一、教学内容分析
向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础.
二、教学目标设计
1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；
2．会用平行的充要条件解决点共线问题；
3、定比分点坐标公式.
三、教学重点及难点
课本例5的演绎证明；
分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；
特殊——一般——特殊的探究问题意识.
五、教学过程设计：
复习向量平行的概念：
提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向量。

（2）实数与向量相乘有何几何意义
（3）由此对任意两个向量,a b，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b，若存在一个常数 ，使得
a b λ=⋅成立，则两向量a 与向量b 平行
（4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为)
,(),,(2211y x b y x a ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12
12
x x y y λλ=⎧⎨=⎩
思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x b y x a ==，则
2
121y y
x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出
课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==，
则//a b 的充要条件是1221x y x y =.
分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明，
（Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ⇒=
非零向量//a b ⇔存在非零实数λ，使得a b λ=，即
1122(,)(,)x y x y λ=，化简整理可得：1212
x x y y λλ=⎧⎨
=⎩，消去λ即得1221x y x y = （Ⅱ）再证充分性：1221x y x y =//a b ⇒
（1）若12210x y x y =≠,则1x 、2x 、1y 、2y 全不为零，显然有
11
22
0x y x y λ==≠，即1122(,)(,)x y x y λ=a b λ⇒=//a b ⇒
（2）若12210x y x y ==，则1x 、2x 、1y 、2y 中至少有两个为零. ①如果10x =，则由a 是非零向量得出一定有10y ≠，⇒20x =， 又由b 是非零向量得出20y ≠，从而，此时存在1
2
0y y λ=
≠使12(0,)(0,)y y λ=，即a b λ=//a b ⇒
②如果10x ≠，则有20y =，同理可证//a b 综上，当1221x y x y =时，总有//a b 所以，命题得证.
[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例. 练习2：
1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________； 2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2
121y y
x x =；③(a +b )a
b 0a a 0a a a =⋅a 0a 0a a a =⋅a 0a 1a =0
a a =述命题中，其
中假命题的序号为 ；
[说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.
知识拓展应用
问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ （学生讨论与分析）
[说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系
法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线. *法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线.
问题二：定比分点公式：
设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.
解：由12PP PP λ= ，可知
{
)
()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++
=++=λ
λλ
λ112
121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.
[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段21P P 的定
比分点公式.
2．小组交流
（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系当λ=1时，
点P 的坐标是什么 （2）满足式子12PP PP λ=的点P 称为向量 12PP 的分点.
思考：上式中正确反映 P 1，P ，2P 三点位置关系的是（ ）
A 、 始→分，分→终.
B 、始→分，终→分.
C 、终→分，分→
始
（3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是 1）点P 在线段21P P 中点时，λ=1;2）点P 在线段21P P 上时，λ≥0 3）点P 在线段21P P 外时，λ﹤0; 4）定比λR ∈
[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2
2
2
121x x x y y y ，此公式叫
做线段21P P 的中点公式. 此公式应用很广泛.
3．例题辨析
例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标. 解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB
的中点，于是点D 的坐标是（
2
,22
121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =
则由定比分点公式得 ⎪⎩
⎪⎨⎧+++=+++=
212
221222
13213x x x x y y y y ，整理得
⎪⎩
⎪⎨⎧++=++=333
2121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.
[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概
念，而且用到了中点公式、定比分点公式.（2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.
例2、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），
所以定比λ=-3
2
.
解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式
得12=
λλ+-⨯+1)3(2 解出实数λ=-3
2
.
解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又
21
PP PP = 32
，
所以λ=-3
2 .
[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试. 课后作业。