七年级下册 相交线与平行线 培优训练(含答案)
七年级下册相交线与平行线培优训练1．如图，若∠1＝∠2，∠A＝∠3．则可以推出AC∥DE．请完成下面的推理过程：因为∠1＝∠2，所以AB∥所以∠A＝∠4又因为∠A＝∠3，所以∠3＝∠所以AC∥DE2．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠3＝180°（1）证明：AD∥EF．（2）若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．3．如图，AB∥CD，AB＝CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠BAE＝∠DCF．（1）求证：AE＝CF；（2）连结AF、EC，若AE＝AF，试猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的结论．4．【问题原型】如图①，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，则∠M＝∠B+∠D，小明解决上述问题的过程如下：如图②，过点M作MN∥AB则∠B＝（）∵AB∥CD，（已知）MN∥AB（辅助线的做法）∴MN∥CD（）∴∠＝∠D（）∴∠B+∠D＝∠BMD请完成小明上面的过程．【问题迁移】如图③，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，猜想∠M、∠B、∠D之间有怎样的数量关系，并加以说明．【推广应用】（1）如图④，AB∥CD，点M在直线AB、CD之间，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠M＝96°，则∠N＝°；（2）如图⑤，AB∥CD，点M与直线CD分别在AB的两侧，∠ABM的平分线与∠CDM的平分线交于点N，∠N＝25°，则∠M＝°；（3）如图⑥，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，则∠M＝°．5．感知：如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠P、∠A、∠C满足的数量关系是．探究：如图②，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠APC、∠A、∠C满足的数量关系是．请补全以下证明过程：证明：如图③，过点P作PQ∥AB∴∠A＝∵AB∥CD，PQ∥AB∴∥CD∴∠C＝∠∵∠APC＝∠﹣∠∴∠APC＝应用：（1）如图④，为北斗七星的位置图，如图⑤，将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，其中B、C、D三点在一条直线上，AB∥EF，则∠B、∠D、∠E满足的数量关系是．（2）如图⑥，在（1）问的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E 分别作射线BP和EP，交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25°，则∠D﹣∠P＝°．6．如图，直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE．（1）图中∠AOD的补角是（把符合条件的角都填出来）；（2）若∠AOC＝28°，求∠BOE的度数．7．如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，则∠BEC＝°；（2）在（1）的条件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；（3）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝m°（m＞90°）（如图2），则∠AEG﹣∠CEG ＝°（用m的代数式表示）．8．如图，射线OA∥射线CB，∠C＝∠OAB＝120°．点D、E在线段BC上，且∠DOB＝∠BOA，OE平分∠DOC．（1）说明AB∥OC的理由；（2）求∠BOE的度数；（3）平移线段AB，若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC＝∠OBA，试求此时∠OEC 的度数．9．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D、E是边AB上的点，DG∥AC，EF∥BC，DG、EF 相交于点H．（1）∠HDE与∠HED是否相等？并说明理由．解：∠HDE＝∠HED．理由如下：∵DG∥AC（已知）∴＝（）∵EF∥BC（已知）∴＝（）又∵∠A＝∠B（已知）∴＝（）．（2）如果∠C＝90°，DG、EF有何位置关系？并仿照（1）中的解答方法说明理由．解：．理由如下：10．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分线．（1）若∠AOC＝25°，求∠BOD和∠COE的度数；（2）若∠AOC＝α，求∠EOM的度数（用含α的代数式表示）．参考答案1．解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CE，∴∠A＝∠4（两直线平行，内错角相等，∵∠A＝∠3，∴∠3＝∠4，∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），故答案为：CE，（内错角相等，两直线平行），4，（内错角相等，两直线平行）．2．（1）证明：∵∠1＝∠BDE，∴AC∥DE，∴∠2＝∠ADE，∵∠2+∠3＝180°，∴∠3+∠ADE＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1＝∠BDE，∠1＝40°，∴∠BDE＝40°，∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝BDE＝20°，∴∠2＝∠ADE＝20°，∵∠2+∠3＝180°∴∠3＝160°，∵FE⊥AF，∴∠F＝90°，∴∠B＝360°﹣90°﹣160°﹣40°＝70°，在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣40°﹣70°＝70°．3．（1）证明：∵AB∥CD∴∠B＝∠D又∵AB＝CD，∠BAE＝∠DCF∴△BAE≌△DCF（ASA）∴AE＝CF（2）四边形AECF是菱形，证明如下：由（1）△BAE≌△DCF得：∠AEB＝∠CFD∴∠AEF＝∠CFE∴AE∥CF又∵AE＝CF∴四边形AECF为平行四边形∵AE＝AF∴四边形AECF为菱形．4．解：【问题原型】如图①，过点M作MN∥AB，则∠B＝∠BMN（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，（已知）∴MN∥AB（辅助线的做法）∴MN∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠NMD＝∠D（两直线平行，内错角相等）∴∠B+∠D＝∠BMD，故答案为：∠BMN，两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两直线平行，∠NMD，两直线平行，内错角相等，【问题迁移】过点M作MN∥AB，∴∠1＝∠B，∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴∠NMD＝∠D，∵∠NMD＝∠1+∠BMD，∴∠BMD＝∠D﹣∠B；【推广应用】如图④，由如图①的结论可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96°，∠N＝∠ABN+∠CDN，∵BN，DN分别平分∠ABM，∠CDM，∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48°，∴∠N＝48°；如图⑤，由如图②的结论可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，∵BN，DN分别平分∠ABM，∠CDM，∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝M＝∠N＝25°，∴∠M＝50°；如图⑥，过G，F，E分别作GN∥AB，FH∥AB，EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，∴∠2+∠3＝∠GFE＝64°，∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78°，∵AB∥GN，EP∥CD，∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，∴∠ABG+∠CDE＝78°，∵BM，DM分别平分∠ABG，∠CDE，∴∠ABM＝∠ABG，∠CDM＝∠CDE，由如图①中的结论可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABG+∠CDE）＝78°＝39°，故答案为：48，50，39．5．解：感知：如图①，过点P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD，∴∠C＝∠QPC，∴∠APQ+∠QPC＝∠A+∠C，∠APC＝∠A+∠C．故答案为∠P＝∠A+∠C；探究：证明：如图③，过点P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD∴∠C＝∠CPQ∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ∴∠APC＝∠A﹣∠C．故答案为：∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C．应用：（1）如图⑤，过点D作DH∥EF，∴∠HDE＝∠E，∵AB∥EF，DH∥EF∴AB∥DH，∴∠B+∠BDH＝180°，即∠BDH＝180°﹣∠B，∴∠HDE+∠BDH＝∠E+180°﹣∠B，即∠BDE+∠B﹣∠E＝180°，故答案为∠D+∠B﹣∠E＝180°，（2）如图⑥，过点P作PH∥EF，∴∠EPH＝∠NEP，∵AB∥EF，PH∥EF，∴AB∥PH，∴∠MBP+∠BPH＝180°，∵BD平分∠MBP，∠MBD＝25°，∠MBP＝2∠MBD＝2×25°＝50°，∠BPH＝180°﹣50°＝130°，∵EN平分∠DEP，∴∠NEP＝∠DEN∴∠BPE＝∠BPH﹣∠EPH＝∠BPH﹣∠NEP＝∠BPH﹣∠DEN＝130°﹣（180°﹣∠DEF）＝∠DEF﹣50°由①∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°，∵∠MBD＝25°，∴∠ABD＝155°，∴∠D+∠155°﹣∠DEF＝180°，∴∠DEF＝∠D﹣25°∴∠BPE＝∠DEF﹣50°＝∠D﹣25°﹣50°＝∠D﹣75°∠D﹣∠BPE＝75°即∠D﹣∠P＝75°，故答案75．6．解：（1）由图示可得，∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD+∠BOD＝180°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠DOE，∴∠AOD+∠DOE＝180°，故∠AOD的补角是∠AOC、∠BOD、∠EOD；故答案为：∠AOC、∠EOD、∠DOB．（2）∵直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝28°，∴∠BOD＝∠AOC＝28°．又∵OD平分∠BOE，∴∠BOE＝2∠BOD＝56°．答：∠BOE的度数是56°．7．解：（1）设∠BEC＝x°，根据题意，可列方程：180﹣x＝3（90﹣x），解得x＝45°，故∠BEC＝45°故答案为：45°（2）∵∠CEG＝∠AEG﹣25°∴∠AEG＝180°﹣∠BEC﹣∠CEG＝180°﹣45°﹣（∠AEG﹣25°）＝160°﹣∠AEG ∴∠AEG＝80°（3）∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，设∠AEF＝∠DEF＝α，∠AEG＝∠FEG﹣∠AEF＝m﹣α，∠CEG＝180°﹣∠GEF﹣DEF ＝180﹣m﹣α，∴∠AEG﹣∠CEG＝m﹣α﹣（180﹣m﹣α）＝2m﹣180故答案为：2m﹣1808．解：（1）∵OA∥CB，∴∠OAB+∠ABC＝180°，∵∠C＝∠OAB＝120°，∴∠C+∠ABC＝180°，∴AB∥OC（2）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠EOD，∵∠DOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝∠AOC＝×60°＝30°；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OD是∠AOC的四等分线，∴∠COE＝∠AOC＝×60°＝15°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝45°9．解：（1）∠HDE＝∠HED．理由如下：∵DG∥AC（已知）∴∠A＝∠HDE（两直线平行，同位角相等）∵EF∥BC（已知）∴∠B＝∠HED（两直线平行，同位角相等）又∵∠A＝∠B（已知）∴∠HDE＝∠HED（等量代换）．（2）DG⊥EF．理由如下：∵EF∥BC∴∠AFE＝∠C＝90°∵AC∥DG∴∠DHE＝∠AFE＝90°∴DG⊥EF．故答案为：∠A，∠HDE，两直线平行，同位角相等；∠B，∠HED，两直线平行，同位角相等；∠HDE，∠HED，等量代换．DG⊥EF．10．解：（1）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＝25°，∴∠BOD＝∠AOC＝25°，∠COE＝90°﹣∠AOC＝65°；（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝α，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠BOE＝∠DOF＝90°，∴∠BOF＝90°﹣α，∵OM是∠BOF的角平分线，∴∠BOM＝∠BOF＝45°﹣α，∴∠EOM＝90°﹣∠BOM＝45°+α．。
（完整版）初一数学下册相交线与平行线试题(带答案) （一）培优试卷
一、选择题1．如图，ABC 中∠BAC ＝90°，将周长为12的ABC 沿BC 方向平移2个单位得到DEF ，连接AD ，则下列结论：①AC //DF ，AC ＝DF ；②DE ⊥AC ；③四边形 ABFD 的周长是16；④ABEO CFDO S S =四边形四边形，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，//AB CD ，将一个含30角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若1∠的度数为25︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．65︒C ．145︒D ．155︒3．如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB ∥CD 的条件为（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③ 4．如图所示，若AB ∥EF ，用含α、β、γ的式子表示x ，应为（ ）A ．αβγ++B ．βγα+-C ．180αγβ︒--+D ．180αβγ︒++- 5．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒6．如图，//AB CD ，PF CD ⊥于F ，40AEP ∠=︒，则EPF ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒7．如图，已知直线AB ，CD 被直线AC 所截，AB ∥CD ，E 是平面内CD 上方的一点（点E 不在直线AB ，CD ，AC 上），设∠BAE ＝α，∠DCE ＝β．下列各式：①α＋β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC 的度数可能是（ ）A ．①②③B ．①②④⑤C ．①②③⑤D ．①②③④⑤ 8．如图，从①12∠=∠，②C D ∠=∠，③//DF AC 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截，若12∠=∠，3125∠=︒，则4∠的度数是（ ）A ．65︒B ．60︒C ．55︒D ．75︒ 10．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）A ．50°、130°B ．都是10°C ．50°、130°或10°、10°D ．以上都不对 二、填空题11．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，…，第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．若BEC α∠=，则n E ∠的度数是__________．12．如图，已知AB ∥CD ，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上点P 在AB ，CD 之间且在EF 的左侧．若将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF 的度数为 _____．13．如图，在平面内，两条直线1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．14．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ ∥MN ． 如图所示，灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是每秒2度，灯B 转动的速度是每秒1度． 若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．15．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．16．如图，已知∠A ＝（60﹣x ）°，∠ADC ＝（120+x ）°，∠CDB ＝∠CBD ，BE 平分∠CBF ，若∠DBE ＝59°，则∠DFB ＝___．17．如图，已知//AB CD ，BF 平分ABE ∠，//BF DE ，且40D ∠=︒，则BED ∠的度数为______．18．如图，//AB DE ，AD AB ⊥，AE 平分BAC ∠交BC 于点F ．如果24CAD ∠=︒，则=E ∠__︒．19．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6BC =，将长方形ABCD 沿着BC 方向平移得到长方形A B C D ''''．若ABB A ''是正方形，则四边形ABC D ''的周长是______．20．如图，直线//MN PQ ，MN 与直线AB ,AC 分别交于D ，E ，PQ 与直线AB ，AC 分别交于F ，G ，若75C ∠=︒，26BGF ∠=︒，则AEN ∠=_________度．三、解答题21．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．（1）如图1，若1∠与2∠都是锐角，请写出C ∠与1∠，2∠之间的数量关系并说明理由； （2）把直角三角形ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点D ，CA 与MN 交于点E ，BA 与PQ 交于点F ，点G 在线段CE 上，连接DG ，有BDF GDF ∠=∠，求AEN CDG∠∠的值； （3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分PBD ∠， AM 平分CAD ∠，已知25PBC ∠=︒，求ACB ADB ∠+∠的度数．22．如图，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．（1）如图1，求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H 请在图2中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；23．已知，如图：射线PE 分别与直线AB 、CD 相交于E 、F 两点，PFD ∠的角平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设PFM α∠=︒，EMF β∠=︒且()2350αβα-+-=．（1）α=________，β=________；直线AB 与CD 的位置关系是______；（2）如图，若点G 是射线MA 上任意一点，且MGH PNF ∠=∠，试找出FMN ∠与GHF ∠之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图）分别与AB 、CD 相交于点1M 和点1N 时，作1PM B ∠的角平分线1M Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中1FPN Q∠∠的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．24．如图1，点E 在直线AB 、DC 之间，且180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒．（1）求证：//AB DC ；（2）若点F 是直线BA 上的一点，且BEF BFE ∠=∠，EG 平分DEB ∠交直线AB 于点G ，若20D ∠=︒，求FEG ∠的度数；（3）如图3，点N 是直线AB 、DC 外一点，且满足14CDM CDE ∠=∠，14ABN ABE ∠=∠，ND 与BE 交于点M ．已知()012CDM αα∠=︒<<︒，且//BN DE ，则NMB ∠的度数为______（请直接写出答案，用含α的式子表示）．25．如图，已知直线12//l l ，点A B 、在直线1l 上，点C D 、在直线2l 上，点C 在点D 的右侧，()80,2,ADC ABC n BE ∠=︒∠=︒平分,ABC DE ∠平分ADC ∠，直线BE DE 、交于点E ．（1）若20n =时，则BED ∠=___________；（2）试求出BED ∠的度数（用含n 的代数式表示）；（3）将线段BC 向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出BED ∠的度数．（用含n 的代数式表示）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据平移的性质逐一判定即可．【详解】解：∵将ABC 沿BC 向右平移2个单位得到DEF ，∴AC //DF ，AC ＝DF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，AD ＝BE ＝CF ＝2，∠BAC ＝∠EDF ＝90°， ∴ED ⊥DF ，四边形ABFD 的周长＝AB +BC +CF +DF +AD ＝12+2+2＝16．∵S △ABC ＝S △DEF ，∴S △ABC ﹣S △OEC ＝S △DEF ﹣S △OEC ，∴S 四边形ABEO ＝S 四边形CFDO ，即结论正确的有4个．故选：D．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．2．A解析：A【分析】过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，则EF∥CD，利用平行线的性质，得到∠3+∠4=∠1+∠2=60°，代入计算即可．【详解】如图，过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∵∠3+∠4=60°，∴∠1+∠2=60°，∵∠1=25°，∴∠2=35°，故选A．【点睛】本题考查了平行线的辅助线构造，平行线的判定与性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．3．C解析：C【详解】解：①∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD；②∵∠1=∠2，∴AD∥BC；③∵∠3=∠4，∴AB∥CD；④∵∠B=∠5，∴AB∥CD；∴能得到AB∥CD的条件是①③④．故选C．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行.4．C解析：C【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，∴x=∠BCD+∠DCM=180αγβ︒--+，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．5．B解析：B【分析】AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．【详解】解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°故β-α=40°，而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．6．B解析：B【分析】过点P作MN∥AB，结合垂直的定义和平行线的性质求∠EPF的度数．【详解】解：如图，过点P作MN∥AB，∵∠AEP=40°，∴∠EPN=∠AEP=40°∵AB∥CD,PF⊥CD于F，∴PF⊥MN，∴∠NPF=90∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°故答案为B【点睛】本题考查了平行线的判定定理和性质，作出辅助线构造平行线是解答本题的关键．7．C解析：C【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1＋∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α＋β．（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3＋∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4＋∠AE4C＋∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．综上所述，∠AEC的度数可能是β﹣α，α＋β，α﹣β，360°﹣α﹣β．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．8．D解析：D【分析】分别任选其中两个条件作为已知，然后结合平行线的判定与性质，证明剩余一个条件是否成立即可．【详解】解：如图所示：（1）当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4；当②∠C=∠D，故∠4=∠C，则DF∥AC，可得：∠A=∠F，即①②可证得③；（2）当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4，当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，故可得：∠C=∠D，即①③可证得②；（3）当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，当②∠C=∠D，则∠4=∠D，故DB∥EC，则∠2=∠3，可得：∠1=∠2，即②③可证得①.故正确的有3个．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握并熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．9．C解析：C【分析】首先证明a∥b，推出∠4＝∠5，求出∠5即可．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠5＝180°﹣∠3＝55°，∴∠4＝55°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．C解析：C【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．【详解】解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补．设其中一角为x°，若这两个角相等，则x＝3x﹣20，解得：x＝10，∴这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x＝3x﹣20，解得：x＝50，∴这两个角的度数是50°和130°．∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．二、填空题11．【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，解析：12n α⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=12∠ABE1+12∠DCE1=12∠CE1B=14∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=18∠BEC；…据此得到规律∠E n=n12∠BEC，最后求得度数．【详解】如图1，过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2．∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图2：∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1，∴∠CE 1B =∠ABE 1+∠DCE 1=12∠ABE +12∠DCE =12∠BEC ．∵∠ABE 1和∠DCE 1的平分线交点为E 2，∴∠BE 2C =∠ABE 2+∠DCE 2=12∠ABE 1+12∠DCE 1=12∠CE 1B =14∠BEC ； ∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，∴∠BE 3C =∠ABE 3+∠DCE 3=12∠ABE 2+12∠DCE 2=12∠CE 2B =18∠BEC ； …以此类推，∠E n =n12∠BEC ， ∵BEC α∠=， ∴n E ∠的度数是12n⎛⎫ ⎪⎝⎭α． 故答案为：12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭α． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 12．45°或135°【分析】根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系，然后可得答案．【详解】解：如图1，过作，，，，，，，同理可得，由折叠可解析：45°或135°【分析】根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF 与∠AEM 和∠CFM 的关系，然后可得答案．【详解】解：如图1，过M 作//MN AB ，//AB CD ，////AB CD NM ∴，AEM EMN ∴∠=∠，NMF MFC ∠=∠，90EMF ∠=︒，90AEM CFM ∴∠+∠=︒，同理可得P AEP CFP ∠=∠+∠， 由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 1()452P AEM CFM ∴∠=∠+∠=︒， 如图2，过M 作//MN AB ，//AB CD ，////AB CD NM ∴，180AEM EMN ∴∠+∠=︒，180NMF MFC ∠+∠=︒，360AEM EMF CFM ∴∠+∠+∠=︒，90EMF ∠=︒，36090270AEM CFM ∴∠+∠=︒-︒=︒， 由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 12701352P ∴∠=︒⨯=︒， 综上所述：EPF ∠的度数为45︒或135︒，故答案为：45°或135°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF 的度数．13．4【分析】到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．【详解】解：解析：4【分析】到1l 的距离是2的点，在与1l 平行且与1l 的距离是2的两条直线上；同理，点M 在与2l 的距离是1的点，在与2l 平行，且到2l 的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．【详解】解：到1l 的距离是2的点，在与1l 平行且与1l 的距离是2的两条直线上；到2l 的距离是1的点，在与2l 平行且与2l 的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．14．30或110【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，①当解析：30或110【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，①当0＜t≤90时，如图1所示：∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，∴∠PBD＝∠CAM有题意可知：2t＝30＋t解得：t＝30，②当90＜t＜150时，如图2所示：∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD＋∠CAN＝180°，∴30＋t＋（2t－180）＝180解得：t＝110综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．故答案为：30或110【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．15．80【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.解析：80【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.16．【分析】根据题意可得，设，分别表示出，进而根据平行线的性质可得∠DFB．【详解】∠A＝（60﹣x）°，∠ADC＝（120+x）°，，，，，，BE 平分∠CBF ，，设，∠DB解析：62︒【分析】根据题意可得//AB CD ，设EBF EBC α∠=∠=，分别表示出,ABD DBF ∠∠，进而根据平行线的性质可得∠DFB ．【详解】∠A ＝（60﹣x ）°，∠ADC ＝（120+x ）°，180A ADC ∴∠+∠=︒，//AB CD ∴，CDB ABD ∴∠=∠，CDB CBD ∠=∠，ABD CBD ∴∠=∠，BE 平分∠CBF ，EBF EBC ∴∠=∠，设EBF EBC α∠=∠=，∠DBE ＝59°，∴59DBF α∠=︒-，59ABD DBC α∴∠=∠=︒+，5959118ABF ABD DBF αα∴∠=∠+∠=︒++︒-=︒，//AB CD ，180********DFB ABF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：62︒．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，证明//AB CD 是解题的关键． 17．140°【分析】延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得∠D ＝∠AGD ，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD ＝∠ABF ，然后根据角平分线的定义得∠EBF ＝∠ABF ，再根据平解析：140°【分析】延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得∠D ＝∠AGD ，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD ＝∠ABF ，然后根据角平分线的定义得∠EBF ＝∠ABF ，再根据平行线的性质解答．【详解】解：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，∵//AB CD ，∴∠D ＝∠AGD ＝40°，∵BF //DE ，∴∠AGD ＝∠ABF ＝40°，∵BF 平分∠ABE ，∴∠EBF ＝∠ABF ＝40°，∵BF //DE ，∴∠BED ＝180°﹣∠EBF ＝140°．故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 18．33【分析】根据求出∠C=90°，再求出∠BAD=66°，根据角平分线性质得∠DAE=33°，由三角形的外角性质得∠ADE=114°，最后由三角形内角和定理可得结论．【详解】解：∵，，∴∠解析：33【分析】根据//AB DE 求出∠C=90°，再求出∠BAD=66°，根据角平分线性质得∠DAE=33°，由三角形的外角性质得∠ADE=114°，最后由三角形内角和定理可得结论．【详解】解：∵//AB DE ，AD AB ⊥，∴∠180BAD D ∠+∠=︒，且90BAD ∠=︒∴90D ∠=︒∵∠CAD =24°∴∠BAC =90°-∠CAD =90°-24°=66°，∵AE 是∠BAC 的平分线∴∠EAB =11663322BAC ∠=⨯︒=︒ ∵//AB DE ，∴33E EAB ∠=∠=︒故答案为：33【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．19．28【分析】根据平移的性质求出，再由长方形的周长公式求解即可．【详解】解：由题意可知，四边形是正方形，∴，，又∵长方形由长方形平移得到，∴∵∴四边形的周长为：故答案为：28【点解析：28【分析】根据平移的性质求出10BC '=，再由长方形的周长公式求解即可．【详解】解：由题意可知，四边形ABB A ''是正方形，∴4BB AB '==，642B C BC '==-=，又∵长方形A B C D ''''由长方形ABCD 平移得到，∴6B C BC ''==∵4610BC BB B C ''''=+=+=∴四边形ABC D '的周长为：(104)228+⨯=故答案为：28【点睛】此题主要考查了平移的性质，求出10BC '=是解答此题的关键．20．131【分析】过点C 作CH ∥MN ，根据平行线的性质求出∠NEC 即可．【详解】解：过点C 作CH ∥MN ，∵，∴CH ∥PQ ，∴，∵，∴，∵CH ∥MN ，∴,∴故答案为：131．解析：131【分析】过点C 作CH ∥MN ，根据平行线的性质求出∠NEC 即可．【详解】解：过点C 作CH ∥MN ，∵//MN PQ ，∴CH ∥PQ ，∴26HCB BGF ∠=∠=︒，∵75ACB ∠=︒，∴49ACH ∠=︒，∵CH ∥MN ，∴49CEN ACH ∠=∠=︒,∴131180CEN AEN ∠︒∠==︒-故答案为：131．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当作平行线，根据平行线的性质进行推理计算．三、解答题21．（1）见解析；（2）12；（3）75°【分析】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．【详解】解：（1）∠C=∠1+∠2，证明：过C作l∥MN，如下图所示，∵l∥MN，∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），∵l∥MN，PQ∥MN，∴l∥PQ，∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），∴∠3+∠4=∠1+∠2，∴∠C=∠1+∠2；（2）∵∠BDF=∠GDF，∵∠BDF=∠PDC，∴∠GDF=∠PDC，∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，∴∠CDG+2∠PDC=180°，∴∠PDC=90°-12∠CDG，由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，∴∠AEN=∠CEM，∴190(90)90122CDGAEN CEM PDCCDG CDG CDG CDG︒-︒-∠∠∠︒-∠====∠∠∠∠，（3）设BD交MN于J．∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，∵PQ∥MN，∴∠BJA=∠PBD=50°，∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．22．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C 在AG 上时，290AHB CBG ∠-∠=︒；当点C 在DG 上时，290AHB CBG ∠+∠=︒．【分析】（1）过点G 作//GE MN ，根据平行线的性质即可求解；（2）分两种情况：当点C 在AG 上，当点C 在DG 上，再过点H 作//HF MN 即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点G 作//GE MN ，∴MAG AGE ∠=∠，∵//MN PQ ，∴//GE PQ ．∴PBG BGE ∠=∠．∵BG AD ⊥，∴90AGB ∠=︒，∴90MAG PBG AGE BGE AGB ∠+∠=∠+∠=∠=︒．（2）补全图形如图2、图3，猜想：290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒．证明：过点H 作//HF MN ．∴1AHF ∠=∠．∵//MN PQ ，∴//HF PQ∴2BHF ∠=∠，∴12AHB AHF BHF ∠=∠+∠=∠+∠．∵AH 平分MAG ∠，∴21MAG ∠=∠．如图3，当点C 在AG 上时，∵BH 平分PBC ∠，∴22PBC PBG CBG ∠=∠+∠=∠，∵//MN PQ ，∴MAG GDB ∠=∠，2212290AHB MAG PBG CBGGDB PBG CBG CBG∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠即290AHB CBG ∠-∠=︒．如图2，当点C 在DG 上时，∵BH 平分PBC ∠，∴22PBC PBG CBG ∠=∠-∠=∠．∴2212290AHB MAG PBG CBG CBG ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠．即290AHB CBG ∠+∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．23．（1）35，35，平行；（2）∠FMN +∠GHF =180°，证明见解析；（3）不变，2【分析】（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB ∥CD ； （2）先根据内错角相等证GH ∥PN ，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN +∠GHF =180°；（3）作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证ER ∥FQ ，得∠FQM 1=∠R ，设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，得出∠EPM 1=2∠R ，即可得1FPN Q∠∠=2． 【详解】解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，∴α=β=35，∴∠PFM =∠MFN =35°，∠EMF =35°，∴∠EMF =∠MFN ，∴AB ∥CD ；（2）∠FMN +∠GHF =180°；理由：由（1）得AB ∥CD ，∴∠MNF =∠PME ，∵∠MGH =∠MNF ，∴∠PME =∠MGH ，∴GH ∥PN ，∴∠GHM =∠FMN ，∵∠GHF +∠GHM =180°，∴∠FMN +∠GHF =180°；（3）1FPN Q∠∠的值不变，为2， 理由：如图3中，作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，∵AB ∥CD ，∴∠PEM 1=∠PFN ，∵∠PER =12∠PEM 1，∠PFQ =12∠PFN ，∴∠PER =∠PFQ ，∴ER ∥FQ ，∴∠FQM 1=∠R ，设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，则有：122y x Ry x EPM ⎧⎨⎩=+∠=+∠， 可得∠EPM 1=2∠R ，∴∠EPM 1=2∠FQM 1，∴11EPM FQM ∠∠=1FPN Q∠∠=2． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．24．（1）见解析；（2）10°；（3）18015α︒-【分析】（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出,CDE DEF ∠=∠结合已知条件180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒，得出180,FEB ABE ∠+∠=︒即可证明；（2）过点E 作HE ∥CD ，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠= 由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，由平行线的性质，得出20,DEF D EFB y ∠=∠+∠=︒+再由EG 平分DEB ∠，得出,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+则2DEF DEG GEF x y ∠=∠+∠=+，则可列出关于x 和y 的方程，即可求得x ，即GEF ∠的度数；（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，根据14CDM CDE ∠=∠和CDM α∠=，得出3,MDE α∠=根据CD ∥PN ∥QM ,DE ∥NB ,得出,PND CDM DMQ α∠=∠=∠=3,EDM BNM α∠=∠=即4,BNP α∠=根据NP ∥AB ，得出4,PNB ABN α∠=∠=再由14ABN ABE ∠=∠，得出16,ABM α∠=由AB ∥QM ,得出18016,QMB α∠=︒-因为NMB NMQ QMB ∠=∠+∠，代入α的式子即可求出BMN ∠．【详解】（1）过点E 作EF ∥CD ，如图，∵EF ∥CD ,∴,CDE DEF ∠=∠∴,DEB CDE DEB DEF FEB ∠-∠=∠-∠=∠∵180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒,∴180,FEB ABE ∠+∠=︒∴EF ∥AB ，∴CD ∥AB ；（2）过点E 作HE ∥CD ，如图，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠=由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，∴20,,D DEH HEF EFB y ∠=∠=︒∠=∠=∴20,DEF DEH HEF D EFB y ∠=∠+∠=∠+∠=︒+又∵EG 平分DEB ∠，∴,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+∴2,DEF DEG GEF x y x x y ∠=∠+∠=++=+即220,x y y +=︒+解得：10,x =︒即10GEF ∠=︒；（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，如图，由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，∵NP ∥CD ，CD ∥QM ，,CDM α∠=∴PND CDM DMQ α∠=∠=∠=,又∵14CDM CDE ∠=∠， ∴33,MDE CDM α∠=∠=∵//BN DE ,∴3,MDE BNM α∠=∠=∴34,PNB PND BNM ααα∠=∠+∠=+=又∵PN ∥AB ，∴4,PNB NBA α∠=∠= ∵14ABN ABE ∠=∠, ∴44416,ABM ABN αα∠=∠=⨯=又∵AB ∥QM ，∴180,ABM QMB ∠+∠=︒∴18018016,QMB ABM α∠=︒-∠=︒-∴1801618015NMB NMQ QMB ααα∠=∠+∠=+︒-=-．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．25．（1）60°；（2）n °+40°；（3）n °+40°或n °-40°或220°-n °【分析】（1）过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数； （2）同（1）中方法求解即可；（3）分当点B 在点A 左侧和当点B 在点A 右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E 作EF ∥AB ，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可．【详解】解：（1）当n =20时，∠ABC =40°，过E 作EF ∥AB ，则EF ∥CD ，∴∠BEF =∠ABE ，∠DEF =∠CDE ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∴∠BEF =∠ABE =20°，∠DEF =∠CDE =40°，∴∠BED =∠BEF +∠DEF =60°；（2）同（1）可知：∠BEF=∠ABE=n°，∠DEF=∠CDE=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；（3）当点B在点A左侧时，由（2）可知：∠BED=n°+40°；当点B在点A右侧时，如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=12∠ABC=n°，∠CDG=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=12∠ABC=n°，∠CDG=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°；如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，∴∠ABG=12∠ABC=n°，∠CDE=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；综上所述，∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．。
北师大版数学七年级下册数学第2章《相交线与平行线》培优拔尖习题(含答案)
北师大版七下第2章《相交线与平行线》培优拔尖习题姓名：___________班级：___________学号：___________一．选择题（共8小题）1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°30′，则∠2的度数是（）A．34°B．34°30′C．35°D．35°30′2．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短3．如图所示，用量角器度量一些角的度数，下列结论中错误的是（）A．OA⊥OC B．∠AOD＝135°C．∠AOB＝∠COD D．∠BOC与∠AOD互补4．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（）A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180°5．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°6．如图，若AB∥EF，AB∥CD．则下列各式成立的是（）A．∠2+∠3﹣∠1＝180°B．∠1﹣∠2+∠3＝90°C．∠1+∠2+∠3＝180°D．∠1+∠2﹣∠3＝180°7．如图所示，直线AB，CD，EF，MN，GH相交于点O，则图中对顶角共有（）A．3对B．6对C．12对D．20对8．如图，F A⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（）A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CDB．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CDC．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CDD．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD二．填空题（共8小题）9．如果∠1和∠2互补，∠2比∠1大10°，则∠1＝度，∠2＝度．10．如图，A，O，B三点在同一条直线上，OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC，则图中与∠AOE互余的角有个．11．如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′，AB交B′C′于D．请判定∠B与∠B′的数量关系是．12．如图所示，AB与CD交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD＝25°，则∠AOE＝度，∠DOF＝度．13．如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝α，∠AED＝β，∠CDE＝γ，则α，β，γ之间的关系为．14．如图，已知∠1＝∠2，再添上条件：可使EB∥FD成立．．15．如图，∠1＝68゜，∠2＝68゜，∠3＝112゜，图中互相平行的直线有．16．如图，直线AB⊥l1，l1∥l2，∠1＝75°，则∠2的大小为．三．解答题（共6小题）17．如图，已知两条直线a，b被第三条直线c所截，且∠1+∠2＝180°，问：直线a和直线b是否平行，请说明理由．18．填空（如图）：在上图中：①∠1＝∠2，理由是．②如果a∥b，那么∠1与∠4的关系是，理由是．③如果a∥b，那么∠2与∠4的关系是，理由是．④如果a∥b，那么∠2与∠3的关系是，理由是．19．已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE．（1）在不添加其它条件情况下，请写出图中三对相等的角；（2）如果∠COE＝35°，求∠BOD的度数．20．如图，已知直线a∥b，∠1＝（4x+60）°，∠2＝（6x+30）°，求∠1、∠2的度数．21．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．22．如图，已知AB∥CD．（1）发现问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠F与∠E的等量关系为．（2）探究问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．猜想：∠F与∠E的等量关系，并证明你的结论．（3）归纳问题：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．直接写出∠F与∠E的等量关系．参考答案一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°∵∠1＝55°30′，∴∠2＝90°﹣55°30′＝34°30′，故选：B．2．【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选：A．3．【解答】解：观察图象可知，OC⊥OA，∠AOB＝∠COD，∠OBC与∠AOD互补，故A，C，D正确，故选：B．4．【解答】解：∵∠2＝∠5，∴a∥b，∵∠4＝∠5，∴a∥b，∵∠1+∠5＝180°，∴a∥b，故选：B．5．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF；∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．故选：B．6．【解答】解：∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3＝∠CGE，∴∠3﹣∠1＝∠CGE﹣∠1＝∠BGE，∵AB∥EG，∴∠2+∠BGE＝180°，即∠2+∠3﹣∠1＝180°，故选：A．7．【解答】解：2条直线交于一点，对顶角有2对，2＝2×1；3条直线交于一点，对顶角有6对，6＝3×2；4条直线交于一点，对顶角有12对，12＝4×3；由规律可得，n条不同直线相交于一点，可以得到n（n﹣1）对对顶角，∴直线AB，CD，EF，MN，GH相交于点O，对顶角共有5×4＝20对，故选：D．8．【解答】解：A、正确，同位角∠CAB＝∠NCD，故AB∥CD；B、错误，∠DCN＝∠BAC不是同位角，所以B不对；C、正确，∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，可得同位角∠BAN＝∠DCN，故AB∥CD；D、正确，同位角∠MAB＝∠ACD，故AB∥CD．故选：B．二．填空题（共8小题）9．【解答】解：∠1+∠2＝180°，∠2﹣∠1＝10°，所以∠1＝85°，∠2＝95°．故答案为85、95．10．【解答】解：如图，A，O，B三点在同一条直线上，∵OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC，∴∠DOE＝90°，根据余角的定义，∠AOE+∠BOD＝90°，∠AOE+∠COD＝90°．∴图中与∠AOE互余的角有2个．11．【解答】解：∵BC∥B′C′，∴∠B＝∠ADB′，∵AD∥A′B′，∴∠B′+∠ADB′＝180°．∴∠B+∠B′＝180°．∴∠B与∠B′的数量关系是互补．故填空答案：互补．12．【解答】解：∵OE⊥CD，OF⊥AB，∴∠DOE＝∠BOF＝90°，∵∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB，∠BOD＝25°，∴∠AOE+90°+25°＝180°，解得∠AOE＝65°，∴∠DOF＝∠BOF+∠BOD＝90°+25°＝115°．故填65，115．13．【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD．运用两次平行线的性质，即：两条直线平行，同旁内角互补；两条直线平行，内错角相等．即可证明：α+β﹣γ＝180°．14．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠CDM（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠ABM+∠1＝∠CDM+∠2，即∠EBM＝∠FDM，∴EB∥FD（同位角相等，两直线平行）．15．【解答】解：∵∠1＝68゜，∠2＝68゜，∴a∥b，∵∠2＝68゜，∠3＝112゜，∴∠2+∠3＝180°，∴b∥c，∴a∥b∥c，故答案为：a∥b∥c．16．【解答】解：过点B作BD∥l1，则BD∥l2，∴∠ABD＝∠AOF＝90°，∠1＝∠EBD＝75°，∴∠2＝∠ABD+∠EBD＝165°．故答案为：165°三．解答题（共6小题）17．【解答】解：答：直线a直线b平行．如图：∵∠1＝∠3，且∠1+∠2＝180°，又，∠3+∠2＝180°∴a∥b18．【解答】解：如图，①∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2（对顶角相等）；②∵a∥b，∠1和∠4是同位角，∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等）；③∵a∥b，∠2和∠4是内错角，∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）；④∵a∥b，∠2和∠3是同旁内角，∴∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：①对顶角相等；②∠1＝∠4；两直线平行，同位角相等；③∠2＝∠4；两直线平行，内错角相等；④∠2+∠3＝180°；两直线平行，同旁内角互补．19．【解答】解：（1）相等的角所有：∠COE＝∠AOD，∠AOE＝∠BOD，∠BOE＝∠COD，∠AOB＝∠AOC＝∠DOE（任意三个即可）；（2）∵DO⊥OE，∴∠DOE＝90°，∴∠BOD＝180°﹣∠COE﹣∠DOE，＝180°﹣35°﹣90°，＝55°．20．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠2，（两直线平行，同位角相等）（2′）∴（4x+60）＝（6x+30），即2x＝30，解得：x＝15．（4′）∴∠1＝（4x+60）°＝120°，∠2＝（6x+30）°＝120°．（6′）21．【解答】解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，（2）∠DOE与∠AOB互补，理由如下：∵∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，∠COE＝∠AOC＝×50°＝25°．∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°．∴∠DOE+∠AOB＝60°+70°+70°＝180°，∴∠DOE与∠AOB互补．（3）∠DOE与∠AOB不互补，理由如下：∵∠DOC＝∠BOC＝α，∠COE＝∠AOC＝β，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+β＝（α+β），∴∠DOE+∠AOB＝（α+β）+（α+β）＝（α+β），∴∠DOE与∠AOB不互补．22．【解答】解：（1）∠BED＝2∠BFD．证明：连接FE并延长，∵∠BEG＝∠BFE+∠EBF，∠DEG＝∠DFE+∠EDF，∴∠BED＝∠BFD+∠EBF+∠EDF，∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠ABE+∠CDE＝2（∠EBF+∠EDF），∵∠BED＝∠ABE+∠CDE，∴∠EBF+∠EDF＝∠BED，∴∠BED＝∠BFD+∠BED，∴∠BED＝2∠BFD；（2）过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED＝3∠BFD．（3）由（1）（2）可得∠BED＝n∠BFD．北师大版。
《第5章相交线与平行线》期末复习培优训练(附答案) 2020-2021学年七年级数学人教版下册
2021年人教版七年级数学下册《第5章相交线与平行线》期末复习培优训练（附答案）1．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（）A．先右转45°，再左转45°B．先左转45°，再右转135°C．先左转45°，再左转45°D．先右转45°，再右转135°2．两个角的一组对应边同向平行，另一组对应边反向平行，且这两个角的度数比是5：31，则两个角的度数是（）A．150°30°B．140°40°C．25°155°D．135°45°3．如图所示，将一张长方形纸片ABCD沿着直线EF折叠，A、B两点分别落在A′、B′处，若∠AEA′＝70°，则∠BFE的角度为（）A．40°B．35°C．45°D．30°4．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大D．β随α增大而减小5．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E+∠EAG+∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是（）A．55°B．70°C．80°D．90°7．如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．从C村到D村的公路平行于从A村到B村的公路，则C，D两村与B，C两村公路之间夹角的度数为（）A．100°B．80°C．75°D．50°8．如图所示，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的补角的度数为（）A．55°B．75°C．105°D．125°9．如图，AB∥DC，∠ABD＝30°，∠ADB＝85°，求∠ADC和∠A的角度．10．如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．11．如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°，求∠2、∠3的度数．12．如图，AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝110°，求∠3的度数．13．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝46°，求∠CDE的度数．14．如图，AC∥ED，AB∥FD，∠A＝64°，求∠EDF的度数．15．如图，AC∥DF，AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上．若∠2＝50°，求∠1的大小．16．如图，∠B、∠D的两边分别平行．（1）在图①中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？（2）在图②中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？（3）由（1）（2）可得结论；（4）应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数．17．直线AB∥CD，E、F分别是直线AB、CD上的点．（1）如图1，若G是在直线AB和直线CD内部，在EF的右侧一点，证明：∠G＝∠GEB+∠GFD．（2）如图2，EF⊥AB，射线EI从射线EB位置出发，绕着点E以10度/秒的角速度顺时针旋转．射线FH从射线FD位置出发，绕着点F以15度/秒的角速度逆时针旋转．两条射线同时出发，当射线FH转完一周的时候两射线同时停止．请问在保证射线FH和射线EI有交点G的前提下，过几秒钟时，∠EGF＝50°？18．如图，已知AM∥BN．C为直线BN上一点，且∠MAC＝70°，∠ABC＝80°．点P从A出发，沿AM方向运动，∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D．探究一：①当∠ABP＝20°时，求角ADB的度数；聪明的小华看到这一问题，采用了如下解题方法：如图2，过点D作DE∥AM，于是，他很快就得到了正确答案，即∠ADB＝．探究二：设∠ABP＝α，∠ADB＝β，试探究：①若β不小于α，求α的取值范围；②若点P运动的过程中，是否会出现α与β互补的情况？若会，请求出α与β的值；若不会，请说明理由．19．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．（1）若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为；（2）如图1，∠ACE＝∠；若点E在AC的上方，设∠ACB＝α（90°＜α＜180°），则∠DCE的度数为．（用含α的式子表示）（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合①当BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②当BC∥DA时，直接写出∠ACE的度数是度．（4）在（3）的条件下，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在请直接写出此时∠ACE所有可能的角度数值为度，若不能请说明理由．20．（1）如图1，AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B＝60°，∠D＝30°，则∠BPD ＝°；（2）如图2，AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图2中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图3，若∠BPD＝86°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．参考答案1．解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于方向仍与原来相同，所以平行前进，可以得到∠1＝∠2．故选：A．2．解：如图，BC∥ED，AB∥EF，∠B：∠E＝5：31，∴∠B＝∠1，∠1+∠E＝180°，∴∠B+∠E＝180°，∵∠B：∠E＝5：31，设∠B＝5x，∠E＝31x，∴5x+31x＝180°，解得：x＝5，∴∠B＝25°，∠E＝155°，故选：C．3．解：由平行线的性质得，∠AEA'＝∠1＝70°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠BFB'＝70°，由折叠性质得，∠BFE＝∠EFB'＝∠BFB'＝35°，故选：B．4．解：过C点作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF＝90°，∴∠α+180°﹣∠β＝90°，∴∠β﹣∠α＝90°，∴β随α增大而增大，故选：C．5．解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK＝∠CKG，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠AGK＝∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，∵EF∥CH，∴∠EPQ＝∠CQP，∵∠EPQ＝∠E+∠EAG，∴∠CQG＝∠E+∠EAG，∵AD∥BC，∴∠HCK+∠CQG＝180°，∴∠E+∠EAG+∠HCK＝180°；故③正确；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，∵∠FGA＝∠DGH，∴90°﹣2∠FGA＝16°，∴∠FGA＝∠DGH＝37°，设∠AGM＝α，∠MGK＝β，∴∠AGK＝α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK＝∠AGK＝α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM＝∠CGM，∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，∴37°+α＝β+α+β，∴β＝18.5°，∴∠MGK＝18.5°，故④错误，故选：B．6．解：如图，延长ED交BF于C，∵BA∥DE，∴∠BCD＝∠B＝120°，∠FCD＝60°，又∵∠FDE是△CDF的外角，∴∠1＝∠FDE﹣∠DCF＝150°﹣60°＝90°，故选：D．7．解：由题意可得：AN∥FB，DC∥BE，∴∠NAB＝∠FBE＝75°，∵∠CBF＝25°，∴∠CBE＝100°，则∠DCB＝180°﹣100°＝80°．故选：B．8．解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5，∴a∥b，∴∠3＝∠6＝55°，∴∠4的补角的度数为55°，故选：A．9．解：∵AB∥DC，∠ABD＝30°，∴∠BDC＝∠ABD＝30°，∵∠ADB＝85°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝115°，∠A＝180°﹣（∠ADB+∠ABD）＝65°．10．解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∠CDE＝130°，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．11．解：∵DE∥BC∴∠1＝∠2＝65°∵AB∥DF∴∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣65°＝115°．故答案为∠2＝65°，∠3＝115°．12．解：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠4＝∠1，∠3+∠4＝∠2，∴∠3＝∠2﹣∠1＝110°﹣50°＝60°．13．解：∵DE∥BC，∠AED＝46°，∴∠ACB＝∠AED＝46°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝23°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝23°．14．解：∵AC∥ED，∴∠BED＝∠A＝64°，∵AB∥FD，∴∠EDF＝∠BED＝64°．15．解：∵AC∥DF，∴∠2＝∠F，∵AB∥EF，∴∠1＝∠F，∴∠1＝∠2＝50°16．解：（1）∠B＝∠D．理由：∵AB∥CD，BE∥DF，∴∠B＝∠1，∠1＝∠D，∴∠B＝∠D．（2）∠B+∠D＝180°，理由：∵AB∥CD，BE∥DF，∴∠B＝∠1，∠1+∠D＝180°，∴∠B+∠D＝180°．（3）由（1）（2）可得结论：若两个角的两边两两互相平行，则这两个角相等或互补．故答案为：若两个角的两边两两互相平行，则这两个角相等或互补．（4）设一个角为x°，则另一个角的（2x﹣30）°，若相等：x＝2x﹣30，解得：x＝30，则这两角分别为：30°，30°；若互补，则x+2x﹣30＝180，解得：x＝70，则这两角分别为：70°，110°；答：这两个角的度数分别为：30°，30°或70°，110°．17．解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠BEG＝∠HGE，∠DFG＝∠HGF，∴∠EGF＝∠HGE+∠HGF＝∠BEG+∠DFG；（2）设过t秒钟时，∠EGF＝50°，由题可得∠BEG＝10t°，∠DFG＝15t°，如图2，当点G在EF右侧时，由（1）可得，∠EGF＝∠BEG+∠DFG，即50°＝10t°+15t°，解得t＝2；如图3，当点G在EF的左侧时，过G作PG∥AB，∵AB∥CD，∴GP∥AB∥CD，∴∠AEG＝∠PGE，∠CFG＝∠PGF，∴∠EGF＝∠PGE﹣∠PGF＝∠AEG﹣∠CFG，又∵∠AEG＝180°﹣10t°，∠CFG＝15t°﹣180°，∴50°＝（180°﹣10t°）﹣（15t°﹣180°），解得t＝12.4，综上所述，过2秒或12.4秒时，∠EGF＝50°．18．解：探究一：①如图2，∵AM∥BN，DE∥AM，∴BN∥DE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D，∴＝35°，∠3＝∠PBC＝（80°﹣20°）＝30°，∴∠ADB＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝65°，故答案为：65°；探究二：①如图2，∵AM∥BN，DE∥AM，∴BN∥DE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D，∴＝35°，∠3＝∠PBC＝（80°﹣α）＝40°﹣，∴∠ADB＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝75°﹣＝β，∵β≥α，∴75°﹣≥α，∴0＜α≤50，∴α的取值范围是：0＜α≤50．②不会，理由：∵75°﹣＝β，假设α+β＝180°，则75°﹣+α＝180°，解答α＝210°＞180°，∴不会出现α与β互补的情况．19．解：（1）由互余∠ACE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣40°＝50°，由角的和差得∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝50°+90°＝140°，故答案为：140°；（2）∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB；∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝α﹣90°，∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α，故答案为：DCB，180°﹣α；（3）①当BE∥AC时，∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°；②当BC∥DA时，∵BC∥DA，∴∠BCD＝∠D＝30°，∴∠ACB＝90°+30°＝120°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°．故答案为：①45；②30；（4）①当AD∥CE时，∵AD∥CE，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°；②当BE∥CD时，∴∠ACE＝90°+45°＝135°；③当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥AD∥CF，∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，∴∠DCE＝30°+45°＝75°∴∠ACE＝90°+75°＝165°．故答案为：120或135或165．20．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∠B＝60°，∴∠BOD＝∠B＝60°，∴∠BPD＝∠BOD﹣∠D＝60°﹣30°＝30°．故答案为：30°；（2）∠BPD＝∠B+∠D．如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（3）延长BP交CD于点E，∵∠1＝∠BMD+∠B，∠BPD＝∠1+∠D，∴∠BPD＝∠BMD+∠B+∠D，∵∠BPD＝86°，∠BMD＝40°，∴∠B+∠D＝∠BPD﹣∠BMD＝86°﹣40°＝46°。
人教版七年级下册第5章《相交线与平行线》培优提升训练(二)及答案
人教版七年级下册第5章《相交线与平行线》培优提升训练（二）1．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值．2．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由；（3）若在（1）条件下，将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论；（4）若在（1）条件下，将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．3．已知：AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠AEC＝∠C﹣∠A；（2）如图②，在（1）的条件下，直接写出∠E与∠F的关系．∠E＝（用含有∠F的式子表示）；（3）如图③，BD⊥AB，垂足为B，∠BDC＝110°，∠AEC＝40°，求∠AFC的度数．4．已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．（1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系；（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG﹣∠DFG＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互补，FT平分∠DFG 交HK于点T，延长GE、FT交于点R，若∠ERT＝∠TEB，请你判断FR与HK的位置关系，并证明．（不可以直接用三角形内角和180°）5．完成下面的证明．已知：如图，AB∥DE，求证：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．证明：过点C作CF∥AB．∵CF∥AB（已作），∴∠1＝．∵∠2＝∠BCD﹣∠1，∴∠2＝∠BCD﹣∠B．∵AB∥DE，CF∥AB（已知），∴CF∥DE∴∠D+∠2＝180°∴∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．6．如图已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4 （）．∴BF∥（）．∴∠＝∠3 （）．又∵∠B＝∠C（已知），∴（等量代换）．∴AB∥CD（）．7．已知，直线AB、DF相交于点E，AB∥CD，EG平分∠AEF，CE⊥EG．（1）如图1，若∠AEF＝44°，求∠C的度数．（2）如图2，若AB⊥DF，请直接写出图中与∠C互补的角．8．如图，AB∥CD，E在AB上，且∠AEC＝∠ACE．（1）求证：CE平分∠ACD；（2）点P为CE上一点，点F在CD上，求证：∠PFD﹣∠AEC＝∠CPF；（3）在（2）的条件下，过点F作FG∥AC，交AB于点G，连接PG，若∠A＝2∠PGF，求∠CPG的度数．9．认真阅读题目，完成证明过程．已知：∠B＝∠C，AF∥DE．求证：∠A＝∠D．证明：∵∠B＝∠C，（已知）∴AB∥CD．（）∴∠CFA＝．（）又∵AF∥DE，（已知）∴∠CFA＝．（）∴∠A＝∠D．（等量代换）10．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC．（1）若∠DBC＝35°，则∠A的度数为；（2）若∠DBC＝α，求∠A的度数（用含α的代数式表示）；（3）已知120°＜∠ABC＜180°，若点F在线段AE上，连接BF，当△BFD为直角三角形时，求∠A与∠FBE的数量关系．11．已知AB∥CD，∠APC＝100°．①如图1，求∠BAP+∠DCP的度数；②如图2，∠BAP和∠DCP的平分线AE，CE相交于点E，求∠E的度数；③在图2中，画∠BAE和∠DCE的平分线相交于点F，求∠F的度数（直接写出结果即可）12．填空：如图，M、N、T和P、Q、R分别在同一直线上，且∠1＝∠3，∠P＝∠T．求证：∠M＝∠R．证明：把∠1对顶角记作∠2，∴∠1＝∠2（）∵∠1＝∠3（已知），∠2＝∠3（等量代换），∴∥（），∴∠P＝∠RQT（），∵∠P＝∠T（已知），∴∠ROT＝∠T（），∴∥（），∴∠M＝∠R（）．13．如图（1），直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，EG平分∠AEF，FG平分∠CFE．（1）试判断EG与GF的位置关系；（2）过点G作直线m∥AB（如图（2）），点P为直线m上一点，当∠EPF＝80°时，求∠AEP+∠CFP的度数．14．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，则DE∥BC，下面是王华同学的推导过程，请你帮他在括号内填上推导依据或内容．证明：∵∠1+∠2＝180（已知），∠1＝∠4（），∴∠2+＝180°．∴EH∥AB（）．∴∠B＝∠EHC（）．∵∠3＝∠B（已知）∴∠3＝∠EHC（）．∴DE∥BC（）．15．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连接BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D．悦悦是这样做的：过点E作EF∥AB．则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．参考答案1．解：（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．2．解：（1）如图1，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠D＝∠2，∴∠B+∠D＝∠1+∠2，又∵∠1+∠2＝∠E，∴∠B+∠D＝∠E．（2）如图1，作EF∥AB，∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，∵∠E＝∠1+∠2＝∠B+∠D，∴∠D＝∠2，∴EF∥CD，又∵EF∥AB，∴AB∥CD．（3）如图2，过E作EF∥AB，∵EF∥AB，∴∠BEF+∠B＝180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF＝180°，∵∠BEF+∠DEF＝∠E，∴∠E+∠B+∠D＝180°+180°＝360°．（4）如图3，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∵∠D+∠E＝∠BFD，∴∠D+∠E＝∠B．3．解：（1）∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠C，∵∠E+∠A＝∠EMB，∴∠AEC＝∠C﹣∠A；（2）∵AF平分∠EAB，CF平分∠ECD，∴∠ECD＝2∠FCD，∠EAB＝2∠FAM，∵AB∥CD，∴∠FBM＝∠FCD，∠EGM＝∠ECD，∵∠FBM是△ABF的外角，∴∠F＝∠FBM﹣∠FAB＝∠FCD﹣∠FAB＝∠ECD﹣∠EAB＝∠EGM﹣∠EAB＝（∠EGM﹣∠EAB）＝∠E，∴∠E＝2∠F，故答案为：30°（3）如图3，延长AB，CD交于点H，∵BD⊥AB，∠BDC＝110°，∴∠H＝20°，∵∠ANC＝∠E+∠EAN＝∠H+∠HCE，∴∠HCE＝20°+∠EAN，且AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．∴∠HCF＝10°+∠FAN∵∠FGH＝∠H+∠FCH＝∠AFC+∠FAN，∴∠AFC＝30°．4．解：（1）如图：过点G作GH∥AB，因为AB∥CD，所以GH∥CD，所以∠AEG＝∠EGH，∠CFG＝∠FGH，∴∠EGF═∠AEG+∠CFG∴∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系为∠G＝∠AEG+∠CFG．故答案为：∠G＝∠AEG+∠CFG．（2）如图，过点G作GP∥AB，∴∠BEG+∠EGP＝180°，∠EHG+∠HGP＝180°，∴∠EHG+90°+∠EGP＝180°，∴∠EHG+∠EGP＝90°，∵AB∥CD，∴∠DFG＝∠EHG，∴∠BEG﹣∠DFG＝180°﹣∠EGP﹣∠EHG＝180°﹣（∠EGP+∠EHG）＝180°﹣90°＝90°．（3）FR与HK的位置关系为垂直．理由如下：∵FT平分∠DFG交HK于点T，∴∠GFT＝∠KFT，∴∠EGF＝90°，∴∠GFT+∠ERT＝90°，∴∠KFT+∠ERT＝90°，∵∠ERT＝∠TEB，∴∠KFT+∠TEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠FKT＝∠TEB，∴∠KFT+∠FKT＝90°，∴∠FTK＝90°，∴KT⊥FR，即FR⊥HK．答：FR与HK的位置关系是垂直．5．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB（已作），∴∠1＝∠B，∵∠2＝∠BCD﹣∠1，∴∠2＝∠BCD﹣∠B（等量代换），∵AB∥DE，CF∥AB（已知），∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠D+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠D+∠BCD﹣∠B＝180°（等量代换），故答案为：∠B，（等量代换），（平行于同一条直线的两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），（两直线平行，同旁内角互补），等量代换．6．证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量替换），∴BF∥CE（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠3（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量替换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；等量替换；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．7．解：（1）∵EG平分∠AEF，∠AEF＝44°，∴∠AEG＝∠GEF＝∠AEF＝22°，∵CE⊥EG．∴∠AEC＝90°﹣22°＝68°，又∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEC＝68°，（2）∵AB∥CD，EG平分∠AEF，CE⊥EG．AB⊥DF，∴∠C＝∠CED＝∠CEA＝∠AEG＝∠GEF＝45°∴∠CEB＝∠CEF＝∠GED＝∠GEB＝135°因此与∠C互补的角有：∠CEB，∠CEF，∠GED，∠GEB．8．（1）证明：如图1中，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∵∠AEC＝∠ACE，∴∠ACE＝∠ECD，∴CE平分∠ACD．（2）证明：如图2中，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∵∠PFD＝∠ECD+∠CPF，∴∠PFD﹣∠ECD＝∠CPF，∴∠PFD﹣∠AEC＝∠CPF．（3）解：如图3中，设GF交EC于K．∵GF∥AC，∴∠A＝∠EGK，∠EKG＝∠ACE，∵∠A＝2∠PGF，∠AEC＝∠ACE，∴∠PGE＝∠PGK，∠GEK＝∠GKE，∴GE＝GK，∴GP⊥EK，∴∠CPG＝90°．9．证明：∵∠B＝∠C（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠CFA＝∠A（两直线平行，内错角相等），又∵AF∥DE（已知），∴∠CFA＝∠D（两直线平行，同位角相等），∴∠A＝∠D（等量代换），故答案为：内错角相等，两直线平行；∠A；两直线平行，内错角相等；∠D；两直线平行，同位角相等．10．解：（1）∵BD平分∠EBC，∠DBC＝35°，∴∠EBC＝2∠DBC＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC＝140°，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠A＝40°；（2）∵BD平分∠EBC，∠DBC＝α，∴∠EBC＝2∠DBC＝2α，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝4α，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠A＝180°﹣4α；（3）设∠DBC＝α，由（2）可知：∠A＝180°﹣4α，∠EBC＝2α．①当∠FBD＝90°时，∠FBE+∠EBD＝90°．所以∠FBE＝90°﹣∠EBD＝90°﹣α．所以α＝90°﹣∠FBE．所以∠A＝180°﹣4（90°﹣∠FBE）＝4∠FBE﹣180°；②当∠BFD＝90°时，因为AD∥BC，所以∠FBC＝180°﹣∠BFD＝90°，∠FBE+∠EBC＝90°，所以∠FBE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣2α，所以2α＝90°﹣∠FBE，所以∠A＝180°﹣2（90°﹣∠FBE）＝2∠FBE．综上所述：∠A＝4∠FBE﹣180°或∠A＝2∠FBE．故答案为：40°．11．解：①过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠EPC＝180°，∴∠A+∠APC+∠C＝360°，∴∠APC＝100°，∴∠BAP+∠DCP＝260°；②过E作EF′∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF′∥CD，∴∠1＝∠AEF′，∠2＝∠F′EC，∵∠BAP和∠DCP的平分线AE，CE相交于点E，∴∠1＝∠BAP，∠2＝∠PCD，∴∠AEC＝∠AEF′+∠CEF′＝∠1+∠2＝∠PAB+∠PCD＝130°；③与②同理可得∠F＝∠1+∠2＝（∠1+∠2）＝×130°＝65°．12．证明：把∠1对顶角记作∠2，∴∠1＝∠2（对顶角相等），∵∠1＝∠3（已知），∠2＝∠3（等量代换），∴PN∥QT（同位角相等，两直线平行），∴∠P＝∠RQT（两直线平行，同位角相等），∵∠P＝∠T（已知），∴∠ROT＝∠T（等量代换），∴PR∥MT（内错角相等，两直线平行），∴∠M＝∠R（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；PN；QT；两直线平行，同位角相等；等量代换；PR；MT；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．13．解：（1）EG⊥GF，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵EG平分∠AEF，FG平分∠CFE，∴∠AEF＝2∠GEF，∠CFE＝2∠GFE，∴∠EGF+∠GFE＝90°，∴EG⊥GF；（2）分为两种情况：①如图（1），∵PG∥AB，AB∥CD，∴∠AEP＝∠EPG，∠CFP＝∠FPG，∵∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝80°，∴∠AEP+∠CFF＝80°；②如图（2），∵PG∥AB，AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠AEP+∠EPG＝180°，∠CFP+∠FPG＝180°，∵∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝80°，∴∠AEP+∠CFP＝180°+180°﹣80°＝280°．14．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1＝∠4 （对顶角相等），∴∠2+∠4＝180°．∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠B＝∠EHC（两直线平行，同位角相等）．∵∠3＝∠B（已知）∴∠3＝∠EHC（等量代换）．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；∠4；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．15．（2）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；证明：由结论（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，∵BE∥CF，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，∴∠BEG+∠GFD＝90°，∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∴∠EGF＝90°；（3）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，∵AB∥CD，∴G1H∥CD，由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，∵FG2平分∠EFD，∴∠4＝∠G2FD，∵∠1＝∠2，∴∠G2＝∠2+∠4，∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴∠EG1F+∠G2＝180°．。
七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典习题(课后培优)
一、选择题1．下列命题中是真命题的有（）①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据补角和邻补角的定义可判断①，根据平行公理可判断②，根据平行线的性质和判定可判断③，根据平移的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，故命题①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②是假命题；两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，故命题③是真命题；图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故命题④是真命题．综上，真命题有2个．故选：B．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的判定和性质以及平移的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．下列语句是命题的是（）A．平分一条线段B．直角都相等C．在直线AB上取一点D．你喜欢数学吗？B解析：B【分析】根据命题的定义分别进行判断．【详解】A.平分一条线段，为描述性语言，不是命题；B.直角都相等，是命题；C.在直线AB上取一点，为描述性语言，不是命题；D.你喜欢数学吗？是疑问句，不是命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．3．下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A解析：A【分析】根据平行线的性质、八个基本事实、平行线的判定等知识分别判断即可．【详解】解：同位角不一定相等，①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行，④是真命题，故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、八个基本事实，熟记八个基本事实，会判断命题的真假是解答的关键．4．如图，直线a ，b 被直线c 所截，则1∠与2∠是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．对顶角A 解析：A【分析】 根据同位角的定义求解．【详解】解：直线a ，b 被直线c 所截，∠1与∠2是同位角．故选：A ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．5．如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是（ ）A ．βαγ∠=∠+∠B ．180αβγ∠+∠+∠=︒C ．90αβγ∠+∠-∠=︒D ．90βγα∠+∠-∠=︒C解析：C【分析】分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【详解】如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，∵AB//EF ，∴AB//CM //DN //EF ，∴αBCM ∠∠=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，∴αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠+=++=++， 又∵BC CD ⊥，∴BCD 90∠=，∴αβ90γ∠∠∠+=+，即αβγ90∠∠∠+-=，故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．6．如图，下列条件：13241804523623∠=∠∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠+∠①，②，③，④，⑤中能判断直线12l l 的有( )A．5个B．4个C．3个D．2个B 解析：B【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．故选B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．7．（2017•十堰）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（）A．40°B．50°C．60°D．70°B 解析：B【解析】试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，∴∠B=∠CDE=40°，又∵FG⊥BC，∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，故选B．考点：平行线的性质8．如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=55°，则∠2等于（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．125°C解析：C【解析】 试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.考点：平行线的性质9．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒B解析：B【分析】 直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，∴50FED ∠=︒，∵AB CD ∕∕，∴50A FED ∠=∠=︒．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键． 10．如图，将△ABE 向右平移50px 得到△DCF ，如果△ABE 的周长是400px（1px=0.04cm ），那么四边形ABFD 的周长是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．21cm C解析：C【分析】根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．注意：1px = 0.04cm ．【详解】∵1px = 0.04cm，∴50px=2cm，400px=16cm，∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴DF=AE，∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF．∵平移距离为2cm，∴AD=EF=2cm，∵△ABE的周长是16cm，∴四边形ABFD的周长=16+2+2=20cm．故选：C．【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．二、填空题11．高兴同学在学习了全等三角形的相关知识后发现：只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB且与射线OA交于点M，另一把直尺压住射线OA且与第一把直尺交于点P，则OP平分∠AOB．若∠BOP＝32°，则∠AMP＝_____°．64【分析】由长方形直尺可得MP//OB再根据作图过程可知OP平分∠AOB进而可得∠AMP的度数【详解】解：∵OP平分∠AOB∴∠MOB＝2∠BOP＝64°由长方形直尺可知：MP//OB∴∠AMP＝解析：64【分析】由长方形直尺可得MP//OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【详解】解：∵OP 平分∠AOB ，∴∠MOB ＝2∠BOP ＝64°，由长方形直尺可知：MP //OB ，∴∠AMP ＝∠MOB ＝64°，故答案为：64．【点睛】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法．12．已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．或【分析】分两种情况：①如图1作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B=∠BEF ∠A=∠AEF 根据∠A+∠B=求出∠A=；②如图2作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B+∠BEF=∠A 解析：39︒或99︒．【分析】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B=∠BEF ，∠A=∠AEF ，根据∠A+∠B=90︒，227A B ∠-∠=︒，求出∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B+∠BEF=180︒，∠A+∠AEF=180︒，根据∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，227A B ∠-∠=︒，计算得出答案．【详解】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，∴∠B=∠BEF ，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A=∠AEF ，∴∠A+∠B=∠AEF+∠BEF=90︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，∴∠B+∠BEF=180︒，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A+∠AEF=180︒，∴∠A+∠AEB+∠B=360︒，∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，∴∠A+∠B=270︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=99︒；故答案为：39︒或99︒．．【点睛】此题考查平行线的性质，平行公理的推论，根据题意作出图形，引出恰当的辅助线解决问题是解题的关键．13．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C '''，连接A C '，则A B C ''的周长为________．12【分析】根据平移的性质得则可计算则可判断为等边三角形继而可求得的周长【详解】平移两个单位得到的又是等边三角形的周长为故答案为：12【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动会解析：12【分析】根据平移的性质得2BB '=，4A B AB ''==，=60A B C B ∠''∠=︒，则可计算624B C BC BB '=-'=-=，则4A B B C ''='=，可判断A B C ''△为等边三角形，继而可求得A B C ''△的周长．【详解】 ABC 平移两个单位得到的A B C '''，2BB ∴'=，AB A B =''，4AB =，6BC =，4A B AB ∴''==，624B C BC BB '=-'=-=，4A B B C ∴''='=，又60B ∠=︒，60A B C ∴∠''=︒，A B C ∴''是等边三角形，A B C ∴''的周长为4312⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．14．如图，//,//,62AC ED AB FD A ∠=︒，则EDF ∠度数为___________．62°【分析】首先根据两直线平行同位角相等求出∠DEB 的度数再根据两直线平行内错角相等求出∠EDF 的度数【详解】解：∵AC//DE ∠A=62°∴∠DEB=∠A=62°（两直线平行同位角相等）∵DF/解析：62°【分析】首先根据两直线平行，同位角相等求出∠DEB 的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EDF 的度数．【详解】解：∵AC//DE ，∠A=62°，∴∠DEB=∠A=62°（两直线平行，同位角相等），∵DF//AB ，∴∠EDF=∠DEB=62°（两直线平行，内错角相等）．故答案为：62°．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟记平行线的性质．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． 15．“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是________________．（填真命题或假命题）真命题【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题根据等腰三角形的定义判断即可【详解】等腰三角形的两条边相等的逆命题是：两条边相等的三角形是等腰三角形；它是真命题故答案为：真命题【点睛】本题考 解析：真命题【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，根据等腰三角形的定义判断即可．【详解】“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是：两条边相等的三角形是等腰三角形；它是真命题，故答案为：真命题．【点睛】本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 16．如图，请你添加一个条件．．．．使得AD ∥BC ，所添的条件是__________．∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B时根据同位角相等两直线平行可得AD//BC；当∠DAC＝∠C时根据内错角相等两直线平行可得AD//BC；当∠DAB+∠B=180°时根据同旁内角解析：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC，故答案是：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.17．如图,点A、B为定点,直线l∥AB,P是直线l上一动点，对于下列各值:①线段AB的长；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的度数，其中不会随点P的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.①③【分析】求出AB长为定值P到AB的距离为定值再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化∠APB的大小不断发生变化【详解】解：∵AB为定点∴AB长为定值∴①正确；∵点A解析：①③【分析】求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．【详解】解：∵A、B为定点，∴AB长为定值，∴①正确；∵点A，B为定点，直线l∥AB，∴P到AB的距离为定值，故△APB的面积不变，∴③正确；当P点移动时，PA+PB的长发生变化，∴△PAB的周长发生变化，∴②错误；当P点移动时，∠APB发生变化，∴④错误；故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．18．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．如果两个角相等那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论部分写在那么的后面即可【详解】解：命题等角的余角相等写成如果…那么…的形式为：如果两个角是相等角的余角那么这两个角相解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．19．如图，AD∥BC，∠D=100°，CA平分∠BCD，则∠DAC=________度．40°【分析】本题主要利用两直线平行同旁内角互补两直线平行内错角相等以及角平分线的定义进行做题【详解】∵AD∥BC∴∠BCD=180°-∠D=80°又∵CA平分∠BCD∴∠ACB=∠BCD=40°∴解析：40°【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．【详解】∵AD∥BC，∴∠BCD=180°-∠D=80°，又∵CA平分∠BCD，∠BCD=40°，∴∠ACB=12∴∠DAC=∠ACB=40°．【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．20．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为8，则阴影部分的面积是_______________．64【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得出两个三角形大小一样阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB根据线段的和差关系可求出HE的长度再根据梯形的面积公式即可得答案【详解】解析：64【分析】根据平移变化只改变图形的位置，不改变图形的形状，可得出两个三角形大小一样，阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB，根据线段的和差关系可求出HE的长度，再根据梯形的面积公式即可得答案．【详解】∵两个三角形大小一样，∴S△ABC=S△DEF，∴S△ABC-S△HEC=S△DEF-S△HEC，∴S阴影=S梯形ABEH，∵其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，∴DE=AB=10，∵DH=4，∴HE=DE-DH=6，∵平移距离是8，∴BE=8，∴S阴影=S梯形ABEH=12（HE+AB）·BE=12×（10+6）×8=64，故答案为：64【点睛】本题主要考查了平移的性质，通过观察图形把阴影部分的面积转化为熟知图形的面积是关键的一步．三、解答题21．利用网格画图，每个小正方形边长均为1（1）过点C 画AB 的平行线CD ；（2）仅用直尺,过点C 画AB 的垂线，垂足为E ；（3）连接CA 、CB ，在线段CA 、CB 、CE 中，线段______最短，理由___________． （4）直接写出△ABC 的面积为 _________．解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）CE ，垂线段最短；（4）8．【分析】(1)取点D 作直线CD 即可;(2)取点F 作直线CF 交AB 与E 即可;(3)根据垂线段最短即可解决问题;(4)用割补法，大长方形的面积减去三个小三角形的面积即可;【详解】 解：（1）直线CD 即为所求；（2）直线CE 即为所求；（3）在线段CA 、CB 、CE 中，线段CE 最短，理由：垂线段最短；故答案为CE ，垂线段最短；（4） S △ABC =18﹣12×1×5﹣12×1×3﹣12×2×6=8， ∴△ABC 的面积为8.【点睛】本题主要考查垂线、平行线及其做图，注意作图的准确性.22．如图，已知AC BC ⊥，CD AB ⊥，DE AC ⊥，1∠与2∠互补，判断HF 与AB 是否垂直，并说明理由（填空）．解：垂直，理由如下：∵DE AC ⊥，AC BC ⊥，∴90AED ACB ==︒∠∠（垂直的意义）∴//DE BC （_____）∴1DCB ∠=∠（_____）∵1∠与2∠互补（已知）∴DCB ∠与2∠互补∴_________//________（_____）∴BFH CDB ∠=∠（_____）∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴90HFB ︒∠=∴HF AB ⊥．解析：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CD ；FH ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【分析】根据平行线的性质及平行线的判定解答．【详解】解：垂直，理由如下：∵DE AC ⊥，AC BC ⊥，∴90AED ACB ==︒∠∠（垂直的意义）∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）∴1DCB ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵1∠与2∠互补（已知）∴DCB ∠与2∠互补∴CD //FH （同旁内角互补，两直线平行）∴BFH CDB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴90HFB ︒∠=∴HF AB ⊥．故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CD ；FH ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点睛】此题考查平行线的判定及性质定理，熟记定理并熟练应用解决问题是解题的关键． 23．如图，已知：∠DGA=∠FHC ，∠A=∠F ．求证：DF ∥AC ．（注：证明时要求写出每一步的依据）解析：见解析．【分析】先根据∠DGA=∠EGC 证出AE ∥BF ，再根据平行证明出∠F=∠FBC 即可求证出结论．【详解】证明：∵∠DGA=∠EGC(对顶角相等)又∵∠DGA=∠FHC （已知）∴∠EGC=∠FHC （等量代换）∴AE ∥BF (同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠FBC (两直线平行，同位角相等)又∵∠A=∠F （已知）∴∠F=∠FBC (等量代换)∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)．【点睛】此题考查平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．24．如图，有三个论断：①12∠=∠；②B C ∠=∠；③A D ∠=∠，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．解析：答案见解析【分析】先从①②③中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，然后根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明即可．【详解】已知：12∠=∠，B C ∠=∠求证：A D ∠=∠证明：如图：13∠=∠ 又12∠=∠32∴∠=∠//EC BF ∴AEC B ∴∠=∠又B C ∠=∠AEC C ∴∠=∠//AB CD ∴A D ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质以及命题与定理的证明问题，证明的一般步骤包括写出已知、求证、画出图形和证明．25．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在BC 上，EF ⊥AB ，垂足为F ． （1）CD 与EF 平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，∠A=30°，求∠B 的度数．解析：（1）CD与EF平行．理由见解析；（2）∠B=35°【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠CDB=∠EFB=90°，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EF∥CD；（2）由EF∥CD，根据平行线的性质得∠2=∠BCD，而∠1=∠2，所以∠1=∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得到DG∥BC，所以∠ACB=∠3=115°，根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】（1）CD与EF平行．理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDB=∠EFB=90°，∴EF∥CD；（2）∵EF∥CD，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=115°，∵∠A=30°，∴∠B=35°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．26．平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′．解析：见解析【分析】先分别确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′，然后再顺次连接即可．【详解】解：如图：连接AA′，在AA′在一条直线上CC′＝AA′，得到C′；再作BB′∥AA′且BB′=AA′，最后顺次连接得到△A′B′C′即为所求三角形．【点睛】本题主要考查了平移作图，根据题意确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′是解答本题的关键．27．如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．解析：（1）证明见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2，证明见详解；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，即可得出∠1、∠2、∠3的数量关系．【详解】解：（1）如图（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；证明：如图2，过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．证明：如图（3），过P作PQ∥l1∥l2；∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．证明：如图（4），过P作PQ∥l1∥l2；∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2．【点睛】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键． 28．如图1所示的是北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，并顺次首尾连接，若AF 恰好经过点G ，且//AF DE ，105D E ∠=∠=︒．（1）求F ∠的度数．（2）连接AD ，当ADE ∠与CGF ∠满足怎样的数量关系时，//BC AD ，并说明理由．解析：（1）75°；（2）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC ∥AD ．【分析】（1）根据平行线的性质解答即可；（2）根据平行线的判定和性质解答即可．【详解】解：（1）∵AF ∥DE ，∴∠F+∠E=180°，∵105E ∠=︒∴∠F=180°-105°=75°；（2）如图，当∠ADE+∠CGF=180°时，BC ∥AD ，∵AF∥DE，∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，∴∠GAD=∠CGF，∴BC∥AD．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．。
人教版七年级数学下册培优好卷：第5章《相交线与平行线》 含答案
2021年人教版七年级数学下册培优好卷：第5章《相交线与平行线》一．选择题1．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线（）A．互相垂直B．互相平行C．相交或平行D．不相等2．下列命题中，是真命题的有（）①同位角相等；①对顶角相等；①同一平面内，如果直线l1①l2，直线l2①l3，那么l1①l3；①同一平面内，如果直线l1①l2，直线l2①l3，那么l1①l3．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，直线AB①DE，AB与DF相交于点C，CE①DF，①FCB＝33°，则①E的度数是（）A．33°B．47°C．53°D．57°4．如图，①1＝①2，AC平分①DAB，且①D：①DAB＝2：1，则①D的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°5．如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm6．如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，若①2＝132°，则①1的度数为（）A．48°B．84°C．24°D．96°7．如图，AB①DE，那么①BCD＝（）A．180°+①1﹣①2B．①1+①2C．①2﹣①1D．180°+①2﹣2①18．如图，①BCD＝90°，AB①DE，若①a＝40°，则①β的大小为（）A．40°B．50C．130°D．140°二．填空题9．“等角的补角相等”的条件是，结论是．10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO①AB，垂足为点O，若①AOD＝132°，则①EOC ＝°．11．如图，①1和①3是直线和被直线所截而成的角；图中与①2是同旁内角的角有个．12．如图，若①1＝①3，①2＝60°，则①4的大小为度．13．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①①1＝①2；①①3＝①4：①①A＝①DCE；①①D+①ABD＝180°．其中能判断AB①CD的有．（填写所有满足条件的序号）14．如图，a①b，①2＝95°，①3＝150°，则①1的度数是．15．直线AB与射线OC相交于点O，OC①OD于O，若①AOC＝60°，则①BOD＝度．三．解答题16．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有一个①ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）将①ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到①A1B1C1．请在方格纸中画出①A1B1C1；（2）求出①A1B1C1的面积．17．如图所示，①B＝25°，①D＝42°，①BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．18．完成下面的证明：如图，BE平分①ABD，DE平分①BDC，且①α+①β＝90°，求证：AB①CD．证明：①BE平分①ABD（）①①ABD＝2①α （）①DE平分①BDC（已知）①①BDC＝（）①①ABD+①BDC＝2①α+2①β＝2（①α+①β）（）①①α+①β＝90°（已知）①①ABD+①BDC＝180°（）①AB①CD（）19．如图，已知AD①EF，①2＝50°．（1）求①3的度数；（2）若①1＝①2，问：DG①BA吗？请说明理由；（3）若①1＝①2，且①DAG＝20°，求①AGD的度数．20．如图，直线CB①OA，①C＝①OAB＝100°，E、F在CB上，且满足①FOB＝①AOB，OE 平分①COF（1）求①EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么①OBC：①OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使①OEC＝①OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题1．解：如图，①①APE＝①CQE，①AB①CD，①①BPQ+①DQP＝180°，①PM平分①BPQ，QN平分①DQP，①①BPQ＝2①MPQ，①DQP＝2①NQP，①①MPQ+①NQP＝90°，①①POQ＝90°，即PM①QN，故选：A．2．解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；①对顶角相等，是真命题；①同一平面内，如果直线l1①l2，直线l2①l3，那么l1①l3；是真命题；①同一平面内，如果直线l1①l2，直线l2①l3，那么l1①l3．是真命题；故选：D．3．解：①AB①DE，①FCB＝33°，①①D＝①FCB＝33°，又①CE①DF，①①DCE＝90°，①①D+①E＝90°，则①E＝90°﹣①D＝57°，故选：D．4．解：①AC平分①DAB，①①1＝①CAB，①①1＝①2，①①CAB＝①2，①DC①AB，①①D+①DAB＝180°，又①①D：①DAB＝2：1，①①D＝180°×＝120°，故选：A．5．解：①①ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，①四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．故选：A．6．解：①一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，①①1＝180°﹣2（180°﹣132°）＝84°．故选：B．7．解：过点C作CF①AB，如图：①AB①DE，①AB①DE①CF，①①BCF＝①1①，①2+①DCF＝180°①，①①+①得，①BCF+①DCF+①2＝①1+180°，即①BCD＝180°+①1﹣①2．故选：A．8．解：过C作CF①AB，①AB①DE，①AB①CF①DE，①①1＝①α＝40°，①2＝180°﹣①β，①①BCD＝90°，①①1+①2＝40°+180°﹣①β＝90°，①①β＝130°．故选：C．二．填空题9．解：等角的补角相等的条件是如果两个角都是某一个角的补角，结论是这两个角相等．故答案为两个角都是某一个角的补角，这两个角相等．10．解：①①AOD＝132°，①①COB＝132°，①EO①AB，①①EOB＝90°，①①COE＝132°﹣90°＝42°，故答案为：42．11．解：①1和①3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与①2 是同旁内角的角有①6、①5、①7，共3个，故答案为：AB、AC、DE、内错，3．12．解：①①1＝①3，①AB①CD，①①2＝①5，①①2＝60°，①①5＝60°，①①4＝180°﹣①5＝120°，故答案为：120．13．解：①①①1＝①2，①AB①BC，根据内错角相等，两直线平行即可证得AB①BC；①①3＝①4，根据内错角相等，两直线平行即可证得BD①AC，不能证AB①CD；①①A＝①DCE，根据同位角相等，两直线平行即可证得AB①CD；①①D+①ABD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB①CD．故答案为：①①①．14．解：过点C作CD①a，①a①b，①CD①a①b，①①1+①ECD＝180°，①3+①DCF＝180°，①①2＝95°，①3＝150°，①①1+①2+①3＝360°，①①1＝360°﹣①2﹣①3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，故答案为：115°．15．解：根据题意画图如下，情况一：如图1，①OC①OD，①AOC＝60°，①①AOD＝①COD﹣①AOC＝90﹣60°＝30°，①①COD＝180°﹣①AOD＝180°﹣30°＝150°；情况二：如图2，①OC①OD，①AOC＝60°，①①AOD＝①COD+①AOC＝90°+60°＝150°，①①COD＝180°﹣①AOD＝180°﹣150°＝30°，故答案为：150或30．三．解答题16．解：（1）如图，①A1B1C1即为所求．（2）＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝8﹣1﹣2﹣2＝3．17．解：AB①ED，理由：如图，过C作CF①AB，①①B＝25°，①①BCF＝①B＝25°，①①DCF＝①BCD﹣①BCF＝42°，又①①D＝42°，①①DCF＝①D，①CF①ED，①AB①ED．18．证明：BE平分①ABD（已知），①①ABD＝2①α（角平分线的定义）．①DE平分①BDC（已知），①①BDC＝2①β （角平分线的定义）①①ABD+①BDC＝2①α+2①β＝2（①α+①β）（等量代换）①①α+①β＝90°（已知），①①ABD+①BDC＝180°（等量代换）．①AB①CD（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：已知，角平分线的定义，2①β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．19．解：（1）①AD①EF，①①3＝①2＝50°；（2）DG①BA，理由如下：①①1＝①2，①3＝①2，①①3＝①1，①DG①BA；（3）①①1＝①2＝50°，①3＝①2，①①3＝①1＝50°，①DG①BA，①①AGD＝①CAB，①①CAB＝①DAG+①3＝20°+50°＝70°，①①AGD＝①CAB＝70°．20．解：（1）①CB①OA，①①AOC＝180°﹣①C＝180°﹣100°＝80°，①OE平分①COF，①①COE＝①EOF，①①FOB＝①AOB，①①EOB＝①EOF+①FOB＝①AOC＝×80°＝40°；（2）①CB①OA，①①AOB＝①OBC，①①FOB＝①AOB，①①FOB＝①OBC，①①OFC＝①FOB+①OBC＝2①OBC，①①OBC：①OFC＝1：2，是定值；（3）在①COE和①AOB中，①①OEC＝①OBA，①C＝①OAB，①①COE＝①AOB，①OB、OE、OF是①AOC的四等分线，①①COE＝①AOC＝×80°＝20°，①①OEC＝180°﹣①C﹣①COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使①OEC＝①OBA，此时①OEC＝①OBA＝60°．。
(完整版)七年级数学：相交线与平行线-培优复习(附详细答案)
我的个性化教材No.Tinw f Y DUWIM S PEC IALIZATION Date Name七年级数学：相交线与平行线培优复习例题精讲例1.如图⑴，直线a 与b 平行，/ 1 = （3x+70）° , / 2=（5x+22）°求/ 3的度数。
解：•••a// b,/ 3 =Z 4 （两直线平行，内错角相等）•/ / 1 + / 3=7 2+ / 4= 180° （平角的定义）•••7 1 = 7 2 （等式性质）则3x+70 = 5x+22 解得x=24即7 1= 142°•7 3 = 180 °- 7 1 = 38°评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组）a图⑴，是几何计算常用的方法。
例2.已知：如图（2）, AB // EF // CD , EG 平分7 BEF , 7 B+ 7 BED+ 7 D =1927 B- 7 D=24。
，求7 GEF 的度数。
解：••• AB // EF / CD•7 B= 7 BEF , 7 DEF= 7 D （两直线平行，内错角相等）•••7 B+ 7 BED+ 7 D =192。
（已知）即7 B+ 7 BEF+ 7 DEF+ 7 D=192 °•2（7 B+ 7 D）=192° （等量代换）则7 B+ 7 D=96 ° （等式性质）•7B- 7 D=24 ° （已知）•7B=60 ° （等式性质）即7 BEF=60 ° （等量代换）•/ EG平分7 BEF （已知）1•7GEF= 2 7 BEF=30 ° （角平分线定义）例3.如图（3）,已知AB // CD，且7 B=40 ° ,7 D=70 °，求7 DEB 的度数。
解：过E作EF // AB•/ AB // CD （已知）•EF // CD （平行公理）•7 BEF= 7 B=40 °7 DEF= 7 D=70 ° （两直线平行，内错角相等）7 DEB= 7 DEF- 7 BEF7 DEB = 7 D- 7 B=30 °F 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。
七年级数学.培优 专题24 相交线与平行线_答案
专题24 相交线与平行线例1 （1）40° 过点 C 作CF ∥AB ，则∠BCF ＝∠ABC ＝80°．∠DCF ＝180°—140°＝40°，∴∠BCD ＝80°－40°=40°.（2）90° 过点E 作EM ∥AB ，∴AB ∥CD ，∴EM ∥CD ，∠AEM =180°−25°=155°. ∠CEM =180°−115°=65°，∴∠E =∠AEM −∠CEM =155°−65°=90°.例2 D 提示：原图可分解为8个基本图形.例3 提示：由DF ∥CE 得，∠BDF =∠BCE ，∠FDE =∠DEC ，AC ∥DE ，得∠DEC =∠ECA . 例4 过E 作EM ∥AB .∴AB ∥于CD ，∴EM ∥CD .∴∠AEC =∠AEM +∠CEM =∠EAB +∠ECD .同理：∠AFC =∠FAB +∠FCD .∴∠AEC =∠FAB +∠FCD +∠EAF +∠ECF =∠AFC +14∠EAB +14+∠ECD =∠AFC +14∠AEC .故∠AFC =34∠AEC .例5 提示：先证BD ∥CE ，再证DF ∥BC .例6 （1）直线a ，b ，c ，d 共有1个交点，理由如下：设直线a ，b ，c 的交点为P ，直线b ，c ，d 的交点为Q .这意味着点P 和点Q都是直线b 和c 的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因此P 和Q 必为同一个点.即4条直线a ，b ，c 和d 相交于同一个点.因此这4条直线只有一个交点.(2)不妨设（1）中交点为O .因为作的第5条直线e 与（1）中的直线d 平行，所以直线e 和直线d 没有公共点，因此这些e 不过点O .而直线a ，b ，c 与直线e 必然都相交. 如图所示.设直线e 与直线a ，b ，c 分别相交于点A ，B ，C .这时有A ，B ，C ，O 共四个不同的点.可以连出OA ，OB ，OC ，AB ，AC ，BC 共6条不同的线段.A 级1.a 1∥a 102.20°3.①②③④4.90°5.D6.B7.C8.D 提示：m =5，n =6，m +n =5+6=11.9.60° 10.提示：过点E 作EF ∥AB . 11如图所示.12.作CK ∥FG ，延长GF ，CD 交于H 点，则∠1+∠2=∠ABC ，故∠ABC +∠BCK =180°，即CK ∥AB ，AB ∥GF .B 级1.120°2.72°3.50°4.30°5.C 提示：∠2=50°+d ，∠3=50°+2d ，∠4=50°+3d ，又∵∠3=50°+2d <90°，∴d <20°，∠4=50°+3d <110°.故∠4的最大整数值为109°.6.B7.D8.B 提示：由题意知每一个交点由a 上两点和b 上两点所确定.在a 上取两点有12×10×9=45种情况，在b 上取两点有12×9×8=36种情况，故交点个数为45×36=1620个.9.提示：过点O 作CD 的平行线.10.如图，设N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB .又MF ∥AD ，∴∠FMN =∠BAD =∠DAC =∠MFN .∴FN =MN =12AB .因此FC =FN +NC =12AB +12AC =12（AB +AC ）=12（7+11）=9. 11.提示：在平面上任取一点O ，将已知的七条直线平移过点O ，它们把以O 为圆心的圆周角分成14个彼此相邻的角a 1,a 2,……，a 14其中的每一个都和原来某两条直线交角中的一个相等，假设a i (i =1,2,……,14)都大于180°7，则a 1+a 2+……+a 14>14×180°7=360°，与a 1+a 2+……+a 14=360°矛盾，由此可推出结论.12.(1)180° 360° 540° 720° 证明略.（2）（n -1）180°（3）过F作FG∥AB，则AB∥FG∥CD.则∠BFD=1（∠ABE+∠CDE），又∠ABE+∠CDE+∠E=360°，得∠ABE+∠CDE=220°，故∠2BFD=110°。
(完整版)初一数学下册相交线与平行线测试题(含答案) (一)培优试卷
一、选择题1．如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ．若∠AEC=100°，则∠D 等于（ ）A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°2．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．∠BCD= ∠DCE;B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D ．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180︒.3．给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）不相等的两个角不是同位角；（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．其中真命题的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，直线12//l l ，23216∠+∠=°，则1∠的度数为（ ）A ．216︒B ．36︒C ．44︒D ．18︒5．如图，直线//a b ，三角板的直角顶点在直线b 上，已知125∠=︒，则2∠等于（）．A ．25°B ．55°C ．65°D ．75°6．如图，从①12∠=∠，②C D ∠=∠，③//DF AC 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，长方形ABCD 中，7AB =，第一次平移长方形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到长方形1111D C B A ，第3次平移将长方形1111D C B A 沿11A B 的方向向右平移5个单位，得到长方形2222A B C D ，…第n 次平移将长方形1111n n n n A B C D ----的方向平移5个单位，得到长方形(2)n n n n A B C D n >，若n AB 的长度为2022，则n 的值为（ ）A ．403B ．404C ．405D ．4068．如图，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于F ，且BDE AEF ∠=∠，B C ∠=∠，EFA 比FDC ∠的余角小10︒，P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足FQP QFP ∠=∠，FM 为EFP ∠的平分线．则下列结论：①//AB CD ；②FQ 平分AFP ∠；③140B E ∠+∠=︒；④QFM ∠的角度为定值．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知AB CD ∥，点E F ，分别在直线AB CD ，上，点P 在AB CD ，之间且在EF 的左侧．若将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则EPF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．60︒或120︒ 10．如图，已知AB ∥CD ，BE 和DF 分别平分∠ABF 和∠CDE ，2∠E-∠F=48°，则∠CDE 的度数为( )．A ．16°B ．32°C ．48°D ．64°二、填空题11．如图，//AC BD ，BC 平分ABD ∠，设ACB ∠为α，点E 是射线BC 上的一个动点，若:5:2BAE CAE ∠∠=，则CAE ∠的度数为__________．（用含α的代数式表示）．12．如图，△ABC 的边长AB =3 cm ，BC =4 cm ，AC =2 cm ，将△ABC 沿BC 方向平移a cm （a ＜4 cm ），得到△DEF ，连接AD ，则阴影部分的周长为_______cm ．13．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE ＜180°且点E 在直线AC 的上方时，他发现若∠ACE ＝_____，则三角板BCE 有一条边与斜边AD 平行．14．如图，Rt △AOB 和Rt △COD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠B ＝40°，∠C ＝60°，点D 在边OA 上，将图中的△COD 绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD 恰好与边AB 平行．15．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为________16．已知//AB CD ，ABE α∠=，FCD β∠=，CFE γ∠=，且BE EF ⊥，请直接写出α、β、γ的数量关系________．17．有长方形纸片，E ，F 分别是AD ，BC 上一点∠DEF ＝x （0°＜x ＜45°），将纸片沿EF 折叠成图1，再沿GF 折叠成图2．（1）如图1，当x ＝32°时，FGD ∠'＝_____度；（2）如图2，作∠MGF 的平分线GP 交直线EF 于点P ，则∠GPE ＝_____（用x 的式子表示）．18．如图，直线//MN PQ ，MN 与直线AB ,AC 分别交于D ，E ，PQ 与直线AB ，AC 分别交于F ，G ，若75C ∠=︒，26BGF ∠=︒，则AEN ∠=_________度．19．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF 是折痕，若32EFB ∠=︒，则下列结论：（1）'32C EF ∠=︒；（2）148AEC ∠=︒；（3）64BGE ∠=︒；（4）116BFD ∠=︒．正确的有________个．20．如图，将一副三角板按如图放置，90,45,60BAC DAE B E ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则①13∠=∠；②2180CAD ∠+∠=︒；③如果230∠=︒，则有//AC DE ；④如果245∠=︒，则有//BC AD ．上述结论中正确的是________________（填写序号）．三、解答题21．已知AB //CD ．（1）如图1，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ；（2）如图，连接AD ，BC ，BF 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，且BF ，DF 所在的直线交于点F ．①如图2，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝50°，∠ADC ＝60°，求∠BFD 的度数． ②如图3，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BFD 的度数．（用含有α，β的式子表示）22．如图，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．（1）如图1，求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H 请在图2中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；23．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a︒/秒，灯B射出的光束转动的速度是b︒/秒，且a、b满足20-++-=．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即//a b a b)(34PQ MN，且BAN∠=︒．45（1）求a、b的值；（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD ACBCD∠=︒，求BAC⊥交PQ于点D，若20∠的度数；（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ 之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行?24．如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠=︒．100EOF（1）求BEO OFD ∠+∠的值；（2）如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出EMN FNM ∠-∠的值；（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线MN 分别交EG 、FH 分别于点M 、N ，且50FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．25．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线,a b ，且,a b ABC //是直角三角形，90BCA ∠=︒，操作发现：（1）如图1．若148∠=︒，求2∠的度数；（2）如图2，若30,1A ∠=︒∠的度数不确定，同学们把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，请说明理由．（3）如图3，若∠A =30°，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【详解】因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．2．D解析：D【解析】分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.详解：延长DC到H∵AB∥CD，EF∥CD∴∠ABC+∠BCH=180°∠ABC=∠BCD∠CE+∠DCE=180°∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.故选D.点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.3．B解析：B【详解】试题分析：根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确；过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.故选B.4．B解析：B【分析】记∠1顶点为A，∠2顶点为B，∠3顶点为C，过点B作BD∥l1，由平行线的性质可得∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°，由此得到∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，再结合已知条件即可求出结果．【详解】如图，过点B 作BD ∥l 1，∵12//l l ，∴BD ∥l 1∥l 2，∴∠3+∠DBC =180°，∠ABD +(180°－∠1)=180°，∴∠3+∠DBC +∠ABD +(180°－∠1)=360°，即∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，又∵∠2+∠3=216°，∴216°+(180°－∠1)=360°，∴∠1=36°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 5．C解析：C【分析】利用平行线的性质，可证得∠2=∠3，利用已知可证得∠1+∠3=90°，求出∠3的度数，进而求出∠2的度数．【详解】解：如图∵a //b∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=180°-90°=90°∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°∴∠2=65°．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活运用“两直线平行、同位角相等”是解答本题的关键． 6．D解析：D【分析】分别任选其中两个条件作为已知，然后结合平行线的判定与性质，证明剩余一个条件是否成立即可．【详解】解：如图所示：（1）当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4；当②∠C=∠D，故∠4=∠C，则DF∥AC，可得：∠A=∠F，即①②可证得③；（2）当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4，当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，故可得：∠C=∠D，即①③可证得②；（3）当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，当②∠C=∠D，则∠4=∠D，故DB∥EC，则∠2=∠3，可得：∠1=∠2，即②③可证得①.故正确的有3个．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握并熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．7．A解析：A【分析】根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出AB n=（n+1）×5+2求出n即可．【详解】解：∵AB=7，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+2=12，∴AB2的长为：5+5+7=17；∵AB1=2×5+2=12，AB2=3×5+2=17，∴AB n =（n +1）×5+2=2022，解得：n =403．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA 1=5，A 1A 2=5是解题关键．8．D解析：D【分析】①由BDE AEF ∠=∠可得AE ∥BD ，进而得到B EAF ∠=∠，结合B C ∠=∠即可得到结论；②由//AB CD 得出AFQ FQP ∠=∠，结合FQP QFP ∠=∠即可得解；③由平行线的性质和内角和定理判断即可；④根据角平分线的性质求解即可；【详解】∵BDE AEF ∠=∠，∴AE ∥BD ，∴B EAF ∠=∠，∵B C ∠=∠，∴EAF C ∠=∠，∴//AB CD ，结论①正确；∵//AB CD ，∴AFQ FQP ∠=∠，∵FQP QFP ∠=∠，∴AFQ QFP ∠=∠，∴FQ 平分AFP ∠，结论②正确；∵//AB CD ，∴EFA FDC ∠=∠，∵EFA 比FDC ∠的余角小10︒，∴40EFA ∠=︒，∵B EAF ∠=∠，180EFA E EAF ∠+∠+∠=︒，∴180140B E EFA ∠+∠=︒-∠=︒，结论③正确；∵FM 为EFP ∠的平分线， ∴111222MFP EFP EFA AFP ∠=∠=∠+∠， ∵AFQ QFP ∠=∠， ∴12QFP AFP ∠=∠， ∴1202QFM MFP QFP EFA ∠=∠-∠=∠=︒，结论④正确； 故正确的结论是①②③④；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键． 9．C解析：C【分析】根据题意画出示意图，延长FP 交AB 于点Q ，根据折叠的性质和四边形的内角和进行分析解答．【详解】解：根据题意，延长FP 交AB 于点Q ，可画图如下：∵AB CD ∥∴CFQ PQE ∠=∠∵将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠，∴,CFP PFM MEP PEQ ∠=∠∠=∠，∵,FPE PQE PEQ EM FM ∠=∠+∠⊥，如第一个图所示，在四边形FPEM 中，36090PFM MEP FPE ∠+∠+∠=︒-︒，得：2270FPE ∠=︒，∴135FPE ∠=︒．如第二个图所示，在四边形FPEM 中，360(36090)90PFM MEP FPE ∠+∠+∠=︒-︒-︒=︒， 得：290FPE ∠=︒，∴45FPE ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角、四边形的内角和等知识．关键是利用平行线的性质以及四边形内角和进行解答．10．B解析：B【分析】已知BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，根据角平分线分定义可得∠ABE=12∠ABF，∠CDF=12∠CDE；过点E作EM//AB，点F作FN//AB，即可得////AB CD EM//FN，由平行线的性质可得∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，由此可得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=12∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +12∠CDE，又因2∠BED-∠BFD=48°，即可得2（12∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +12∠CDE）=48°，由此即可求得∠CDE=32°.【详解】∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，∴∠ABE=12∠ABF，∠CDF=12∠CDE，过点E作EM//AB，点F作FN//AB，∵//AB CD，∴////AB CD EM//FN，∴∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=12∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +12∠CDE，∵2∠BED-∠BFD=48°，∴2（12∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +12∠CDE）=48°，∴∠CDE=32°.故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键.二、填空题11．或【分析】根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据 解析：41203α︒-或36047α︒-【分析】根据题意可分两种情况，①若点E 运动到1l 上方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由5:2BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠+∠，列出等量关系求解即可得出结论；②若点E 运动到1l 下方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由5:2BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠-∠列出等量关系求解即可得出结论．【详解】解：如图，若点E 运动到l 1上方，//AC BD ，CBD ACB α∴∠=∠=，BC 平分ABD ∠，22ABD CBD α∴∠=∠=，1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-，又5:2BAE CAE ∠∠=，5():2BAC CAE CAE ∴∠+∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒-+∠∠=， 解得180241205312CAE αα︒-∠==︒--； 如图，若点E 运动到l 1下方，//AC BD ，CBD ACB α∴∠=∠=， BC 平分ABD ∠，22ABD CBD α∴∠=∠=，1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-， 又5:2BAE CAE ∠∠=，5():2BAC CAE CAE ∴∠-∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒--∠∠=， 解得180236045712CAE αα︒-︒-∠==+． 综上CAE ∠的度数为41203α︒-或36047α︒-． 故答案为：41203α︒-或36047α︒-． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键． 12．9【分析】根据平移的特点，可直接得出AC 、DE 、AD 的长，利用EC=BC －BE 可得出EC 的长，进而得出阴影部分周长．【详解】∵AB=3cm ，BC=4cm ，AC=2cm ，将△ABC 沿BC 方向平解析：9【分析】根据平移的特点，可直接得出AC 、DE 、AD 的长，利用EC=BC －BE 可得出EC 的长，进而得出阴影部分周长．【详解】∵AB =3cm ，BC =4cm ，AC =2cm ，将△ABC 沿BC 方向平移a cm∴DE=AB=3cm ，BE=a cm∴EC=BC －BE=(4－a )cm∴阴影部分周长=2+3+(4－a )+a =9cm故答案为：9【点睛】本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC －BE ．13．或或【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．【详解】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠E解析：30或120︒或165︒【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．【详解】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°．②如图2中，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．∵AD∥BE，∴∠AMC=∠B=45°，∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，∴∠ACE＝75°+90＝165°，综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．故答案为30°或120°或165°．【点睛】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．14．10或28【分析】作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然解析：10或28【分析】作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠CEO=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解．【详解】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，∵每秒旋转10°，∴时间为100°÷10°=10秒；②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，∴旋转角为270°+10°=280°，∵每秒旋转10°，∴时间为280°÷10°=28秒；综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．故答案为10或28．【点睛】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．15．【解析】试题分析：过B作BE∥m，则根据平行公理及推论可知l∥BE，然后可证明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°.故答案为：20.解析：【解析】试题分析：过B作BE∥m，则根据平行公理及推论可知l∥BE，然后可证明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°.故答案为：20.16．（上式变式都正确）【分析】过点E作，过点F作，可得出（根据平行于同一直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案．【详解】解：如图解析：90γαβ+=︒+（上式变式都正确）【分析】过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，可得出//////AB EM FN CD （根据平行于同一直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN AB ，∵//AB CD ，∴//////AB EM FN CD ，∵//AB EM ，∴ABE BEM ∠=∠，∵//EM FN ，∴MEF EFN ∠=∠，∵//NF CD ，∴NFC FCD ∠=∠，∴ABE EFN NFC BEM MEF FCD ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴ABE EFC BEF FCD ∠+∠=∠+∠，∵ABE α∠=，FCD β∠=，CFE γ∠=，且BE EF ⊥，∴90αγβ+=︒+，故答案为：90αγβ+=︒+．【点睛】题目主要考察平行线的性质及等式的性质，作出相应的辅助线、找出相应的角的关系是解题关键．17．2x【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE ＝∠DEF ＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB ＝∠BFE+∠DEF ＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB ＝60°，即解析：2x【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；（2）由长方形的对边是平行的，设∠BFE＝∠DEF＝x，根据三角形外角的性质得到∠EGB ＝∠BFE+∠D′EF＝2x，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，由角平分线的定义得到∠PGF＝x，再根据三角形外角的性质得到∠GPE，从而求解．【详解】解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝32°，∵长方形的对边是平行的，∴∠DEG＝∠FGD′，∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，∴当x＝30度时，∠GFD′的度数是64°．故答案为：64；（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．由折叠可得∠GEF＝∠DEF，∵长方形的对边是平行的，∴设∠BFE＝∠DEF＝x，∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，∵GP平分∠MGF，∴∠PGF＝x，∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．故答案为：∠GPE＝2x．【点睛】本题考查翻折变换的性质、平行线的性质，熟悉掌握相关知识点并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．18．131【分析】过点C作CH∥MN，根据平行线的性质求出∠NEC即可．【详解】解：过点C作CH∥MN，∵，∴CH ∥PQ ，∴，∵，∴，∵CH ∥MN ，∴,∴故答案为：131．解析：131【分析】过点C 作CH ∥MN ，根据平行线的性质求出∠NEC 即可．【详解】解：过点C 作CH ∥MN ，∵//MN PQ ，∴CH ∥PQ ，∴26HCB BGF ∠=∠=︒，∵75ACB ∠=︒，∴49ACH ∠=︒，∵CH ∥MN ，∴49CEN ACH ∠=∠=︒,∴131180CEN AEN ∠︒∠==︒-故答案为：131．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当作平行线，根据平行线的性质进行推理计算．19．3【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案；（2）根据平行线的性质得到：∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，又因为∠AEF=∠AEC+∠GEF ，可得∠AEC ＜148°，解析：3【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案；（2）根据平行线的性质得到：∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，又因为∠AEF=∠AEC+∠GEF，可得∠AEC＜148°，即可判断是否正确；（3）根据翻转的性质可得∠GEF=∠C′EF，又因为∠C′EG=64°，根据平行线性质即可得到∠BGE=∠C′EG=64°，即可判断是否正确；（4）根据对顶角的性质得：∠CGF=∠BGE=64°，根据平行线得性质即可得：∠BFD=180°-∠CGF即可得到结果．【详解】AE BG，∠EFB=32°，解：（1）∵//∴∠C′EF=∠EFB=32°，故本小题正确；（2）∵AE∥BG，∠EFB=32°，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，∵∠AEF=∠AEC+∠GEF，∴∠AEC＜148°，故本小题错误；（3）∵∠C′EF=32°，∴∠GEF=∠C′EF=32°，∴∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°，∵AC′∥BD′，∴∠BGE=∠C′EG=64°，故本小题正确；（4）∵∠BGE=64°，∴∠CGF=∠BGE=64°，DF CG，∵//∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-64°=116°，故本小题正确．故正确的为：（1）（3）（4）共3个，故答案为：3．【点睛】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．20．①②③④【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据①的结论判断②；根据平行线的判定定理判断③和④，即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，解析：①②③④【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据①的结论判断②；根据平行线的判定定理判断③和④，即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，故①正确；∵∠CAD +∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°，故②正确；∵∠2=30°，∴∠1=60°=∠E ，∴AC ∥DE ，故③正确；∵∠2=45°，∴∠3=45°=∠B ，∴BC ∥AD ，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）55°；（3）1118022αβ︒-+ 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据50ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求BFD ∠的度数；②如图3，过点F 作//EF AB ，当点B 在点A 的右侧时，ABC α∠=，ADC β∠=，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出BFD ∠的度数．【详解】解：（1）如图1，过点E 作//EF AB ，则有BEF B ∠=∠，//AB CD ，FED D ∴∠=∠，BED BEF FED B D ∴∠=∠+∠=∠+∠；（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，有BFE FBA ∠=∠．//AB CD ，//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=∠+∠．即BFD FBA FDC ∠=∠+∠， BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠， 1252FBA ABC ∴∠=∠=︒，1302FDC ADC ∠=∠=︒， 55BFD FBA FDC ∴∠=∠+∠=︒．答：BFD ∠的度数为55︒；②如图3，过点F 作//FE AB ，有180BFE FBA ∠+∠=︒．180BFE FBA ∴∠=︒-∠，//AB CD ，//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．180BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=︒-∠+∠．即180BFD FBA FDC ∠=︒-∠+∠，BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠， 1122FBA ABC α∴∠=∠=，1122FDC ADC β∠=∠=， 1118018022BFD FBA FDC αβ∴∠=︒-∠+∠=︒-+． 答：BFD ∠的度数为1118022αβ︒-+．本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 22．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C 在AG 上时，290AHB CBG ∠-∠=︒；当点C 在DG 上时，290AHB CBG ∠+∠=︒．【分析】（1）过点G 作//GE MN ，根据平行线的性质即可求解；（2）分两种情况：当点C 在AG 上，当点C 在DG 上，再过点H 作//HF MN 即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点G 作//GE MN ，∴MAG AGE ∠=∠，∵//MN PQ ，∴//GE PQ ．∴PBG BGE ∠=∠．∵BG AD ⊥，∴90AGB ∠=︒，∴90MAG PBG AGE BGE AGB ∠+∠=∠+∠=∠=︒．（2）补全图形如图2、图3，猜想：290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒．证明：过点H 作//HF MN ．∴1AHF ∠=∠．∵//MN PQ ，∴//HF PQ∴2BHF ∠=∠，∴12AHB AHF BHF ∠=∠+∠=∠+∠．∵AH 平分MAG ∠，∴21MAG ∠=∠．如图3，当点C 在AG 上时，∵BH 平分PBC ∠，∴22PBC PBG CBG ∠=∠+∠=∠，∵//MN PQ ，∴MAG GDB ∠=∠，2212290AHB MAG PBG CBGGDB PBG CBG CBG∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠即290AHB CBG ∠-∠=︒．如图2，当点C 在DG 上时，∵BH 平分PBC ∠，∴22PBC PBG CBG ∠=∠-∠=∠．∴2212290AHB MAG PBG CBG CBG ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠．即290AHB CBG ∠+∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．23．（1）3a =，1b =；（2）30°；（3）15秒或82.5秒【分析】（1）解出式子()2340a b a b -++-=即可；（2）根据//PQ MN ，用含t 的式子表示出BCA ∠，根据（2）中给出的条件得出方程式 ()()9090180229020⎡⎤∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒⎣⎦BCD BCA t t ，求出 t 的值，进而求出BAC ∠的度数；（3）根据灯B 的要求，t <150，在这个时间段内A 可以转3次，分情况讨论．【详解】解：（1）2|3|(4)0a b a b -++-=．又|3|0a b -≥，2(4)0a b +-≥．3a ∴=，1b =；（2）设A 灯转动时间为t 秒，如图，作//CE PQ ，而//,PQ MN////,PQ CE MN ∴1803ACE CAN t ∴∠=∠=︒-︒，BCE CBD t ∠=∠=︒，()()18031802∴∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒-︒BCA CBD CAN t t t ，90ACD ∠=︒，[]9090180(2)(2)9020∴∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒BCD BCA t t ，55∴=t()1803∠=︒-︒CAN t ，()()451803313516513530∴∠=︒-︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒⎡⎤⎣⎦BAC t t（3）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行．依题意得0150t <<①当060t <<时，两河岸平行，所以()233t ∠=∠=︒ 两光线平行，所以2130t ∠=∠=+︒所以，13∠=∠即：330=+t t ，解得15t =；②当60120t <<时，两光束平行，所以()2330t ∠=∠=+︒两河岸平行，所以12180∠+∠=︒13180t ∠=-︒所以，318030180-++=t t ，解得82.5t =；③当120150t <<时，图大概如①所示336030t t -=+，解得195150t =>（不合题意）综上所述，当15t =秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．【点睛】这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键．24．（1）260BEO DFO ∠+∠=︒ ；（2）EMN FNM ∠-∠的值为40°；（3）53． 【分析】（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解；（2）过点M 作MK ∥A B ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM =∠OEM =x ，∠CFN =∠OFN =y ，由∠BEO +∠DFO =260°可求x -y =40°，进而求解；（3）设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，根据平行线的性质即三角形外角的性质及50FMN ENM ∠-∠=︒，可得50KFD AEG ∠-∠=︒，结合260AEG n OEG DFK n OFK BEO DFO ∠=∠=∠∠+∠=︒，，，可得11180100AEG AEG KFD KFD n n∠+∠+︒-∠-∠=︒， 即可得关于n 的方程，计算可求解n 值．【详解】证明：过点O 作OG ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥OG ∥CD ，∴180180BEO EOG DFO FOG ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴360BEO EOG DFO FOG ∠+∠+∠+∠=︒，即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒，∵∠EOF =100°，∴∠260BEO DFO +∠=︒；（2）解：过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，∵EM 平分∠BEO ，FN 平分∠CFO ，设BEM OEM x CFN OFN y ∠=∠=∠=∠=，，∵260BEO DFO ∠+∠=︒∴21802260BEO DFO x y ∠+∠=+︒-=︒，∴x -y =40°，∵MK ∥AB ，NH ∥CD ，AB ∥CD ，∴AB ∥MK ∥NH ∥CD ，∴EMK BEM x HNF CFN y KMN HNM ∠=∠=∠=∠=∠=∠，，，∴EMN FNM EMK KMN HNM HNF ∠+∠=∠+∠-∠+∠（）x KMN HNM y =+∠-∠-=x -y=40°，EMN FNM ∠-∠的值为40°；（3）如图，设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，∵AB ∥CD ，∴AKF KFD ∠=∠，∵AKF EHK HEK EHK AEG ∠=∠+∠=∠+∠，∴KFD EHK AEG ∠=∠+∠，∵50EHK NMF ENM ∠=∠-∠=︒，∴50KFD AEG ∠=︒+∠，即50KFD AEG ∠-∠=︒，∵AEG n OEG ∠=∠，FK 在∠DFO 内，DFK n OFK ∠=∠． ∴1180180CFO DFK OFK KFD KFD n∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ ， 1AEO AEG OEG AEG AEG n∠=∠+∠=∠+∠， ∵260BEO DFO ∠+∠=︒，∴100AEO CFO ∠+∠=︒， ∴11180100AEG AEG KFD KFD n n∠+∠+︒-∠-∠=︒， 即(180)1KFD AEG n ⎛⎫ ⎪⎝∠⎭+-∠︒＝，∴115080n ⎛⎫ ⎪⨯⎭︒︒⎝+＝， 解得53n = ．经检验，符合题意，故答案为：53． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 25．（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析【分析】（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2+∠ABD =180°，∠1=∠DBC ，则∠ABD =∠ABC -∠DBC =60°-∠1，进而得出结论；（3）过点C 作CP ∥a ，由角平分线定义得∠CAM =∠BAC =30°，∠BAM =2∠BAC =60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM =60°，∠PCA =∠CAM =30°，∠2=∠BCP =60°，即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠1=48°，∠BCA =90°，∴∠3=180°-∠BCA -∠1=180°-90°-48°=42°，∵a ∥b ，∴∠2=∠3=42°；（2）理由如下：过点B 作BD ∥a ．如图2所示：则∠2+∠ABD =180°，∵a ∥b ，∴b ∥BD ，∴∠1=∠DBC ，∴∠ABD =∠ABC -∠DBC =60°-∠1，∴∠2+60°-∠1=180°，∴∠2-∠1=120°；（3）∠1=∠2，理由如下：过点C 作CP ∥a ，如图3所示：∵AC平分∠BAM∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，又∵a∥b，∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，∴∠PCA=∠CAM=30°，∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，又∵CP∥a，∴∠2=∠BCP=60°，∴∠1=∠2．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．。
2020-2021学年人教版 七年级下册 第5章 相交线与平行线 培优训练(含答案)
人教版 七年级下册 第5章 相交线与平行线培优训练一、选择题1. 如图，由∠1=∠2能得到AB ∥CD 的是 ()2. 在如图所示的四个图形中，可以由图中的图形通过平移得到的是()3. 如图，若AB CD ∥,70BEF ∠=︒，则B F C ∠+∠+∠的度数为（）A.215︒B.250︒C.320︒D.360︒DCFEBA4. 如图，1265,335︒︒∠=∠=∠=，则下列结论错误的是（ ）A ．//AB CD B ．30B ︒∠=C ．2C EFC ∠+∠=∠D ．CG FG >5. （2020·内江）如图，已知直线//a b ，150∠=︒，则2∠的度数为（）A. 140︒B. 130︒C. 50︒D. 40︒ 6. （2020·随州）2.如图，直线1l ∥2l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点， 若∠1=60°，则∠2的度数是（ ） B.60° D.100° C.120° D.140°7. 如图，下列说法中错误的是( ) A .∠A 和∠B 是同旁内角B .∠A 和∠2是内错角C .∠1和∠3是内错角D .∠C 和∠3是同位角8. （2020·湖北荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若∠CAB=30°,则∠ACB 的度数是( )A.45°B.55°C. 65°D.75°9. [2020·抚顺新抚区月考] 如图，将木条a ，b 与c 钉在一起，∠1=85°，∠2=50°，要使木条a 与b 平行，木条a 顺时针旋转的度数至少是 ( ) A .15°B .25°C .35°D .50°10. 如图，DH EG BC ∥∥，且DC EF ∥，那么图中与BFE ∠相等的角（不包括BFE ∠）的个数是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6FHGEDCBA二、填空题11. 如图AB CD EF CG∥∥，平分140110ACE A E∠∠=︒∠=︒，，．则______DCG∠=．GFEDCBA12. 如图,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠BOE的对顶角是,∠COE的邻补角是,∠COG的邻补角是.13. 如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O.若∠1=20°,∠BOC=80°,则∠2=°.14. 如图，如果∠BAC=∠，那么根据，可得AB∥CD；如果∠BAD+∠=180°或∠D+∠=180°，那么根据，可得AD∥BC.15. （2020•湘西州）如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝度．16. （2020·昆明）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为°.AB C50°35°北17. 如图，∠1=∠2，试说明AB∥CD.请补全以下说理过程.解:∵∠1=∠2(已知)，且∠3=∠2()，∴∠1=()，∴AB∥CD().18. (1)如图1，AD，BC相交于点O.图1因为AB∥CD(已知)，所以 = ，= (两直线平行，内错角相等). (2)如图2，因为l 1∥l 2(已知)，所以∠1= (两直线平行，同位角相等). 因为l 2∥l 3，所以∠3+∠4= ( ).图2 图3(3)如图3，因为AB ∥EF (已知)，所以∠A+ =180°(两直线平行，同旁内角互补). 因为ED ∥CB (已知)，所以∠DEF= ( ).19. 已知：如图所示，AB CD ∥，1=110∠︒，2120∠=︒，则α∠=____α21D CE BA20. 如图，E是AD 延长线上的一点，若添加一个条件，使BC ∥AD ，则可添加的条件为 .(任意添加一个符合题意的条件即可)三、解答题21. 如图：已知12∠=∠，A C ∠=∠，求证：①AB DC ∥ ②AD BC ∥ 证明：∵12∠=∠（ ） ∵（ ）∥（ ）（ ）． ∴C CBE ∠=∠（ ） 又∵C A ∠=∠（ ） ∴A ∠= （ ）∴（ ）∥（ ）（ ）．图EDCB A2122. 如图，AB ∥EF ，∠1=60°，∠2=120°，则CD 和EF 平行吗?为什么?23. 如图，ABC ∆中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 与E ．过BC 上任意一点F，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．GFE 21D CBA24. ⑴如图⑴，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B -∠之间的关系.⑵如图⑵，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系.⑶如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系.(1) (2) (3)A 4A n-1A nA 3A 2A 1N M B n-1B 2B 1A nA n-1A 2A 1B 2B 1A 4A 3A 2A 1MMNN人教版 七年级下册 第5章 相交线与平行线培优训练-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】由∠1=∠2=65°，可得内错角相等，两直线平行，故A 选项正确，∠3和∠BFE 互为对顶角，∴∠BFE=35°，∠1为△BEF 的外角，∴∠1=∠BFE+∠B ，可得∠B=30°，故B 选项正确.∠EFC 为△CFG 的外角，∴∠EFC=∠C+∠CGF ，故C 选项错误.因为在△CGF 中，∠CFG ＞∠C ，∴CG ＞FG ，故D 选项正确，所以本题答案为C5. 【答案】 B【解析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用平行线的性质即可解决问题． 如图，∵a ∥b ，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°−50°＝130°，因此本题选B ．6. 【答案】C【解析】本题考查了平行线的性质、邻补角的性质，解答过程如下：如图所示，∵1l ∥2l ，∴∠3=∠1=60°， ∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°.因此本题选C ．7. 【答案】B8. 【答案】D【解析】此题主要考查了平行线的性质,以及图形的折叠,关键是掌握两直线平行,同旁内角互补.设矩形纸片左上角的顶点为D,首先根据平行线的性质可得∠ABD+∠CAB=180°, ∠DBC=∠ACB,由∠CAB=30°,求得∠ABD 度数,再根据折叠可得∠DBC=12∠ABD=75°,再由∠DBC=∠ACB 即可得出答案.9. 【答案】C10. 【答案】C【解析】本题考查平行线的性质，由图形找到与BFE ∠相等的角有DCB ∠，GEF ∠，GAC ∠，HDC ∠，DAE ∠二、填空题11. 【答案】15︒．【解析】∵EF CD ∥，∴18070ECD E ∠=︒-∠=︒， 同理40ACD ∠=︒ ∴110ACE ∠=︒ ∵CG 平分ACE ∠ ∴55ECG ∠=︒∴705515DCG ECD ECG ∠=∠-∠=︒-︒=︒12. 【答案】∠AOF ∠COF 和∠DOE ∠DOG13. 【答案】6014. 【答案】ACD内错角相等，两直线平行B DCB同旁内角互补，两直线平行15. 【答案】36【解析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．∵BA⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=54°，∴∠C=90°-54°=36°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C=36°，因此本题答案是36．16. 【答案】95°【解析】本题考查了方向角和平行线的性质.解答过程如下：如图所示，A北∵AC∥BD，∴∠ABD=180°-∠A=180°-50°=130°．又∵∠CBD=35°,∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=130°-35°=95°．17. 【答案】对顶角相等∠3等量代换同位角相等，两直线平行18. 【答案】(1)∠B∠C∠A∠D(2)∠2180°两直线平行，同旁内角互补(3)∠AEF∠EFC两直线平行，内错角相等19. 【答案】50【解析】如图所示，过点E作AB的平行线EF，43α21DCF E BA则1324180∠+∠=∠+∠=︒， ∵1110∠=︒，2120∠=︒∴34360110120130∠+∠=︒-︒-︒=︒ ∴α∠=18013050︒-︒=︒20. 【答案】∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB 或∠C=∠CDE (答案不唯一)三、解答题21. 【答案】已知：AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠；等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行．22. 【答案】解:CD ∥EF.理由:∵∠1=60°，∠2=120°(已知)，∴∠1+∠2=180°，∴AB ∥CD (同旁内角互补，两直线平行). ∵AB ∥EF (已知)，∴CD ∥EF (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).23. 【答案】∵FG AB CD AB ⊥⊥，， ∴GF CD ∥ ∴1BCD ∠=∠， ∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠24. 【答案】（1）12121n n A A A B B B -∠+∠++∠=∠+∠++∠； (向右凸出的角的和＝向左凸出的角的和，1A ∠,n A ∠均为锐角)（2）123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+；注意和第⑴问的区别；（3）123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=-⨯. 总结方法思想,巧作平行线.。