高一数学直线与直线方程题型
☞ 知识网络☞ 课堂学习题型1：直线的倾斜角与斜率斜率取值()+∞,0不存在()0,∞-增减性/递增/递增考点1：直线的倾斜角例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( )A 、1B 、4C 、1或3D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ）A 、︒60B 、︒30C 、︒120D 、︒150变式2：已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围考点2：直线的斜率及应用 斜率公式1212x x y y k --=与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同；斜率变化分两段，2π是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1：已知R ∈θ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ ）A 、[]︒30,0B 、[)︒︒180,150C 、[][)︒︒︒180,15030,0YD 、[]︒︒150,30例2、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则ba 11+的值等于 变式2：若()3,2-A 、()2,3-B 、⎪⎭⎫⎝⎛m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ） A 、2-B 、2C 、21-D 、21 考点3：两条直线的平行和垂直对于斜率都存在且不重合的两条直线21l l 、，2121//k k l l =⇔，12121-=⋅⇔⊥k k l l 。
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意例、已知点()2,2M ，()2,5-N ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。
(1)OPN MOP ∠=∠(O 是坐标原点)；(2) MPN ∠是直角题型2：直线方程考点1：直线方程的求法例1、下列四个命题中的真命题是（ ）A 、经过定点()00y x P 、的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示B 、经过任意两个不同的点()111y x P 、和()222y x P 、的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C 、不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D 、经过定点()b A ,0的直线都可以用方程b kx y +=表示例2、若()()0134422=+⋅+-+⋅-y m m x m 表示直线，则（ ）A 、2±≠m 且1≠m ，3≠mB 、2±≠mC 、1≠m 且3≠mD 、m 可取任意实数 变式1：直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）A 、2,3==b aB 、2,3-==b aC 、2,3=-=b aD 、2,3-=-=b a变式2：过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ；在两轴上的截距相等的直线方程变式3：过点)1,2(-P ，在x 轴和y 轴上的截距分别为b a 、，且满足b a 3=的直线方程是考点2：用一般式方程判定直线的位置关系两条直线位置关系的判定，已知直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，则 (1) 0//122121=-⇔B A B A l l 且01221≠-C A C A (或01221≠-C B C B )或212121C C B B A A ≠=(222C B A 、、均0≠) (2) 0212121=+⇔⊥B B A A l l(3) 1l 与2l 重合01221=-⇔B A B A 且01221=-C A C A (或01221=-C B C B )或212121C C B B A A ==(222C B A 、、均0≠) (4) 1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A 或记2121B B A A ≠(22B A 、均0≠)例1、已知直线01=++ny mx 平行于直线0534=++y x ，且在y 轴上的截距为31，则n m 、的值分别为（ ） A 、4和3 B 、4-和3 C 、4-和3- D 、4和3- 变式1：直线02:1=++y kx l 和032:2=--y x l , 若21//l l ，则1l 在两坐标轴上的截距的和（ ）A 、1-B 、2-C 、2D 、6 例2、已知直线02=+-a y ax 与直线()012=++-a ay x a 互相垂直，则a 等于（ ）A 、1B 、0C 、1或0D 、1或1- 变式2：两条直线0=-+n y mx 和01=++my x 互相平行的条件是（ ）A 、1=mB 、1±mC 、⎩⎨⎧-≠=11n m D 、⎩⎨⎧-≠-=11n m 或⎩⎨⎧≠=11n m变式3：两条直线03=++m y x 和03=+-n y x 的位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交但不垂直D 、与n m 、的取值有关 变式4：原点在直线l 上的射影是()1,2-P ，则直线l 的方程为（ ）A 、02=+y xB 、042=-+y xC 、052=+-y xD 、032=++y x 例3、三条直线01=+-y x 、042=-+y x 、02=+-y ax 共有两个交点，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、1或2-D 、1-或2变式5：直线()0523=+++-k y k x 与直线()0232=+-+y k kx 相交，则实数k 的值为（ ）A 、1≠k 或9≠kB 、1≠k 或9-≠kC 、1≠k 且9≠kD 、1≠k 且9-≠k 变式6：直线x y 3=绕原点逆时针旋转︒90，再向右平移1个单位，所得到的直线为 ( )A 、1133y x =-+B 、113y x =-+C 、33y x =-D 、113y x =+考点3：直线方程的应用1、直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线（ ）A 、 1133y x =-+ B 、 113y x =-+ C 、 33y x =- D 、 113y x =+ 2、直线方程b kx y +=中，当[]4,3-∈x 时，[]13,8-∈y ，此直线方程▲直线l 过点()12，M 且分别与y 、x 轴正半轴交于B A ,两点，O 为坐标原点，(1)当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程；(2)当MB MA ⋅取得最小时，求直线l 的方程；(3)当OB OA +最小时，求直线l 的方程。
考点4：直线方程的实际应用例1、求直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积变式1：过点()4,5--且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是例2、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最小值？变式2：为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，如图所示，另外在EFA ∆内部有一文物保护区不能占用，经测量m AB 100=,m CB 80=,m AE 30=, m AF 20=,应如何设计才能使草坪面积最大？题型3：直线的交点坐标与距离公式 考点1：有关距离问题1、过点()2,1P 的直线l 与两点()3,2A 、()5,4-B 的距离相等，则直线l 的方程为（ ）A 、064=-+y xB 、064=-+y xC 、723=+y x 或64=+y xD 、732=+y x 或64=+y x 2、直线1l 过点()0,3A ，直线2l 过点()4,0B ，21//l l ，用d 表示1l 和2l 的距离，则（ ）A 、5≥dB 、53≤≤dC 、50≤≤dD 、50≤<d考点2：有关对称问题(1)中心对称：①点-点-点对称——由中点坐标求得；②线-点-线对称——先找对称点，在根据21//l l 求得。
(2)轴对称：①点关于直线的对称——由中点坐标及121-=⋅k k 求得；②直线关于直线的对称——转化到点关于直线对称求得。
1、点()0,4关于直线02145=++y x 对称的点是（ ）A 、()8,6-B 、()6,8--C 、()8,6D 、()8,6-- 2、已知点()b a P ,和点()1,1+-a b Q 是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程为（ ）A 、0=+y xB 、0=-y xC 、01=-+y xD 、01=+-y x 3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A 、102B 、6C 、33D 、524、过点()4,3-M 且与()3,1-A 、()2,2B 两点等距离的直线方程是5、若直线01=++y ax 和直线024=++b y x 关于点()1,2-对称，求b a 、的值6、求直线32:1+=x y l 关于直线1:+=x y l 对称的直线2l 的方程考点3：有关最值问题例1、设直线l 过点()2,1P ，求当原点到此直线距离最大时，直线l 的方程变式1：已知()1,1A 、()1,1-B 直线01:=+-y x l ，求直线上一点P ，使得PB PA +最小；求直线上一点P ，使得PB PA -最大考点4：直线通过象限问题例1、若0<AC ，0<BC ，则直线0=++C By Ax 不通过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限变式1：若直线()0823=++⋅+y x a 不过第二象限，则实数a 的取值范围是 变式2：若直线0=++c by ax 过第一、二、三象限，则（ ）A 、0>ab 、0>bcB 、0>ab 、0<bcC 、0<ab 、0>bcD 、0<ab 、0<bc 变式3：直线1+-=k kx y 与02=--k x ky 交点在第一象限，则k 的取值范围是（ ）A 、10<<kB 、1>k 或01<<-kC 、1>k 或0<kD 、1>k 或21<k考点5：有关定点问题1、若q p 、满足12=-q p ，直线03=++q y px 必过一个定点，该定点坐标为2、直线06=++by ax 与02=-y x 平行，并过直线01034=-+y x 和0102=--y x 的交点，则=a ，=b3、无论n m 、取何实数，直线()()023=-⋅++⋅-n y n m x n m 都过一定点P ，则P 点坐标为（ ）A 、()3,1-B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,51D 、⎪⎭⎫⎝⎛-73,71考点6：解析法（坐标法）应用——即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题 如图，已知P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上一点，AB PM ⊥于M ，AC PN ⊥于N ，证明PN PM +为定值。
专题3.2.3 直线的一般式方程-高一数学人教版(必修2)(解析版)
一、选择题1．已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有 A ．0C < B ．0C > C ．0BC >D ．0BC <【答案】C【名师点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题． 2．经过点A (2,-1),B (-4,5)的直线的一般式方程为 A ．x+y+1=0B ．x-y+1=0C ．x-y-1=0D ．x+y-1=0【答案】D【解析】因为直线过A (2,-1),B (-4,5),所以由直线方程的两点式得直线方程为()()125142y x ---=----,化为一般式得x+y-1=0.故选D.3．已知直线()410a x y -++=与直线2350x y +-=垂直，则a =A ．143 B ．52C ．112D ．3【答案】B【解析】直线（a ﹣4）x +y +1=0与直线2x +3y ﹣5=0垂直，可得2（a ﹣4）+3=0，解得a =52． 故选B ．【名师点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．运用两直线垂直的条件，可得2（a ﹣4）+3=0，解方程即可得到所求值．4．把直线310x y -+-=绕点()1,3逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是 A ．3y x =-B ．3y x =C ．320x y -+=D ．320x y +-=【答案】B【解析】已知直线310x y -+-=的斜率为1，则其倾斜角为45°，所以直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . 故选B.【名师点睛】本题主要考查由直线方程求得斜率及倾斜角及结合象灵活运用，还有由点斜式写直线方程. 5．已知直线ax ＋by ＋c =0的图象如图，则下列结论正确的是A ．若c >0，则a >0，b >0B ．若c >0，则a <0，b >0C ．若c <0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b >0【答案】D6．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l 的一般式方程是A ．3x ＋y −6=0B ．x ＋3y −10=0C ．3x −y =0D ．x −3y ＋8=0【答案】A【解析】设所求直线l 的方程为1x y a b +=(a >0，b >0)，则有162ab =，且131a b+=.由122 1361ababab=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩，∴直线l 的方程为126x y+=，即为3x ＋y−6=0.7．已知直线(2m 2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为A．2或12B．2或－12C．－2或－12D．－2或12【答案】A【名师点睛】本题考查直线的截距，注意验证直线是正确解题的关键，属于基础题.由题意可知，直线过点()1,0，代入可得关于m的方程，解方程注意验证直线即可.二、填空题8．已知直线过定点,且倾斜角为60︒,则直线的一般式方程为________.【答案】【解析】由题可得，该直线的斜率为,所以该直线的点斜式方程为，其一般式方程为.9．已知直线222()(0)32a x a a y a++---=在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．【答案】415-【解析】把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3−2a=0，∴a=−6，∴直线方程为−4x＋45y＋12=0.令x=0，得415y=-.10．已知直线1:210l ax y--=，直线2:l320x y+-=，则1l过定点_________；当a=________时，1l 与2l平行．【答案】10,2⎛⎫-⎪⎝⎭23-【解析】直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =⎧⎨+=⎩，解得012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以直线1l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．当1l 与2l 平行时，则有23=-，解得23a =-，即23a =-时，1l 与2l 平行． 【名师点睛】直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成()(),,0f x y kg x y +=（k 为参数）的形式，解方程组()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得定点的坐标．将直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =+=且可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得a 的值． 三、解答题11．把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.12．根据下列条件求解直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A (1，3)； (2)斜率为，且在y 轴上的截距为4；(3)经过两点A (2，－3)，B (－1，－5)； (4)在x ，y 轴上的截距分别为2，－4.13．已知直线l 的方程为34120x y +-=，求：（1）过点()1,3-，且与l 平行的直线方程； （2）过点()1,3-，且与l 垂直的直线方程. 【解析】由直线34120x y +-=，得其斜率为34-， （1）因为所求直线与l 平行，则所求直线的斜率34k =-， 又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()3314y x -=-+，即3490x y +-=. （2）因为所求直线与l 垂直，则所求直线的斜率43k =，又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()4313y x -=+，即43130x y -+=. 【名师点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．14．已知直线l 平行于直线，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程.15．已知直线()1:280l m x my -+-=与直线2:30l mx y +-=，其中m 为常数.（1）若12l l ⊥，求m 的值；（2）若点()1,2P m 在2l 上，直线l 过P 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. 【解析】（1）∵12l l ⊥，∴()20m m m -+=，解得0m =或1m =.（2）当0m =时，P 为（1,0），2:3l y =，不合题意； 当1m =时，P 为（1,2），2:30l x y +-=，符合题意. ∵直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，当直线l 过原点时，可设l 的方程为y kx =，将点P （1,2）代入得2k =， ∴此时l 为2y x =;当直线l 不经过原点时，可设l 的方程为x y λ-=，将点P （1,2）代入得1λ=-， ∴此时l 为10x y -+=.综上可得直线l 的方程为2y x =或10x y -+=.。
高一数学知识点及经典题型
高一数学知识点及经典题型一、直线与图像1. 直线的斜率与截距直线的斜率表示了直线的倾斜程度，可以通过两点间的纵横坐标差值求得。
直线的截距表示了直线与坐标轴的交点，可以通过直线方程的解得到。
经典题型：已知直线过点A(2, 3)，斜率为2，求直线的方程。
解：直线的方程可以用斜率截距的形式表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
已知直线过点A(2, 3)，斜率为2，代入直线方程得：3 = 2 * 2 + b，解方程可得截距b为-1。
因此，直线的方程为y = 2x - 1。
2. 向量与直线的关系向量有大小和方向两个方面的特征，可以表示平移的位移。
直线可以通过向量与平移进行描述，两个平行直线的方向向量相等。
经典题型：已知直线L的方程为y = 2x - 1，求与直线L平行的直线方程。
解：由直线的方程可得到方向向量为(2, 1)。
与直线L平行的直线方程可以表示为y = 2x + b，其中b为待求的截距。
由于两个平行直线的方向向量相等，因此平行直线的方程为y = 2x + b。
二、集合与函数1. 集合的概念与运算集合是由一些特定对象组成的整体，可以通过列举、描述特征或运用集合运算来表示。
常见的集合运算有并集、交集和补集。
经典题型：已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A与B的交集与并集。
解：A与B的交集是由同时属于A和B的元素组成，即交集为{2, 3}；A与B的并集是包括A和B所有元素的集合，即并集为{1, 2, 3, 4}。
2. 函数的定义与性质函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的映射关系，可以通过函数的定义域、值域和图象来描述。
函数的性质包括单调性、奇偶性等。
经典题型：已知函数f(x)的定义域为全体实数集，值域为正实数集，且f(x)为偶函数，求f(-2)和f(3)的值。
解：由函数f(x)为偶函数可得f(-x) = f(x)，即f(-2) = f(2)。
因为值域为正实数集，所以f(x)大于0。
高一数学直线的一般式方程
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合 （当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的两 方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
布置作业：
7· 2
8，9，10
；/ 商场展柜；
仙吧,要不然你把这个家伙给灭了?咱们抢了他们の宝物の话,应该就差不多了""小子,你以为魔仙是阿猫阿狗吗?说灭就灭,脑子有病"对于根汉の想法,红柳只能甩他壹个白眼了,想将魔仙说灭就灭,那可不是随便壹个人就能做到の丶;猫补中文肆0肆0未知领域(猫补中文)哪个魔仙不是通天の 人物,要是这么容易被人灭了,这魔仙の名头也白让人给叫了丶"呵呵,也没说要杀了他嘛,不如你将他给引开,咱将这剩下の十来人给收了,如何?"根汉笑了笑丶"别想了,这里の强者可不少,魔仙绝对不止壹两位。"红柳白了他壹眼,传音道："要抓他们也不急于现在,不如跟着他们,等他们离开 了这里,到了没什么人の地方倒是可以。""只不过这三个年轻人,竟然还有魔仙做守卫,背后の实力壹定很强大。&#
高一数学必修2《第三章_直线与方程》基础测验(含答案)
小太阳英教中心高一数学《第三章 直线与方程》基础测验一、选择题（共10小题，每小题4.5分，共45分）1、若A （-2,3），B （3，-2），C （m ,21）三点共线，则m 的值为（ ） A 、2 B 、-2 C 、21 D 、21-2、直线01025=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A 、-5B 、5C 、-10D 、103、若直线04)2(=-+-y x m 的倾斜角是钝角，则m 的取值范围是（ ）A 、2- mB 、2 mC 、2- mD 、2 m4、如果直线04)2()52(=+-++y a x a 与直线01)3()2(=-++-y a x a 相互垂直，则a 的值等于（ ）A 、2B 、-2C 、2或-2D 、0或2或-25、过A （4,1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 （ ）A 、05=-+y xB 、05=--y xC 、0405=-=-+y x y x 或D 、0405=+=--y x y x 或6、若A （-1,2），B （0，-1），直线A B ∥l 且l 过点 C （-2,3），则直线l 的方程为（ ）A 、033=-+y xB 、033=-+y xC 、033=++y xD 、033=+-y x7、点（-4,3）与直线024301032=-+=+-y x y x 和的交点的距离是（ ）A 、5B 、5C 、52D 、108、已知第一象限的点（a ，2）到直线03=+-y x 的距离为1，则a 为（ ）A 、2B 、22-C 、12+D 、12-9、若直线l ：0433=-+-=y x kx y 和直线的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A 、【ππ,2）B 、（ππ,2）C 、（32,2ππ）D 、（ππ,3） 10、两点A （m+2，n+2）和B （n-m ，-n ）关于直线1134=+y x 对称，则m,n 的值为（ ）A 、m=-1,n=2B 、m=4,n=-2C 、m=2,n=4D 、m=4,n=2二、填空题（共6空，每空4分，共24分）11、若直线l与过（3-，9）与（326，-15）两点的直线平行，则l的倾斜角是0。
(完整版)高一数学直线方程知识点归纳及典型例题
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同样形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0 ，这个方程 (其中 A 、B 不全为零 )叫做直线方程的一般式．要点讲解：1．A 、 B 不全为零才能表示一条直线，若 A 、 B 全为零则不能够表示一条直线 .当 B ≠0时，方程可变形为 yA x C ，它表示过点 0,C，斜率为A的直线．B BBB当 B=0 ， A ≠0时，方程可变形为Ax+C=0 ，即 xCx 轴垂直的直线．，它表示一条与A由上可知，关于 x 、 y 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 x 、y 的一次方程 （如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程能够是 2x ―y+1=0 ，也能够是 x 1 y 1 0 ，还可以够是 4x ― 2y+2=0等．）2 2要点二：直线方程的不同样形式间的关系 直线方程的五种形式的比较以下表：名称方程的形式 常数的几何意义适用范围 点斜式y ―y（ x 1， y 1）是直线上必然点， k 是斜率 不垂直于 x 轴1=k(x ―x 1)斜截式y=kx+bk 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距不垂直于 x 轴 两点式y y 1 x x 1 （ x 1， y 1 ），（x 2 ，y 2）是直线上两定点不垂直于 x 轴和 y 轴y 2 y 1x 2x 1截距式x y a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直不垂直于 x 轴和 y 轴，a1线在 y 轴上的非零截距b且但是原点 一般式Ax+By+C=0 （ A 2+B 2≠0） A 、B 、 C 为系数任何地址的直线要点讲解：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求 直 线 存 在 斜 率 ， 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 ， 其 限 制 条 件 更 多 （ x 1≠x 2， y 1 ≠y 2）， 应 用 时 若 采 用 (y 2―y 1)(x ―x 1) ― (x 2―x 1)(y ―y 1)=0 的形式，即可除掉限制性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，第一要判断可否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同样，获取的 方程也不同样．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．依照题目所给条件，选择合适的直线方程的形式，求出直线方程．关于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同样，考虑的方向也不同样．（ 1）从斜截式考虑已知直线 l 1 : y k 1 x b 1 , l 2: y k 2 x b 2 ,l 1 // l 2 1 2k 1 k 2 (b 1 b 2 ) ；l 1 l 2tancot1 k 1k 211212k 12k 2于是与直线 y kx b 平行的直线能够设为 ykx b 1 ；垂直的直线能够设为y1 x b2 ． （ 2）从一般式考虑：kl 1 : A 1x B 1 y C 1 0, l 2 : A 2 x B 2 y C 2l 1 l 2 A 1 A 2 B 1B 2l 1 // l 2A 1B 2 A 2B 1 0且 A 1C 2 A 2C 1 0 或 B 1C 2 B 2C 1 0 ，记忆式（ A 1 B 1C1 ）A 2B 2C 2l 1 与 l 2 重合， A 1B 2 A 2 B 1 0 ， A 1C 2 A 2C 1 0 ， B 1C 2 B 2C 1 0于 是 与 直 线 Ax By C 0 平 行 的 直 线 可 以 设 为 AxBy D 0 ； 垂 直 的 直 线 可 以 设 为Bx Ay D0 .【典型例题】种类一：直线的一般式方程例 1．依照以下条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．1 （1）斜率是，经过点 A （ 8， ―2）；2（2）经过点 B （ 4， 2），平行于 x 轴；（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，―3；2（4）经过两点 P 1（ 3，―2）， P 2（ 5， ―4）．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 （ 2） y ―2=0 （ 3） 2x ―y ―3=0 （ 4） x y 1 0【剖析】（ 1）由点斜式方程得 y( 2)1( x 8) ，化成一般式得 x+2y ― 4=0．2（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y ―2=0 ．（3）由截距式得xy1 ，化成一般式得 2x ―y ―3=0 ．3 32（4）由两点式得y 2x3，化成一般式方程为x y 1 0 ．4 ( 2)5 3【总结升华】本题主若是让学生领悟直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转变，关于直线方程的一般式，一般作以下约定： x 的系数为正， x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、 y 项、常数项序次排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 经过点 B(3, 1) ，且倾斜角是 30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】 y 13(x3) 3x 3y3 3 3 03【剖析】由于直线倾斜角是30 ，所以直线的斜率 ktantan 303 ，所以直线的点斜式方程3为： y 13(x 3) ，化成一般式方程为：3x 3 y 3 3 30 .3例 2． ABC 的一个极点为 A( 1, 4) ， B 、 C 的均分线在直线y 1 0和 x y 10 上，求直线 BC 的方程 .【答案】 x 2 y3 0【剖析】由角均分线的性质知，角均分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得 A 点关于B 的均分线的对称点 A ' 在 BC 上， B 点关于C 的均分线的对称点 B ' 也在 BC 上．写出直线 A ' B ' 的方程，即为直线 BC 的方程 .例 3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（ 1， 2）的直线 l 的方程．【答案】 3x+4y ―11=0 【剖析】解法一：设直线l 的斜率为 k ，∵ l 与直线 3x+4y+1=0 平行，∴ k3 ．4又∵ l 经过点（ 1， 2），可得所求直线方程为 y 23(x 1) ，即 3x+4y ― 11=0．4解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0 ，∵ l 经过点（ 1， 2），∴ 3×1+4×2+m=0 ，解得 m=―11 ．∴所求直线方程为 3x+4y ―11=0 ．【总结升华】（ 1）一般地， 直线 Ax+By+C=0 中系数 A 、B 确定直线的斜率， 所以，与直线 Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+m=0 ，这是常采用的解题技巧．我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程．参数m 能够取 m ≠C 的任意实数，这样就获取无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时， Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合．（2）一般地，经过点 A （x 0 ，y 0），且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x ―x )+B(y ―y )=0 ．（3）近似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx ―Ay+m=0 （ A ， B 不同样时为零） ．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 1 ： 3mx+8y+3m-10=0 和 l 2 ：x+6my-4=0 . 问 m 为何值时 :（1） l 1 与 l 2 平行（ 2） l 1 与 l 2 垂直 . 【答案】（ 1） m2 （ 2） m3【剖析】当 m0 时， l 1 ： 8y-10=0 ； l 2 ： x-4=0 ， l 1 l 2当 m 0 时， l 1 ： y3m 10 3m： y 1x4x 8 ； l 2 6m86m由 3m1 ，得 m2 ，由 10 3m 4 得 m 2 或 886m38 6m 3 3 而 (3m ) ( 1 ) 1无解8 6m2综上所述（ 1） m， l 1 与 l 2 平行．（ 2） m 0 ， l 1 与 l 2 垂直．3【变式 2】 求经过点 A （ 2， 1），且与直线 2x+y ―10=0 垂直的直线 l 的方程． 【答案】 x － 2y=0【剖析】由于直线 l 与直线 2x+y ―10=0 垂直，可设直线 l 的方程为 x 2y m 0 ，把点 A （2，1）代入直线 l 的方程得： m0 ，所以直线 l 的方程为： x －2y=0 ．种类二：直线与坐标轴形成三角形问题例 4．已知直线 l 的倾斜角的正弦值为3，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线 l 的方程．5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数—— 直线在 y 轴上的截距 b ，再依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，即可求出 b ．也能够依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，进而得出1| ab | 6 ，再依照它的斜率已知，进而获取关于a ，b 的方程组，解之即可．3 x23 x【答案】 y3 或 y 344【剖析】解法一：设 l 的倾斜角为，由 sin33，得 tan．3544设 l 的方程为yx b ，令 y=0，得 x4 b ．3∴直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 4 ，（ 0，b ）．b,03∴ S1 4b | b | 2b 2 6 ，即 b 2=9，∴ b=±3．23 3故所求的直线方程分别为y 3 x 3 或 y3 x 3 ．44解法二：设直线l 的方程为xy 1，倾斜角为，由 sin3 ，得 tan3 ．a b541| a | | b |6a 4∴2b3 ，解得．b 3a4故所求的直线方程为x y 1或 xy 1．4 3 4 3【总结升华】（ 1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关） ，所以可选择斜截式直线方程，也可采用截距式直线方程，故有“题目决定解法 ”之说．（2）在求直线方程时，要合适地选择方程的形式，每种形式都拥有特定的结论，所以依照已知条件恰 当地选择方程的种类经常有助于问题的解决．比方：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，平时采用点 斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的种类后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特别情况的谈论，省得遗漏．贯穿交融：【变式 1】（ 2015 春 启东市期中）已知直线m ： 2x ― y ―3=0 ， n ：x+y ―3=0 ．（ 1）求过两直线 m ，n 交点且与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程； （2）求过两直线 m ， n 交点且与两坐标轴围成面积为4 的直线方程．【思路点拨】（ 1）求过两直线 m ， n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ： x+2y ―1=0平行的直线方程；（ 2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 ；（ 2）2x y 3 0 x 2 【剖析】（ 1）由y3 ，解得y，x 01即两直线 m ， n 交点坐标为（ 2， 1），设与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0 ，则 2+2×1+c=0，解得 c=―4， 则对应的直线方程为 x+2y ―4=0 ；（2）设过（ 2， 1）的直线斜率为 k ，（ k ≠0），则对应的直线方程为 y ―1= k(x ―2) ，令 x=0， y=1―2k ，即与 y 轴的交点坐标为 A （ 0， 1―2k ） 令 y=0，则 x2 1 2k 1 ，即与 x 轴的交点坐标为 B(2k 1,0) ，k kk 则△AOB 的面积 S1 | 2k 1||1 2k | 4 ，2 k即 (2k 1)2 8 k ，即 4k 24k 8 k1 0 ，若 k ＞ 0，则方程等价为 4k 212k1 0 ，解得 k3 2 2或 k 3 2 2 ，22若 k ＜ 0，则方程等价为 4k 24k1 0 ，解得 k1 ．2综上直线的方程为y 11( x 2) ，或 y 13 2 2 ( x 2) ，或 y 13 2 2( x 2)222即 y1 x2 ，或 y3 2 23 2 2x 2 2 22 x 2 2 2 ，或 y22种类三：直线方程的本质应用例 6．（ 2015 春 湖北期末）光辉从点 A （ 2，3）射出，若镜面的地址在直线 l ： x+y+1=0 上，反射光辉经过 B （ 1， 1），求入射光辉和反射光辉所在直线的方程，并求光辉从 A 到 B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光辉的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光辉方程，可求光辉从A 到B 所走过的路线长．【答案】 41【剖析】设点 A 关于 l 的对称点 A ＇（ x 0， y 0），x 0 2 y 0 3 1 0 x 04∵AA ＇被 l 垂直均分，∴2 2 ，解得y 0 3y 03x 0 12∵点 A ＇（―4， ―3）， B （1， 1）在反射光辉所在直线上， ∴反射光辉的方程为y 3 x4，即 4x ―5y+1=0，1 3 1 44x 5y 1 0( 2 ,1) ． 解方程组x y 10 得入射点的坐标为3 3y 1x 2由入射点及点 A 的坐标得入射光辉方程为3 3，即 5x ―4y+2=0 ，31 2 233光辉从 A 到 B 所走过的路线长为 | A' B |( 4 1)2 ( 3 1)241 ．【总结升华】本题要点观察点关于直线的对称问题，观察入射光辉和反射光辉，解题的要点是利用对称点的连结被对称轴垂直均分．线 贯穿交融：【变式 1】（ 2016 春 福建厦门期中）一条光辉从点 A （－ 4，－ 2）射出，到直线y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光辉恰好过点 D （－ 1，6）．求 【答案】 10x － 3y+8=0【剖析】如图， A （－ 4，－ 2）， D （－ 1，6），y=x 上的 B 点后被直BC 所在直线的方程．由对称性求得 A （－ 4，－ 2）关于直线 y=x 的对称点 A ＇（－ 2，－ 4）， D 关于 y 轴的对称点 D ＇（ 1， 6），则由入射光辉和反射光辉的性质可得：过 A ＇ D ＇的直线方程即为 BC 所在直线的方程．由直线方程的两点式得： y 4 x 2 ． 整理得： 10x － 3y+8=0 ．64 1 2例 7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建筑一幢8 层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到 1 m 2）【答案】 6017【剖析】建立坐标系，则 B （ 30， 0）， A （ 0， 20）．∴由直线的截距方程获取线段AB 的方程为x y 1 （0≤ x ≤ ）30．30 202x ． 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则有 y203∴公寓的占地面积为S (100 x) (80y) (100 x) (80 20 2x)2 x 2 20 x 6000 （0≤ x ≤ ）30．3 3 3 ∴当 x=5 ， y50 时， S 取最大值，最大值为 S2 52 20 5 6000 6017(m 2 ) ．333即当点 P 的坐标为 (5,50) 时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．3P 的地址由两个条件确定，一是 A 、 P 、 B 三点共线，【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点 二是矩形的面积最大．借三点共线追求x 与 y 的关系，利用二次函数知识研究最大值是办理这类问题常用的方法．。
高一数学直线方程试题
直线方程测试题一、选择题： 1．以下说法准确的是（ ）A ．若直线21,l l 的斜率相等，则直线21,l l 一定平行；B ．若直线21,l l 平行，则直线21,l l 斜率一定相等；C ．若直线21,l l 中，一个斜率不存有，另一斜率存有，则直线21,l l 一定相交；D ．若直线21,l l 斜率都不存有，则直线21,l l 一定平行。
2．直线21,l l 在x 轴上的截距都是m ，在y 轴上的截距都是n ，则21,l l 满足 （ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合3．经过点)1,2(的直线l 到A )1,1(、B )5,3(两点的距离相等，则直线l 的方程为 （ ）A ．032=--y xB ．2=xC ．032=--y x 或2=xD ．都不对4．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是（ ）A ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(- 5．点M ),(b a 与N )1,1(+-a b 关于以下哪种图形对称（ ） A ．直线01=+-y x B ．直线01=--y xC ．点（21,21-） D ．直线0=--+b a y x6．设A 、B 两点是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则PB 的方程为（ ）A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--x yD ．072=-+y x7．若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取 值范围是（ ）A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0D ．k ∈R 且k ±≠ 58．点),(m n m P --到直线1=+nym x 的距离为（ ）A ．22n m ±B ．22n m -C ．22n m +-D ． 22n m +9．若点),4(a 到直线0134=--y x 的距离不大于3，则a 的取值范围为 （ ）A ．)10,0(B ．]10,0[C ．]331,31[ D ．),(+∞-∞10．已知两定点A (－3，5)，B (2，15)，动点P 在直线3x －4y ＋4＝0上，当PA ＋PB 取 最小值时，这个最小值为（ ）A ．513B ．362C ．155D ．5＋102二、填空题：11．当a = 时，直线22:1+=+a ay x l ，直线1:2+=+a y ax l 平行．12．已知△ABC 中A )1,4(-，B )3,2(-，C )1,3(，则△ABC 的垂心是 ．13．过点)2,1(-A ，且与原点距离等于22的直线方程为 ． 14．直线016112=++y x 关于点)1,0(P 的对称直线的方程是 ． 三、解答题：15．已知点)8,3(-A 、)2,2(B ，点P 是x 轴上的点，求当PB AP +最小时的点P 的坐标．16．已知直线l 1：x y =，l 2：x y 33-=，在两直线上方有一点P （如图），已知 P 到l 1，l 2的距离分别为22与32，再过P 分别作l 1、l 2的垂线，垂足为A 、B ， 求：（1）P 点的坐标； （2）|AB |的值．17．已知：直线l ：，求：点P （4，5）关于直线的对称点．18．正方形中心在C （－1，0），一条边方程为：，求其余三边直线 方程．19．已知两直线12:40,:(1)0l ax by l a x y b -+=-++=,求分别满足以下条件的 a 、b 的值．（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l 、2l 的距离相等．20．在直角坐标中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次排列，且O 、P 、Q 三点 的坐标分别是O(0,0)、P(1,t )、 Q(1－2t ,2+t )，其中t ∈(0,+∞)． （1）求顶点R 的坐标；（2）求矩形OPQR 在第一象限局部的面积S(t )．参考答案一、CDCBA ABDBA 二、11．1；12．)34,316(-；13．01=-+y x 或057=++y x ；14．038112=-+y x ； 三、15．略解：点A 关于x 轴的对称点为A ′（－3，－8），A ′B ：2x －y －2=0,A ′B 与x 轴交点为 P （1，0）即为所求.16．略解（利用待定系数发设出P 点的坐标即可）：⑴点P （0，4）；⑵|AB|=26+ 17．解：设P 关于l 的对称点为()y x P '''，，直线的斜率为331-=∴⊥''P P k lP P ∴直线P P '的方程为：()4315--=-x y即：0193=-+y x ，设P P '与l 交于Q 点Q 点坐标是⎩⎨⎧=+-=-+0330193y x y x 的解，∴Q （1，6）∵Q 是线段P P '的中点∴⎩⎨⎧='-='⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'=+'=72256241y x y x ∴所求对称点为（－2，7） 18．解：设053=-+y x 为l ，l 的对边为1l ，l 的两邻边为32l l ，，设1l 的方程为：03=++my x ，∵C 点到l 的距离等于C 点到1l 的距离；5731131512222-=++-=+--或∴∴m m∴1l 的方程为：073=++y x ，∵l 的斜率是31- 又∵l l l l ⊥⊥32，， ∴32l l ，的斜率为3设32l l ，的方程为：b x y +=3，即：∵C 到32l l ，的距离等于C 到l 的距离. ∴931511332222=⇒+--=++-b b 或3-，∴2l 的方程为：093=+-y x ，3l 的方程为：033=--y x .19．解：（1）12,(1)()10,l l a a b ⊥∴++-⋅=即20aa b --= ①又点(3,1)--在1l 上， 340a b ∴-++= ② 由①②解得：2, 2.a b ==（2）1l ∥2l 且2l 的斜率为1a -. ∴1l 的斜率也存有，即1a a b =-，1ab a=-. 故1l 和2l 的方程可分别表示为：14(1):(1)0,a l a x y a --++=2:(1)01a l a x y a-++=- ∵原点到1l和2l 的距离相等. ∴141a a a a -=-，解得：2a =或23a =. 所以22ab =⎧⎨=-⎩或232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.20．解：（1）R()2,2t -（2）矩形OPQR 的面积22(1)OPQRs OP OR t ==+①当1－2t ≥0时，设线段RQ 与Y 轴交于点M ，直线RQ 的方程为2(2)y t x t -=+，得M 的坐标为()20,22t+，△OMR 的面积为212(1)2R s OM x t t ==+ 2()2(1)(1)OPQR OPM s t s s t t =-=-+②当1－2t<0时，线段QP 与Y 轴相交，设交点为N ，直线QP 的方程为1(1)y t x t -=--，N 的坐标是10,t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭211()22OPNP t s t sON X t+==⋅= 综上所述 2212(1)(1)(0)2()11()22t t t s t t t t⎧-+<<⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩。
高一数学 直线的方程 (精准专题训练)
高一数学 直线的方程 （精准专题训练）1.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的两倍,则直线l 的斜率是( ) A.724 B.247 C.7 D.242.若A(-2,3),B(3,12)()2C m -,,三点共线,则m 的值为( ) A.12 B.12- C.-2 D.23.直线x -2cos 30([])63y ααππ+=∈,的倾斜角的变化范围是( ) A.[]64ππ, B.[]63ππ, C.2[]43ππ, D.[]43ππ,4.经过点A(-5,2),且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 .5.过A(1,1),B(0,-1)两点的直线方程是( )A.111y x +=+ B.1111y x --=-- C.110111y x --=--- D.y =x 6.若直线l :ax +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是( ) A.1B.-1C.-2或-1D.-2或17.若直线22(23)()4m m x m m y m +-+-=-1在x 轴上的截距为1,则实数m 的值为( )A.1B.2C.12-D.2或12- 8.若直线l 与直线y =1,x =7分别交于点P ,Q ,且线段PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线l 的斜率为( ) A.13 B.13- C.32- D.239.直线1l :3x -y +1=0,直线2l 过点(1,0),且2l 的倾斜角是1l 的倾斜角的2倍,则直线2l 的方程为( )A.y =6x +1B.y =6(x -1)C.3(1)4y x =-D.3(1)4y x =-- 10.直线经过A(2,12)(1)(B m m ,,∈R )两点,那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.0α≤<πB.04απ≤≤或2απ<<π C.04απ≤≤ D.42αππ≤<或2απ<<π11.经过点A(-2,2)并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程是( )A.x +2y -2=0或x +2y +2=0B.x +2y +2=0或2x +y +2=0C.2x +y -2=0或x +2y +2=0D.2x +y +2=0或x +2y -2=012.有一直线20(x a y a a +-=>0,a 是常数),当此直线在x ,y 轴上的截距和最小时,a 的值是( )A.1B.2 D.013.直线2x +3y +a =0与两坐标轴围成的三角形的面积为12,则a 的值为 .14.已知A(3,0),B(0,4),动点P (x ,y )在线段AB 上移动,则xy 的最大值等于 .15.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3,且过定点A(-3,4).求直线l 的方程.16.过点M (0,1)作直线,使它被两直线1l :x 23100y l -+=,:2x +y -8=0所截得的线段恰好被M 所平分,求此直线方程.17.设直线l 的方程为(a +1)x +y 20(a a +-=∈R ).(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程;(2)若直线l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围.18.已知直线l :kx -y +1+2k =0.(1)证明:直线l 过定点;(2)若直线l 交x 轴负半轴于A,交y 轴正半轴于B,△AOB 的面积为S,试求S 的最小值并求此时直线l 的方程.答案与解析：1.【答案】B【解析】因为A(-1,-5),B(3,-2),所以253314AB k -+==+.若设直线AB 的倾斜角为θ,则tan 34θ=.这时直线l 的倾斜角为2θ,其斜率为tan 22322tan 4242371tan 1()4θθθ⨯===--. 2.【答案】A【解析】由AB BC k k =,即23232132m --+=,+-得12m =,选A. 3.【答案】A【解析】直线x -2cos 30y α+=的斜率12cos k α=, ∵[]63αππ∈,,∴12≤cos α≤.故11]2cos k α=∈. 设直线的倾斜角为θ,则有tan 1]θ∈, 由于[0θ∈,π),∴[]64θππ∈,. 4.【答案】x +2y +1=0或2x +5y =0【解析】设直线在x 轴上的截距为2a ,则其在y 轴上的截距为a ,则直线经过点(2a ,0),(0,a ).当a =0时,直线的斜率25k =-,此时,直线方程为y =25x -,即2x +5y =0. 当0a ≠时,则2005202a a a --=,---得12a =-,此时,直线方程为x +2y +1=0. 综上所述,所求直线的方程为x +2y +1=0或2x +5y =0.5.【答案】A 【解析】所求直线方程为(1)01(1)10y x ---=,---即111y x +=+.故选A. 6.【答案】D 【解析】由22a a a++=,得a =-2或1. 7.【答案】D【解析】∵直线在x 轴上有截距,∴2230m m +-≠,当2230m m +-≠时,在x 轴上截距为241123m m m -=,+-即22320m m --=, ∴m =2或12m =-. 8.【答案】B【解析】由直线l 与直线y =1,x =7分别交于点P 、Q ,可设11(1)(7)P x Q y ,,,,再由线段PQ 的中点坐标为(1,-1),可解得:1153x y =-,=-,即直线l 上有两点P (-5,1),Q (7,-3),代入斜率公式可解得直线l 的斜率为131573k +==---. 9.【答案】D【解析】设直线1l 的倾斜角为α,则由tan 3α=可求出直线2l 的斜率k =tan 22tan 3241tan ααα==-,-再由直线2l 过点(1,0)即可求得其方程. 10. 【答案】B【解析】直线l 的斜率2211112m k m -==-≤,-又直线l 的倾斜角为α,则有tan 1α≤,即tan 0α<或0≤tan 1α≤,所以2π<α<π或04απ≤≤.故选B. 11. 【答案】D【解析】设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ,则有12S =|a b ⋅∴2ab =±.设直线的方程是1y x a b+=, ∵直线过点(-2,2),代入直线方程得2a -+2b =1,即b =22a a ,+ ∴2222a ab a ==±+.解得12a b =-,⎧⎨=-⎩ 或21a b =,⎧⎨=.⎩ ∴直线方程是112y x +=--或121y x +=,即2x +y +2=0或x +2y -2=0. 12.【答案】A 【解析】直线方程可化为11y x a a +=,因为a >0,所以截距之和12t a a=+≥,当且仅当1a a=,即a =1时取等号. 13.【答案】12±【解析】令x =0得3a y =-; 令y =0得2a x =-.∴直线与x 轴,y 轴交点分别为(0)(0)23a a A B -,,,-. ∴12AOB S =⋅|2a -|⋅|3a -|=12. ∴21212a =⨯.∴12a =±.14.【答案】3【解析】AB 所在直线方程为134y x +=, ∴211()344344y y x x ⋅≤+=. ∴3xy ≤,当且仅当34y x =时取等号. 15.【解】设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴、y 轴上的截距分别是4334k k--,+, 由已知,得|(3k 44)(3)k+--|=6, 解得128233k k =-,=-. 所以直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.16.【解】法一:过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴,它和两已知直线的交点分别是10(0)3,和(0,8),显然不满足中点是点M (0,1)的条件.故可设所求直线方程为y =kx +1,与两已知直线12l l ,分别交于A 、B 两点,联立方程组 13100y kx x y =+,⎧⎨-+=,⎩① 1280y kx x y =+,⎧⎨+-=,⎩ ② 由①解得731A x k =,-由②解得72B x k =+. ∵点M 平分线段AB ,∴2A B M x x x +=,即770312k k +=-+. 解得14k =-,故所求直线方程为x +4y -4=0. 法二:设所求直线与已知直线12l l ,分别交于A 、B 两点.∵点B 在直线2l :2x +y -8=0上,故可设B(t,8-2t).又M (0,1)是AB 的中点,由中点坐标公式,得A(-t,2t-6).∵A 点在直线1l :x -3y +10=0上,∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.∴B(4,0),A(-4,2),故所求直线方程为x +4y -4=0.17.【解】(1)令x =0,得y =a -2.令y =0,得2(1)1a x a a -=≠-+. ∵直线l 在两坐标轴上的截距相等, ∴221a a a --=+. 解之,得a =2或a =0.∴所求的直线l 方程为3x +y =0或x +y +2=0.(2)直线l 的方程可化为y =-(a +1)x +a -2. ∵直线l 不过第二象限,∴(1)020a a -+≥,⎧⎨-≤.⎩ ∴1a ≤-.∴a 的取值范围为(1]-∞,-.18.【解】(1)证明:由已知得k (x +2)+(1-y )=0, ∴无论k 取何值,直线过定点(-2,1).(2)令y =0得A 点坐标为1(20)k--,, 令x =0得B 点坐标为(0,2k +1)(k >0), ∴12AOB S =|12k--||2k +1| 1111(2)(21)(44)22k k k k=++=++ 1(44)42≥+=. 当且仅当14k k =,即12k =时取等号. 即△AOB 的面积的最小值为4,此时直线l 的方程为 1112x y -++=0,即x -2y +4=0.。
高一数学直线与方程试题答案及解析
高一数学直线与方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”.则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .【答案】，【解析】直线上的点可以表示成，那么原点到它的折线距离为，所以只需求的最小值，而，画出图象可以看当时取到最小值同理，设圆上的点为，所以所求即为的最小值，而所以最小值为.【考点】本小题主要考查新定义下分段函数求最值问题，考查学生对新定义的理解和利用能力以及运算求解能力和对问题的转化能力.点评：第二问求解时也可以按照分段函数讨论，但比较麻烦，用绝对值的性质可以简化运算.2. p点在直线3x+y-5=0上，且p到直线x-y-1=0的距离等于，则点p坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，-1）D．（2，1）或（-1，2）【答案】C【解析】依题意可得P点是直线和与直线平行且距离为的平行直线的交点。
设与直线平行且距离为的平行直线方程为，由平行直线距离公式可得，解得或。
当时平行直线方程为，与直线联立可得P点坐标为。
当时平行直线方程为，与直线联立可得P点坐标为。
故选C3.点p（m-n，－m）到直线的距离等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线方程化为由点到直线的距离公式得：故选A4.已知正方形的中心为直线x-y＋1=0和2x＋y＋2=0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y －2=0，求其它三边方程。
【答案】其它三边所在直线方程为x+3y+4=0，3x-y=0，3x-y+6=0【解析】解：由将正方形的中心化为p(-1,0),由已知可设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0 ，∵p点到各边的距离相等，∴和，∴ m=4或m=-2和n=6或n=0∴其它三边所在直线方程为x+3y+4=0，3x-y=0，3x-y+6=05.若点（4，a）到直线4x-3y=0的距离不大于3，则a的取值范围是（）A．（0，10）B．[3，4]C．[，]D．（-，0）【答案】C【解析】依题意可得，解得，故选C6.坐标平面内一点到两个坐标轴和直线x+y=2的距离都相等，则该点的横坐标是( )A．B．1C．D．不确定【答案】D【解析】设该点坐标为。
高一数学直线与方程经典例题-必修二第3章
直线与方程经典例题【考点指要】关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求。
解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。
【综合例题分析】例1. 已知圆22440x x y --+=的圆心是P ，则点P 到直线10x y --=的距离是__________。
答案：22解析：由题意圆的方程22440x x y --+=可化为()2228x y -+=∴圆心()2,0P ，代入点到直线距离公式得22)1(1|1-(-1)012|d 22=-+⨯+⨯=例2.若曲线21y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k b 、分别应满足的条件是____________。
答案：k=0且-1<b<1 解析：由y x x x x x 211010=+=+>-+<⎧⎨⎩||，，画出图象得设图象与y 轴的交点分别为()()0101A B -，、，，过点A B 、作平行于x 轴的直线，根据题意，直线y kx b =+与曲线没有公共点，则只能与x 轴平行且在虚线区域内移动。
评述：由于曲线方程中含有绝对值，所以先分情况去掉绝对值符号，若联立方程组2211y x y x y kx b y kx b⎧⎧=+=-+⎨⎨=+=+⎩⎩或，分别利用判别式“△<0”去求解没有公共点的情况，题目会变的非常烦琐。
借助于图象既快捷又直观，利用数形结合是解决这类题目非常有效的方法。
例3. 设过()P x y ，点的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A B 、两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程为（ ） A. )0,0(123x 322>>=+y x y B. )0,0(123322>>=-y x y x Ｃ.)0,0(132322>>=-y x y xＤ.)0,0(132322>>=+y x y x 答案：Ｄ解析：设过点()P x y ，的直线方程为)0,0(><+=b k b kx y ，则(),0,0,b A B b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意知点Q 与点P 关于y 轴对称，得(),Q x y -，又()0,0O∴()()0,2,00,00,01b x y b x y k b x y b k ⎧⎛⎫--=--- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎪---⋅---= ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩ 即3231b x k b y b x by k⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪-+=⎩，得223312x y +=0,0,0,0>>∴><y x b k评述：此题体现了直线与向量知识的综合运用，向量的坐标运算和解析几何关系密切。
高一数学直线与方程试题答案及解析
高一数学直线与方程试题答案及解析1.两平行直线y=kx＋b1与y=kx+b2之间的距离是（）A．b1－b2B．C．D．【答案】B【解析】略2.已知直线L：Ax+By+C=0，（A，B不同时为0）。
若点（1，1）到L的距离为1，则A，B，C应满足的关系式是----------------------。
【答案】（A+B+C）2=A2+B2【解析】根据点到直线距离公式可得，整理可得3.的三个顶点坐标分别为A（2，6），B（-4，3）,C（2，-3）,则BC边上的高线的长为--------------。
【答案】【解析】所在直线的斜率为，则所在直线方程为，即。
而高经过点，所以边上的高线的长等于点到直线的距离4.已知M(sinα, cosα), N(cosα, sinα)，直线l: xcosα+ysinα+p="0" (p<–1)，若M, N到l的距离分别为m, n，则A．m≥n B．m≤n C．m≠n D．以上都不对【答案】A【解析】点到直线的距离，点到直线的距离。
因为，所以，则，故选A5.已知A, B, C为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a, b, c，已知直线xsinA+ysinB+sinC=0到原点的距离大于1，则此三角形为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】因为直线到原点的距离大于1，所以，则。
由正弦定理可得，则。
再由余弦定理有，即为钝角，所以此三角形为钝角三角形，故选C6.与直线2x+3y–6=0关于点(1, –1)对称的直线是A．3x–2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x–2y–12=0D．2x+3y+8=0【答案】D【解析】设是所求直线上任一点，P关于点（1，-1）的对称点为则又点Q在直线2x+3y–6=0上，。
即故选D7.方程2x2+9xy+10y2–7x–15y+k=0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x–y+2=0垂直的直线方程是A．x+y–1=0B．x+y–2=0C．x+y+1=0D．x+y+2=0【答案】D【解析】设方程表示直线和直线，其中都是整数，则有，即，所以，可得。