2016届山西省祁县中学高三5月月考数学(理) 试题 word版 含解析

2016届山西省祁县中学高三5月月考数学（理）试题
数学试题（理科）
一.单选题（每小题5分，共12小题，总分60分）
1.已知i 是虚数单位,则2016i = ( ) A.1
B.i
C.i -
D.-1
2.=B A （ ）
A 、∅
B 、[1,1]-
C 、[1,)-+∞
D 、[1,)+∞
3．已知等比数列}{n a 中，11=a ，且43,2,24a a a 成等差数列，则432a a a ++等于 ( ) A ．1
B ．4
C ．14
D ．15
4.“=0a ”是“函数1
()sin f x x a x
=-
+为奇函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某几何体的直观图如图所示,该几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )
6.直线１－+=k kx y 与椭圆14
92
2=+y x 的位置关系为 （ ）
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定 7.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3,把一枚半径为1的任意平掷在
这个平面中,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，程序框图的输出结果为－18，那么判断框①表示的“条件”应该是（ ） A. ?10>i B ．?9>i C ．?8>i D ．?7>i
9.设点o 在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=
，则ABC ∆的
面积与AOC ∆的面积的比为（ ）
A
B
D
C
A. 2
C. 3
10.矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成 一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）
A.
12512π B.1259π C.1256π D.1253
π 11.函数ln ||
|
x x y x =的图像可能是（ ）
12.数列
{}n a 满足⎩⎨
⎧<-+≥-=+,
,2,
,1
t a a t t a t a a n
n n n n 当11+<<t a t （其中2>t ）时有)(*N k a a n k n ∈=+，则k 的最小值为 （ ）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4 二.填空题（每小题5分，共4小题，总分20分）
13.设xdx n sin 420
∫
=
π,则
ｎ
）－（x
1
x 2展开式中的常数项为 14.如图,正六边形ABCDEF 的两个顶点A,D 为双曲线的焦点,其余四个 顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率为 .
15.记约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300）（*∈N n 所表示的平面区域内的整点个数为n a ，则
数列{}
n a 的前n 项和=n s 16. 函数)2,0∈,cos sin 2cos sin )(π［x x
x x
x x f ++•=
的最小值为
三.解答题（17—21题每题12分，选做题10分，总分70分） 17.(本小题满分12分)
如图，平面四边形ABCD 中，AB =AD =
CD =，30CBD ∠= ，120BCD ∠= ，求：
（Ⅰ）ADB ∠；
（Ⅱ）ADC ∆的面积S . 18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,
y y y y
E 为PD 的中点. (1)证明:PB ∥平面AEC.
(2)设二面角D-AE-C 为60°求三棱锥E-ACD 的体积. 19.(本小题满分12分)
第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为
45，丙猜中国代表团的概率为3
5
，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .
20.(本小题满分12分)
已知抛物线2
:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点N 且垂直于
x 轴.
（Ⅰ）求线段ON 的长；
（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由. 21.(本小题满分12分)
已知函数()x
f x e =（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）,()ln(1)
g x x =+. （1）若()()()F x f x g x =-，求()F x 的极值； （2）对任意0,x ≥证明：()(1)f x g x >+；
（3）对任意0,x ≥都有成立，求实数a 的取值范围. 请考生在第22.23.24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，每题共10分． 22.几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点， OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于 点D ．连接CF 交AB 于点E ． （1）求证：DE 2=DB •DA ； （2）若DB =2，DF =4，试求CE 的长．
23.坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的
参数方程为（t 为参数）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设曲线C 与直线l 相交于P 、Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
24.不等式选讲
已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a ． (1)求a 的值；
(2)若,,p q r 是正实数，且满足p q r a ++=，求证：222
3p q r ++≥．
2016年山西省祁县中学校高三月考 数学试题（理科）参考答案
二. 填空题（每小题5分，共4小题，总分20分）
13. 24 14.
115.
2
)
1(3+n n 16. －２ 三.解答题（17—21题每题12分，选做题10分，总分70分） (17) 【解析】（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得：
sin 3sin CD BD BCD CBD =
⋅∠==∠， ……………2分
在ABD ∆中，由余弦定理得：
222
cos 2AD BD AB ADB AD BD
+-∠=
⋅
==
………4分 所以45ADB ∠= ……………6分 （Ⅱ）因为30CBD ∠= ，120BCD ∠= ，所以30CDB ∠=
因为sin sin(4530)ADC ∠=+= ……………8分 所以1
sin 2
S AD CD ADC =
⋅⋅∠
12=
⨯=
……………12分 18.解：(1)设AC 的中点为G,连接EG.在三角形PBD 中,中位线EG ∥PB,且EG 在平面AEC 上,所以PB ∥平面
AEC.
(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP 为x,y,z 轴建立坐标系,则
12⎫
⎪⎪⎝
⎭
所以AD
AE
=12⎫
⎪⎪⎝⎭
,
AC
=)
,0m .
设平面ADE 的法向量为1n =(x 1,y 1,z 1),则1n AD ⋅ =0, 1n AE ⋅
=0,。