圆中动点问题

圆中的动态问题

【方法点拨】

圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论

【典型例题】

题型一：圆中的折叠问题

例题一 （2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作．

（1）①折叠后的»AB

所在圆的圆心为O ′时，求O ′A 的长度； ②如图2，当折叠后的»AB

经过圆心为O 时，求¼AOB 的长度； ③如图3，当弦AB =2时，求圆心O 到弦AB 的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作．

①如图4，当AB ∥CD ，折叠后的»AB

与»CD 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB ．CD 的距离之和为d ，求d 的值； ②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的»AB

与»CD 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论．

【答案】解：（1）①折叠后的»AB

所在圆O ′与⊙O 是等圆，∴O ′A =OA =2。 ②当»AB

经过圆O 时，折叠后的»AB 所在圆O ′在⊙O 上，如图2所示，连接O ′A ．OA ．O ′B ，OB ，OO ′。

∵△OO ′A ，△OO ′B 为等边三角形，

∴∠AO ′B =∠AO ′O +∠BO ′O =60°+60°=120°。

∴¼AOB

的长度120241803

ππ

⋅⋅==

。 ③如图3所示，连接OA ，OB ， ∵OA =OB =AB =2，

∴△AOB 为等边三角形。

过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∴OE =OA •sin 60°=3。

（2）①如图4，当折叠后的»AB

与»CD 所在圆外切于点P 时， 过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交¼AEB

于点E ，交CD 于点G 、交¼CFD 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。

∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD 。 根据垂径定理及折叠，可知PH =

12PE ，PG =1

2

PF 。 又∵EF =4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为：

d =PH +PG =12PE +12PF =1

2

（PE +PF ）=2。

②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。证明如下：

设O ′，O ″为¼APB

和¼CPD 所在圆的圆心， ∵点O ′与点O 关于AB 对称，点O ″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO ′中点，点N 为OO ″的中点。

∵折叠后的¼APB

与¼CPD 所在圆外切， ∴连心线O ′O ″必过切点P 。

∵折叠后的¼APB

与¼CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O ′P =O ″P =2，∴PM =

12OO ″=ON ，PN =1

2

OO ′=OM ， ∴四边形OMPN 是平行四边形。

【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。

【分析】（1）①折叠后的»AB

所在圆O ′与⊙O 是等圆，可得O ′A 的长度。 ②如图2，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连接OA ．OB ．AE 、BE ，可得△OAE 、△OBE 为等边三角形，从而

得到¼AOB

的圆心角，再根据弧长公式计算即可。 ③如图3，连接O ′A ．O ′B ，过点O ′作O ′E ⊥AB 于点E ，可得△AO ′B 为等边三角形，根据三角函数的

知识可求折叠后求¼AOB

所在圆的圆心O ′到弦AB 的距离。

（2）①如图4，¼AEB

与¼CFD 所在圆外切于点P 时，过点O 作EF ⊥AB 交¼AEB 于于点E ，交¼CFD 于点F ，根据垂径定理及折叠，可求点O 到AB ．CD 的距离之和。

②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。

变式一 如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到¼

BDC ． （1）若BD ︵＝CD ︵，求证：¼

BDC 必经过圆心O ； （2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵

，求BC 的长．

变式二 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ，OE=1

2BC ．

（1）求∠BAC 的度数；

（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于

点H ；求证：四边形AFHG 是正方形； （3）若BD=6，CD=4，求AD 的长． 题型二：圆中的旋转问题

例题二 (2011湖南常德,25.10分)已知△ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆12O O 、，P 是AB 的中点。

（1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC=BC ，在»

» AC BC 、上分别取点E 、F ，使12AO E BO F ∠=∠，则有结论①12PO E FO P ∆≅∆.②四边形12PO CO 是菱形。请给出结论

②的证明；

（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明； （3）如图10，若PC 是⊙1O 的切线，求证：2

2

2

3AB BC AC =+

（1）∵BC 是⊙O2直径，则O2是BC 的中点又P 是AB 的中点．，∴P O2是△ABC 的中位线∴P O2 ＝1

2AC 又AC 是⊙O1直径∴P O2＝ O1C ＝12AC 同理P O1＝ O2C ＝1

2BC

∵AC ＝BC ∴P O2＝ O1C ＝P O1＝ O2C ∴四边形

12

PO CO 是菱形

（2）结论①△PO1E ≌△PO2F 成立，结论②不成立

O D

C

A B