数学分析知识点总结第二章 1
第二章
1数列极限的概念
定义（1）；设{}为数列，a 为定数。若对任给的的正数，
n a 总存在正整数n.使得当n N 时，有|a -a|<,则称数列{a }
n ?n 的极限，记作a =a.( >0.N,当
n N 时，有|a -a|<成
lim x →∞
n ???≥n ?立，则)。lim n x a a →∞
=注意：1：为任意正数，可以随意小，但一经给出，就
??被确定下来，有时还用表示。2：N 的依赖性但不
2/2,s ??+唯一性，N 是依赖于，但不由唯一确定。比如n>N 时，
??N=100，自然N=|0|也成立，所以，N 不是唯一确定的。
1.
定义（1）；0.a;){a }
n ?? 任给若在（之外数列中的项至多有有限个。则称数列收敛于。定义1的否定：存在，
{a }n a 00? 若在，
N a;){a }{a } a.n ?（之外的数列中的项有无穷多个，则称数列不收敛于而不能说明。
N
{}a
无极限注意：定义1 通常用来说明数列无极限，而定义1 的否定
只说明。
{a }a {a }
n n 不收敛于，而不能说明无极限定义（2）：若。
lim
a 0,{a }n n x →∞
=则称为无穷小数列定理2.1；数列{}收敛于a 的充要条件是：
a n 。定义
{}n a a -为无穷小数列{a }0N n N a |n n ?M M
满足：对，总存在正整数，始得当时，有|成立
则称数列。{a }lim a n n x →∞
=∞发散与无穷大，记坐注意：无穷大数列只是无极限的一种。随记坐
仍为发散数列，无极限给定数列
，得到数列
n lim ,{a }n x a →∞
=∞但。则数列与
{b }n {}n a {b }同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相同。
n
2收敛的性质
定理2.2：唯一性，若数列。
n {}a 收敛，则他只有一个极限定理2.3：有界性，若数列，则{a }为有界数列，则
n {}a 收敛n 存在正数M ，使得对一切正整数n 有|n a |M
≤收敛数列一定有界，而有界数列不一定收敛。
定理2.4:若，都存在
lim
=a 0(a 0),a '(0,)x a →∞
>
或则对（或a"(a,0))N ，使得（保号性）当n >N 时，有'(a ')
n n a a a ><或成立。摧论：设，则存在N ，使得当n>N 时有lim
,lim ,n n x x a a b b a b →∞→∞
==<。
a n n
b <证明：a ()/2,()/2
a b a b b a b <∴<+>+ 有由定理2.4，保号性知：,n a ()/2
n N N
a b ?><+当时，有
22
,n>N b ()/2
n N a b ?>+当时，有
1,2N=max{}n N N N
>取当时，a n N
b < 定理2.5（保不等式性），设{，若存在正
a }{
b }
n n 与均为收敛性数时有0N ，使得当n>N 0,.lim
a lim n n n n x x a
b b →∞→∞
≤≤则证明
设lim ,lim n n x x a a b b →∞→∞
==10,,n>N |a |.
a 22
n n N a a a ??∴??>?--
<<+当时，有即有
22|b |,b 2
22n n N b b b ?
??
?-<
-
<<+当n>N 时，有即有取N=max 0,12{,},n a 22
n n N N N N a b b ??>-<≤<+
当时，
lim a lim n x x a b a b b
→∞
→∞
∴<+?∴≤≤即定理2.6（迫敛性）设收敛数列{
，当n>0},{}a {c }
N n n n a b 都已为极限，数列满足；存在数0N 时有
,a {c }
lim c n n n n n x c b a
→∞
≤≤=则数列收敛，且{}{}{}
{1,1
2,2012lim lim .
0,.
0,.
=max ,,,
,
,.
lim .
2.7n n n n n n n n n
n n n n n n n n n a b a N a a a a a N n N b a a b a N N N N n N
c b a a c a c a c a a b a εεεεεε
εεε
εεεε→∞
→∞→∞
==?>?-<-<<+?>?>-<-<<+>≤≤<+∴-<<+-<∴=+证明：设则有当n>N 时，有成立，即当时，有成立，即取当时，有a- }{}{} {}{} {121212,,*0,lim 0,,,,. 1,2,,2.8n n n n n n n n n n n k k n n nk n nk k k n n n n b a b a b a b b b a n n n a a a a a k n a a a a a a a →∞ -???≠≠???? ?<<<<≤ 也都是收敛数列。 假设及则有为收敛数列。定义：设为数列，为正整数集，且n 则数列称为数列的一个子列，记作注意：、、也为的子列。定理：数列的充要条件是：的任何子列都收敛。 } {2.9 1lim 1. 2.10 2.110,,. n n n n m e n a N n m N a a εε→∞ ??+= ??? >>-<第三节：数列极限存在的条件 定理：单调有界定理：单调有界数列一定有极限。证明过程见课本37页。 结论：定理：致密性定理：任何有界数列都有收敛的子列。定理：柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的存在正整数，使得当时，有