高等数学：10-4三重积分
《高等数学教学课件》2011 第三节 三重积分的计算法
2a cos
2 2 d
0
2
3 2a cos
4a 2 r 2 rdr
2
2 3
(4a
2
r
2)2
d
2
0
2 3
3
2 [8a 3 (4a 2 4a 2 cos 2 ) 2 ]d
4 3
2 (8a3 8a3 sin3 )d
0
2
32 3
a
3
(
2
2 sin3 d )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
2 sind )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
).
例10、将直角坐标形式的二次积分
2
4 x x2
4
4 x x2
I dx
f ( x, y)dy dx
0
2 x x2
2
0
f ( x, y)dy
化为极坐标形式的二次积分.
解
4 cos
I 2 d rf (r cos , r sin )rdr.
D3 : x 2 y 2 2a 2 , x 0, y 0
( a e x2 dx)2 a e x2 dx a e y2 dy e ( x2 y2 )dxdy
0
0
e ( x2 y2 )dxdy
e
0
(
x
2
y
2
)
D2
dxdy
e ( x2 y2 )dxdy
D1
D2
( )
a 0
e x2 lim
a
dx)2
4
(1
4
(1
高数同济第六版下高等数学2第十章答案
习题10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解(),f x y =，积分区域的面积等于2，在D 上(),fx y的最大值()104M x y ===，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤习题10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。
2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）x y De d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
高等数学三重积分
I=
∫∫ dxdy ∫
D
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
=
∫
4
0
dx ∫
4− x
0
dy ∫
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
. .
Ω
y
y=0
x+ y = 4
1
.
D
o
4
x
8. 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
x y z 所围区域。 Ω : 抛物柱面 2 y = x和平面 + + = 1, z = 0 所围区域。 4 2 2
0
.
6
y
2
x
6
4.
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域 z
6 x+y+z=6
3x+y=6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
0
.
6
y
2
x
6
4.
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域 z
D
f ( x , y , z )dz
。
y
y= x
y2=x
y=0
.
Ω
0
D
π
o
y
2
x
z=0
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
高等数学三重积分
2
2
2
: {( x , y , z ) | c z c , x2 y2 z2 2 1 2} 2 a b c
z
Dz
o
y
原式
c
c
z dz dxdy,
2 Dz
x
x y z Dz {( x , y ) | 2 2 1 2 } a b c
z z 2 dxdy a (1 2 ) b (1 2 ) c c D
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
例 1 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz为三
次积分，其中积分区域 为由曲面 z x 2 y 及 z 2 x 所围成的闭区域.
2
2
2
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x
得交线投影区域
x y 1,
2 2
1 x 1 2 2 故 ： 1 x y 1 x , x2 2 y2 z 2 x2
1
1 z
1 y z
1
dx
o
0 zdz0 (1 y z )dy
1
1 z
y
1
x
1
1 1 2 0 z (1 z ) dz . 2 24
三重积分的计算与应用
三重积分的计算与应用积分是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算的一种方法，它可以用于计算三维体积、质心位置、质量、物理场的通量等问题。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的计算方法三重积分在直角坐标系中的计算方法可以分为直角坐标系下的直接计算和变量替换法两种。
1. 直接计算直接计算是指根据积分的定义，将积分区域划分为许多小的体积元，然后对每个小体积元进行积分的方法。
在直角坐标系中，三重积分的计算公式为：∬∬∬_V f(x,y,z) dxdydz其中f(x,y,z)为被积函数，V为积分区域，dxdydz表示三维空间中的体积元。
通过将积分区域V划分成小的立方体，求解每个小立方体的体积和函数值的乘积，再将所有小立方体的贡献相加，即可得到三重积分的结果。
2. 变量替换法当被积函数的积分区域V的形状比较复杂时，直接计算的方法可能比较繁琐。
这时可以利用变量替换法来简化计算。
变量替换法是通过引入新的变量替换积分变量，使得积分区域转化为更简单的形式。
常用的变量替换方法包括球坐标系变换、柱坐标系变换和曲线坐标系变换等。
二、三重积分的应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
1. 计算体积三重积分可以用来计算三维空间中各种复杂形体的体积。
通过将被积函数设为1，即可计算出积分区域的体积。
2. 质心位置质心是一个物体的重心位置，对于具有连续分布质量的物体，其质心位置可以通过三重积分来计算。
通过将被积函数分别为x、y、z乘以质量密度，然后对三重积分进行计算，即可得到质心位置的坐标。
3. 质量如果一个物体的质量分布在三维空间中不均匀，可以通过三重积分来计算其质量。
将被积函数设为质量密度，然后对积分区域进行三重积分，即可得到质量的大小。
4. 物理场的通量物理场的通量表示单位时间通过单位面积的物理量。
重积分知识点
重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。
它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。
下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。
一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。
二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。
2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。
2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
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记作
bd
a
z
DZ
f (x, y, z)dxdy
z b
z Dz a
y x
面密度≈
f (x, y, z) d z
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方法3. 三次积分法
设区域 :
z1(x, y) z z2 (x, y)
(
x,
y)
D
:
y1(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
作业
P175-176 A类：1(2)(4); 3; 5; 7; 9; 10 (2) B类：1(2)(3); 2; 3; 4
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记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
abDZ f (x, y, z) d x d ydz
例1. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
0 z 1 x 2y
解: :
0
y
1 2
(1
x)
0 x 1
x d x d y d z
1x2 y
0 d z
1
xdx
1 2
(1
x)
(1
x
2
y
)d
y
0
0
1
1
(x
2x2
x3 )d x
六个平面 x 0, x 2, y 1, x 2 y 4, z x , z 2 所 围成 , f (x, y, z) C().
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
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例4. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
1
40
48
z 1
1 2
y x1
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例2. 计算三重积分
c z Dz z
解: :
c zc
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1z2 c2aFra bibliotekbyx
用“先二后一 ”
z
2
d
x
d
y
d
z
c
z c
2
d
z
Dz
d
x
d
y
2
c z 2
c
ab(1
z c
2 2
)dz
4
15
abc3
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例3.
将 I f (x, y, z) d v 用三次积分表示, 其中由
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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方法1. 投影法 (“先一后二” )
:
z1
( (
x, x,
y) y)
z D
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
中值定理.
在有界闭域 上连续, V 为 的
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
f (x, y, z) d v f (,, )V
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二、直角坐标系下三重积分的计算
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
第4节
直角坐标系下 三重积分的计算
一、三重积分的概念回顾 二、三重积分的计算
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一、三重积分的概念回顾
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
n
M
lim
0
(k ,k , k )vk
k 1
vk
(k ,k , k )
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定义. 设f (x, y, z) , (x, y, z) , 若对 作任意分割:
任意取点
下列
积和式” 极限
“乘
lim
0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在上的三重积分.
方法2. “先二后一”
b
a d zDZ f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
b
dx
y2 (x) d y
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
a
y1( x)
z1( x, y)
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据
被积函数及积分域的特点灵活选择.
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奇函数
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例5. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解:
利用对称性
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1
4
dz
2
d
2z r3 d r 21
21 0
0
其中
z 4
1
Dz
oy x
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投影法
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x, y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1( x, y)
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
z2
(x,
y)
细长柱体微元的质量为
z z2 (x, y)
z
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体的质量为
y
f (x, y, z) d v
xD
dxd y
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
f (x, y, z) f (x, y, z)
2
2
f1(x, y, z) f2 (x, y, z)
均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)d z
D
z1(x, y)