圆中的动点问题.

圆中的动态问题

【方法点拨】

圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论

【典型例题】

题型一：圆中的折叠问题

例题一（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

（1）①折叠后的AB所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；

②如图2，当折叠后的AB经过圆心为O时，求AOB的长度；

③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；

（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

①如图4，当AB∥CD，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；

②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

【答案】解：（1）①折叠后的AB所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2。

②当AB经过圆O时，折叠后的AB所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连

接O′A．OA．O′B，OB，OO′。

∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，

∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。

∴AOB的长度

12024

1803

ππ

⋅⋅

==。

③如图3所示，连接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，

∴△AOB为等边三角形。

（2）①如图4，当折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，

过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交A E B 于点E ，

交CD 于点G 、交C F D 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。

∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD 。 根据垂径定理及折叠，可知PH =

12PE ，PG =1

2

PF 。 又∵EF =4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为： d =PH +PG =

12PE +12PF =1

2

（PE +PF ）=2。 ②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。证明如下：

设O ′，O ″为APB 和CPD 所在圆的圆心，

∵点O ′与点O 关于AB 对称，点O ″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO ′中点，点N 为OO ″的中点。 ∵折叠后的APB 与CPD 所在圆外切， ∴连心线O ′O ″必过切点P 。

∵折叠后的APB 与CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O ′P =O ″P =2，∴PM =

12OO ″=ON ，PN =1

2

OO ′=OM ， ∴四边形OMPN 是平行四边形。

【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。

【分析】（1）①折叠后的AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，可得O ′A 的长度。

②如图2，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连接OA ．OB ．AE 、BE ，可得△OAE 、△OBE 为等边三角

形，从而得到AOB 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。

③如图3，连接O ′A ．O ′B ，过点O ′作O ′E ⊥AB 于点E ，可得△AO ′B 为等边三角形，根据三角函数的知识

可求折叠后求AOB 所在圆的圆心O ′到弦AB 的距离。

（2）①如图4，AEB 与CFD 所在圆外切于点P 时，过点O 作EF ⊥AB 交AEB 于于点E ，交CFD 于点F ，根

据垂径定理及折叠，可求点O 到AB ．CD 的距离之和。

②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。

变式一 如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到BDC ． （1）若BD ︵＝CD ︵

，求证：BDC 必经过圆心O ； （2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵

，求BC 的长．

变式二 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ，OE=1

2BC ．

（1）求∠BAC 的度数；

（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于点H ；求证：四边形AFHG 是正方形；

（3）若BD=6，CD=4，求AD 的长．

题型二：圆中的旋转问题

例题二 (2011湖南常德,25.10分)已知△ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆12O O 、，P 是AB 的中点。

（1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC=BC ，在 AC BC 、

上分别取点E 、F ，使12AO E BO F ∠=∠，则有结论①12PO E FO P ∆≅∆.②四边形12PO CO 是菱形。请给出结论②的证明；

（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明； （3）如图10，若PC 是⊙1O 的切线，求证：2

2

2

3AB BC AC =+

O

D

C

A B

（1）∵BC 是⊙O2直径，则O2是BC 的中点又P 是AB 的中点．，∴P O2是△ABC 的中位线∴P O2 ＝1

2AC 又AC 是⊙O1直径∴P O2＝ O1C ＝12AC 同理P O1＝ O2C ＝1

2BC

∵AC ＝BC ∴P O2＝ O1C ＝P O1＝ O2C ∴四边形12

PO CO 是菱形

（2）结论①△PO1E ≌△PO2F 成立，结论②不成立

证明：在（1）中已证PO2＝12AC ，又O1E ＝1

2AC

∴PO2＝O1E 同理可得PO1＝O2F

∵PO2是△ABC 的中位线 ∴PO2∥AC ∴∠PO2B ＝∠ACB

同理∠P O1A ＝∠ACB ∴∠PO2B ＝∠P O1A ∵∠AO1E ＝∠BO2F ∴∠P O1A+∠AO1E ＝∠PO2B+∠BO2F 即∠P O1E ＝∠F O2 P 、 ∴△EO1P ≌△PO2F ； （3）延长AC 交⊙O2于点D ，连接BD ． ∵BC 是⊙O2的直径，则∠D ＝90°， 又PC 是⊙O1的切线，则∠ACP ＝90°， ∴∠ACP ＝∠D 又∠PAC ＝∠BAD ∴△APC ∽△BAD 又P 是AB 的中点

∴

1

2AC AP AD AB == ∴AC ＝CD

∴在Rt △BCD 中，2222

²

BC CD BD AC BD =+=+ 在Rt △ABD 中，2

2

2

AB AD BD =+ ∴

()222222

43AB AC BD AC BD AC =+=++

∴2

2

2

3AB BC AC =+

评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形；要证两三角形全等，可通过SSS ，SAS ，ASA ，或AAS 来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换．

变式一 阅读下列材料，然后解答问题。

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。

如图（十三），已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为S 1，正四边形ABCD 的面积为S 2，以圆心O 为顶点作∠MON ，使∠MON =90°，将∠MON 绕点O 旋转，OM 、ON 分别与⊙O 相交于点E 、F ，分别与正四边形ABCD