2015届高考数学(浙江文)一轮复习课件：8.9 圆锥曲线的综合问题
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高频考点全通关——圆锥曲线中的定值问题 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值． 依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入 代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值． 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题 设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值． 利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化 简、变形即可求得．
2 1 3 c 解：(1)因为 e＝ ＝ ，所以 a＝ c，b＝ c. 2 a 3 3 代入 a＋b＝3，得 c＝ 3，a＝2，b＝1. x2 2 故椭圆 C 的方程为 ＋y ＝1. 4
高频考点全通关——圆锥曲线中的定值问题
闯关二：典题针对讲解——求代数式为定值
解：(2)证明：法一：因为 B(2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线 BP 的方程为 8k2－2 4k 1 2 ，－ k≠0，k≠± x 4k2＋1 . y＝k(x－2) 2 ，①把①代入 ＋y2＝1，解得 P 4k2＋1 4 4k＋2 4k ， 1 直线 AD 的方程为：y＝ x＋1.② ①与②联立解得 M 2k－1 2k－1 . 2 4k 8k2－2 4k － 2 －1 ，－ 2 0 －1 4k ＋1 2 4k ＋1 ，N(x,0)三点共线知 由 D(0,1)，P 4k ＋1 ＝ ， x －0 8k2－2 －0 2 4k ＋1 4k 4k－2 －0 ，0 4k 2k＋1 2k－1 解得 N 2k＋1 .所以 MN 的斜率为 m＝ ＝ 4k＋2 4k－2 2 2k＋1 2－2 2k－1 － 2k－1 2k＋1 2k＋1 2k＋1 1 ＝ ，则 2m－k＝ －k＝ (定值)． 2 4 2
y＝ 2x＋m， 由 2 2 2x ＋y ＝4， 得 4x2＋2 2mx＋m2－4＝0，所以Δ＝－8m2＋
m2－4 2 64>0，则－2 2<m<2 2，x1＋x2＝－ m，① x1x2＝ .② 2 4 64－8m2 6 2 所以|BD|＝ 1＋ 2 |x1－x2|＝ 3· ＝ · 8－m2.设 d 为 4 2 |m| 点 A 到直线 BD：y＝ 2x＋m 的距离，所以 d＝ .所以 S△ABD＝ 3 1 2 |BD|·d＝ · 8－m2 m2≤ 2，当且仅当 8－m2＝m2，即 m＝±2 时 2 4 取等号．因为±2∈(－2 2，2 2)，所以当 m＝±2 时，△ABD 的面积 最大，最大值为 2.
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高频考点全通关——圆锥曲线中的定值问题 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
如图所示，已知点 A(1， 2)是离心率为 2 的 2 x2 y2 椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)上的一点，斜率为 2的 b a 直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合． (1)求椭圆 C 的方程； (2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值； 若不存在，请说明理由； (3)求证：直线 AB、AD 斜率之和为定值．
【命题角度】
高考中关于圆锥曲线中的定值问题有以下几个命题角度： (1)求代数式为定值； (2)求点到直线的距离为定值； (3)求线段长为定值．
高频考点全通关——圆锥曲线中的定值问题
闯关二：典题针对讲解——求代数式为定值
x2 y2 [典例] (2013·江西高考)椭圆 C： 2＋ 2＝ 1 a b 3 (a>b>0)的离心率 e＝ ，a＋b＝3. 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图所示，A， B，D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外 的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的 斜率为 k， MN 的斜率为 m.证明：2m－k 为定值．
c 2 1 2 解：(1)由题意，可得 e＝ ＝ ， 2＋ 2＝1，a2＝b2＋c2， a 2 b a 解得 a＝2，b＝ 2，c＝ 2， x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 2 4
高频考点全通关——圆锥曲线中的定值问题 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
解：(2)设直线 BD 的方程为 y＝ 2x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)，
第九节 考 纲 展 示
圆锥曲线的综合问题
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的 思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
高频考点全通关——圆锥曲线中的定值问题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
圆锥曲线中的定值问题，是近几年来高考命题的热点，多以解 答题的形式出现，试题难度较大，多为高档题．
高频考点全通关——圆锥曲线中的定值问题 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
解：(3)证明：设直线 AB、AD 的斜率分别为 kAB、kAD，
y1－ 2 y2－ 2 2x1＋m－ 2 2x2＋m－ 2 则 kAD＋kAB＝ ＋ ＝ ＋ x1－1 x2－1 x1－1 x2－1 x1＋x2－2 ＝2 2＋m· ，(*)将(2)中①、②式代入(*)式， x1x2－ x1＋x2 ＋1 x1＋x2－2 整理得 2 2＋m x1x2－ x1＋x2 ＋1 ＝0， 即 kAD＋kAB＝0.故直线 AB、AD 斜率之和为定值．
2015届高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题
2015届高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题基础巩固强化一、选择题1．若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 [答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.3．若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D .y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a ＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B.4．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9，① 又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.故选C.5．(2012·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.故选D.6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A. 二、填空题7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．8．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b2＝1[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)， ∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )，由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎨⎧x 1＝－x 2，y 1＝－y2.代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b 2＝1.9．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2.代入①中得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .② 又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.三、解答题 10.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|P A |＋|PN |＝|AN |，∴|P A |＋|PB |＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切.能力拓展提升11.(2013·宁夏育才中学模拟)已知平面上一定点C (－1,0)和一定直线l ：x ＝－4，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0.(1)问点P 在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点O 是坐标原点，A 、B 两点在点P 的轨迹上，若OA →＋λOB →＝(1＋λ)OC →，求λ的取值范围． [解析] (1)由(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0，得PQ →2－4PC →2＝0.设P (x ，y )，则(x ＋4)2－4[(x ＋1)2＋y 2]＝0，化简得x 24＋y 23＝1，即点P 在椭圆上，其方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵OA →＋λOB →＝(1＋λ)OC →，∴CA →＋λCB →＝0，∴(x 1＋1，y 1)＋λ(x 2＋1，y 2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2.因为x 214＋y 213＝1，所以(－1－λ－λx 2)24＋(－λy 2)23＝1，①又因为x 224＋y 223＝1，所以(λx 2)24＋(λy 2)23＝λ2，②由①－②得2λ(λ＋1)x 2＋(λ＋1)24＝1－λ2，化简得x 2＝3－5λ2λ.因为－2≤x 2≤2，所以－2≤3－5λ2λ≤2，解得13≤λ≤3，所以λ的取值范围为[13，3]．12．(2013·乌鲁木齐诊断)已知点F (1,0)，⊙F 与直线4x ＋3y ＋1＝0相切，动圆M 与⊙F 及y 轴都相切．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任作直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，由点A ，B 分别向⊙F 各引一条切线，切点分别为P ，Q ，记α＝∠P AF ，β＝∠QBF ，求证sin α＋sin β是定值．[解析] (1)⊙F 的半径为|4＋1|42＋32＝1，⊙F的方程为(x －1)2＋y 2＝1.由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况： ①动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况．作MH ⊥y 轴于H ，则|MF |－1＝|MH |，即|MF |＝|MH |＋1，则|MF |＝|MN |(N 是过M 作直线x ＝－1的垂线的垂足)，则点M 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线．∴点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．②动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且切于原点的情况． 此时点M 的轨迹C 的方程为y ＝0(x ≠0,1)．(2)由于直线l 过点F 与C 交于A 、B 两点，且F 不尽在C 上，∴l 只能与y 2＝4x (x ≠0)交于两点．当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.∴sin α＋sin β＝1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 2＋x 1＋1＝1.当l 与x 轴垂直时，也可得sin α＋sin β＝1. 综上，有sin α＋sin β＝1.13．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． [解析] (1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，消去x 得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m 2，∴x 1＋x 2＝(5－y 14)＋(5－y 24)＝10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F (m2，0)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴(m 2)2＝2m (11m8－10)．∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k2，∴b 2k 2＋16bk ＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k . ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴， 又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)， 此时直线PQ 过点(16,0)，∴直线PQ 恒过定点(16,0)． 14.(2014·鹤壁淇县检测)如图所示，已知C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在直线上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．[解析]圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2， ∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 是AP 的中点，即QM 是AP 的中垂线，连接AQ ，则|AQ |＝|QP |，∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝2，又|AC |＝22>2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.考纲要求了解曲线与方程的关系，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．补充说明1．常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线．(2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆．(4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线．(5)平面内到两定点F1，F2距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，2a为长轴长的椭圆．(6)平面内到两定点F1，F2距离差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，实轴长为2a的双曲线．(7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线上)的点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线．2．求轨迹方程的其他方法(1)待定系数法：已知所求曲线的类型，可直接设出曲线的方程，再根据已知条件确定其系数．(2)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(3)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．2．加强知识交汇的训练向量、三角函数、不等式与解析几何交汇，特别是向量进入解析几何已成为新的命题热点，应加强这种融合多处知识，而又比较浅显，考查对学科最基础知识和最基本方法的掌握的小题训练．3．在有关直线与圆锥曲线相交的问题中，要注意判别式的作用，不要因为忽视对判别式的讨论致误．[例]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[错解](1)将A(1，－2)代入y2＝2px，得p＝2，故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在直线l，设l：y＝－2x＋t，由直线OA与l的距离d＝5 5，得|t |5＝15，解得t ＝±1. 故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. 请自己订正． 备选习题1．(2013·海口调研)已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1的离心率是3，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C[解析] 由题意可得n (12－n )>0，∴0<n <12， ∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12， ∴双曲线的离心率e ＝c a ＝12n＝3，∴n ＝4.2．(2013·长春二调)若F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >2b >0)的两个焦点，分别过F 1，F 2作倾斜角为45°的两条直线与椭圆相交于四点，以该四点为顶点的四边形和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积比等于223，则该椭圆的离心率为( )A.22B.255C.55 D.31010[答案] B[解析] 由题可知，所作的四边形为平行四边形，可求得其面积为S 1＝42ab 2ca 2＋b 2；以椭圆顶点为顶点的四边形为菱形，其面积为S 2＝2ab ，从而S 1S 2＝22bc a 2＋b 2＝223，∴a 2＋b 2＝3bc ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴2b 2＋c 2＝3bc ，∴b ＝c 或b ＝c2.当b ＝c 时，a ＝2c ＝2b ，与条件a >2b 矛盾，不成立；当b ＝c 2时，a 2＝b 2＋c 2＝c 24＋c 2＝5c 24，则c 2a 2＝45，因此e ＝c a ＝255.3．(2013·贵州六校联考)设曲线x 2－y 2＝0与抛物线y 2＝－4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y ＋5的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．12[答案] C[解析] 由x 2－y 2＝0得曲线为y ＝±x .抛物线的准线为x ＝1，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC .由z ＝x －2y ＋5得y ＝12x ＋12(5－z )，作直线y ＝12x ，平移直线y ＝12x ，当平移到经过点C 时，直线y ＝12x ＋12(5－z )的截距最小，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－x得x ＝1，y ＝－1，即C (1，－1)，代入z＝x －2y ＋5得z ＝8.4．(2013·包头一中模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积大于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 [答案] D[解析] 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由题可知e 1·e 2>1，得b 2(m 2－a 2－b 2)>0，所以m 2－a 2－b 2>0，即m 2>a 2＋b 2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，选D.。
2015届高考数学一轮总复习 8-7圆锥曲线的综合问题
2015届高考数学一轮总复习 8-7圆锥曲线的综合问题基础巩固强化一、选择题1．(文)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝( )A ．16B ．18C ．22D ．20[答案] C[解析] 由题意知，a ＝13，(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝52， ∵|BF 2|＋|AF 2|＝30，∴|AB |＝22.(理)(2013·辽宁五校联考)已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M 、N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1) B ．x 2－y 210＝1(x >0)C ．x 2－y 28＝1(x >0) D ．x 2－y 210＝1(x >1)[答案] A[解析] 如图，设两切线分别与圆相切于点S 、T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支，∴a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >0)，由题意知，P 点不可能与B 点重合，∴x >1.2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 225＋y 216＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[答案] A[解析] 直线y ＝k (x －1)＋1过椭圆内定点(1,1)，故直线与椭圆相交．3．(文)已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 [答案] A[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在x ≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.(理)(2013·大纲理，11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A 、B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 [答案] D[解析] ∵y 2＝8x ，∴焦点坐标为(2,0)， 设直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －2).消去y 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1·x 2＝4，∴y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1·y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝－16. ∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝4k 2－16k ＋16k 2＝0，∴k 2－4k ＋4＝0，∴k ＝2.4．已知以F 1(－2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2[答案] C[解析] 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程得，4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点， ∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0， 即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27，故选C.5．(2013·新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A 、B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 方法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.不妨设A 在x 轴上方，∴A (4,4)，B (1，－2)，∵F 点坐标为(1,0)，∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)，cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝－85×2＝－45.方法二：同上求得A (4,4)，B (1，－2)，|AB |＝35，|AF |＝5，|BF |＝2， 由余弦定理知，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22·|AF |·|BF |＝－45.二、填空题7．(文)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，若椭圆上存在点P ，使得直线PF 与圆x 2＋y 2＝b 2相切，当直线PF 的倾斜角为2π3时，此椭圆的离心率是________．[答案]277[解析] 解法1：设直线PF 与圆x 2＋y 2＝b 2的切点为M ，则依题意得OM ⊥MF ，∵直线PF 的倾斜角为2π3，∴∠OFP ＝π3，∴sin π3＝b c ＝32，椭圆的离心率e ＝c a ＝cc 2＋b 2＝11＋(b c)2＝11＋(32)2＝277.解法2：依题意可知PF ：y ＝－3(x ＋c )(c ＝a 2－b 2)， 又O 到PF 的距离为b ，即3c 2＝b ，∴3c 24＝b 2＝a 2－c 2，∴4a 2＝7c 2，∴e ＝c a ＝277.(理)设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为2－1的点P 的个数为________．[答案] 3[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ，代入x 2＋y 24＝1中消去y 得，8x 2＋4bx＋b 2－4＝0，由Δ＝16b 2－32(b 2－4)＝0得，b ＝±22，显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A (－1,0)，B (0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25， ∴欲使S △ABP ＝12|AB |·h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个．8．(2013·唐山一中第二次月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的右焦点F ，若过F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] 由条件知ba ≥tan60°＝3，∴c 2－a 2a 2≥3，∴e ≥2.9．(文)(2013·浙江宁波四中)椭圆2x 2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x －4的距离的最小值是________．[答案] 2－104[解析] 设与直线y ＝3x －4平行的椭圆的切线方程为y ＝3x ＋c ，代入2x 2＋y 2＝1得5x 2＋23cx ＋c 2－1＝0，由Δ＝12c 2－20(c 2－1)＝0，得c ＝±102，可知直线y ＝3x －102与y ＝3x －4距离最近，此两直线距离为d ＝2－104. (理)(2012··湖南长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．[答案]2[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝1中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63， ∴|AB |＝1＋1|63－(－63)|＝433， ∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×433×62＝ 2.三、解答题10．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA ⊥MB ，并说明理由． [解析] (1)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y ＝－p2的距离，∴1＋p2＝2，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的焦点为F (0,1)，直线l 的方程y ＝2x ＋1， 设点A 、B 、M 的坐标分别为(x 1，x 214)、(x 2，x 224)、(x 0，x 204)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝2x ＋1.消去y 得，x 2＝4(2x ＋1)，即x 2－8x －4＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4.∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋(x 214－x 204)(x 224－x 24)＝0，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋116(x 1－x 0)(x 2－x 0)(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0.∵M 不与A ，B 重合，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)≠0，∴1＋116(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0，x 1x 2＋(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋16＝0， ∴x 20＋8x 0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.∴方程x 20＋8x 0＋12＝0有解，即抛物线C 上存在一点M ，使得MA ⊥MB .能力拓展提升11.(2013·浙江嵊州一中月考)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使得OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．[解析] (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线方程为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)(x 0>0)， ∵OM →＋ON →＝tOD →，∴x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝(33x 1－2)＋(33x 2－2) ＝33(x 1＋x 2)－4＝12， ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．(文)(2013·山西山大附中月考)已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证：|MA |，|MC |，|MB |成等比数列；(2)设MA →＝αAC →，AB →＝βBC →，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． [解析] (1)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x 得k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2k ，0)，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k2.②∴|MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝4(1＋k 2)k 2，而|MC |2＝(1＋k 2|－2k －0|)2＝4(1＋k 2)k 2，∴|MC |2＝|MA |·|MB |≠0， 即|MA |，|MC |，|MB |成等比数列．(2)由MA →＝αAC →，MB →＝βBC →得(x 1，y 1－2)＝α(－x 1－2k ，－y 1)，(x 2，y 2－2)＝β(－x 2－2k ，－y 2)，即得α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2，则α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.将②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值，且定值为－1.(理)(2013·北京东城联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构在的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为－12，求斜率k 的值；②若点M (－73，0)，求证：MA →·MB →为定值．[解析] (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为x 25＋y 253＝1.(2)①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋y 253＝1中得，(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＝48k 2＋20>0， x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为AB 中点的横坐标为－12，所以－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33.②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，所以MA →·MB →＝(x 1＋73，y 1)(x 2＋73，y 2)＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋y 1y 2＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(73＋k 2)(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋(73＋k 2)(－6k 23k 2＋1)＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49.∴MA →·MB →为定值．13．(文)点A 、B 分别为椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解析] (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x－4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0.消去y 得，2x 2＋9x －18＝0，∴x ＝32或x ＝－6，由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝532，所以点P 的坐标是(32，532)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是 |m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.∵椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离是d ， ∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时d 取最小值15.(理)如图所示，在△DEM 中，ED →⊥EM →，OD →＝(0，－8)，N 在y 轴上，且DN →＝12(DE →＋DM →)，点E在x 轴上移动．(1)求点M 的轨迹方程；(2)过点F (0,1)作互相垂直的两条直线l 1、l 2，l 1与点M 的轨迹交于点A 、B ，l 2与点M 的轨迹交于点C 、Q ，求AC →·QB →的最小值．[解析] (1)设M (x ，y )，E (a,0)，由条件知D (0，－8)， ∵N 在y 轴上且N 为EM 的中点，∴x ＝－a ， ∵ED →⊥EM →，∴ED →·EM →＝(－a ，－8)·(x －a ，y )＝－a (x －a )－8y ＝2x 2－8y ＝0，∴x 2＝4y (x ≠0)， ∴点M 的轨迹方程为x 2＝4y (x ≠0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，直线l 1：y ＝kx ＋1(k ≠0)，则直线l 2：y ＝－1k x＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－4kx －4＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2＋4k x －4＝0，∴x 3＋x 4＝－4k，x 3x 4＝－4.∵A 、B 在直线l 1上，∴y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1， ∵C 、Q 在直线l 2上，∴y 3＝－1k x 3＋1，y 4＝－1k x 4＋1.∴AC →·QB →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)·(x 2－x 4，y 2－y 4) ＝(x 3－x 1)(x 2－x 4)＋(y 3－y 1)·(y 2－y 4)＝(x 3－x 1)(x 2－x 4)＋(－1k x 3－kx 1)(kx 2＋1kx 4)＝x 3x 2－x 1x 2－x 3x 4＋x 1x 4－x 2x 3－k 2x 1x 2－1k2x 3x 4－x 1x 4＝(－1－k 2)x 1x 2＋(－1－1k 2)x 3x 4＝4(1＋k 2)＋4(1＋1k 2)＝8＋4(k 2＋1k 2)≥16等号在k 2＝1k2时取得，即k ＝±1时成立．∴AC →·QB →的最小值为16.14．(文)(2013·东北三校联考)已知点E (m,0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 斜率分别为k 1、k 2的两条直线交抛物线于点A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求三角形EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．[解析] (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， 设AB 方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.AB 中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴M (2k 21＋1，2k 1)；同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12(2k 21)2＋(2k 1)2·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4， 当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. (2)设AB 方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，AB 中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴M (2k 21＋m ，2k 1)；同理，点N (2k 22＋m ，2k 2)．∵k 1＋k 2＝1，∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，∴l MN ：y －2k 1＝k 1k 2[x －(2k 21＋m )]，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．(理)(2013·石嘴山市调研)如图，已知椭圆C ：x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，短轴右端点为A ，M (1,0)为线段OA 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆C 相交于两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM ＝∠QNM ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)由题意知b ＝2，又e ＝22，即a 2－4a ＝22，解得a ＝22，所以椭圆方程为x 24＋y 28＝1.(2)假设存在点N (x 0,0)满足题设条件．当PQ ⊥x 轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM ＝∠QNM ，即x 0∈R ；当PQ 与x 轴不垂直时，设PQ 的方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程中化简得：(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 22＋k 2，x 1x 2＝k 2－82＋k 2，k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝k (x 1－1)x 1－x 0＋k (x 2－1)x 2－x 0＝k (x 1－1)(x 2－x 0)＋k (x 2－1)(x 1－x 0)(x 1－x 0)(x 2－x 0)，∵(x 1－1)(x 2－x 0)＋(x 2－1)(x 1－x 0) ＝2x 1x 2－(1＋x 0)(x 1＋x 2)＋2x 0＝2(k 2－8)2＋k 2－2(1＋x 0)k 22＋k 2＋2x 0.若∠PNM ＝∠QNM ，则k PN ＋k QN ＝0，即k [2(k 2－8)2＋k 2－2(1＋x 0)k 22＋k 2＋2x 0]＝0，整理得k (x 0－4)＝0，∵k ∈R ，∴x 0＝4.综上，在x 轴上存在定点N (4,0)，使得∠PNM ＝∠QNM .考纲要求1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．理解直线与圆锥曲线的位置关系． 3．理解数形结合思想的应用． 补充说明 1．向量法向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题．2．点差法涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题)时，常用根与系数的关系及点差法求解．[例]P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内的一定点，过P 点引一弦，与椭圆相交于A 、B 两点，且P 恰好为弦AB 的中点，如图所示，求弦AB 所在的直线方程及弦AB 的长度．[解析] 设弦AB 所在的直线方程为 y －1＝k (x －1)，A 、B 两点坐标分别为 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 21＋2y 21＝4，① x 22＋2y 22＝4.②①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵P (1,1)为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2. ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴所求直线的方程为y －1＝－12(x －1)．即x ＋2y －3＝0.将其代入椭圆方程整理得，6y 2－12y ＋5＝0. 根据弦长公式，有|AB |＝1＋(－2)2·122－4×6×56＝303.[说明] (1)点差法的一个基本步骤是：点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在圆锥曲线f (x ·y )＝0上，∴f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0，两式相减f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，然后变形构造出y 2－y 1x 2－x 1及x 1＋x 2和y 1＋y 2，再结合已知条件求解．(2)中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是否过焦点，遇到AO ⊥BO 的情况，常用AO →·BO →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法解决．3．要重视解题过程中思想方法的提炼及解题规律的总结 (1)方程思想解析几何题大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此直线与圆锥曲线相交的弦长问题常归纳为对方程解的讨论．利用韦达定理进行整体处理，以简化解题运算量．(2)函数思想对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a 、b 、c 、e 、p 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．(3)坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练． (4)对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．(5)数形结合解析几何是数形结合的典范，解决解析几何问题应充分利用图形的直观和曲线的几何性质，才能简化解答过程．(6)参数思想一些解析几何问题，在解题过程中可先引入适当的参数(如斜率k ，点的坐标，圆锥曲线方程中的系数等)，把所研究问题转化为参数的函数或不等式、方程等来解决．备选习题1．(2013·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F (12，0)，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．[解析](1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)， M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上， 所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．2．(2013·陕西理，20)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦长MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．[解析] (1)如图，设动圆的圆心O 1(x ，y )，由题意知|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 为MN 的中点，∴|O 1M |2＝|O 1H |2＋|MH |2＝x 2＋16， 又|O 1A |2＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋16，整理得y 2＝8x (x ≠0)， 当O 1在y 轴上时，∵|OA |＝4＝12|MM |，∴O 1与O 重合，此时点O 1(0,0)也满足y 2＝8x ， ∴动圆圆心O 1的轨迹C 方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．。
2015年高考数学(文)总复习精品课件：专题四 圆锥曲线的综合及应用问题
下面几点对同学的备考必定大有裨益： (1)直线与圆锥曲线相交的问题，牢记“联立方程，把要求 的量转化为韦达定理”，当然别忘记判别式Δ>0 的范围限制和 直线斜率不存在的情况．
(2)涉及弦中点的问题，牢记“点差法”是联系中点坐标和 弦所在直线的斜率的好方法．
(3)求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出 两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量” .不等 式的来源可以是Δ>0 或圆锥曲线的有界性或是A(－1,0)，B(1,0)． 设双曲线 C 的方程为 x2－by22＝1(b>0)， 因为双曲线的离心率为 5，所以 1＋1 b2＝ 5，即 b＝2. 所以双曲线 C 的方程为 x2－y42＝1. (2)证法一：设点 P(x1，y1)，T(x2，y2)(xi>0，yi>0，i＝1,2)， 直线 AP 的斜率为 k(k>0)， 则直线 AP 的方程为 y＝k(x＋1)，
(3)解：设点 P(x1，y1)，T(x2，y2)(xi>0，yi>0，i＝1,2)， 则P→A＝(－1－x1，－y1)，P→B＝(1－x1，－y1)． 因为P→A·P→B≤15，所以(－1－x1)(1－x1)＋y21≤15，即 x21＋y21 ≤16. 因为点 P 在双曲线上，则 x21－y412＝1，
y＝kx＋1， 联立方程组x2＋y42＝1， 整理，得(4＋k2)x2＋2k2x＋k2－4＝0. 解得 x＝－1 或 x＝44－ ＋kk22.所以 x2＝44＋ －kk22. 同理可得 x1＝44－ ＋kk22. 所以 x1·x2＝1.
证法二：设点 P(x1，y1)，T(x2，y2)(xi>0，yi>0，i＝1,2)， 则 kAP＝x1y＋1 1，kAT＝x2y＋2 1. 因为 kAP＝kAT，所以x1y＋1 1＝x2y＋2 1，即x1＋y21 12＝x2＋y22 12. 因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上， 所以 x21－y412＝1，x22＋y422＝1. 即 y21＝4(x21－1)，y22＝4(1－x22)． 所以4xx1＋21－112＝4x12＋－1x222，即xx11－ ＋11＝x12－＋x12. 所以 x1·x2＝1.
高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课件 文
【思路启迪】 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二 次方程，由判别式大于零可得 k 的范围；(2)利用根与系数的关系 结合已知条件确定 k 的值即可判断．
答案：A
2．已知(4,2)是直线 l 被椭圆3x62 ＋y92＝1 所截得的线段的中点，
则 l 的方程为( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y＋4＝0 D．x＋2y－8＝0
析：设 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有33xx662122 ＋＋yy992122＝＝11，，
虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核
心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范 围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范 围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
在建立函数关系时，注意函数的定义域．
(2014·北京卷)已知椭圆 C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上， 且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的最小值．
解析：设直线 PA 的斜率为 kPA，PB 的斜率为 kPB， 由 y21＝2px1，y20＝2px0，得 kPA＝yx11－ －yx00＝y12＋py0， 同理 kPB＝y22＋py0， 由于 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补， 因此y12＋py0＝－y22＋py0，即 y1＋y2＝－2y0(y0>0)， 那么y1＋y0 y2＝－2. 答案：－2
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 圆锥曲线的综合问题课件
p
已知抛物线y2=2px(p>0)的弦AB的中点M(x0,y0)(y0≠0) ,则kAB=⑧ yc0 . 若涉及直线过圆锥曲线焦点的问题,则一般利用圆锥曲线的定义去解决.
4.定点、定值问题 (1)求定值问题常见的方法 (i)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (ii)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)定点问题的常见解法 (i)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该 方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解 为坐标的点即所求定点; (ii)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.
6.求定值、最值问题等圆锥曲线综合问题要四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 7.存在性问题 一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决存在性问题.
1.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分,则m与n的关系 是( ) A.m+n=4 B.mn=4 C.m+n=mn D.m+n=2mn 答案 C 解法一:焦点为F(1,0),设焦点弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),当直 线AB的斜率存在时,依题意设AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 由焦半径公式得AF=x1+1=m,BF=x2+1c =n,又 y2 4x,
1 k2
c
|y1-y2|(k≠0)
.
3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的一条弦,AB中点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),
浙江专版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题课件
(2018·浙江六校联考)如图，椭圆 C1：xa22＋yb22＝ 1(a>b>0)和圆 C2：x2＋y2＝b2，已知圆 C2 将 椭圆 C1 的长轴三等分，且圆 C2 的面积为 π. 椭圆 C1 的下顶点为 E，过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意 直线 l 与圆 C2 相交于点 A，B，直线 EA，EB 与椭圆 C1 的另一 个交点分别是点 P，M. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)求△EPM 面积最大时直线 l 的方程．
2．已知双曲线xa22－by22＝1 与直线 y＝2x 有交点，则双曲线离心
率的取值范围为
()
A．(1， 5)
B．(1， 5 ]
C．( 5，＋∞)
D．[ 5，＋∞)
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为 y＝bax，
则由题意得
b a
>2，所以
e＝ac＝
1＋ba2> 1＋4＝ 5.
答案：C
考点二 弦长问题
第九 节
圆锥曲线的综合问题
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必过 教材 关
1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x， y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的 一元方程．
故实数 k 的取值范围为(－∞，－1)∪{0}∪12，＋∞.
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
2015年高考数学第一轮复习课件：8.9圆锥曲线的热点问题
知识梳理 辨析感悟
技能与规律探究
探究一 直线与圆锥曲线 位置关系
探究二 圆锥曲线中的弦长 问题
探究三 圆锥曲线中的定点、 定值问题
探究四 圆锥曲线中的范围 与最值问题
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3 例4 训练4
第一页，编辑于星期五：十一点 五十一分。
1．直线与圆锥曲线的位置关系
解析(1) 因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(－1,0)，所以 c＝1.
把点 所以
Pa2(＝0,1b)2代＋入c2＝椭2圆. xa所22＋以by22椭＝圆1，C得1 b的12＝方1程，为即x22b＋＝y12＝ ，1.
(2) 由题意可知，直线 l 的斜率显然存在，且不等于 0，
设直线 l 的方程为 y＝kx＋m. 联立x22＋y2＝1，消去 y 并整理得
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 C_无__公___共__点___.
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥 曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
第二页，编辑于星期五：十一点 五十一分。
联立yy2＝＝k4xx＋，m， 消去 y 并整理得 k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
因为直线 l 与抛物线 C2 相切，所以 Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.
整理得 km＝1.②
综合①②，解得k＝ 22， 或k＝－ 22，
m＝ 2
m＝－ 2.
所以直线 l 的方程为 y＝ 22x＋ 2或 y＝－ 22x－ 2.
第十一页，编辑于星期五：十一点 五十一分。
(2) 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 O→P ＋O→Q ＝(x1＋x2，y1＋y2)
圆锥曲线的综合问题课件
圆锥曲线在生活中的应用和价值
展望未来研究方向
探索圆锥曲线在各个领域的应用前景
关注圆锥曲线研究的最新进展和趋势
深入研究圆锥曲线的性质和几何特征
探讨圆锥曲线与其他数学分支的联系与融合
汇报人：
感谢观看
立体与圆锥曲线的交点求解方法
典型例题的解析与讨论
立体与圆锥曲线的最值问题
定义：最值问题是指求解某个函数在一定范围内的最大值或最小值
解题方法：常用的解题方法有代数法、几何法、三角法等
注意事项：在解题过程中需要注意函数的定义域、取值范围等限制条件
分类：根据不同的分类标准，可以分为不同的类型
06
圆锥曲线在实际问题中的应用
椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线的一般方程
03
圆锥曲线与直线的综合问题
直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的交点求解
直线与圆锥曲线的综合应用
直线与圆锥曲线的交点问题
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的交点求解方法
直线与圆锥曲线交点的应用
直线与圆锥曲线交点问题的注意事项
,a click to unlimited possibilities
圆锥曲线的综合问题课件
目录
01
添加目录标题
02
圆锥曲线的定义和性质
03
圆锥曲线与直线的综合问题
04
圆锥曲线与平面的综合问题
05
圆锥曲线与立体的综合问题06圆锥来自线在实际问题中的应用07
总结与展望
01
添加章节标题
02
圆锥曲线的定义和性质
直线与圆锥曲线的最值问题
2015高考数学一轮课件：专题五 圆锥曲线的综合问题
元二次方程解的情况来判断．设直线 l 的
方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程
f(x，y)＝0.
Ax＋By＋C＝0
由fx，y＝0
，消元
1.直线和圆锥曲线问题解法的
一般规律
“联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
第二页，编辑于星期五：十三点 三十分。
基础知识·自主学习
题型二
圆锥曲线中的定点、定值问题
【例 2】 已知椭圆 C 经过点 A1，32，
思维启迪
解析
探究提高
(1)解 由题意，c＝1，可设椭圆
两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率
∵y1y2>0，∴y1y2＝4， 则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝x12＋x22＋y21＋y22－2(x1x2＋y1y2)
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十四页，编辑于星期五：十三点 三十分。
题型分类·深度剖析
题型一
圆锥曲线中的范围、最值问题
【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x，
过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点，设A→P＝λA→Q. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； (2)若 λ∈13，12，求|PQ|的最 大值．
思维启迪
解析
探究提高
＝λ＋1λ2＋4λ＋1λ－12
＝λ＋1λ＋22－16，
λ∈13，12，λ＋1λ∈52，130， 当 λ＋1λ＝130，即 λ＝13时，|PQ|2 有最大值1192，|PQ|的最大值为 47