2018年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)
2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}2．（5分）设复数z1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4log x2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4log x2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤46．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．1808．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx）D．x2f（cosx）10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是（）A．B．1 C．D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．212．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：人员结构40岁以上（含40岁以上（含40岁以下男40岁以下女选择意愿40岁）男性40岁）女性性性选择甲公司11012014080选择乙公司150********（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879 19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}【解答】解：B={x|x﹣x2=0}={0，1}，则A∩B={0，1}，故选：D2．（5分）设复数z1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵z1=2+i，z2=1+ai，∴，若，则1﹣2a=0，即a=．故选：C．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，基本事件有10个，分别为：（红1，红2），（红1，红3），（红1，篮1），（红1，篮2），（红2，红3），（红2，篮1），（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），（篮1，篮2），这两个球颜色不同且标号之和不小于4包含的基本事件有3个，分别为：（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），故这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为p=．故选：A．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4log x2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4log x2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤4【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即：¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤4，故选：D．6．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．【解答】解：tanθ=2，则======．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx）D．x2f（cosx）【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=x2+2x，则有﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，则函数f（x）为偶函数，分析选项：对于A，设g（x）=f（sinx），有g（﹣x）=f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于B，设g（x）=f（cosx），有g（﹣x）=f[cos（﹣x）]=f（cosx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于C，设g（x）=xf（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）f[sin（﹣x）]=﹣xf（﹣sinx）=﹣xf（sinx）=﹣g（x），为奇函数，符合题意；对于D，设g（x）=x2f（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）2f[sin（﹣x）]=x2f（﹣sinx）=x2f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；故选：C．10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是（）A．B．1 C．D．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AO PM，∴A1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选：D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：如图，∵以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N，∴，∵直线l：x﹣y+c=0的倾斜角为300，，∠NAF1=600，∴由，得（y2﹣2．y N=整理得：c3﹣3c2a+4a3=0⇒e3﹣3e2+4=0，（e3+1）﹣3（e2﹣1）=0⇒（e+1）（e2﹣4e+4）=0．∴e=2，故选：C12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为±2．【解答】解：由y=xlnx，得y′=1+lnx，∴y′|x=1=1，由y=，得y′=﹣，设P（x0，y0），则y′=|=﹣，由题意可得：﹣=﹣1，∴x0=±2．则P点的横坐标为±2．故答案为：±2．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=．【解答】解：△ABC中，∵cosA=，可得：sinA==，∴由正弦定理可得：b===7，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：49=25+c2﹣5c，解得：c=8或﹣3（舍去），=acsinB==．∴S△ABC故答案为：．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是24π．【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理可得cosB==﹣，则sinB==，=2，则AC边上的高为h=1，平面四边形ABCD中，，四边形是筝形，AC⊥BD，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，△ACD翻折成△ACD'两个三角形所在平面垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：则A（0，0，0），B（0，1，1），C（0，4，0），D（1，1，0），设外接球的球心为（x，y，z），则|OA|=|OB|=|OC|=|OD|，可得：，解得x=﹣1；y=2，z=﹣1，外接球的半径为：r=|OA|==，外接球的表面积为：4πr2=24π；故答案为：24π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．+b n=n，则a2+b1=1，得a2=4，a3+b2=2，得a3=8，【解答】解：（1）因为a n+1因为数列{a n}是等比数列，所以，所以．（2）由（1）可得，所以=．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879【解答】解：（1）设40岁以上（含40岁）与40岁以下群体中选择甲公司的概率分别为P1，P2，由数据知P1==≈0.49，P2==≈0.42，因为P1＞P2，所以年龄40岁以上（含40岁）的群体选择甲公式的可能性要大；（2）因为k1=0.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表：选择甲公司选择乙公司合计男250350600女200200400合计4505501000计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，根据临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：取CD的中点为O，连接OP，OB，则OD=BA=2，因为AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，所以四边形ABOD是正方形，OB⊥CD，因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，由OP∩OB=O，所以CD⊥平面POB，PB⊂平面POB，所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB，则在Rt△ABP中，∠PAB=60°，AB=2，所以，在Rt△DOP中，，所以OB2+OP2=4+8=12=PB2，即OP⊥OB，又CD∩OB=O所以PO⊥底面ABCD，即顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点．（2）解：由题设与（1）可得，因为DQ⊥PB，所以，解得，所以，又，设三棱锥Q﹣BCD的高为h，则，又，所以三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得，则，代入x=c，得y2=4ax，即，所以，则有，所以椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为y2=8x．（2）依题意，可知直线l的斜率不为0，可设l：x=my﹣2，联立，得y2﹣8my+16=0，设M（x1，y1），N（x1，y1），则M'（x1，﹣y1），△＞0，得m＜﹣1或m＞1，，所以直线M'N的斜率，可得直线M'N的方程为，即=，所以当m＜﹣1或m＞1时，直线M'N恒过定点（2，0）．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，即，①当x1=x2，即时，f'（x）≥0，f（x）是（0，+∞）上的增函数；②当x1＜x2，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；③当x2＜x1，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，当时，f（x）在单调递增，在单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递增，在在单调递减．（2）若a＜0，令f'（x）=0，即（2x﹣a）（1+lnx）=0，得，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当时，f（x）取得极小值，以下证明：在区间上，f（x）＜0，令，则，，，因为a＜0，t＞1，不等显然成立，故在区间上，f（x）＜0，又，即，故当a＜0时，函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。
【省级联考】2018年广东省高考数学一模试卷(文科)
2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 若复数z满足（1+i）z=1,则复数z的虚部为（）A. B. C. D.2. 已知集合A={x|x>0} , B={X|X2V 1}，则A U B=（）A. （0，+x）B. （0，1）C. （- 1，+x）D. （- 1，0）3. 常数m是2与8的等比中项”是“口=4勺（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1,靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）2 25. 已知F是双曲线C:「-' =1 （a>0, b>0）的一个焦点，点F到C的一a2 b2条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A. 2 :■:B. :■:C. 口D. 26. 等差数列log3 （2x），log3 （3x），log3 （4x+2），••的第四项等于（）A. 3B. 4C. log318D. log3247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. -B.-C D.兀20252520A . 48+8 nB . 96+8 n C. 96+16 n D . 48+16 n 8.已知曲线.i?，则下列结论正确的是（）A .把C 向左平移鈴个单位长度，得到的曲线关于原点对称B •把C 向右平移丄个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称12C •把C 向左平移芈个单位长度，得到的曲线关于原点对称3 D .把C 向右平移一个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称69. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传 大衍之数五十”的推论.主要用于 解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中， 曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1再除以2,其前10项依次是0，2, 4，8，12，18，24, 32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个 先后填入（ ）J-|_”中，可以A ,B 分别为切点，贝U ■- - r 1'■的最小值为( )I 2K +1 -1 I1二，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )-x+51 K ^2=f ( b ) =f (c ),则2a +2b +2c 的取值范围是()A . n 是偶数，n 》100 B. C. n 是偶数，n > 100 D . f(x) Kn 是奇数，n > 100 n 是奇数，n > 10010. 已知函数在其定义域上单调递减，则函数f (x )11.已知抛物线C : y 2=x , M 为x 轴负半轴上的动点, MA , MB 为抛物线的切线,1 .A.)A . (16, 32) B. (18, 34) C. (17, 35) D . (6, 7)、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量 石，&的夹角为30°则|石-體二| = ______________ .14. 设x , y 满足约束条件4x+5y<6，则z=x+y 的最大值为 ___________ .* 5K+4y^315. 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且「1二二“「二--.，则a 5= ___ .16. 如图，圆形纸片的圆心为 0,半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中 心为O , E , F , G , H 为圆O 上的点，△ ABE △ BCF , △ CDQ △ ADH 分别是以 AB , BC, CD, DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 AB , BC, CD, DA 为折痕折起△ ABE △ BCF △ CDQ △ ADH ,使得E, F , G, H 重合，得到一 个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2倍时，该四棱锥的外接球的体积 为 .17. (12.00 分)在厶 ABC 中,角 A , B ,.....(1)证明：（2）若丄-—-■—,求厶ABC 的面积.18. （12.00分）微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动 手环或手机协处理器的运动数据为介， 然后关注该公众号，就能看见自己与好友三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第17-21题为 必考题，每道试题考生都必须作答.第22、 （一）必考题：共60分.23题为选考题，考生根据要求作答• C 所对的边分别为 a , b , c ,已知每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现•现随机选取朋友圈中的50人, 记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0 〜30003001〜6000 6001〜80008001 〜1000010000以上男生人数/127155人女性人数/03791人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为积极性”否则为懈怠性”(1)填写下面列联表(单位：人)，并根据列表判断是否有90%的把握认为评定类型与性别有关”男女总计积极性懈怠性总计附：P (K2》k0)0.100.050.0100.0050.001k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828 n(ad-bc)2'(c+d) Cate) (fc+d)(2)为了进- 「步了解懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001〜6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.19. (12.00 分)如图，在直角梯形ABCD 中，AD// BC, AB 丄BC,且BC=2AD=4 E, F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE丄CF,得到如下的立体图形.(1)证明：平面AEFDL平面EBCF(2)若BD丄EC,求点F到平面ABCD的距离.220. ( 12.00分)已知椭圆；—⑴字).(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线I 与椭圆C 交于P, Q 两点(点P , Q 均在第一象限)，且直线OP, l , OQ 的斜率成等比数列，证明：直线I 的斜率为定值. 21. (12.00 分)已知函数 f ( x ) =6"- x 2 — ax.(1) 证明：当a < 2 -2ln2时，函数f (x )在R 上是单调函数; (2) 当x >0时，f (x )> 1 - x 恒成立，求实数a 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. (10.00分)在直角坐标系 xOy 中，圆G: (x - 2) 2+ (y -4) 2=20，以坐标 原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2: B 斗(p€R ). (1) 求C 1的极坐标方程和C 2的平面直角坐标系方程；(2) 若直线C 3的极坐标方程为，设Q 与C 1的交点为0、M ，C 3| 6 与C 1的交点为0、”，求厶OMN 的面积.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数 f (x ) =3| x - a|+| 3x+1|，g (x ) =| 4x - 1| - | x+2| . (1) 求不等式g (x )v 6的解集；(2) 若存在X 1，X 2€ R ，使得f (X 1)和g (x 2)互为相反数，求a 的取值范围.2018年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的• 1.若复数z 满足（1+i ） z=1,则复数z 的虚部为（）2 ______________________的离心率为一,且C 过点A.耳B•丄CD.丄2 1 2 2 1 2【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：由（1+i）z=1，得___________ 旦______ 丄匚则复数z的虚部为一.故选：D.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.2. 已知集合A={x|x>0}，B={X|X2V 1}，则A U B=（）A. （0，+x）B. （0，1）C. （- 1，+x）D. （- 1，0）【分析】先求出集合A，B,由此能求出A U B.【解答】解：•集合A={x| x> 0}，B={x| x2< 1}={x| - 1v x v 1}，••• A U B={x|x>- 1}= （- 1，+x）.故选：C.【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力, 考查函数与方程思想，是基础题.3. 常数m是2与8的等比中项”是“m=4W（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用等比中项公式求解.【解答】解：t m 是两个正数2和8的等比中项， m=± : ;=±4.故m=± 4是m=4的必要不充分条件， 故选：B.【点评】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正 数的等比中项有两个.4. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1,靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可. 【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是： 16只-兀1 =3=100K 20，故选：A .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算， 求出黑色阴影部分的面积是解决本 题的关键.条渐近线的距离为2a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. :C.!■ D. 2【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a ，进而可得5. 已知F 是双曲线C ：=1 （a >0，b >0）的一个焦点，点F 到C 的一2~2ac 二；-「：, = . ! a ,由双曲线的离心率公式计算可得答案. 【解答】解：根据题意，F 是双曲线C: 4^7=1(a >°，b >0)的一个焦点,b若点F 到C 的一条渐近线的距离为2a ,则b=2a ,故选：C.【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为 b .6. 等差数列 log 3 (2x ), log 3 (3x ), log 3 (4x+2), ••的第四项等于()A . 3 B. 4C. log 3l8 D . Iog 324【分析】由等差数列的性质得Iog 3 (2x ) +Iog 3 (4x+2) =2log (3x ),求出x=4 , 等差数列的前三项分别是Iog 38 , Iog 3l2 , Iog 3l8 ,由此能求出第四项. 【解答】解：•••等差数列 Iog 3 (2x ) , Iog 3 (3x ), Iog 3 (4x+2),…， ••• Iog 3 (2x ) +Iog 3 (4x+2) =2log 3 (3x ), ••• x (x - 4) =0 , 又 2x > 0, • x=4 ,•等差数列的前三项分别是Iog 38 , Iog 312 , Iog 318 , 3d=log 312 - Iog 38=l 口呂帀,•••第四项为 L og 3is+lo e 3|=log327=3. 故选：A .【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识， 考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()则双曲线C 的离心率eA . 48+8 nB . 96+8 n C. 96+16 n D . 48+16 n【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积. 【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱， •表面积为：4X 6 X 2+2 (4 X 6 - 4 n) +2X 2nX 4=96+8 n ， 故选：B.【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图， 结构特征，面积计算，属于基础题.8.已知曲线C ： y=sin，贝U 下列结论正确的是( )A .把C 向左平移卷个单位长度，得到的曲线关于原点对称B •把C 向右平移令个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 兀丨c •把C 向左平移 守个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D .把C 向右平移——个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称6 【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案. 【解答】解：把C 向左平移」个单位长度，12 可得函数解析式为 y=sin[2 (x+^—)] =sin (2x^^) =cos2x, 1 z ! 丄得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误; 把C 向右平移——个单位长度， I X 可得函数解析式为y=sin[2 (x —-)得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确；-T-] =sin (2x-=-cos2x,把C向左平移一个单位长度，3可得函数解析式为y=sin[2 (x+ ) ] =sin (2x^—),3 3 3取x=0,得y=」，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移——个单位长度，可得函数解析式为y=sir(2 (x-丄)-—]=sin& & 3(2x_寻忑),取x=0，得y=- —，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错2误.•••正确的结论是B.故选：B.【点评】本题考查y=Asin (^x©)型函数的图象变换，考查y=Asin (^x©)的图象和性质，是基础题.9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1再除以2, 其前10项依次是0, 2, 4, 8, 12, 18, 24, 32, 40, 50,…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入( )A. n是偶数，n》100B. n是奇数，n > 100C. n是偶数,n> 100D. n是奇数，n> 100【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可.【解答】解：n=1，s=0,n=2，s=2,n=3，s=4,992-In=99, s=—.n=100, s=—' n=101> 100，结束循环，故选：D.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出正确的结论，是基础题.10. 已知函数在其定义域上单调递减，贝U函数f（x）的图象可能是（）e可得［e但不恒等于0, 即f (x )> f ( x )恒成立, 对于A , f (x )>0恒成立，且f (x )< 0, 则f (x )> f ( x )恒成立;对于B ,由f (x )与x 轴的交点设为(m , 0), (m >0), 可得 f (m ) =0, f'(m )>0, f (x )>f'(x )不成立;对于 C ,可令 f (x ) =t (t v 0), f'(x ) =0, f (x )> f ( x )不成立; 对于D , f (x )在x >0时的极小值点设为n ,则 f (n )v 0, f (n ) =0, f (x )>f (x )不成立. 则A 可能成立， 故选：A .【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查数形结合思想方法，以及分析判 断能力，属于中档题.11. 已知抛物线C : y 2=x , M 为x 轴负半轴上的动点，MA , MB 为抛物线的切0,结合选项即可得【解答】解：函数在其定义域R 上单调递减,Ce到所求图象.但不恒等于线，A , B 分别为切点，则八-r 】的最小值为（ ）性质，属于中档题（|I 匕专12.设函数■ <： "：，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）卜計5, K >2=f （ b ） =f （c ），则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A . （16，32） B. （18，34） C. （17，35） D . （6，7）【分析】不妨设a v b v c ，利用f （a ） =f （b ） =f （c ），结合图象可得c 的范围,即可 2a +2b =2【解答】解：不妨设a v b v c ,则1- 2a =2b - 1,则2a +2b =2, 结合图象可知c €（ 4, 5）, 则 2a +2b +2c €（ 18, 34）,A .B.C -D .4【分析】设切线MA 的方程为x=ty+m ，代入抛物线方程得y 2- ty - m=0，由直线 与抛物线相切可得△ =t 2+4m=0，分别求出A ，B ，M 的坐标，根据向量的数量积 和二次函数的性质即可求出【解答】解：设切线MA 的方程为x=ty+m ，代入抛物线方程得y 2- ty - m=0, 由直线与抛物线相切可得△ =t 2+4m=0,£ 4，号 一 异将点A 的坐标代入x=ty+m ，得m=-，4--M （- —， ）， • •页而=（牙，寸）?号，冷）21 2 故选：C.则当t 2.1 4 4 1 - 1 1【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系, 以及向量的数量积和二次函数的，即 t= ±=-故选：B.【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量石，耳的夹角为30°则|石-齒q 1= 1 .【分析】根据单位向量"「的夹角为30。
广东省佛山市2018届高三教学质量检测(一)-文科数学试题-word版
2017-2018学年佛山市普通高中高三教学质量检测〔一〕数学〔文科〕 2018年1月本试卷分第Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅱ卷〔非选择题〕两部分．总分值150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}101，，-=A ，{}02=-=x x B ，则=⋂B A ( )A. {}0B. {}1C. )10(，D. {}10，2. 设复数i z +=21,i 12a z +=，假设R z z ∈⋅21，则实数=a 〔 〕A. -2B. 21-C.21 D. 23. 假设变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为〔 〕A ．1-B ．0C ．3D ．94. 袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1、2、3；蓝色球2个，标号分别为1、2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为〔 〕A.103 B.52 C.53 D.107 5. 已知命题42log 4log ,1:2>+>∀x x x p ，则p ⌝为〔 〕 A. 42log 4log ,1:2≤+≤∀⌝x x x p B. 42log 4log ,1:2≤+≤∃⌝x x x pC. 42log 4log ,1:2=+>∃⌝x x x pD. 42log 4log ,1:2≤+>∃⌝x x x p6. 把曲线1C ：)6sin(2π-=x y 上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的21，得到曲线2C ，则2C 〔 〕A. 关于直线4π=x 对称B. 关于直线125π=x 对称C. 关于点），（012π对称 D. 关于点），（0π对称7. 当5,2m n ==时，执行图2所示的程序框图，输出的S 值为〔 〕A ．20B ．42C ．60D ．1808. 已知tan 2θ=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕A ．12B ．25C ．15D ．1109 .已知函数22+20()-20x x x f x x x x ⎧≥=⎨<⎩（）（），则以下函数为奇函数的是〔 〕A ．)(sin x fB ．)(cos x fC ．)(sin x xfD ．)(cos x xf10. 如图2，在正方体1111D C B A ABCD -中 ,E,F 分别为1111,D C C B 的重点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且AP //平面EFDB ,则1tan APA ∠的最大值是〔 〕A.22B. 1C.2 D. 2211. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心的圆与直线l ：03=+-c y x 相切于点N ．设l 与C 的交点为,P Q ，假设点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为〔 〕A.2B.3C. 2D. 2212.设函数32()32f x x x x =-+，假设1212,()x x x x <是()()g x f x x λ=-函数的两个极值点，现给出如下结论：①假设10λ-<<，则12()()f x f x <； ②假设02λ<<，则12()()f x f x <； ③假设2λ>，则12()()f x f x <； 期中正确的结论的个数为〔 〕A. 0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷〔非选择题 共90分〕本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大共4小题，每题5分，总分值20分．13. 设(1,2),(1,1),a b c a b λ==-=+，假设a c ⊥，则实数λ的值等于 ．图114. 设曲线x x y ln =在点〔1,0〕处的切线与曲线在点P 处的切线垂直，则点P 的横坐标为 ．15.ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S = ．16. 平面四边形ABCD 中，2==AD AB ，10==CD CB ，4=AC ，沿直外表积线AC 将ACD ∆翻折成'ACD ∆，当三棱锥ABC D -'的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球外表积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(此题总分值12分)已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足123,6,b b =-=-)(*1N n n b a n n ∈=++.〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列{}n b 的前n 项和为n S ．18．(此题总分值12分)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：算结果，你能初步得到什么结论？〔Ⅱ〕假设分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的2K 的观测值为1 5.5513k ≈，则得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是多少？并用统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(此题总分值12分)如图3，已知四棱锥ABCD P -中，CD AB //，AD AB ⊥，3==AD AB ,4=CD ,PD PC =, ︒=∠=∠60PAD PAB .〔Ⅰ〕证明：顶点P 在底面ABCD 的射影为边CD 的中点； 〔Ⅱ〕点Q 在PB 上，且PB ⊥DQ ,求三棱锥BCD Q -的体积.20．(此题总分值12分)已知椭圆1C ：22221x y a b+=()00a b >>，的右顶点与抛物线2C ：22(0)y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线2C 所得的弦长为42〔Ⅰ〕求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；〔Ⅱ〕过点A (-2，0)的直线l 与2C 交于M ,N ，点M 关于x 轴的对称点'M ，证明：直线M ’N 恒过一定点.21．(此题总分值12分)已知函数2221ln )()(x x ax x x f +-=〔其中R a ∈〕. 〔Ⅰ〕假设0>a ，讨论函数)(x f 的单调性； 〔Ⅱ〕假设0<a ，求证函数)(x f 有唯一零点.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号． 22．(此题总分值10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 2cos t y t x 〔t 为参数，πα<≤0〕，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x 〔β为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.〔Ⅰ〕求曲线C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕设C 与l 交于M ，N 两点〔异于原点〕，求ON OM +的最大值.23．(此题总分值10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数R a a x x x f ∈-=,)(.〔Ⅰ〕求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；〔Ⅱ〕假设0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.。
2018年佛山一模文科数学试卷及答案 精品
2018年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学 (文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.参考公式: 棱锥的体积公式：13V Sh =.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，则集合()U A B =ð A ．{13}x x -≤< B ．{13}x x -<< C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．等差数列{}n a 中，2=d ，且431,,a a a 成等比数列，则=2aA ．4-B ．6-C ．8-D ．10-3．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．x x y e e -=+D ．3y x =-4．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且(1i)1i m n +=+，则2i i m n m n +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ．iB ．i -C ．1D ．1-5．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3 BCD ．253或36．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为A ．sin(2),3y x x π=-∈R B ．sin(2),3y x x π=+∈RC ．1sin(),26y x x π=+∈R D ．1sin(),26y x x π=-∈R8．一个简单几何体的正视图、为．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆. A ．①② B ． ②③ C ．③④ D ． ①④9. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数．．．大约是 A ．31.6岁 B ．32.6岁 C ．33.6岁 D ．36.6岁10. 已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=a b ，则12xy+的最小值为A ．32 B ．2 C ．94D．二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分）(一)必做题(11～13题)11. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________.12. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y ， 表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的最大值为 . 13. 对任意实数ba ,，函数()1(,)||2F a b a b a b =+--，如果函数2()23,f x x x =-++()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 . (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，则点)2,1(πM 到直线l 的距离为15.（几何证明选讲）如图，P 为圆O 外一点，由P 切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O C 点.已知AC AB ⊥， 1,2==PC PA .则圆O 的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若60B =， 且1411)cos(-=+C B . （1）求C cos 的值；（2）若5=a ，求△ABC 的面积.17．（本题满分12分）文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等AP级A 的事件分别记为1W 、2W 、3W ，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为1W 、2W 、3W .（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的所有可能结果（如三科成绩均为A 记为()123,,W W W ）；（2）求该同学参加这次水平测试获得两个A 的概率； （3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由.18．（本题满分14分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ， 90BCA ∠=， 4===CA BC PB ，E 为PC 的中点， M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ； （3）求三棱锥ABE F -的体积. 19．（本题满分14分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，圆1C ,2C 关于直线l 对称.（1）求直线l 的方程；（2）直线l 上是否存在点Q ，使Q 点到(A -点的距离减去Q 点到B 点的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.20．（本题满分14分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.（1）讨论函数()f x 的单调区间和极值;（2）已知1 2.71828)x e =L 和2x 是函数()f x 的两个不同的零点, 求a 的值并证明:322x e >.21．（本题满分14分）设*n N ∈，圆n C ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ，与曲线y =的交点为(,)n n N x y ，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a .（1）用n x 表示n R 和n a ；（2）若数列{}n x 满足：1143,3n n x x x +=+=.①求常数p 的值使数列{}1n n a p a +-⋅成等比数列； ②比较n a 与23n ⋅的大小.2018年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．150 12．6 13． 3 14．213- 15．π49三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．（本题满分12分） 解：（1）∵1411)cos(-=+C B , ∴ 1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-= …………………6分 （2）由（1）可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分在△ABC 中，由正弦定理 AaB bC c sin sin sin == ∴8sin sin ==ACa c , 5sin ==aAb b …………………10分 ∴310238521sin 21S =⨯⨯⨯==B ac . …………………12分 17．（本题满分12分）解：（1）该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的可能结果有8种，分别为123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）； …………………4分（2）由（1）可知，有两个A 的情况为123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）三个， 从而其概率为38P =…………………8分（3）方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%，…………………10分理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件有如下七种情况：123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）， 概率是70.87585%8P ==>.…………………12分方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个A的事件概率大于85%，…………………10分理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件有如下七种情况：123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）， 概率是70.87585%8P ==>.……………………12分18．（本题满分14分）（1）证明：∵⊥PB底面ABC，且⊂AC底面ABC，∴⊥…………………1分AC PB由90∠=，可得BCAAC⊥………………CB…………2分又 PB CB B=，∴AC⊥平面PBC (3)分注意到⊂BE平面PBC，∴⊥………………………AC BE…4分PB=,E为PC中点，∴BC⊥…………………………BE PC5分=，∴BE⊥平面 PC AC CPAC (6)分（2）取AF的中点G，AB的中点M，连接,,CG CM GM，∵E为PC中点，2=，∴FA FPEF CG. ……………7分//∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ， ∴//CG 平面BEF . (8)分同理可证：//GM 平面BEF . 又CG GM G=， ∴平面//CMG 平面BEF . (9)分 ∵CD ⊂平面CDG，∴//CD 平面BEF . (10)分（3）由（1）可知BE ⊥平面PAC又由已知可得22=BE .238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF…………12分∴93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEF B ABE F 所以三棱锥ABEF -的体积为932. …………14分19．（本题满分14分）解：（1）因为圆1C ,2C 关于直线l 对称，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)， ……………………2分显然直线l是线段12C C 的中垂线， ……………………3分线段12C C 中点坐标是(2,1)，12C C 的斜率是1212021402y y k x x --===---， ……………………5分 所以直线l的方程是11(2)y x k-=--，即23y x =-. ……………………6分（2）假设这样的Q 点存在，因为Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4，所以Q点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上， 即Q点在曲线221(2)44x y x -=≥上， ……………………10分又Q 点在直线l 上， Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解， ……………………12分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解， 所以点P 的轨迹上是不存在满足条件的点Q . ……………………14分20．（本题满分14分） 解：在区间()0,+∞上,11()axf x a xx-'=-=. ……………………2分①若0a ≤,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,无极值； ……………………4分 ②若0a >,令()0f x '=得: 1x a=.在区间1(0,)a上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a+∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数; 在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a a a=-=--.综上所述，①当0a ≤时,()f x 的递增区间()0,+∞,无极值； ……………………7分③当0a >时，()f x 的是递增区间1(0,)a ，递减区间是1(,)a+∞， 函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--. ……………………9分(2) 0,f =∴102-=，解得:a = (10)分 ∴()lnf x x x=.……………………11分 又323()022ef e =->Q ,5325()022e f e =-<,3522()()0f e f e ∴⋅<……………………13分由(1)函数()f x 在)+∞递减,故函数()f x 在区间3522(,)e e 有唯一零点, 因此322x e>.……………………14分21．（本题满分14分）解：(1)y =与圆nC 交于点N,则2222,n n n n n n R x y x x R =+=+=……………………2分由题可知，点M 的坐标为()0,n R ，从而直线MN 的方程为1n nx y a R +=, ……………………3分 由点(,)n n N x y 在直线MN上得:1n nn nx y a R +=, ……………………4分将n R =，n y =代入化简得:1n n a x =+. ……………………6分(2)由143n n x x +=+得：114(1)n n x x ++=+， ……………………7分又114x +=，故11444n nn x -+=⋅=，442n n n n a ∴==+ ……………………8分①11142(42)(4)4(2)2n n n n n n n n a p a p p p +++-⋅=+-⋅+=-⋅+-⋅，22112142(42)(164)4(42)2n n n n n n n n a p a p p p ++++++-⋅=+-⋅+=-⋅+-⋅令211()n n n n a p a q a p a +++-⋅=-⋅得：(164)4(42)2(4)4(2)2n n n np p q p q p -⋅+-⋅=-⋅+-⋅……………………9分由等式(164)2(42)(4)2(2)n n p p q p q p -⋅+-=-⋅+-对任意*n N ∈成立得：164(4)842(2)6p q p pq p q p p q -=-=⎧⎧⇔⎨⎨-=-+=⎩⎩，解得：24p q =⎧⎨=⎩或42p q =⎧⎨=⎩故当2p =时，数列{}1n n a p a +-⋅成公比为4的等比数列； 当4p =时，数列{}1n n a p a +-⋅成公比为2的等比数列。
2018年广东省高考数学一模试卷(文科)
2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z满足(1+i)z=1，则复数z的虚部为（）A.1 2iB.12C.−12i D.−122. 已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A.(0, +∞)B.(0, 1)C.(−1, +∞)D.(−1, 0)3. “常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π205. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. 等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x+2)，…的第四项等于（）A.3B.4C.log318D.log3247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）)，则下列结论正确的是（）8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3A.把C向左平移5π个单位长度，得到的曲线关于原点对称12B.把C向右平移π个单位长度，得到的曲线关于y轴对称12C.把C向左平移π个单位长度，得到的曲线关于原点对称3D.把C向右平移π个单位长度，得到的曲线关于y轴对称69. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 已知函数f(x)在其定义域上单调递减，则函数f(x)的图象可能是（）eA.C.D.11. 已知抛物线C:y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B 分别为切点，则MA →⋅MB →的最小值为（ ）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A.(16, 32)B.(18, 34)C.(17, 35)D.(6, 7)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =32n 2+12n ，则a 5=________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2=a(√33bc+a)．（1）证明：a=2√3cosA；（2）若A=π3,B=π6，求△ABC的面积．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001∼6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√32，且C过点(1,√32)．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．已知函数f(x)=e x−x2−ax．(1)证明：当a≤2−2ln2时，函数f(x)在R上是单调函数；(2)当x>0时，f(x)≥1−x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C1：(x−2)2+(y−4)2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2:θ=π3(ρ∈R)．(1)求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x−a|+|3x+1|，g(x)=|4x−1|−|x+2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由(1+i)z=1，得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，则复数z的虚部为−12．2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】∵集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1, +∞)．3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用等比中项公式求解．【解答】∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m=±√2×8=±4．故m=±4是m=4的必要不充分条件，4.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的性质得log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x)，求出x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，由此能求出第四项．【解答】∵等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x+2)，…，∴log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x)，∴x(x−4)=0，又2x>0，∴x=4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d=log312−log38=log332，∴第四项为log318+log332=log327=3．7.B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π，8.【答案】B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误；把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确；把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误； 把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)， 取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误． ∴ 正确的结论是B ．9.【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】n =1，s =0，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】A【考点】函数的图象变化【解析】由题意可得[f(x)e ]′=f′(x)−f(x)e≤0，但不恒等于0，结合选项即可得到所求图象．【解答】函数f(x)e x在其定义域R上单调递减，可得[f(x)e ]′=f′(x)−f(x)e≤0，但不恒等于0，即f(x)≥f′(x)恒成立，对于A，f(x)>0恒成立，且f′(x)≤0，则f(x)≥f′(x)恒成立；对于B，由f(x)与x轴的交点设为(m, 0)，(m>0)，可得f(m)=0，f′(m)>0，f(x)≥f′(x)不成立；对于C，可令f(x)=t(t<0)，f′(x)=0，f(x)≥f′(x)不成立；对于D，f(x)在x>0时的极小值点设为n，则f(n)<0，f′(n)=0，f(x)≥f′(x)不成立．则A可能成立，11.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，则A(t24, t2)，B(t24, −t2)，∴ M(−t 24, 0)， ∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−116 12.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)，则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32，2a +2b +2c ∈(18, 34)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1； ∴ |e 1→−√3e 2→|=1．【答案】2【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由{x −y =64x +5y =6解得A(4, −2)，【答案】14【考点】等差数列的前n项和【解析】利用a5=S5−S4即可得出．【解答】a5=S5−S4=32×52+12×5−(32×42+12×4)=14，【答案】500√3π27【考点】球的体积和表面积【解析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=x2，IE=6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a(√33bc+a)，则：b2+c2=√33abc+a2，整理得：b2+c2−a2=√33abc，由于：b2+c2−a2=2bccosA，则：2bccosA=√33abc，即：a=2√3cosA．由于：A=π3，所以：a=2√3cosA=√3．由正弦定理得：asinA =bsinB，解得：b=1．C=π−A−B=π2，所以：S△ABC=12absinC=√32．【考点】三角形求面积【解析】（1）直接利用已知条件和余弦定理求出结论．（2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理求出结果．【解答】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a(√33bc+a)，则：b2+c2=√33abc+a2，整理得：b2+c2−a2=√33abc，由于：b2+c2−a2=2bccosA，则：2bccosA=√33abc，即：a=2√3cosA．由于：A=π3，所以：a=2√3cosA=√3．由正弦定理得：asinA =bsinB，解得：b=1．C=π−A−B=π2，所以：S△ABC=12absinC=√32．【答案】根据题意，由频率分布表分析可得：则K2=50×(20×10−10×10)230×20×30×20≈1.389<2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，(1, a, b)，(1, a, c)，(1, b, c)，(2, a, b)，(2, a, c)，(2, b, c)，(a, b, c)；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=310．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题意，由频率分布表分析可得2×2列联表，由独立性检验计算公式计算K2的值，结合独立性检验的意义可得答案；（2）根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，由列举法分析可得从中任选3人和男性人数超过女性人数的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，由频率分布表分析可得：则K2=50×(20×10−10×10)230×20×30×20≈1.389<2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，(1, a, b)，(1, a, c)，(1, b, c)，(2, a, b)，(2, a, c)，(2, b, c)，(a, b, c)；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=310．【答案】∵在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF // AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．如图，过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴EGEB =EBBC，∴EB=√BC∗EG=√4×2=2√2，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，∵V F−ABC=V A−BCF，∴S△ABC⋅ℎ=S△BCF⋅AE，AB=4，S△ABC=12×4×4=8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵S△BCF=12×4×2√2=4√2，AE=EB=2√2，∴ℎ=4√2×2√28=2，∴点F到平面ABCD的距离为2．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）推导出EF // AD，AE⊥EF，AE⊥CF，从而AE⊥平面EBCF，由此能证明平面AEFD⊥平面EBCF．（2）过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，由V F−ABC=V A−BCF，能求出点F到平面ABCD的距离．【解答】∵在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF // AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．如图，过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴EGEB =EBBC，∴EB=√BC∗EG=√4×2=2√2，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，∵V F−ABC=V A−BCF，∴S△ABC⋅ℎ=S△BCF⋅AE，AB=4，S△ABC=12×4×4=8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵S△BCF=12×4×2√2=4√2，AE=EB=2√2，∴ℎ=4√2×2√28=2，∴点F到平面ABCD的距离为2．【答案】由题意可得{ca =√321 a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，证明：：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)． 联立{y =kx +tx 2+4y 2=4， 化为(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．△=64k 2t 2−4(4t 2−4)(1+4k 2)>0，化为1+4k 2>t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2， ∵ 直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴ y 1x 1⋅y2x 2=k 2，即k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=kx 1x 2， ∴−8k 2t 21+4k 2+t 2=0，∵ t ≠0， ∴ 4k 2=1，结合图形可知k =−12， ∴ 直线l 的斜率为定值为−12． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由题意可得{ c a =√321a +34b =1a 2=b 2+c 2，解得即可；（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．与椭圆的方程联立可得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．由△>0，可得1+4k 2>t 2．得到根与系数的关系．可得y 1x 1⋅y2x 2=k 2，直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，化为4k 2=1，即可证明 【解答】由题意可得{ ca =√321a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2 ，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，证明：：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．联立{y =kx +tx 2+4y 2=4， 化为(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．△=64k 2t 2−4(4t 2−4)(1+4k 2)>0，化为1+4k 2>t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2， ∵ 直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴ y 1x 1⋅y2x 2=k 2，即k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=kx 1x 2， ∴−8k 2t 21+4k 2+t 2=0，∵ t ≠0， ∴ 4k 2=1，结合图形可知k =−12， ∴ 直线l 的斜率为定值为−12．【答案】(1)证明：f′(x)=e x −2x −a ，令g(x)=e x −2x −a ，则g′(x)=e x −2， 则当x ∈(−∞, ln2)时，g′(x)<0， x ∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在x =ln2时取最小值g(ln2)=2−2ln2−a ， 当a ≤2−2ln2时，g(x)≥0.故f′(x)≥0，即函数f(x)在R 上单调递增； (2)解：当x >0时，e x −x 2−ax ≥1−x ， 即a ≤e x x−x −1x +1，令ℎ(x)=e x x−x −1x +1(x >0)，则ℎ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2，令φ(x)=e x −x −1，(x >0)， 则φ′(x)=e x −1>0，x ∈(0, +∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0， x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增， 故ℎ(x)min =ℎ(1)=e −1， 故a ∈(−∞, e −1]． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而证明结论；（2）问题转化为a≤e xx −x−1x+1，令ℎ(x)=e xx−x−1x+1(x>0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，从而求出a的范围．【解答】(1)证明：f′(x)=e x−2x−a，令g(x)=e x−2x−a，则g′(x)=e x−2，则当x∈(−∞, ln2)时，g′(x)<0，x∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在x=ln2时取最小值g(ln2)=2−2ln2−a，当a≤2−2ln2时，g(x)≥0.故f′(x)≥0，即函数f(x)在R上单调递增；(2)解：当x>0时，e x−x2−ax≥1−x，即a≤e xx −x−1x+1，令ℎ(x)=e xx −x−1x+1(x>0)，则ℎ′(x)=(x−1)(e x−x−1)x2，令φ(x)=e x−x−1，(x>0)，则φ′(x)=e x−1>0，x∈(0, +∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0，x∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)单调递减，x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)min=ℎ(1)=e−1，故a∈(−∞, e−1]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵圆C1的普通方程为x2+y2−4x−8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=√3x；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S△OMN=12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ， 得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]． 【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x≤−2时，4x−1−x−2<6，解得：x>−1，不等式无解；−2<x<14时，1−4x−x−2<6，解得：−75<x<14，x≥14时，4x−1−x−2<6，解得：3>x≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)=−g(x2)成立，所以{y|y=f(x), x∈R}∩{y|y=−g(x), x∈R}≠⌀，又f(x)=3|x−a|+|3x+1|≥|(3x−3a)−(3x+1)|=|3a+1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max=94，所以|3a+1|≤94，解得−1312≤a≤512，所以实数a的取值范围为[−1312, 512]．。
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(文科)
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x>1}，B={x|−1<x<2}．则(∁R A)∩B=()A.{x|x>−1}B.{x|−1<x≤1}C.{x|−1<x<2}D.{x|1<x<2}2. 已知复数z满足(z−1)i=i−1，则|z|=()A.√2B.√3C.2D.√53. 已知向量a→=(1, x)，b→=(−1, 3)，若向量2a→+b→与向量b→平行，则x的值为（）A.−3B.0C.43D.−434. 在区间[1, 4]上随机取一个数x，则事件“log4x≥12”发生的概率为（）A.1 3B.23C.12D.345. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=−45，a4=−41，则S n取得最小值时n的值为（）A.23B.24或25C.24D.256. 已知x，y满足不等式组{x+y−4≤03x−y≥0x≥0,y≥0，则z=2x+y的最大值为（）A.5B.6C.8D.97. 执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A.√22B.−1 C.−1−√22D.0无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1），那么该刍甍的体积为（ ）A.4B.5C.6D.129. 已知函数f(x)=4−x 2，y =g(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g(x)=log 2x ，则函数f(x)⋅g(x)的大致图象为（ ） A.B.C.D.10. 已知三棱锥S −ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA =SB =SC =1，AB =BC =AC =√2，则球的表面积为（ ） A.12π B.8π C.4π D.3π11. 对于实数a 、b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ={b −a,a <bb 2−a 2,a ≥b ，设f(x)=(2x −3)⊗(x −3)，且关于x 的方程f(x)=k(k ∈R)恰有三个互不相同的实根，则k 的取值范围为（ ） A.(0, 2) B.(0, 3) C.(0, 2] D.(0, 3]12. 若圆(x −√3)2+(y −1)2=9与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)经过二、四象限的A.2√33B.√72C.2D.√7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.若sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=45，则cos2β=________．在某班班委会成员选举中，已知张强、李明、王亮三位同学被选进了班委会，该班甲、乙、丙三位学生预言：甲：张强为班长，李明为生活委员；乙：王亮为班长，张强为生活委员；丙：李明为班长，张强为学习委员．班委会名单公布后发现，甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，则公布的班长为________．递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=3，S3=13，则a5=________．直线l过抛物线C:x2=4y的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，其中|BF|=3|AF|，则线段AB的长度为________．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(C)=2，c=√7，a=2，求△ABC的面积．如图，在三棱锥D−ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．(Ⅰ)求证：平面ABD⊥平面DEF；(Ⅱ)若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45∘，求四面体F−DBC的体积．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司M的市场研究人员为了了解共享自行车的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，得到如下数据：(Ⅰ)若月份代码x与市场占有率y具有线性相关性，用最小二乘法求得回归方程为y∧=2x+a，求a的值，并预测第7个月的市场占有率；采购一批自行车，现有采购成本分别为300元/辆和400元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆自行车最多可使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的自行车各100辆进行科学模拟测试，得到两款自行车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆自行车每年可以带来收入200元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆自行车的使用寿命都是整数年，如果你是M 公司的负责人，以每辆自行车产生的平均利润作为决策依据，你会选择采购哪款车型？在直角坐标系xOy 中，已知点F(1, 0)，直线l:x =4，动点P 到点F 的距离到直线l 的距离的比值为12．(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程C ；(Ⅱ)若A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，斜率不为0且过F 的直线与曲线C 相交于M ，N 两点，求证：直线A 1M ，A 2N 的交点在直线l:x =4上．设函数f(x)=xlnx −ax +1，g(x)=−2x 3+3x 2−12x +14． (Ⅰ)求函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，求a 的取值范围； (Ⅱ)求证：当x ∈[12, +∞)时，f(x)+ax >g(x)． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），曲线C 1经过坐标变换{x ′=2xy ′=y 后得到的轨迹为曲线C 2． (Ⅰ)求C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=π6与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −3|−|x +5|． (Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)设函数f(x)的最大值为M ，若不等式x 2+2x +m ≥M 恒成立，求m 的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】已知集合A={x|x>1}，算出∁R A，然后根据交集的定义进行求解．【解答】∵集合A={x|x>1}，∴∁R A={x|x≤1}，∵B={x|−1<x<2}，∴(∁R A)∩B={x|−1<x≤1}，2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．【解答】由(z−1)i=i−1，得z=−1+ii +1=(−1+i)(−i)−i2+1=2+i，∴|z|=√22+12=√5．3.【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】先求出2a→+b→，然后利用向量的平行列出方程求解x即可【解答】∵向量a→=(1, x)，b→=(−1, 3)，∴2a→+b→=2(1, x)+(−1, 3)=(1, 2x+3)∵2a→+b→与向量b→平行，∴3=−2x−3，解得x=−3，B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】求解对数不等式得到满足log 4x ≥12的x 的范围，由测度比为长度比得答案． 【解答】由log 4x ≥12，得x ≥2，∴ 在区间[1, 4]上随机取一个数x ，事件“log 4x ≥12”发生的概率为P =4−24−1=23． 5.【答案】 C【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此求出前n 项和S n ，再利用列用等差数列前n 项和公式能求出S n 取得最小值时n 的值． 【解答】∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=−45，a 4=−41， ∴ {a 1+d =−45a 1+3d =−41 ，解得a 1=−47，d =2，∴ S n =−47n +n(n−1)2×2=n 2−48n =(n −24)2−5(76)∴ S n 取得最小值时n 的值为（24） 6.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】由x ，y 满足不等式组{x +y −4≤03x −y ≥0x ≥0,y ≥0 ，作出可行域如图，联立{x +y −4=0y =0，解得A(4, 0)， 化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2×4+0=(8) 7.【答案】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cosπ2+cosπ+...+cos2017π2的值，∵y=cosπ2x的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×(cosπ2+cosπ+cos3π2+cos2π)+cosπ2=08.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF，过E，F分别做垂直于底面的截面EGH和FMN，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF=2V四棱锥E−ADHG+V三棱柱EHG−FNM=2×13×3×1+32×2=5．故选B．9.【答案】D【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用函数奇偶性的性质判断函数f(x)⋅g(x)的奇偶性，然后利用极限思想判断，当x→+∞时，函数值的符号．【解答】因为函数f(x)=4−x2为偶函数，y=g(x)是定义在R上的奇函数，当x→+∞时，g(x)=log2x>0，f(x)=4−x2<(0)所以此时f(x)⋅g(x)<(0)所以排除C，选D．10.【答案】D【考点】球的体积和表面积【解析】由题意一个三棱锥S−ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，可知，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，两者的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=√2，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，，所以球的直径为：√3，半径为√32)2=3π．外接球的表面积为：4π×(√3211.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】根据定义求出f(x)解析式，画出图象，数形结合得答案．【解答】∵a⊗b={b−a,a<b，b2−a2,a≥b∴f(x)=(2x−3)⊗(x−3)={−x,x<0，−3x2+6x,x≥0其图象如下图所示：由图可得，要使关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根，12.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】先根据双曲线方程求得经过二、四象限的一条渐近线方程，根据题意由勾股定理可得圆心到渐近线的距离，进而表示出圆心到渐近线的距离关系式，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2√6，圆的圆心为(√3, 1)，半径为3，∴圆心到渐近线的距离为√9−(√6)2=√3，即√3b+a|√a2+b2=√3，解得b=√33a，∴c=√a2+b2=2√33a，∴双曲线的离心率为e=ca =2√33．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 【答案】−7 25【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用两角差的正弦公式求得sinβ的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β=1−2sin2β的值．【解答】∵sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=sin[(α+β)−α]=sinβ=45，则cos2β=1−2sin2β=1−2⋅1625=−725，【答案】王亮【考点】进行简单的合情推理【解析】利用反证法，先假设一个人为班长，根据甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，推出矛盾说明假设不成立．【解答】假设张强为班长，由甲对一半得：李明不为生活委员，即李明是学习委员，则王亮为生活委员；这与乙对一半矛盾；张强不为生活委员，即张强是学习委员，则李明为生活委员；甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，假设李明为班长，由丙对一半得：张强为不学习委员，即张强为生活委员，这与甲对一般矛盾， 综上可得：公布的班长为王亮， 【答案】19【考点】等比数列的前n 项和 【解析】利用等比数列的性质即可求解通项，可得a 5的值． 【解答】由{a n }是递减的等比数列，a 2=3，S 3=13， 即a 1q =3…①，a 1+a 2+a 3=13， ∴ a 1+a 1q 2=10．…② 由①②解得：q =13，a 1=(9) 那么a 5=a 1q 4=19． 【答案】 163【考点】 抛物线的求解 【解析】由题意画出图形，设出A 、B 所在直线方程，与抛物线方程联立，由抛物线焦半径公式及已知列式得到A ，B 的纵坐标，则答案可求． 【解答】如图，抛物线C:x 2=4y 的焦点F(0, 1)，设l 所在直线方程为x =k(y −1)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2) 联立{x =k(y −1)x 2=4y ，得k 2y 2−(2k 2+4)y +k 2=0， ∴ y 1y 2=1，① ∵ |BF|=3|AF|，∴ y 2+1=3(y 1+1)，② 由①②解得y 1=13，y 2=3， ∴ |AB|=y 1+y 2+2=13+3+2=163，三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 【答案】(Ⅰ)函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx ． =cos2x +1+√3sin2x ， =2sin(2x +π6)+1，(Ⅱ)△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(C)=2，则：sin(2C+π6)=12，解得：C=π3，由于：c=√7，a=2，利用余弦定理：c2=a2+b2−2abcosC，解得：b=3（负值舍去）．则：S△ABC=12absinC=3√32．【考点】三角形求面积【解析】(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．(Ⅱ)利用函数的关系式首先求出C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】(Ⅰ)函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．=cos2x+1+√3sin2x，=2sin(2x+π6)+1，则函数的最大值f(x)max=(3)(Ⅱ)△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(C)=2，则：sin(2C+π6)=12，解得：C=π3，由于：c=√7，a=2，利用余弦定理：c2=a2+b2−2abcosC，解得：b=3（负值舍去）．则：S△ABC=12absinC=3√32．【答案】证明：(Ⅰ)∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．(Ⅱ)∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45∘，∴AB=BC=2√2，DE=2，∴S△FBC=12×FB×BC=2，∴四面体F−DBC的体积V F−DBC=V D−FBC=13×S△FBC×DE=13×2×2=43．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算平面与平面垂直【解析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；(Ⅱ)可得线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC，△ABC为直角三角形，即AB⊥BC，由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45∘，可得S△FBC=12×FB×BC=2，即可计算四面体F−DBC的体积V F−DBC=V D−FBC=13×S△FBC×DE．【解答】证明：(Ⅰ)∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．(Ⅱ)∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45∘，∴AB=BC=2√2，DE=2，∴S△FBC=12×FB×BC=2，∴四面体F−DBC的体积V F−DBC=V D−FBC=13×S△FBC×DE=13×2×2=43．【答案】(I)x=1+2+3+4+5+66=72，y=11+13+16+15+20+216=16，把(72, 16)代入y∧=2x+a得16=7+a，∴a=(9)回归方程为y∧=2x+9，当x=7时，y∧=(23)∴预测第7个月的市场占有率为23%．(II)A款车的利润为15100×(200−300)+40100×(400−300)+35100×(600−300)+10100×(800−300)=180，B款车的利润为5100×(200−400)+35100×(400−400)+40100×(600−200)+20100×(800−400)=1(50)∴采购A款车较合理．【考点】求解线性回归方程【解析】（I）求出数据中心，代入回归方程得出a，根据回归方程预测x=7对应的值；(II)计算两款车的利润，得出结论．【解答】(I)x=1+2+3+4+5+66=72，y=11+13+16+15+20+216=16，把(72, 16)代入y∧=2x+a得16=7+a，∴a=(9)回归方程为y∧=2x+9，当x=7时，y∧=(23)∴预测第7个月的市场占有率为23%．(II)A款车的利润为15100×(200−300)+40100×(400−300)+35100×(600−300)+10100×(800−300)=180，B款车的利润为5100×(200−400)+35100×(400−400)+40100×(600−200)+20100×(800−400)=1(50)∴采购A款车较合理．【答案】(Ⅰ)设P(x, y)，P到直线l的距离为d，由题意可得|PF|d =12，即为√(x−1)2+y2|4−x|=12，两边平方可得x2+y2−2x+1=14(x2−8x+16)，即为3x2+4y2=12，即有x24+y23=1，动点P 的轨迹方程C 为x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)曲线C 为椭圆，A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)为椭圆的左右顶点，F(1, 0)为椭圆的右焦点，设过F 的直线为x =my +1，交点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{x =my +13x 2+4y 2=12消去x 可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 则y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，由已知可得k A 1M =y 1x 1+2，可得直线A 1M:y =y1x 1+2(x +2)，① 同理可得直线A 2N:y =y 2x 2−2(x −2)，②联立方程①②，可得x =2y 1x 2+2x 1y 2+4y 2−4y 1x 1y 2−x 2y 1+2y 1+2y 2=2y 1(my 2+1)+2(my 1+1)y 2+4y 2−4y 1(my 1+1)y 2−(my 2+1)y 1+2y 1+2y 2=4my 1y 2+6y 2−2y 13y 2+y 1=4my 1y 2+8y 2−2(y 1+y 2)2y 2+(y 1+y 2)=4m ∗−94+3m 2+8y 2−2∗−6m 4+3m 22y 2+−6m 4+3m 2=8y 2(4+3m 2)−24m 2y 2(4+3m 2)−6m =(4) 所以直线A 1M ，A 2N 的交点在直线l:x =4上．【考点】轨迹方程【解析】 (Ⅰ)设P(x, y)，P 到直线l 的距离为d ，由题意可得|PF|d =12，运用两点距离公式和点到直线的距离，再两边平方，化简整理，即可得到所求轨迹方程；(Ⅱ)设过F 的直线为x =my +1，交点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立椭圆C 的方程，消去x ，得到y 的二次方程，运用韦达定理，求得直线A 1M ，直线A 2N 的方程，解方程可得x 的表达式，由M ，N 在直线上，代入直线方程，化简整理，即可得到所求交点在直线l:x =4上．【解答】(Ⅰ)设P(x, y)，P 到直线l 的距离为d ，由题意可得|PF|d =12， 即为√(x−1)2+y 2|4−x|=12，两边平方可得x 2+y 2−2x +1=14(x 2−8x +16)，即为3x 2+4y 2=12，即有x 24+y 23=1，动点P 的轨迹方程C 为x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)曲线C 为椭圆，A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)为椭圆的左右顶点，F(1, 0)为椭圆的右焦点，设过F 的直线为x =my +1，交点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{x =my +13x 2+4y 2=12消去x 可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 则y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，由已知可得k A 1M =y 1x 1+2，可得直线A 1M:y =y 1x 1+2(x +2)，① 同理可得直线A 2N:y =y 2x 2−2(x −2)，②联立方程①②，可得x =2y 1x 2+2x 1y 2+4y 2−4y 1x 1y 2−x 2y 1+2y 1+2y 2=2y 1(my 2+1)+2(my 1+1)y 2+4y 2−4y 1(my 1+1)y 2−(my 2+1)y 1+2y 1+2y 2=4my 1y 2+6y 2−2y 13y 2+y 1=4my 1y 2+8y 2−2(y 1+y 2)2y 2+(y 1+y 2)=4m ∗−94+3m 2+8y 2−2∗−6m 4+3m 22y 2+−6m 4+3m 2=8y 2(4+3m 2)−24m 2y 2(4+3m 2)−6m =(4) 所以直线A 1M ，A 2N 的交点在直线l:x =4上．【答案】（1）函数f(x)=xlnx −ax +1，的定义域为：x >0，f′(x)=lnx +1−a ， 由题意可知函数不可能是单调函数，∴ f′(x)=0，可得x =e a−1，当x >e a−1时，f′(x)>0；x ∈(0, e a−1)时，f′(x)<0， 函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，可得：{ 1e <ea−1<e f(e a−1)<0f(1e )≥0f(e)≥0 ，解得：1<a ≤1+1e ． 函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，a 的取值范围：(1, 1+1e ]；（2）证明：当x ∈[12, +∞)时，要证f(x)+ax >g(x)．只要证明xlnx +1>g(x)， 先证明xlnx +1≥x ，构造函数F(x)=xlnx +1−x ，∵ F′(x)=1+lnx −1=lnx ， 当x =1时，F′(x)=0，当0<x <1时，F′(x)<0，函数是减函数当x >1时，F′(x)>0，函数是增函数；∴ F(x)>F(1)=0，即证xlnx +1≥x ，等号成立的条件是当且仅当x =1； 再证当x ∈[12,+∞)，g(x)≤x ．构造函数G(x)=x −g(x)=2(x −12)3．∵ G′(x)=6(x −12)2≥0，∴ G(x)是增函数，∴ G(x)≥G(12)=0，即证g(x)≤x ，等号成立的条件是当且仅当x =12．∴ x ∈[12, +∞)时，f(x)+ax >g(x)．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值函数零点的判定定理【解析】(Ⅰ)求函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，求a 的取值范围；(Ⅱ)当x ∈[12, +∞)时，要证f(x)+ax >g(x)．只要证明xlnx +1>g(x)，先证明xlnx +1≥x ，构造函数F(x)=xlnx +1−x ，通过函数的导数判断函数的单调性利用函数的再证即可证明结果；再证当x ∈[12,+∞)，g(x)≤x ．构造函数G(x)=x −g(x)=2(x −12)3，通过导函数以及函数的单调性最值求解即可．【解答】（1）函数f(x)=xlnx −ax +1，的定义域为：x >0，f′(x)=lnx +1−a ， 由题意可知函数不可能是单调函数，∴ f′(x)=0，可得x =e a−1，当x >e a−1时，f′(x)>0；x ∈(0, e a−1)时，f′(x)<0， 函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，可得：{ 1e <ea−1<e f(e a−1)<0f(1e )≥0f(e)≥0 ，解得：1<a ≤1+1e ． 函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，a 的取值范围：(1, 1+1e ]；（2）证明：当x ∈[12, +∞)时，要证f(x)+ax >g(x)．只要证明xlnx +1>g(x)， 先证明xlnx +1≥x ，构造函数F(x)=xlnx +1−x ，∵ F′(x)=1+lnx −1=lnx ， 当x =1时，F′(x)=0，当0<x <1时，F′(x)<0，函数是减函数当x >1时，F′(x)>0，函数是增函数；∴ F(x)>F(1)=0，即证xlnx +1≥x ，等号成立的条件是当且仅当x =1； 再证当x ∈[12,+∞)，g(x)≤x ．构造函数G(x)=x −g(x)=2(x −12)3．∵ G′(x)=6(x −12)2≥0，∴ G(x)是增函数，∴ G(x)≥G(12)=0，即证g(x)≤x ，等号成立的条件是当且仅当x =12．∴ x ∈[12, +∞)时，f(x)+ax >g(x)．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]【答案】(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=1，曲线C 1经过坐标变换{x ′=2x y ′=y后得到的轨迹为曲线C 2． 即：x ′24+y ′2=1，故C 2的直角坐标方程为：x 24+y 2=1． 转化为极坐标方程为：ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1． (Ⅱ)曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A(1, π6)，将B(ρ, π6)代入坐标方程：ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1． 得到ρ2=4√77，则：|AB|=|ρ1−ρ2|=4√77−1．【考点】圆的极坐标方程 参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接利用方程的转换及变换求出曲线C 2的方程，进一步转换为极坐标的形式．(Ⅱ)利用射线与曲线的交点进一步求出极径的长，最后求出结论．【解答】(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=1，曲线C 1经过坐标变换{x ′=2x y ′=y后得到的轨迹为曲线C 2． 即：x ′24+y ′2=1，故C 2的直角坐标方程为：x 24+y 2=1． 转化为极坐标方程为：ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1． (Ⅱ)曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A(1, π6)，将B(ρ, π6)代入坐标方程：ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1．得到ρ2=4√77，则：|AB|=|ρ1−ρ2|=4√77−1．[选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）x≥3时，f(x)=−8，此时f(x)≤2恒成立，−5<x<3时，f(x)=−2x−2，由f(x)≤2，解得：−2≤x<3，x≤−5时，f(x)=8，此时f(x)≤2，无解，综上，f(x)≤2的解集是{x|x≥−2}；（2）由(Ⅰ)得f(x)={−8,x≥3−2x−2,−5<x<3 8,x≤−5，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥−x2−2x+8恒成立，即m≥−(x+1)2+9，故m≥(9)【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】(Ⅰ)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)求出f(x)的最大值，问题转化为m≥−x2−2x+8恒成立，求出m的范围即可．【解答】（1）x≥3时，f(x)=−8，此时f(x)≤2恒成立，−5<x<3时，f(x)=−2x−2，由f(x)≤2，解得：−2≤x<3，x≤−5时，f(x)=8，此时f(x)≤2，无解，综上，f(x)≤2的解集是{x|x≥−2}；（2）由(Ⅰ)得f(x)={−8,x≥3−2x−2,−5<x<3 8,x≤−5，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥−x2−2x+8恒成立，即m≥−(x+1)2+9，故m≥(9)。
2018年广东省高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝1，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）3．（5分）“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F 到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．26．（5分）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3B．4C．log318D．log3247．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞10010．（5分）已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5＝．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求点F 到平面ABCD 的距离．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax．（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ＝．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．2018年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝1，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+i）z＝1，得，则复数z的虚部为．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故选：C．3．（5分）“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m＝±＝±4．故m＝±4是m＝4的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P＝＝，故选：A．5．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F 到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．2【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b＝2a，则c＝＝a，则双曲线C的离心率e＝＝，故选：C．6．（5分）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3B．4C．log318D．log324【解答】解：∵等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…，∴log3（2x）+log3（4x+2）＝2log3（3x），∴x（x﹣4）＝0，又2x＞0，∴x＝4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d＝log312﹣log38＝，∴第四项为＝log327＝3．故选：A．7．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4＝96+8π，故选：B．8．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）＝cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x﹣）﹣]＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），取x＝0，得y＝，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x﹣）﹣]＝sin （2x﹣），取x＝0，得y＝﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D 错误．∴正确的结论是B．故选：B．9．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞100【解答】解：n＝1，s＝0，n＝2，s＝2，n＝3，s＝4，…，n＝99，s＝，n＝100，s＝，n＝101＞100，结束循环，故选：D．10．（5分）已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数在其定义域R上单调递减，可得[]′＝≤0，但不恒等于0，即f（x）≥f′（x）恒成立，对于A，f（x）＞0恒成立，且f′（x）≤0，则f（x）≥f′（x）恒成立；对于B，由f（x）与x轴的交点设为（m，0），（m＞0），可得f（m）＝0，f′（m）＞0，f（x）≥f′（x）不成立；对于C，可令f（x）＝t（t＜0），f′（x）＝0，f（x）≥f′（x）不成立；对于D，f（x）在x＞0时的极小值点设为n，则f（n）＜0，f′（n）＝0，f（x）≥f′（x）不成立．则A可能成立，故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x＝ty+m，得m＝﹣，∴M（﹣，0），∴＝（，）•（，﹣）＝﹣＝（t2﹣）2﹣，则当t2＝，即t＝±时，的最小值为﹣故选：C．12．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）【解答】解：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，﹣1），b∈（﹣1，0），c∈（4，5），对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：1+1+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|＝1．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴＝；∴．故答案为：1．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为2．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z＝x+y的最大值为：2．故答案为：2．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5＝14．【解答】解：a5＝S5﹣S4＝﹣＝14，故答案为：14．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI＝，IE＝6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x＝4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC＝，OP＝，．∴．该四棱锥的外接球的体积V＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则：，整理得：，由于：b2+c2﹣a2＝2bc cos A，则：2bc cos A＝，即：a＝2cos A．解：（2）由于：A ＝，所以：．由正弦定理得：，解得：b＝1．C ＝，所以：．18．（12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．【解答】解：（1）根据题意，由频率分布表分析可得：则K2＝≈1.389＜2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），（1，a，b），（1，a，c），（1，b，c），（2，a，b），（2，a，c），（2，b，c），（a，b，c）；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P＝．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．【解答】证明：（1）∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD ＝4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF＝F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．解：（2）如图，过点D作DG∥AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG＝D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴，∴EB＝＝＝2，设点F到平面ABCD的距离为h，∵V F﹣ABC ＝V A﹣BCF，∴S△ABC•h＝S△BCF•AE，AB＝4，＝8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB＝E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵＝4，AE＝EB＝2，∴h＝＝2，∴点F到平面ABCD的距离为2．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．【解答】解：（1）由题意可得，解得a＝2，b＝1，c＝，故椭圆C的方程为+y2＝1，证明：（2）：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y＝kx+t（t≠0）．联立，化为（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0．△＝64k2t2﹣4（4t2﹣4）（1+4k2）＞0，化为1+4k2＞t2．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+t）（kx2+t）＝k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，∴•＝k2，即k2x1x2+kt（x1+x2）+t2＝kx1x2，∴+t2＝0，∵t≠0，∴4k2＝1，结合图形可知k＝﹣，∴直线l的斜率为定值为﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax．（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）＝e x﹣2x﹣a，令g（x）＝e x﹣2x﹣a，则g′（x）＝e x﹣2，则x∈（﹣∞，ln2]时，g′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x＝ln2时取最小值g（ln2）＝2﹣2ln2﹣a≥0，故f′（x）≥0，即函数f（x）在R递增；（2）当x＞0时，e x﹣x2﹣ax≥1﹣x，即a≤﹣x﹣+1，令h（x）＝﹣x﹣+1（x＞0），则h′（x）＝，令φ（x）＝e x﹣x﹣1，（x＞0），则φ′（x）＝e x﹣1＞0，x∈（0，+∞）时，φ（x）递增，φ（x）＞φ（0）＝0，x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故h（x）min＝h（1）＝e﹣1，故a∈（﹣∞，e﹣1]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ＝．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y＝0，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ＝0，故C1的极坐标方程是ρ＝4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y ＝x；（2）分别将θ＝，θ＝代入ρ＝4cosθ+8sinθ，得ρ1＝2+4，ρ2＝4+2，则△OMN 的面积为×（2+4）×（4+2）×sin （﹣）＝8+5．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x ）＝，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x ＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x ＜，x ≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）＝﹣g（x2）成立，所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|＝|3a+1|，故g（x ）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max ＝，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a ≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．第21页（共21页）。
佛山市2018届普通高中高三教学质量检测(一)(文数)
佛山市2018届普通高中高三教学质量检测（一）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}101，，-=A ，{}02=-=x x B ，则=B A ( )A ．{}0B ． {}1C ．)10(，D ．{}10，2. 设复数i z +=21,i 12a z +=，若R z z ∈⋅21，则实数=a （ ）A ．-2B ．21-C ．21D ．2 3．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．94． 袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1、2、3；蓝色球2个，标号分别为1、2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（ ）A ．103 B ．52 C ．53 D ．107 5．已知命题42log 4log ,1:2>+>∀x x x p ，则p ⌝为（ ）A ．42log 4log ,1:2≤+≤∀⌝x x x pB ．42log 4log ,1:2≤+≤∃⌝x x x pC ．42log 4log ,1:2=+>∃⌝x x x pD ．42log 4log ,1:2≤+>∃⌝x x x p6．把曲线1C ：⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2πx y 上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的21，得到曲线2C ，则2C （ ） A ．关于直线4π=x 对称B ．关于直线125π=x 对称C ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称D ．关于点），（0π对称7． 当5,2m n ==时，执行图1所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．20 B ．42 C ．60 D ．180 8．已知tan 2θ=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．25C ．15D ．1109．已知函数22+20()-20x x x f x x x x ⎧≥=⎨<⎩（）（），则下列函数为奇函数的是（ ） A ．)(sin x fB ．)(cos x fC ．)(sin x xfD ．)(cos 2x f x 10．如图2，在正方体1111D C B A ABCD -中 ,E ,F 分别为1111,D C C B 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点， 且AP //平面EFDB ,则1tan APA ∠的最大值是（ ）A．2B ．1 CD．11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心的圆与直线l ：03=+-c y x 相切于点N ．设l 与C 的交点为,P Q ，若点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ． 2D．12．设函数32()32f x x x x =-+，若1212,()x x x x <是函数()()g x f x x λ=-的两个极值点，现给出如下结论：①若10λ-<<，则12()()f x f x <；②若02λ<<，则12()()f x f x <； ③若2λ>，则12()()f x f x <； 期中正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．设b a c b a λ+=-==),1,1(),2,1(，若c a ⊥，则实数λ的值等于 ． 14．设曲线x x y ln =在点（1,0）处的切线与曲线xy 4=在点P 处的切线垂直，则点P 的横坐标为 ．15．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S = ．16．平面四边形ABCD 中，2==AD AB ，10==CD CB ，4=AC ，沿直线AC 将ACD ∆翻折成'A C D∆，当三棱锥ABC D -'的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球表面积为 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足123,6,b b =-=-)(*1N n n b a n n ∈=++.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和为n S ．18．(本题满分12分)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职两家公司的意愿作了统计，得到如下数据，根据计算结果，你能初步得到什么结论？（Ⅱ）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的2K 的观测值为1 5.5513k ≈，则得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是多少？并用统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(本题满分12分)如图3，已知四棱锥ABCD P -中，CD AB //，AD AB ⊥，2==AD AB ,4=CD,PD PC =, ︒=∠=∠60PAD PAB .（Ⅰ）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影为边CD 的中点； （Ⅱ）点Q 在PB 上，且PB ⊥DQ ,求三棱锥BCD Q -的体积.20．(本题满分12分)已知椭圆1C ：22221x y a b+=()00a b >>，的右顶点与抛物线2C ：22(0)y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线2C 所得的弦长为（Ⅰ）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）过点A (-2，0)的直线l 与2C 交于M ,N ，点M 关于x 轴的对称点'M ，证明：直线M’N 恒过一定点.21．(本题满分12分)已知函数2221ln )()(x x ax x x f +-=（其中R a ∈）. （Ⅰ）若0>a ，讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若0<a ，求证函数)(x f 有唯一零点.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 2cos t y t x （t 为参数，πα<≤0），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设C 与l 交于M ，N 两点（异于原点），求ON OM +的最大值.23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数R a a x x x f ∈-=,)(.（Ⅰ）求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.数学（文科）参考答案一、选择题1-5:DCAAD 6-10:BCDCD 11、 C 12：B二、填空题13. 5- 14. 2±15. 16.24π三、解答题17.解：（Ⅰ）因为1n n a b n ++=，则211a b +=，得24a =，322a b +=，得38a = ，因为数列{}n a 是等比数列，所以112142,28a q a q a q =⎧⇒==⎨=⎩，所以112n n n a a q -==.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得112n n n b n a n ++=-=-， 所以231(12)(22)(2)n n S n +=-+-++-222311(1)2(12)(123)(222)422122n n n n n n n n +++-+=++++++++=-=+--.18.解：（Ⅰ）设40岁以上（含40岁）与40岁以下群体中选择甲公司的概率分别为12,P P , 由数据知1223023220220.49,0.422302404723024047P P ==≈==≈++，因为12P P >，所以年龄40岁以上（含40岁）的群体选择甲公式的可能性要大. （或者选择意愿与年龄有关）（Ⅱ）因为024.55513.51>≈k ，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22⨯列联表：计算734.62972000550450400600)7000050000(100022≈=⨯⨯⨯-=k 635.6734.62>≈k ，差表知得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025<，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大. 19.解：（Ⅰ）取CD 的中点为O ，连接,OP OB ，则2OD BA ==，因为//,,2AB CD AB AD AB AD ⊥==， 所以四边形ABOD 是正方形，OB CD ⊥， 因为,PC PD O =为CD 中点，所以PO CD ⊥， 由OPOB O =，所以CD ⊥平面,POB PB ⊂平面POB ，所以CD PB ⊥，因为//AB CD ，所以AB PB ⊥ ， 则在Rt ABP ∆中，060,2PAB AB ∠==，所以4,AP PB == 在Rt DOP ∆中，PO ==所以2224812OB OP PB +=+==，即OP OB ⊥，又CD OB O =所以PO ⊥底面ABCD ，即顶点P 在底面ABCD 的射影为边CD 的中点.（Ⅱ）由题设与（Ⅰ）可得BD PD PB ===， 因为DQ PB ⊥，所以22812)BQ BQ -=-，解得BQ =，所以13BQ PB =，又PO =Q BCD -的高为h，则133h ==，又14242BCD S ∆=⋅⋅=， 所以三棱锥Q BCD -的体积143V =⨯=20.解：(Ⅰ)设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2pa =，则22:4C y ax =， 代入x c =，得24y ax =，即y =±=，则有222211,2ac c a b a a b c=⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩，所以椭圆1C 的方程为22143x y += ，抛物线2C 的方程为28y x =.（Ⅱ）依题意，可知直线l 的斜率不为0，可设:2l x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩ ，得28160y my -+=，设1111(,),(,)M x y N x y ，则11(,)M x y '-，0∆>，得1m <-或1m >，1212128,16,8y y y y m y y m ++===， 所以直线M N '的斜率1221212188()M N y y m K x x m y y y y '+===---， 可得直线M N '的方程为21218()y y x x y y -=--，即222122122121212121218(2)()()1688816my y y y y y y y x y x x y y y y y y y y y y y y ---++=+-=+=------- ()2182x y y =--，所以当1m <-或1m >时，直线M N '恒过定点(2,0).21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，()21(2)ln ()(2)ln 2(2)(1ln )f x x a x x ax x a x x x a x a x x'=-+-+=-+-=-+ ，令()0f x '=，即121(2)(1ln )0,2a x a x x x e-+=⇒==，①当12x x =，即12,2a a e e ==时，()()0,f x f x '≥是(0,)+∞上的增函数；②当12x x <，即12,02a a e e <<<时，当(0,)2a x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，当1(,)2a x e∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当1(,)x e∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；③当21x x <，即12,2a a e e <>时，当(0,)2a x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当1(,)2ax e ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当(,)2ax ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；综上所述，当20a e <<时，()f x 在1(0,),(,)2a e +∞单调递增，在1(,)2a e单调递减；当2a e =时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当2a e >时，()f x 在1(0,),(,)2a e +∞单调递增，在在1(,)2ae 单调递减.（Ⅱ）若0a <，令()0f x '=，即(2)(1ln )0x a x -+=，得1x e=，当1(0,)x e ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当1(,)x e ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，故当1x e =时，()f x 取得极小值21111111()()ln ()02f a a e e e e e e e=-+=-<，以下证明：在区间1(0,)e上，()0f x <，令1,1x t e =>，则1(0,)x e ∈，()11111()()ln 2t t t t t f x f a e e e e e==-+()111110()0()()00222t t t t t f x f a t ate t ate t e e e <⇒<⇔--+<⇔-+<⇔<-，因为0,1a t <>，不等12tate t <-显然成立，故在区间1(0,)e上，()0f x <，又()1102f =>，即()11()0f f e <，故当0a <时，函数()f x 有唯一的零点01(,1)x e∈.22.解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设12(,),(,)2M N πρθρθ+，其中(0,)2πθ∈，则124sin 4sin()4(sin cos )()24OM ON ππρρθθθθθ+=+=++=+=+ ，所以当4πθ=，OM ON +取得最大值为23.解：（Ⅰ）()()11111f f a a +-=--+>，若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立， 若11a -<< ，则1(1)1a a --+>，得12a <-，即112a -<<-， 若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-.（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，只需()max min5[]4f x y y a ⎡⎤≤++-⎢⎥⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，()[]22max ,()()24a a f x x ax f x f =-+==，因为5544y y a a ++-≥+，所以当5[,]4y a ∈-时，min555444y y a a a ⎡⎤++-=+=+⎢⎥⎣⎦，即2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是]50，（.。
[试题]2018年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题(定稿)
2017～2018学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必要填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．请考生保持答题卷的整洁。
考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1A =-，{}20B x x x =-=，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．()0,1D ．{}0,1 2．设复数12i z =+，21i z a =+，若12z z ⋅∈R ，则实数a =（ ） A ．2- B ．12-C ．12D ．23．若变量x 、y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．94．袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1、2、3；蓝色球2个，标号分别为1、2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（ ）A ．310 B ．25 C ．35 D ．710 5．已知命题2:0,log 4log 24x p x x ∀>+>，则p ⌝为（ ）A ．:0p x ⌝∀≤,2log 4log 24x x +≤B ．:0p x ⌝∃≤,2log 4log 24x x +≤C ．:0p x ⌝∃>,2log 4log 24x x +=D ．:0p x ⌝∃>,2log 4log 24x x +≤ 6．把曲线1π:2sin 6C y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上所有点向右平移π6个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，则2C （ ） A ．关于直线π4x =对称 B ．关于直线5π12x =对称 C ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于点()π,0对称2018年1月S = 否F ED 1C 1B 1A 1D C AB图27．当5m =，2n =时，执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．20 B ．42 C ．60 D ．180 8．已知tan 2θ=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．25 C ．15 D ．1109．已知函数()()()222020x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则下列函数为奇函数的是（ ） A ．()sin f x B ．()cos f x C ．()sin xf x D ．()2cos x f x10．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为11B C ,11C D 的中点， 点P 是底面1111A B C D 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tanAPA ∠的最 大值是（ ） A ．2B ．1CD ．11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F ，焦距为2c ．以右顶点A 为圆心的圆与直线:0l x c +=相切于点N .设l 与C 的交点为P 、Q ，若点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B C ．2D ．12．设函数()3232f x x x x =-+，若1212,()x x x x <是函数()()g x f x x λ=-的两个极值点，现给出如下结论:①若10λ-<<，则()()12f x f x <； ②若02λ<<，则()()12f x f x <； ③若2λ>，则()()12f x f x <． 其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22～23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．13．设()1,2=a ，()1,1=-b ，λ=+c a b ．若⊥a c ，则实数λ的值等于 ．14．设曲线ln y x x =在点()1,0处的切线与曲线4y x=在点P 处的切线垂直，则点P 的横坐标为 。
【高三数学试题精选】2018佛山一中高考文科数学模拟试卷(含答案)
2018佛山一中高考文科数学模拟试卷(含答案)
5 c 广东省佛市第一中学--13，选做题14----15考生只能从中选做一题)
11过原点且倾斜角为60度的直线被圆所截得的弦长为
12设复数满足，且，则
13设满足，则的取值范围是
14极坐标方程为与的两个圆的圆心距为
15 如图所示，圆上一点c在直径AB上的射影为D，
cD=4，BD=8，则圆的半径等于
三．解答题
16(12分)掷两枚骰子，记事A为“向上的点数之和为n”
（1）求所有n值组成的集合；
（2）n为何值时事A的概率P(A)最大？最大值是多少？
（3）设计一个概率为05的事（不用证明）
17(12分)如图，有三个并排放在一起的正方形，
（1）求的度数；
（2）求函数
的最大值及取得最大值时候的x值。
18(14分)如图，四面体ABcD中，是BD的中点，cA=cB=cD=BD=2，AB=AD= 。
（1）求证A⊥平面BcD；
（2）求E到平面AcD的距离；
（3）求异面直线AB与cD所成角的余弦值。
19(14分)设函数是定义在上的偶函数，当时，（是实数）。
（1）当时，求f(x)的解析式；
（2）若函数f(x)在（0,1]上是增函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得当时，f(x)有最大值1
---------------4分。
#【解析版】广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)
2018年广东省佛山市高考数学一模试卷<文科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1．<5分）<2018•潮州二模）设i为虚数单位,则复数等于<）D=145124．<5分）<2018•佛山一模）已知=<1,2）,=<0,1）,=<k,﹣2）,若<+2）⊥,则k=<）地坐标进而由可得它们地数量积为解：∵=<0,1又因为=k5．<5分）<2018•潮州二模）已知实数x,y满足,则目标函数z=2x﹣y地最大值为<）﹣+28．<5分）<2018•佛山一模）已知双曲线地顶点与焦点分别是椭圆地焦点与顶B．先根据双曲线地顶点与焦点分别是椭圆地焦点与顶点解：∵双曲线地顶点与焦点分别是椭圆地焦点与顶点∴双曲线地顶点是设双曲线方程为∴双曲线地渐近线方程为示,则该几何体地侧视图可以为<）B．因此它地侧视图是10．<5分）<2018•济宁二模）设二次函数f<x）=ax2﹣4x+c<x∈R）地值域为[0,+∞）,则地最小值为则×=3,当且仅当11．<5分）<2018•上海）课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应地个体被抽到地概率,用概率乘以丙组地数目,得到结果．∴每个个体被抽到地概率是,∴则丙组中应抽取地城市数为×12．<5分）<2018•佛山一模）函数y=sinx+sin<x﹣）地最小正周期为2π,最大值是．）=sinx+cosx=sin<x﹣所以函数地周期为T==2π <2分）；函数地最大值为：<3．13．<5分）<2018•佛山一模）观察下列不等式：①＜1；②+；③；…则第5个不等式为．①②③归纳可知第四个不等式应为第五个不等式应为．故答案为．14．<5分）<2018•崇明县二模）在极坐标系中,直线过点<1,0）且与直线<ρ∈R）垂直,则直线地极先将直线极坐标方程<与直线解：由题意可知直线<ρ∈R）地直角坐标方程为：x﹣y=0,x则其极坐标方程为故答案为：15．<2018•佛山一模）<几何证明选讲）如图,M是平行四边形ABCD地边AB地中点,直线l过点M分别交AD,AC于点E,F．若AD=3AE,则AF：FC=1：4．∴,．16．<12分）<2018•崇明县二模）如图,在△ABC中,∠C=45°,D为BC中点,BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=．<1）求cosα；<2）求BC边上高地值．）方法一、由可求CAD=sin<=sin,由正弦定理方法二、作BC 边上地高为AH,在直角△ADH中,由<1）可得,设出AD,则可表示DH,AH,解：<1）∵cos2α=2cos2α﹣1=,=<2）方法一、由<1）得=,CAD=sin<=sin=,AD==ADB=）可得,,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台地60名候车乘客中随机抽取15人,将他们地候车时间作为样本分成5组,如下表所示<单位：min）：<1）求这15名乘客地平均候车时间；<2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟地人数；=分钟地概率为分钟地人数为所求概率为18．<14分）<2018•佛山一模）如图,已知圆O地直径AB长度为4,点D为线段AB上一点,且,点C为圆O上一点,且．点P在圆O所在平面上地正投影为点D,PD=BD．<1）求证：CD⊥平面PAB；<2）求点D到平面PBC地距离．进而得到利用锥体体积公式算出可得ABC==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵,可得解之得n n n n1数列,且b1,b3,b11成等比数列．<1）求a1,a2,a3地值；<2）求数列{a n}与{b n}地通项公式；<3）求证：＜5．==,,两式式相减得﹣＞故：<1）若m=1,n=,求△ABC地外接圆地方程；<2）若以线段AB为直径地圆O过点C<异于点A,B）,直线x=2交直线AC于点R,线段BR地中点为D,﹣）=,=<m+2,n=<4,tt=,由题意可得,﹣,,=<x+）=,∥,=<m+2,n=<4,t∴t=,））==k=﹣∴直线CD地方程为y﹣n=﹣<x﹣m）,化简得mx+ny﹣4=0,=2=r,21．<14分）<2018•佛山一模）设函数f<x）=,x≠0．<1）判断函数f<x）在<0,+∞）上地单调性；,从而原不等式化为解：<1）f′<x）==,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣<2故f′<x）=＞0,即函数f<x）是<0,+∞）上地增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣<6分）<2）|f<x）﹣1|=||,故g<x）＞g<0）=0,∴|f<x）﹣1|=, 原不等式化为﹣=。