高中数学沪教版(上海)高一第一学期实系数一元二次方程的实根分布问题课件
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沪教版(上海)数学高一上册-2.2 一元二次不等式的解法 课件 优质课件PPT
图像
x1
o
x2
x
ax2 bx c 0 x x x1或x x2
(a 0)
ax2 bx c 0
(a 0)
x x1 x x2
ax2 bx c 0
(a 0)
x x x1或x x2
ax2 bx c 0
(a 0)
x x1 x x2
1.求集合B
2.若 B A , 求实数 a 的取值范围
解一元二次不等式
例7 若同时满足不等式 x 2 x 2 0
x 和 2x2 (5 2a)x 5a 0 的
的整数值只有－2，求 a 的取值范围
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
2
（2）已知不等式 ax2 bx c 0 的解集是
x x , 0 ，
x1
o
x2
x
ax2 bx c 0 x x x1或x x2
(a 0)
ax2 bx c 0
(a 0)
x x1 x x2
ax2 bx c 0
(a 0)
x x x1或x x2
ax2 bx c 0
(a 0)
x x1 x x2
1.求集合B
2.若 B A , 求实数 a 的取值范围
解一元二次不等式
例7 若同时满足不等式 x 2 x 2 0
x 和 2x2 (5 2a)x 5a 0 的
的整数值只有－2，求 a 的取值范围
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
2
（2）已知不等式 ax2 bx c 0 的解集是
x x , 0 ，
高中数学沪教版(上海)高一第一学期2.3含参数的一元二次不等式的解法课件
复习引入
二次函数图象、一元二次方程及一元二次不等式解集之间的联系
判别式 △=b2- 4ac
△>0 y
△=0 y
△<0 y
y=ax2+bx+c 的图象(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
x1 O x2 x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或 x>x2} {x|x1< x <x2 }
O x1
x
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
{x|x≠
b 2a
}
Φ
x
O 没有实根
R Φ
过关测试 解下列关于X的不等式:
1、mx2 x m 0
2、x2 2x m 0
3、x2 (a a2 )x a3 0
进阶测试(综合题型）
1、解关于x的不等式ax2 (2a 1)x 2 0
小结与归纳
2、解关于x的不等式ax2 2x a 0
3. 设函数 f (x) mx2 mx 1.
(1)若对于一切实数x, f (x) 0恒成立，求m的取值范围.
含参数的一元二次不等式讨论一般分为：
1、对二次项系数进行讨论； 2、对所对应方程根的个数进行讨论；
3、对所对应方程根的大小进行讨论；
注意：因不确定所以需要讨论， 在讨论时需清楚在哪讨论； 怎样讨论.讨论要不重不漏, 讨论的目标是化不确定－2)(ax－2)>0．
二次函数图象、一元二次方程及一元二次不等式解集之间的联系
判别式 △=b2- 4ac
△>0 y
△=0 y
△<0 y
y=ax2+bx+c 的图象(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
x1 O x2 x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或 x>x2} {x|x1< x <x2 }
O x1
x
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
{x|x≠
b 2a
}
Φ
x
O 没有实根
R Φ
过关测试 解下列关于X的不等式:
1、mx2 x m 0
2、x2 2x m 0
3、x2 (a a2 )x a3 0
进阶测试(综合题型）
1、解关于x的不等式ax2 (2a 1)x 2 0
小结与归纳
2、解关于x的不等式ax2 2x a 0
3. 设函数 f (x) mx2 mx 1.
(1)若对于一切实数x, f (x) 0恒成立，求m的取值范围.
含参数的一元二次不等式讨论一般分为：
1、对二次项系数进行讨论； 2、对所对应方程根的个数进行讨论；
3、对所对应方程根的大小进行讨论；
注意：因不确定所以需要讨论， 在讨论时需清楚在哪讨论； 怎样讨论.讨论要不重不漏, 讨论的目标是化不确定－2)(ax－2)>0．
沪教版(上海)数学高一上册2.2二次函数零点的分布课件
像
kx
k
x
一根小于k， 一根大于k
y
k
x
列 式
0
0
b 2a
k
b 2a
k
f (k ) 0 f (k ) 0
f(k)<0
反思归纳，拓展深化
1.一元二次方程根的分布问题可以用什么方法来 解决？
韦达定理法 二次函数法
2.讨论两种方法的相同点和不同点，比较这两种 方法的优劣，你更喜欢哪一种？
(a,b)内至少有一个 零点；
例题1、关于x的一元二次方程X2＋（m－ 3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。
你首先想到了什么方法？
韦达定理
x1
x2
b a
解：设方程的两实根分别为x1、x2，则
x1x2
c a
( m 3)2 4m 0
x1
x2
3
m
0
m 0 m 1
x1
x2 f(1)=2m-2 <0
（4）两实根均大于0.
2
y 解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：
解：设方程的两实根分别为x1、x2，则 解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上0.
点在x轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件： (2)对称轴与区间端点的位置关系;
解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：
解：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上0.
读题，确定一元二次方程根的范围
比较两种思路，作出评价：
x1
高中数学沪教版(上海)高一第一学期 一元二次不等式的解法课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 一元二次不等式的解法课件
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课堂小结：
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 一元二次不等式的解法课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 一元二次不等式的解法课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 一元二次不等式的解法课件
一、课前预习 怎样的不等式称为一元二次不等式？ 画出函数 y x2 2x 3 的图像，
解不等式 x2 2x 3 0
求不等式 x2 2x 3 0 的解集也可以看作求二次 函数 y x2 2x 3 纵坐标y取正值时横坐标x的取值范围 即求该二次函数的图像在x轴上方时x的取值范围
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 一元二次不等式的解法课件
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例3、解一元二次不等式
(x 5a)(x a) 0 (a 0)
变式：(x 5a)(x a) 0 (a 0)
例4、写出一个一元二次不等式，使它的解 集为 (2,4)
0s .0005.02065x26x0.0000.007080x78 x45.5 2 高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 一元二次不等式的解法课件
2
问题：交通事故后，警察在现场一般会测量什么？ 汽车在刹车后，由于惯性作用仍会继续往前滑行 一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。
某种型号的汽车的刹车距离s（米）与车速x（千米/小 时）有如下关系：s 0.00526x2 0.000078x 车速情况，将成为车祸责任认定的重要依据之一。
4、区间表示
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比一比： 例1、求下列不等式的解集
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课堂小结：
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一、课前预习 怎样的不等式称为一元二次不等式？ 画出函数 y x2 2x 3 的图像，
解不等式 x2 2x 3 0
求不等式 x2 2x 3 0 的解集也可以看作求二次 函数 y x2 2x 3 纵坐标y取正值时横坐标x的取值范围 即求该二次函数的图像在x轴上方时x的取值范围
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例3、解一元二次不等式
(x 5a)(x a) 0 (a 0)
变式：(x 5a)(x a) 0 (a 0)
例4、写出一个一元二次不等式，使它的解 集为 (2,4)
0s .0005.02065x26x0.0000.007080x78 x45.5 2 高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 一元二次不等式的解法课件
2
问题：交通事故后，警察在现场一般会测量什么？ 汽车在刹车后，由于惯性作用仍会继续往前滑行 一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。
某种型号的汽车的刹车距离s（米）与车速x（千米/小 时）有如下关系：s 0.00526x2 0.000078x 车速情况，将成为车祸责任认定的重要依据之一。
4、区间表示
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比一比： 例1、求下列不等式的解集
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ax2+bx+c=0 （a>0）
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2.2 一元二次不等式的解法（1）
y
+
- xபைடு நூலகம் O
③函数值何时为正？何时为负？
ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 （a>0）
+
x2
④一元二次不等式的解？
x
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你会做的
例1、求下列一元二次不等式的解集 （1） x2 3x 4 0
（2） 2x2 3x 2 0
例2、求不等式 -3x2+x+1>0的解集
变式：求解关于 x 的不等式 a(x 1)(x a) 0 .
思考题 2、已知一次函数 f (x) 和 g(x) 满足： f (x) 0 的解集是 (2, ) ， g(x) 0 的解集是 (,3) ，求不等式 f (x) g(x) 0 的解集.
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课堂小结与作业布置
①复习本节课内容 ②习题册2.2A组 ③完成思考题
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谢谢大家
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2.2 一元二次不等式的解法（1）
y
+
- xபைடு நூலகம் O
③函数值何时为正？何时为负？
ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 （a>0）
+
x2
④一元二次不等式的解？
x
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你会做的
例1、求下列一元二次不等式的解集 （1） x2 3x 4 0
（2） 2x2 3x 2 0
例2、求不等式 -3x2+x+1>0的解集
变式：求解关于 x 的不等式 a(x 1)(x a) 0 .
思考题 2、已知一次函数 f (x) 和 g(x) 满足： f (x) 0 的解集是 (2, ) ， g(x) 0 的解集是 (,3) ，求不等式 f (x) g(x) 0 的解集.
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课堂小结与作业布置
①复习本节课内容 ②习题册2.2A组 ③完成思考题
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沪教版(上海)数学高一上册-2.2 一元二次方程的两实根分布问题 课件
0
x1
x2
0
x1 x2 0
沪教版（上海）数学高一上册-2.2 一元二次方程的两实根分布问题 课件
3、(课前预习) 已知方程 x2 (m 3)x m 0 ，
请在下列条件下求实数 m的取值范围。
(3)若方程有一个正实根，一个负实根
x1 0且x2 0
0
x1
x2
0
沪教版（上海）数学高一上册-2.2 一元二次方程的两实根分布问题 课件
交流: 1、方法 2、易错点 3、第二种方法
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x1
x2
0 x1
x2
x2 (m 3)x m 0 的根 f ( x) x2 (m 3)x m 与x轴的交点的横坐标
x1>0且x2>0
沪教版（上海）数学高一上册-2.2 一元二次方程的两实根分布问题 课件
2. 关于x的方程 2kx2 2x 3k 2 0的两实根，一
个小于1，另一个大于1，求实数m的取值范围。
沪教版（上海）数学高一上册-2.2 一元二次方程的两实根分布问题 课件
数无形时少直觉, 形少数时难入微. 数形结合百般好， 隔离分家万事休。
----华罗庚
沪教版（上海）数学高一上册-2.2 一元二次方程的两实根分布问题 课件
沪教版（上海）数学高一上册-2.2 一元二次方程的两实根分布问题 课件
思考：
已知方程 m x2 (m 3)x m 0 ，
若 x1 1且x2 1， 求实数 m 的取值范围
沪教版（上海）数学高一上册-2.2 一元二次方程的两实根分布问题 课件
x1
x2
x1
0 x2
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高一数学上册第2章不等式22一元二次不等式的解法223二次方程实根分布课件沪教版
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
解：由题
f(-1)f(0) 0 f(1)f(2) 0
(2m (4 m
1)(2m 1) 0 1)(8m 7) 0
1
4
1 2
m m
7 8
1 2
1m1
4
2
例3.就实数k的取值，讨论下列关于x的方 程解的情况： x2 2 x 3 k
解：将方程视为两曲线 y x2 2 x 3与y k相交，
其交点横坐标便是方程的解，由图知：
k 4时，无解；
y
k = 4或k 3时，有两解；
4 k 3时有四个解；
k 3时有三个解.
两个根均在 (m，n)内
y
Om n x
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
两根均在[m，n] 外两旁
y
mn
O
x
f (m 0)
f
(n)
0
X1∈(m，n) ， X2∈(p，q) 。
y
np
mO
qx
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
(1)方程两根都小于k(k为常数）
0
b 2a
k
f (k) 0
可以考虑用判别式和韦达定理
(2)方程两根都大于k(k为常数）
0
b 2a
k
f (k) 0
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
解：由题
f(-1)f(0) 0 f(1)f(2) 0
(2m (4 m
1)(2m 1) 0 1)(8m 7) 0
1
4
1 2
m m
7 8
1 2
1m1
4
2
例3.就实数k的取值，讨论下列关于x的方 程解的情况： x2 2 x 3 k
解：将方程视为两曲线 y x2 2 x 3与y k相交，
其交点横坐标便是方程的解，由图知：
k 4时，无解；
y
k = 4或k 3时，有两解；
4 k 3时有四个解；
k 3时有三个解.
两个根均在 (m，n)内
y
Om n x
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
两根均在[m，n] 外两旁
y
mn
O
x
f (m 0)
f
(n)
0
X1∈(m，n) ， X2∈(p，q) 。
y
np
mO
qx
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)的实根分布
(1)方程两根都小于k(k为常数）
0
b 2a
k
f (k) 0
可以考虑用判别式和韦达定理
(2)方程两根都大于k(k为常数）
0
b 2a
k
f (k) 0
高中数学沪教版(上海)高一第一学期 一元二次不等式的解法(3) 精品课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第二 章2.2 一元二次不等式的解法（3） 课件
例2：
解：
B
因此，在7.5小时后，码头会受到台风的影响，受台风影响的时间长 达5小时.
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第二 章2.2 一元二次不等式的解法（3） 课件
例3：
每件定价（元）
年销售量（万件） 年代理费（万元）
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第二 章2.2 一元二次不等式的解法（3） 课件
研究性问题:
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第二 章2.2 一元二次不等式的解法（3） 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第二 章2.2 一元二次不等式的解法（3） 课件
教材 目标 教法 学法 过程 反思
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第二 章2.2 一元二次不等式的解法（3） 课件
小结:
我们结合两道应用题的实际背景,分析和确定量与量之间的 关系,并用“符号语言”、“图形语言”将实际问题抽象为 数学问题，建立不等式模型并求解.
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第二 章2.2 一元二次不等式的解法（3） 课件
导入 案例 课时目标 授课内容 练习题
一元二次不等式的解法（3）
1
例1： 解：例1： 解：201源自年1614莫兰蒂（Meranti）
台风“莫兰蒂”15日03时05分在福建登陆
厦门
观测点 O
201614莫兰蒂
2016年9月15日凌晨3点05分第14号强台风“莫兰蒂”在福建厦门翔安区沿海登陆 ，登陆时风力15级，风速48米/秒，登陆后以每小时20公里的速度向正北方向移动.
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第二 章2.2 一元二次不等式的解法（3） 课件
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k
结论
f(k)<0
k2 p1
k1
p2
f ( k1 ) 0
f f
( (
k2 p1
) )
0 0
f ( p2 ) 0
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 实系数一元二次方程的实根分布问题 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 实系数一元二次方程的实根分布问题 课件
例2 已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0
实根 两正根 分布
两负根 一正根一负根
结论
0
0
x1
x2
0
x1 x2 0
x1x2 0 x1x2 0
x1x2 0
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 实系数一元二次方程的实根分布问题 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 实系数一元二次方程的实根分布问题 课件
实系数一元二次方程实根的k分布
实系数一元二次方程的 实根分布问题
引例 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0 有两正根,求实数m的取值范围。
解：法一：韦达定理法
(m 3)2 4m 0
x1
x2
（m
3）
0
m
0
m
1
x1
x2
m
0
引例 关于x的方程x2+（m-3)x+m=0 有两正根，求实数m的取值范围。
解：法二：二次函数法
例1 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0 满 足下列条件，求实数m的取值范围。 （1）两正根（已解决）
（2）两负根；
（3）一正一负两根
例1 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0 满 足下列条件，求实数m的取值范围。 （4）两根均大于0.5；
（5）两根均小于1；
（6）两根均在(0,2)；
（7）两根中，一根大于1，一根小于1；
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3、实系数一元二次方程实根的基本分布 1：零分布 • （1）有两正根 • （2）有两负根 • （3）一正一负 2：k分布 • （1）有两个大于k的根 • （2）有两个小于k的根 • （3）区间(k1,k2)内有两个根 • （4）一个大于k，一个小于k • （5）有一个根在区间(k1,k2)内，另一根在区间(p1,p2)内
0
k1
b 2a
k2
f
(k1 )
0
f (k2 ) 0
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实系数一元二次方程实根的k分布
ax2 bx c 0(a 0)
实根 分布
一根大于k， 另一根小于k
一根在（k1，k2)内， 另一根在（p1，p2) 内
图像
x1
x2
（m
3）
0
x1
x2
m
0
(m 3)2 4m 0
b 2a
（m 2
3）
0
f (0) m 0
实根分布问题的解题方法
法一：韦达定理法 法二：二次函数法（数形结合）
一般考虑四个方面，即：
（1）开口方向
（2）判别式 b2 4ac
（3）对称轴 x b
2a
（4）端点值 f (m) 的符号
{m|0<m 1}
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课堂小结 1、实系数一元二次方程的实根分布问题：
法一：韦达定理法 法二：二次函数法（数形结合）
一般考虑四个方面 2、将函数、方程、不等式视为一个统一整体， 或等价转化或数形结合，以函数图像为中心，将 方程的根用图像直观的画出来，另外，要重视参 数的分类讨论对图形的影响。
ax2 bx c 0(a 0)
实
根 两个根 两个根 两个根都 一根大
分
都
都在ຫໍສະໝຸດ 于k，布大于k
小于k (k1，k2) 另一根
内
小于k
图 像
一根在(k1，k2) 内，另一根小于 在
(p1，p2)内
结 论
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有两个实根，一根大于1，另一个实 根小于1，求实数k的取值范围。
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例3 若关于x的方程4x+(m-3)2x+m=0
有两个根，求实数m的取值范围。
思路：通过换元，转化为一元二次方程实根的分布问题
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解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)
t2 (m 3)t m 0 (1)
问题转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。
设 f (t) t2 (m 3)t m ，则
(m 3)2 4m 0
x1
x2
3
m
0
x1
x2
m
0
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设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m， 要使二次函数与x轴的交点在x轴的正半轴， 由图像知只需满足以下条件：
(m 3)2 4m 0
b 2a
（m 3） 0 2
m
0
0 m 1
x
f (0) m 0
比较两种思路，作出评价：
法一：韦达定理法 法二：二次函数法
(m 3)2 4m 0
实系数一元二次方程实根的k分布
ax2 bx c 0(a 0)
实根 分布
两个根都 大于k
两个根都 两个根都在 小于k （k1，k2)内
图像
k
k
k1 o k2
结论
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0 0
b 2a
k
b 2a
k
f (k ) 0 f (k ) 0
（8）两根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；
实系数一元二次方程的实根的零分布
ax2 bx c 0(a 0)
实根 分布
结论
两正根
两负根 一正根一负根
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实系数一元二次方程的实根的零分布
ax2 bx c 0(a 0)
结论
f(k)<0
k2 p1
k1
p2
f ( k1 ) 0
f f
( (
k2 p1
) )
0 0
f ( p2 ) 0
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例2 已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0
实根 两正根 分布
两负根 一正根一负根
结论
0
0
x1
x2
0
x1 x2 0
x1x2 0 x1x2 0
x1x2 0
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实系数一元二次方程实根的k分布
实系数一元二次方程的 实根分布问题
引例 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0 有两正根,求实数m的取值范围。
解：法一：韦达定理法
(m 3)2 4m 0
x1
x2
（m
3）
0
m
0
m
1
x1
x2
m
0
引例 关于x的方程x2+（m-3)x+m=0 有两正根，求实数m的取值范围。
解：法二：二次函数法
例1 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0 满 足下列条件，求实数m的取值范围。 （1）两正根（已解决）
（2）两负根；
（3）一正一负两根
例1 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0 满 足下列条件，求实数m的取值范围。 （4）两根均大于0.5；
（5）两根均小于1；
（6）两根均在(0,2)；
（7）两根中，一根大于1，一根小于1；
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3、实系数一元二次方程实根的基本分布 1：零分布 • （1）有两正根 • （2）有两负根 • （3）一正一负 2：k分布 • （1）有两个大于k的根 • （2）有两个小于k的根 • （3）区间(k1,k2)内有两个根 • （4）一个大于k，一个小于k • （5）有一个根在区间(k1,k2)内，另一根在区间(p1,p2)内
0
k1
b 2a
k2
f
(k1 )
0
f (k2 ) 0
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实系数一元二次方程实根的k分布
ax2 bx c 0(a 0)
实根 分布
一根大于k， 另一根小于k
一根在（k1，k2)内， 另一根在（p1，p2) 内
图像
x1
x2
（m
3）
0
x1
x2
m
0
(m 3)2 4m 0
b 2a
（m 2
3）
0
f (0) m 0
实根分布问题的解题方法
法一：韦达定理法 法二：二次函数法（数形结合）
一般考虑四个方面，即：
（1）开口方向
（2）判别式 b2 4ac
（3）对称轴 x b
2a
（4）端点值 f (m) 的符号
{m|0<m 1}
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课堂小结 1、实系数一元二次方程的实根分布问题：
法一：韦达定理法 法二：二次函数法（数形结合）
一般考虑四个方面 2、将函数、方程、不等式视为一个统一整体， 或等价转化或数形结合，以函数图像为中心，将 方程的根用图像直观的画出来，另外，要重视参 数的分类讨论对图形的影响。
ax2 bx c 0(a 0)
实
根 两个根 两个根 两个根都 一根大
分
都
都在ຫໍສະໝຸດ 于k，布大于k
小于k (k1，k2) 另一根
内
小于k
图 像
一根在(k1，k2) 内，另一根小于 在
(p1，p2)内
结 论
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有两个实根，一根大于1，另一个实 根小于1，求实数k的取值范围。
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例3 若关于x的方程4x+(m-3)2x+m=0
有两个根，求实数m的取值范围。
思路：通过换元，转化为一元二次方程实根的分布问题
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解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)
t2 (m 3)t m 0 (1)
问题转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。
设 f (t) t2 (m 3)t m ，则
(m 3)2 4m 0
x1
x2
3
m
0
x1
x2
m
0
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设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m， 要使二次函数与x轴的交点在x轴的正半轴， 由图像知只需满足以下条件：
(m 3)2 4m 0
b 2a
（m 3） 0 2
m
0
0 m 1
x
f (0) m 0
比较两种思路，作出评价：
法一：韦达定理法 法二：二次函数法
(m 3)2 4m 0
实系数一元二次方程实根的k分布
ax2 bx c 0(a 0)
实根 分布
两个根都 大于k
两个根都 两个根都在 小于k （k1，k2)内
图像
k
k
k1 o k2
结论
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期 实系数一元二次方程的实根分布问题 课件
0 0
b 2a
k
b 2a
k
f (k ) 0 f (k ) 0
（8）两根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；
实系数一元二次方程的实根的零分布
ax2 bx c 0(a 0)
实根 分布
结论
两正根
两负根 一正根一负根
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实系数一元二次方程的实根的零分布
ax2 bx c 0(a 0)