布朗运动的计算详细版.ppt
合集下载
《随机过程》第5章-布朗运动
LOGO
随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例：设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������)，求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解： 景 由布朗运动定义可得：
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例：设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������)，求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解： 景 由布朗运动定义可得：
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
第三章布朗运动2.
令 n s n Fn s s ,
则
E n s n EFn s s 0 D n s
n
2
Nn s D( ) s (1 s ) n
x, lim P n s x
的极限分
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
B =exp(Bt
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
均值函数
mB ge (t )=E[exp(Bt , )]=exp{( +
2
2
2
)t}, t 0
相关函数
RB ge (s,t )=e
(t +s ) 2 2 s 2
mab (t )=a+(b-a)t t [0,1]
C ab (s,t )=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t)) = min{s,t}-st t [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
Nn s I Xi s
i 1 n
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn s 1 Nn s n
称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P lim Fn s s 1
n
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果， 1 P lim sup F s s 0 n n 0 s 1 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
则
E n s n EFn s s 0 D n s
n
2
Nn s D( ) s (1 s ) n
x, lim P n s x
的极限分
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
B =exp(Bt
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
均值函数
mB ge (t )=E[exp(Bt , )]=exp{( +
2
2
2
)t}, t 0
相关函数
RB ge (s,t )=e
(t +s ) 2 2 s 2
mab (t )=a+(b-a)t t [0,1]
C ab (s,t )=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t)) = min{s,t}-st t [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
Nn s I Xi s
i 1 n
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn s 1 Nn s n
称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P lim Fn s s 1
n
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果， 1 P lim sup F s s 0 n n 0 s 1 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
布朗运动PPT课件
布朗运动
在初中我们已经学过，不同的物质 相互接触时，可以彼此进入到对方中 去，这种现象就是扩散现象。
扩散现象说明：
各种物质的分子都在不停地运动着
1827年英国植物学家布朗用显微镜 观察水中悬浮的花粉，发现这些花粉 颗粒不停地做无规则的运动。
显微镜物镜 盖玻璃
载物玻璃
悬浊液
显微镜下看到的微粒
显微镜物镜 盖玻璃
支持者 葡萄牙 西班牙 葡萄牙 西班牙
新航路开辟航线图
4、影响：
（1）正面影响 1.使人类文明的交往通道从大陆与近海转向大洋使世界从原来相对分散、隔绝的 状态走向一个相互联系的整体。 2.促进了不同地区人民的相互融合，形成了新的民族。 3.促进了国际贸易的发展。 4.促进了不同区域文明之间的交流尤其是促进科技成果的交流。 5.促进了封建制度的衰落和资本主义的发展 （2）负面影响
F
图中描绘了一个微粒受到它周围液体分子撞击的情景。 每一个液体分子撞击时都给小颗粒一定的冲力。由于小颗 粒体积很小，在某一瞬间和它相撞的分子数也比较少，如 果从某一个方向撞击的分子数多于从其他方向撞击的分子 数，小颗粒受到的冲力就不是平衡的，它将在冲力大的方 向产生加速度，下一瞬间在另外一个方向上受到的冲力大 一些，小颗粒又在那个方向产生加速度。这样，就引起了 小颗粒的无规则的运动。
和平亲善
1487年
寻找黄金，发展贸易，获取商业利 益。
殖民扩张，
经济 基础
影响
封建自然经济
逐渐兴起的资本主义经济
增进了中国同亚非各国人 正面影响：加强各大陆的联系，促进
民的友谊，促进了中国与 了不同地区人民的相互融合，形成了
亚非各国的经济文化交流， 新的民族；促进了国际贸易的发展；
在初中我们已经学过，不同的物质 相互接触时，可以彼此进入到对方中 去，这种现象就是扩散现象。
扩散现象说明：
各种物质的分子都在不停地运动着
1827年英国植物学家布朗用显微镜 观察水中悬浮的花粉，发现这些花粉 颗粒不停地做无规则的运动。
显微镜物镜 盖玻璃
载物玻璃
悬浊液
显微镜下看到的微粒
显微镜物镜 盖玻璃
支持者 葡萄牙 西班牙 葡萄牙 西班牙
新航路开辟航线图
4、影响：
（1）正面影响 1.使人类文明的交往通道从大陆与近海转向大洋使世界从原来相对分散、隔绝的 状态走向一个相互联系的整体。 2.促进了不同地区人民的相互融合，形成了新的民族。 3.促进了国际贸易的发展。 4.促进了不同区域文明之间的交流尤其是促进科技成果的交流。 5.促进了封建制度的衰落和资本主义的发展 （2）负面影响
F
图中描绘了一个微粒受到它周围液体分子撞击的情景。 每一个液体分子撞击时都给小颗粒一定的冲力。由于小颗 粒体积很小，在某一瞬间和它相撞的分子数也比较少，如 果从某一个方向撞击的分子数多于从其他方向撞击的分子 数，小颗粒受到的冲力就不是平衡的，它将在冲力大的方 向产生加速度，下一瞬间在另外一个方向上受到的冲力大 一些，小颗粒又在那个方向产生加速度。这样，就引起了 小颗粒的无规则的运动。
和平亲善
1487年
寻找黄金，发展贸易，获取商业利 益。
殖民扩张，
经济 基础
影响
封建自然经济
逐渐兴起的资本主义经济
增进了中国同亚非各国人 正面影响：加强各大陆的联系，促进
民的友谊，促进了中国与 了不同地区人民的相互融合，形成了
亚非各国的经济文化交流， 新的民族；促进了国际贸易的发展；
胶体的运动学性质布朗运动 课件 高中化学课件
作业
1、完成课后习题P29 1、4、5、6 2、家庭小实验：自制豆腐
取适量石膏粉（聚沉剂）用少量生豆浆调拌 均匀，加到煮沸后的豆浆（所用豆浆与石膏 的质量比约为20：1）中，边加边搅拌，豆浆 中的蛋白质会聚沉，与水分离，成豆腐花。 稍冷后，用一湿布包好豆腐花，放入一可漏 水的容器中，稍加压，使水渗出，即成豆腐。
3、“纳米材料”是粒子直径为1~100nm的 材料，纳米碳就是其中一种，若将纳米碳均 匀地分散到蒸馏水中，所形成的物质（ ） C
①是溶液 ②是胶体 ③能产生丁达尔 效应 ④能透过滤纸 ⑤不能透过滤纸 ⑥静置后会析出黑色沉淀
A.①④⑤ D.①③④⑥ B.②③④ C.②③⑤
把混有离子或分子杂质 的胶体装入半透膜袋， 并浸入溶剂中，使离子 4、下列关于胶体的叙述中，不正确的是 或分子从胶体里分离出 （ A ） 去，这样的操作叫做渗 A.向胶体中加入蔗糖溶液，产生聚沉现象 析。通过渗析可以达到 B.一束可见光透过胶体时，产生丁达尔效应 净化、精制胶体的目的
6、Fe(OH)3胶体带正电荷的原因是（ D ） A.在电场作用下， Fe(OH)3胶粒向阴极定向移动 B.Fe3+带正电荷 C.Fe(OH)3带负电荷，吸引阳离子 D.Fe(OH)3胶粒吸附了阳离子 7、在Fe(OH)3胶体中加入Na2SO4饱和溶液，由 SO42- 离子的作用，使胶体形成了沉淀，这 于_______ 凝聚或聚沉 个过程称为_______
2. 胶体的运动学性质——布朗运动
1827年，英国植物学家布 朗把花粉悬浮在水里，用 显微镜观察，发现花粉的 小颗粒在作不停的、无秩 序的运动，这种现象叫做 布朗运动 胶体粒子在分散剂分子的撞击下做无规则运 动，是胶体具有介稳性的次要原因。
注意：凭借肉眼可以看到的微粒的运动不是补朗 运动，如：尘土飞扬、红墨水扩散等。
随机过程(十四)-布朗运动
如果＝1，则称为标准布朗运动。
注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为 始于x的布朗运动，记为Bx(t) 。
Brown运动的另一种定义
Brown运动是具有如下性质的随机过程 {B(t), t≥0}： （1）正态增量性：B(t ) B(s) ~ N (0, t s), t s （2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的 过去状态B(u), 0≤u≤s。 （3）路径的连续性: B(t)是t的连续函数。
( y x )2 2t
ft ( y x)
P{B(t1 ) x1 , , B(tn ) xn } P{B(tn ) xn | B(ti ) xi ,1 i n 1}P{B(ti ) xi ,1 i n 1} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(tn 2 ) xn 2 ) P{B(t2 ) x2 | B(t1 ) x1}P( B(t1 ) x1 ) pt1 (0, y1 )dy1 pt2 t1 ( x1 , y2 )dy2 ptn tn1 ( xn 1 , yn )dyn
Brown运动
随机游动
设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内 等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t) 记时刻t粒子的位置，则
X (t ) Dx( X1 X[t / Dt ] )
其中
1 如果第i步向右 Xi ， X i 相互独立 1 如果第i步向左 1 P( X i 1) P( X i 1) , E ( X i ) 0, var( X i ) 1 2
人教版高中物理选修3-3分子热运动ppt课件
图中的各点的连线不是微粒的运动轨迹它是为了表明微粒在做极短促的无定向运动过程中的移动的顺序而做的连线
分子的热运动
1
一、扩散现象
精选ppt
2
1．扩散：不同物质相互接触时彼 此进入对方的现象叫做扩散．
2．扩散现象随温度的升高而日趋 明显．
3．扩散现象在气体、液体、固体中都 能发生．
4．扩散现象直接说明了组成物体的分 子总是不停地做无规则运动．
ห้องสมุดไป่ตู้
精选ppt
3
二、布朗运动
精选ppt
4
1．布朗运动：悬浮 在液体中的固体 微粒永不停息的 无规则运动叫做 布朗运动．
它首先是由英国 植物学家布朗在 1827年用显微镜 观察悬浮在水中 的花粉微粒时发 现的．
精选ppt
5
2．布朗运动产生的原因：大量液体分子永不停息地 做无规则运动时，对悬浮在其中的微粒撞击作用的
D．可能在CD连线以外的某点上
精选ppt
10
解析：
图中的各点的连线不是微粒的运动轨 迹，它是为了表明微粒在做极短促的
无定向运动过程中的移动的顺序而做 的连线．
由以上分析，在第75s末，小颗粒可能 在CD连线上，但不一定在CD中点，
也可能在CD连线外的位置．
因此选CD，正确答案CD． 精选ppt
不平衡性是产生布朗运动的原因．简言之：液体分
子永不停息的无规则运动是产生布朗运动的原因．
注意：实验得出的每隔一定时间微粒所处位置
的连线，不是固体微粒的运动轨迹．
精选ppt
6
3．影响布朗运动激烈程度的
因素：固体微粒的大小和液 体的温度．
固体微粒越小，液体分子
对它各部分碰撞的不均匀性 越明显；
分子的热运动
1
一、扩散现象
精选ppt
2
1．扩散：不同物质相互接触时彼 此进入对方的现象叫做扩散．
2．扩散现象随温度的升高而日趋 明显．
3．扩散现象在气体、液体、固体中都 能发生．
4．扩散现象直接说明了组成物体的分 子总是不停地做无规则运动．
ห้องสมุดไป่ตู้
精选ppt
3
二、布朗运动
精选ppt
4
1．布朗运动：悬浮 在液体中的固体 微粒永不停息的 无规则运动叫做 布朗运动．
它首先是由英国 植物学家布朗在 1827年用显微镜 观察悬浮在水中 的花粉微粒时发 现的．
精选ppt
5
2．布朗运动产生的原因：大量液体分子永不停息地 做无规则运动时，对悬浮在其中的微粒撞击作用的
D．可能在CD连线以外的某点上
精选ppt
10
解析：
图中的各点的连线不是微粒的运动轨 迹，它是为了表明微粒在做极短促的
无定向运动过程中的移动的顺序而做 的连线．
由以上分析，在第75s末，小颗粒可能 在CD连线上，但不一定在CD中点，
也可能在CD连线外的位置．
因此选CD，正确答案CD． 精选ppt
不平衡性是产生布朗运动的原因．简言之：液体分
子永不停息的无规则运动是产生布朗运动的原因．
注意：实验得出的每隔一定时间微粒所处位置
的连线，不是固体微粒的运动轨迹．
精选ppt
6
3．影响布朗运动激烈程度的
因素：固体微粒的大小和液 体的温度．
固体微粒越小，液体分子
对它各部分碰撞的不均匀性 越明显；
布朗运动的计算ppt课件
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
布朗运动与伊藤公式课件
基于计算机的布朗运动模拟实验
实验步骤 1. 定义微观粒子的初始位置和速度。
2. 根据物理规律，计算微观粒子在每个时间步长的位移和速度。
基于计算机的布朗运动模拟实验
3. 更新粒子的位置和速度，并记 录下来。
4. 重复步骤2和3，直到达到预设 的模拟时间或满足其他停止条件
。
实验结果：通过模拟，我们可以 观察到微观粒子的随机运动轨迹 ，这些轨迹呈现出无规则、连续
且随机的特点。
金融市场中的布朗运动案例分析
案例分析
2. 期货价格模型：期货价格的变 化也呈现出类似的随机游走特点 ，这为投资者进行期货交易提供 了参考。
案例背景：许多金融市场的价格 行为都可以用布朗运动来描述。 布朗运动在金融领域的应用包括 股票价格、期货价格等。
1. 股票价格模型：股票价格的变 化往往呈现出随机游走的特点， 即每个时间步长的价格变化是随 机的，符合布朗运动的规律。
布朗运动与伊藤公式课件
目录
CONTENTS
• 布朗运动概述 • 布朗运动的理论基础 • 伊藤公式及其应用 • 布朗运动与金融学 • 布朗运动与物理学 • 实验模拟与案例分析
01
CHAPTER
布朗运动概述
定义与性质
01
布朗运动是指微观粒子在液体或 气体中，由于受到分子的不断碰 撞而进行的不规则、连续且随机 的运动。
05
CHAPTER
布朗运动与物理学
布朗运动在物理学中的应用
分子运动论
布朗运动是分子运动的表现之一，通 过观察布朗运动，可以研究分子的运 动规律。
随机过程
热力学
布朗运动与热力学有关，通过研究布 朗运动，可以探讨热力学的相关问题 。
布朗运动是一种随机过程，可以用概 率论和统计学方法来描述和分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
R B
ห้องสมุดไป่ตู้
,
2
(s,t
)=
2
st
+
2
min
(s,t
)
性质 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可
靠性预测，航空动力学报
2009，Vol.1,No.12.任淑优红选
2
证明 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
2 t
=et + -
1
- x2 -2t x
e 2t dx
2 t
=et + -
1 -(x-t )2 (t )2
e e dx 2t
2t
2 t
=exp{(+ 2 )t}, t 0
2
优选
11
RBge (s,t)=Ees+W (s)et+W (t) =Ee(s+t)+ (W (s)+W (t)) =e Ee (s+t) (W (s)+W (t))
Nn
s
)
s(1
s)
n
x,
lim P
n
n
s
x
1
2 s 1 s
e du x
u2 2 s (1 s )
优选
7
所以 n s,0 s 1 的极限过程是一正态过程。 可以证明 n s,n t 的联合分布趋于二维正
态分布。
0 s t 1
covn s,n t E n sn t nE Fn s sFn t t
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W 1(t),W 2 (t), ,W n (t) 是 d SBM，则称
W=(W 1(t), ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动.
个相互独立的
优选
1
过程2：(, 2 ) 布朗运动
Bt, 2 =t+W (t), t 0
均值函数
m B
,
2
(t
优选
5
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
n
Nn s IXi s i 1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
优选
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k =1,
,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 , ,Btn , 2 )=(1, ,n ) Mnn
优选
3
过程3：布朗桥
Btbr =W (t)-tW (1) t [0,1]
=e Ee (s+t) [W (s)+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E (s+t) 2W (s) [W (t)-W (s)]
2
=e(t+s)e2 2se 2
(t -s )
,s,t
0
优选
12
过程5：反射布朗运动
Btre = W (t) t 0
均值函数
2t
mBre (t)=E[ W (t) ]=
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W (t)-tW (1)]=0, t [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, s,t [0,1]
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程
优选
4
例 设常数 a,b R, 定义从a到b的布朗桥：
, t 0
优选
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
优选
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
优选
15
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
优选
16
1．均方极限的定义
定义 设 X , X n H , n 1, 2, 如果
Bab t
=a+(b-a)t
+Btbr
t [0,1]
证明 ： (1)
B0ab =a,
B a b 1
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程,且
mab (t)=a+(b-a)t t [0,1]
Cab (s,t)=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t))
= min{s,t}-st
t [0,1]
lim E
n
Xn
X
2
0
则称{Xn,n=1,2,…}均方收敛于X,
或称 X 为{Xn,n=1,2,…}的均方极限，记为
l.i.m
n
Xn
X
优选
17
2 均方连续
1. 均方连续定义
设{X(t), t∈T}是二阶矩过程, t0∈T, 若