圆中动点问题2

圆中动点问题

一、选择题

【题1】如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确

．．．的是（ C ）

A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。

B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。

C、当PO⊥AC时，∠ACP=300.

D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形

【答案】

【题2】如图，以M（－5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F两点，则EF的长（ C ）

A.等于42

B.等于43

C.等于6

D.随P点位置的变化而变化

【答案】分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OD：OA，即（r+x）：1=9：（r﹣x），求出r2﹣x2=9，根据垂径定理和勾股定理可求出答案．

解答：解：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，

∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1，

∵AB是直径，∴∠APB=90°，∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，

∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB，∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA，

∴OC OD

OB OA

=，即

9

1

r x

r x

+

=

-

解得：r2﹣x2=9，

由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9，

即OE=OF=3，∴EF=2OE=6，故选C．

【题3】如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是0.5cm

【答案】解：∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D．

【题4】如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是d＞5cm或2cm≤d＜3cm．

【答案】解：连接OP、OA，

∵⊙O的半径为4cm，1cm为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点，

∴d＞5时，两圆外离，

当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，OP′=4-1=3cm，OD=2cm，

∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2≤d＜3，

故答案为：d＞5或2≤d＜3．

【题5】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为22．

【答案】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=222OA=6，∴

OP=

·

OA OB

AB

=3，∴PQ=2222

【题6】如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为10.5 ．

【答案】当GH 为⊙O 的直径时，GE+FH 有最大值．当GH 为直径时，E 点与O 点重合，

∴AC 也是直径，AC=14．∵∠ABC 是直径上的圆周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°， ∴AC=7．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF=3.5， ∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．故答案为10.5．

【题7】如图,△ABC 中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=2 2 ,D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径画⊙O

分别交AB,AC 于E,F ,连接EF,则线段EF 长度的最小值为____ 3 ___

【答案】∠ACB=60°,∠ABC=45°,那么，∠BAC=75°.∠EOF=2∠BAC=150°所以，∠OEF=∠OFE=30°

所以，EF=√3×OE,∠ABC=√3×AO 所以，当直径AD 最小时，EF 最小;所以，EF 最小时，AD 与BC 垂直AB=2√2，,∠ABC=45°,所以，AD=2OA=1，所以，EF 最小值为√3

【题8】如图，已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P 在x 轴上运动，若过点P

且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设P （x ，0），则x 的取值范围是22x -≤≤

【答案】解：连接OD ，由题意得，OD ＝1，∠DOP '＝45°，∠ODP '＝90°，

故可得OP '＝

，即x 的极大值为

，同理当点P 在x 轴左边时也有一个极值点，

此时x 取得极小值，x ＝－，综上可得x 的范围为：－

≤x ≤

．

【题9】射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8（单位：秒）

【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，

分为三种情况：①如图1，

当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，

∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；

②如图2，

当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，

∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，

当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，

∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；

③如图1，

当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，

∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；

故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．