随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛
鞅
周生笛
• • • •
鞅的概念 多布—迈耶分解 随机积分 测度变换和鞅表示
概念
• 简单地讲，一个随机变量的时间序列没有表现出 任何的趋势，就可以称之为 鞅。他是一种用条件 数学期望定义的随机运动形式。 • 如果对于任意的n≥0， Sn 的值包含在 f n 中，就称 Sn f为 适应的。 n • 离散鞅：假定 Sn 是滤波空间｛ ，f , , F ｝的 一个适应过程，若： E(Sn ) , n Z 1. E(Sn1 f n ) Sn , n Z 2. Sn 为离散鞅 则称
0
鞅变换
• 鞅的数学期望形式是基于相应的概率测度的，通过这个， 我们可以通过适当的改变概率测度，把任意的一个随机过 程变换为鞅。
X n M n An , n Z
• 2.多布迈耶定理： (t )t(0,) 是一个 f n 适应的右连续的下 如果 鞅，E(St ) , t, 则对于任何0≤t≤ , (St ) 都 可分解为下列形式： St M t At At Mt 是右连续鞅 是一个可料增量过 程。
t 1 t
• 由定义可知，上式
X t 是一个鞅，并称( M )n 为对M的鞅变换
• 鞅变换提供了一个简单但很有用的判断鞅的方法： 当且仅当对于任意可料随机过程θ，有：
E ( M ) n 0
则,M是一个鞅。
• 简单过程随机积分
0 t0 t1 ,..., tn T
E(Sn f n ) 0
• 由上式知对 Sn 在下一时间内变化的最好预 测就是 0。换句话说，该随机变量的未来运 动方向和大小是不可预测的，这就是所谓 鞅性
多布迈耶分解
• 问题：当市场上不存在套利机会时，所有资产价 格都是均衡价格测度下的鞅。那怎样把原本是上 下鞅的资产价格运动过程变成鞅？ • 1.多布分解定理： • 令 ( X n )nz 为一个 f n 的适应下鞅，则它可以唯一 的分解为一个鞅和可料递增随机序列的和：
随机过程-第六章 鞅与停时
E (Yn ) 0 E , Y (n ) ； X 0 0, X n Yi ，则 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。
i 1
n
-1-
例 6.2 （ 独 立 同 分 布 变 量 之 积 ） 设 Y0 1 ， {Yn , n 1} 服 从 独 立 同 分 布 ， 且
3、若 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是（上）鞅， g 是关于 Y0 , Y1 ,, Yn 的（非负）函数， 则
6.1 离散鞅的定义
定义 6.1 鞅：随机过程 { X n , n 0} 是鞅，如果 n 0 有
（1） E ( X n ) ； （2） E ( X n1 X 0 , X1 ,, X n ) X n , a.s. 鞅是公平赌博的一种推广。 假设我们把 X n 解释为第 n 次赌博后的赌资， 则根据定义 6.1, 第 n 1 次赌博后的平均赌资恰好等于 X n ，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会 均等。 对（2）式两边取期望得
f ( y) f ( z )dF ( z y)
则称 { X n n f (Yn ), n 0} 是一个鞅。 例 6.4 和例 6.5 将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实 际研究中应用广泛。 例 6.6 波利亚（Polya）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初 坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球， 则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以 Yn 第 n 次 抽取后坛子中的红球数，则 Y0 1 ， Yn 是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为
a0 (Y1 ) a0 , E[ f (Z0 ) Y1 ] E[ f (Z0 )] ，令
独立同分布环境中配对依人口数两性分支过程 L1收敛
存在 ， 且
ｓ ｕ ｐ ｒ ・
证明 ： 对于正整数 ｋ ， ｊ ， 有
（ ｋ＋ ＿ 『 ） ｒ ｋ ． 口＝Ｅ（ ｚ ＾ ＋ １ Ｉ ｚ ＾＝ｋ＋ ， ＝０ ）
＝
ｚ ０＝Ⅳ ， （ 小 ＋ ）＝∑ Ｊ ， ｍ “ Ｊ ） ，
＋ ，＝Ｌ ｚ （ ＋ ， ） ， （ ｎ＝０ ， ｌ ， ２ ， …）（ １ ）
定理 ２ 对 于 一 个 具 有 上 可 加 的模 型 （ １ ）分 枝 过程 ， 则有存 在 一个 随机 变量 Ｗ满 足 Ｅ Ｗ ＜∞ 且
摘 要： 考虑 了随机环境 中配对依人 口数 两性分枝过程模型 ， 并且得到 了独立同分布环境配对 依人 口 数 两性分枝过程 ｛ ｚ ｝ 对应 的过程 ｛ ｝ 的Ｌ 收敛的充分条件．
关 键词 ： 两性 分枝 过程 ； 随机 环 境 ； 依 人 口数 ； Ｌ 收 敛． 中图分 类号 ： ０ ２ １ １ ． ６ ５ 文 献标 识码 ： Ａ
０ 引 言
分枝过程是刻 画生物种群演化过程的数学模
型， １ ８ ７ ３年 ， Ｇ ａ ｌ ｔ ｏ ｎ和 Ｗａ ｔ ｓ ｏ ｎ在探 讨 英 国姓 氏继承 与谱 氏 消亡 问题 时 提 出了一 种新 的 随机过 程模 型 ， 现在人 们称 之 为 Ｇ ａ ｌ ｔ ｏ ｎ—Ｗａ ｔ ｏｎ分 枝 过程 ， ｓ 也称 其 为经典 分 枝过程 ． 后来 ， 以经 典分 枝过 程 为基 准 ， 将
此处 ， ｛ ｝ 。 是一列配对 函数 ， 且 对每个 ｜ Ｉ ｝ ， 取非负整数值 ， 且对每个 自变量均是单 调非降的， （ ， Ｙ ）≤ ｘ ｙ ．
上 可加的， 有： — ’ ∞ 后 咖 （ 后 ）＝｛ Ｉ ｔ － ｉ － ￣ ∞ ． 一 ＝ 存在， ． ’ 一 。
鞅收敛定理
鞅收敛定理鞅收敛定理，在概率论领域中具有重要地位。
在许多概率论的定理和应用中，鞅的概念及其收敛都是十分重要的。
该定理表明，由一系列随机变量构成的鞅在一定条件下，能够收敛于一个确定的极限值。
鞅收敛定理是鞅理论中的核心定理之一，可以用于解决很多实际中的问题。
一、鞅的定义与性质鞅是一种非常重要的概率过程，它涉及到许多重要的概率定理和实际应用。
鞅的定义相对比较简单，如果一个随机过程M = {M_n}是一列随机变量的序列，并且满足以下三个条件：1）M_n是一个可测的随机变量；2）对于n≥0，E[M_n] < ∞；3）对于n≥0，E[M_n+1 | M_0,M_1,...,M_n] = M_n则我们称之为鞅。
上面的第一个条件保证了鞅可以被测量，第二个条件保证了内部的随机性，第三个条件保证了鞅的期望性质。
鞅有许多重要的性质：1）鞅是一种无偏的估计，即E[M_n] = E[M_0]，其中M_0是鞅的起始点，通常为0；2）鞅通常用来表示一种刻意的结构，以反映出随时间的增长或下降的模式；3）鞅满足马尔科夫性质，即在给定M_n的条件下，未来的发展只取决于M_n，而与之前的结果无关。
二、鞅的收敛与鞅收敛定理由于鞅是一个任意序列的条件期望，因此它可能会收敛到一个确定的极限值。
鞅收敛定理指出，当一个鞅满足Lim E[M_n] < ∞时，则它在一定的条件下可以收敛。
鞅收敛定理有两种形式，分别是条件收敛和几乎处处收敛。
条件收敛是指，在一定的概率空间中，鞅以一定的概率收敛于一个值。
而几乎处处收敛是指，在概率空间上几乎每次试验，鞅以概率1收敛于一个值。
在鞅的收敛过程中，我们需要关注以下两点：1）鞅序列的逐点有界性；2）鞅序列的逐点收敛性。
对于一系列的随机变量构成的鞅序列，若能满足上述两点条件，那么在某些条件下，鞅可以达到收敛。
其中最常见的条件就是马尔科夫条件。
马尔科夫条件是指，鞅的未来值仅仅取决于当前的值，而并不取决于它的过去值。
第四章条件期望与鞅4.4鞅的收敛定理及应用大字体
第四章 条件期望与鞅§4.4 鞅的收敛定理及应用本节的内容也都是在固定的完备概率空间(,,)P ΩF 上讨论的，而且还假定存在的子F σ域流{,}n n =∈N F F ，{}0,1,2,=N 。
以后大部分内容也还是在带流概率空间(,,,)P ΩF F 上讨论的。
第四章 条件期望与鞅§4.4 鞅的收敛定理及应用4.4.1 收敛定理设{},n X X n =∈N 为适应随机变量序列，a b <为两个任意实数，令00T =，{}1inf :n T n X a =≤，{}12inf :,n n b T T n X >=≥，(4.4.1) ………………{}2122inf :,j n j n T T n X a −−=>≤， {}221inf :,j n ，(4.4.2) j n T T n X b −>≥=在此规定。
inf ∅=+∞由命题3.4.1，{},0k T k ≥都是停时。
{}1inf :n T n X a =≤表示{},n X X n =∈N 的轨道首次小于等于的时刻，a {}21inf :,n T n n T Xb =>≥为之后1T X 的轨道首次达到或超过的时刻。
b 若，则2T <∞X 自到的轨道穿越了1T 2T [],a b 一次。
21T −是22j j T −后X 的轨道首次小于等于的时刻， a 若，则2j T <∞X 自12−到2j T 的轨道进入[],a b 并穿越了T j[],a b一次，称之为上穿。
()1,,n X X 完成上穿[],a b 的次数，则若以表示(),b aU X n (){}{}2,n b a k U X n k T n ≥=∈≤F ， (){}{}222,b a k k n U X n k T n T +=≤<∈=F 。
命题 4.4.1(上穿不等式) 设{},n X X n =∈N 为下鞅，则其上穿次数满足：(),ba U X n ()[]()1,1ba n n E U X n E X ab a EX a b a ++⎡⎤≤−⎣⎦−≤+−。
随机过程的鞅与鞅收敛定理
随机过程的鞅与鞅收敛定理在概率论与数理统计中，鞅（Martingale）是一类非常重要的随机过程。
它具有很多优秀的性质和应用，并且相关的鞅收敛定理也是概率论研究的热点之一。
一、鞅的定义和性质鞅是一种随机过程，具有无偏性和零相对增殖的特点。
对于一个随机过程X(t)，如果满足以下条件，即可称为鞅：1. 期望有限：E[|X(t)|] < ∞，对于所有的t；2. 可测性：对于任意的s < t，X(t)是关于{X(s), X(s+1), … , X(t-1)}可测的；3. 无偏性：对于任意的s < t，E[X(t) | X(s), X(s+1), … , X(s-1)] =X(s)；4. 零相对增殖：对于任意的s < t，E[X(t) - X(s) | X(s), X(s+1), … ,X(s-1)] = 0。
鞅的定义保证了它在每个时刻的期望都是已知的，且在未来的增量不可被预测。
鞅是许多重要的随机过程的核心组成部分，如布朗运动、泊松过程等。
二、鞅的应用鞅在概率论和数理统计中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 金融市场：鞅在金融领域中有着重要的应用，特别是在期权定价、投资组合管理、风险评估等方面。
其中最著名的例子就是黑-斯科尔斯模型，该模型中的股价就可以看作是一个连续时间的鞅。
2. 数理统计：鞅是统计推断和假设检验的基础之一，它在最大似然估计、贝叶斯估计等方法中发挥着重要的作用。
鞅收敛定理也为统计学家提供了一种判断估计量的一致性的方法。
3. 随机优化：鞅是随机优化中的一个重要工具，可以用来描述随机系统的动态变化过程，并为优化问题的求解提供有效的方法。
例如，在随机最优控制中，鞅可以用来建立随机系统的动态规划方程。
三、鞅收敛定理鞅收敛定理是鞅理论中的重要结果，它研究了鞅序列的收敛性质。
其中最经典的是鞅收敛定理的两种形式：鞅收敛定理一和鞅收敛定理二。
1. 鞅收敛定理一：如果{X_n, n ≥ 1}是对于某个概率空间（Ω, F, P）中的鞅序列，并且满足以下条件：(a) X_n以概率1收敛于一个随机变量X：P(lim n→∞ [X_n = X]) = 1；(b) 存在一个函数g(·)使得E[|X_n - X|] ≤ g(n)，对于所有的n；(c) 存在一个随机变量Y，使得E[|Y|] < ∞，并且E[|X_n - X|] ≤E[|Y|]，对于所有的n；那么，X_n以期望收敛于X，即lim n→∞ [E(X_n)]=E(X)。
鞅的定义及证明
鞅的定义及证明发表时间：2019-11-14T16:03:22.530Z 来源：《教育学文摘》2020年1月总第324期作者：刘与嘉[导读] 鞅是随机过程中一个重要的研究对象，大量的学者对其各方面的应用做了详细的研究。
浙江财经大学东方学院信息分院浙江嘉兴314408摘要：鞅是随机过程中一个重要的研究对象，大量的学者对其各方面的应用做了详细的研究。
本文主要内容是：首先介绍了定义鞅的一个很重要的工具——条件数学期望，其次给出了离散鞅及连续鞅的定义，最后给出了证明随机过程是鞅的常见方法。
本文虽然旨在用通俗的语言解释鞅，但在阅读过程中还是需要一些概率论知识作为基础，希望对于初学者来说有所帮助。
关键词：鞅条件数学期望布朗运动鞅是随机过程中一个很重要的研究对象，从理论的角度来看，鞅的起源是对于独立增量随机序列的研究，如泊松过程、布朗运动等，通俗一些来说，“鞅”可以看做“公平”赌博的数学模型。
关于鞅的应用已经辐射到很多领域，但对于初学者来说，鞅是什么？如何从概率的领域定义鞅？如何证明一个随机过程是鞅？都是很重要的问题。
本文旨在用通俗的语言及概率论中基本的工具来定义鞅，并证明随机过程是鞅。
一、条件数学期望定义及其性质1.条件数学期望定义：（1）离散型随机变量的条件数学期望。
设随机向量（X，Y）中X与Y的联合分布律为：P{X=xi|Y=yj}=Pij，i，j=1，2，…X与Y的边缘分布律为：P{X=xi}=Pi= Pij，i=1，2，…P{X=yi}=Pj= Pij，j=1，2，…则条件数学期望：E（X|Y=yj）= xi? ，j=1，2，…或E （Y|X=xi）= yj? ，i=1，2，…（2）连续型随机变量的条件数学期望。
设有连续型随机向量（X，Y），在Y=y发生条件下X的条件密度函数为：p（X，Y）= ，则条件数学期望期望：E（X|Y=y）= xp（X|Y）dx或E（Y|X=x）= yp（Y|X）dy。
由上述两个定义可以看出，条件数学期望表示随机向量（X，Y）的一种条件期望。
鞅课程总结
鞅课程总结1. 简介鞅课程是一门关于概率与统计学的基础课程，主要介绍了随机变量的概念、性质以及相关的数学方法和理论。
本文将对鞅课程进行总结，从课程内容、学习收获以及未来应用等方面进行分析和总结。
2. 课程内容鞅课程主要分为以下几个部分：2.1 随机变量的概念课程首先介绍了随机变量的概念，包括离散随机变量和连续随机变量。
通过示例和案例分析，讲解了随机变量的定义、特性以及常见的概率分布，如二项分布、正态分布等。
2.2 鞅的定义和性质接下来，课程讲解了鞅的概念和基本性质。
通过引入条件期望的概念，深入探讨了鞅的定义、鞅的停时、鞅的逆序平均等重要概念。
同时，课程还介绍了鞅的基本性质，如鞅的线性性质、鞅的停时定理等。
2.3 鞅的收敛性理论在此部分，课程介绍了鞅的收敛性理论，包括鞅收敛的定义、方法以及相应的收敛定理。
通过实例和证明，深入讲解了鞅收敛的充要条件，并探讨了鞅收敛在实际问题中的应用。
2.4 鞅在金融领域的应用最后，课程将鞅的理论与金融领域相结合，介绍了鞅在金融领域的应用。
课程涵盖了金融市场的随机过程、鞅在金融衍生品定价中的应用等内容，为学生提供了将鞅理论应用于实际问题的思路和方法。
3. 学习收获在学习鞅课程的过程中，我获得了以下几方面的收获：首先，我对随机变量的概念和性质有了更深入的理解。
通过学习不同的概率分布和统计方法，我能更好地理解和分析随机现象，并能够利用随机变量进行建模和预测。
其次，我掌握了鞅的基本概念和性质。
通过学习鞅的定义和特性，我能够将其应用于实际问题中，并能够用鞅的理论解决一些实际的随机过程问题。
此外，我还学会了运用鞅的收敛性理论。
鞅的收敛理论对于研究随机过程的极限性质非常重要，通过学习收敛的定义、方法和定理，我能够更好地理解和分析随机过程的稳定性和收敛性。
最后，鞅在金融领域的应用给我提供了新的思路和方法。
通过将鞅理论与金融领域相结合，我能够将鞅的理论运用于金融市场的建模和分析，为实际问题提供有效的解决方案。
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第29卷第4期 湖南文理学院学报(自然科学版) V ol. 29 No. 4 2017年12月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Science and Technology) Dec. 2017 doi : 10.3969/j.issn.1672–6146.2017.04.003随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛张影1, 彭雪莲1, 王月娇2(1. 长沙理工大学 数学与计算科学学院, 湖南 长沙, 410000; 2. 中南大学 数学与统计学院, 湖南 长沙,410083)摘要: 随机环境多型分枝过程(MBPRE)在描述类似于突变基因的出现及生存、分析排队论中队伍变化的波动现象等问题时, 比局限于用经典多型分枝过程处理方法能够得到更精确、更深刻的结论。
通过整理MBPRE 的相关文献, 发现其发展现状可归纳为5个问题, 即灭绝问题、灭绝时间的渐近性、上临界极限问题、大数指数率及关于MBPRE 的拓展问题; 给出了一些作者对于某些问题研究的见解及疑问; 构造了一个经过正规 化的随机环境多型分枝过程的鞅过程()m n W , 对其鞅性进行了证明, 讨论了()m n W 的极限问题。
关键词: 随机环境; 多型分枝过程; 鞅中图分类号: O 211.65 文献标志码: A 文章编号: 1672–6146(2017)04–0008–04Summary of research and a class of martingale convergence for multi-typebranching process in random environmentsZhang Ying 1, Peng Xuelian 1, Wang Yuejiao 2(1. School of Mathematics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410000, China; 2. School of Mathematics and Statistics of CSU, Changsha 410083, China)Abstract: Multi-type branching process in random environments (MBPRE) about describing the occurrence and survival of mutant genes, analyzing the fluctuation of team changes in queuing theory, and so on, which can be more precise and deeper than the traditional multi-type branching process.Through the arranging of random environment multi-type branch of the related articles, and reunification of conclusion symbols, its development status is divided into the following five parts: extinction Problem: the extinction time asymptotic, the super critical limit problem, the large exponential rate and the expansion of problem about MBPRE, and some authors' opinions and questions about some problems are given. On this basis, the martingale process ()m n W of a regularized random environment is studied, and the martingale process is proved and discussing the limit of martingale ()m n W . Key words: random environment; multi-type branching process; martingaleMBPRE 是经典多型分枝过程从确定环境[1]到随机环境的一种推广。
具有p 型粒子的MBPRE: 令{},0,1,2,n n ζζ==L 为定义在概率空间(,,)ΩℑP 独立同分布的随机变量序列, 取值于Θ, 其中Θ是R的一个可数子集。
用P N 来定义所有1 × p 向量的非负整数坐标, 令1{(,,):01,0,1,p i s s s s i ′===L ≤≤S,}p L 。
利用概率母函数来定义: θΘ∈,有相应的p 维列向量1(;)((;),,(;))p s s s θϕθϕθ′=L ϕ, 其中(;),i s ϕθ1,2,,i p =L 表示一个p 维概率母函数。
1(;)(,,),i ppi i i N s p i s ααϕθθα=∈=∑∏ 12(,,,),p s αααα=∈L S 。
其中通信作者: 张影, 1102573750@ 。
收稿日期: 2017–01–20基金项目: 国家自然科学基金(11571052, 11171044); 湖南省研究生科研创新项目(CX2016B417)。
第4期 张影, 等: 随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛 9(,,)p i θα表示在环境n ζθ=的条件下, 第n 代的一个i 型粒子产生1α个1型粒子,… , p α个p 型粒子的概率。
随机环境中具有p 型粒子的G -W 过程描述了粒子数的演变: ()n=i Z ()()()((1),(2),,()), n n n Z Z Z p n =L i i i 1,2,,p L 。
其中, ()(),nj i Z 1,2,,j p =L 表示第n 代j 型粒子的个数,其对应的初始状态为12(,,,)p i i i =L i 。
本文所列的研究成果的随机环境多型分枝过程的初始状态为0m Z =e , 其中m e 表示第m 个位置为1, 其它位置为0的1 × p 向量, 即初始状态只有一个m 型粒子, 为了方便起见, 记()()m nn =e m Z Z 。
本文将对1971年至今的MBPRE 的研究现状进行简要的概述, 并构造一个鞅过程, 讨论其极限随机变量存在性。
1 MBPRE 的研究情况概述1.1 灭绝问题本文将一些文献的研究结论进行符号上统一并做简要概述。
首要问题就是研究其分类, 不过在研究灭绝问题之后, 分类问题随之也会解决。
Athreya 、Karlin 、E W Weissner 、N Kaplan 、D tanny 都对MBPRE 的灭绝问题进行了研究, 先来看他们所给出的灭绝条件。
Athreya 和Karlin [2]首次对MBPRE 的灭绝问题进行了研究, 并指出M ζ(M ζ是均值矩阵)是严格正及log E ζM (其中,,1max pi j i j m ==∑M )有限的情况下的灭绝条件: (1) 当0π<时, ()1q =ζ的概率为1; (2)当0π>时, ()1q ≪ζ(标记≪x y 指每一位置上−y x 都为正)的概率仍恒为1, 其中01(,,)ζζ=L ζ, 其中1lim log ()n n n πλ−→∞=ζ, ()n λζ是矩阵10()n n n M M M −=L ζζζΓζ的谱半径。
同年, E W Weissner [3]讨论了MBPRE 的几乎处处灭绝和非灭绝2种情形所需要的条件。
MBPRE 的几乎处处灭绝: 101lim(1){log ()()()},j n n r n e M M M ζζζ−→∞+L ≥ a.s.MBPRE 的非灭绝: 1lim(1)n r n −→∞=+⋅01{log ()()()},n E M M M ζζζL a.s., 其中101lim(1)log[()()()1], a.s.j n n r n e M M M ζζζ−→∞=+L 。
若0r >,()1q <a 且当=1()pi a i →∞∑时, ()0q →a 。
N Kaplan [4]也讨论了有关MBPRE 的灭绝问题, 在存在常数,0C D >情况下有000min[]max[]C M M D ζζ<<∞≤≤≤, (1)021,,0max k i j k p i jD s s ζϕ∂∂∂≤≤≤≤, w.p.1 (2)在式(1)与(2)的条件下, 假设0{log(1,1(0))}E ζϕ−−<∞, 11lim log n i n i X n π−→∞==∏, w.p.1.(1) 当0{:()P q π<⇒<ζζ1}0=的概率为1; (2) 当0{:()1}1P q π>⇒<=ζζ, 如果去掉以上假设条件0{log(1,1(0))E ζϕ−−}<∞,那么0{:()1}1P q π=⇒==ζζ，其中n ζϕ是第n 代的概率母函数。
D tanny [5]讨论了MBPRE 的灭绝问题。
令1120limsup log n n n E n M M M −→∞−−=L , 有(1) 0E <就表示{()1}1P q ==ζ; (2) 0E =就表示或者{()1}1P q ==ζ或者MBPRE 0{}n n Z ∞=不是严格规则的。
(3) 0E >, 如果0{}n n Z ∞=是平稳的, 那么在{:()n Z ωω不趋近0,}n →∞, 1lim log n n n Z E −→∞=。
而D tanny 所给出的灭绝条件相较于其他三位学者给出的灭绝条件而言, 灭绝问题的条件更简单、更直观, 与N kaplan 所得结论对比之后, 不难看出他们所得结论形式上较为相似, 但N kaplan 的条件更苛刻。
1.2 灭绝时间的渐近性E E Dyakonova [6]研究了满足一定条件下的后代分布的概率母函数的非灭绝概率的渐进性质, 找到 了(),1,1,,i P T n n i p >=L ≥的上下界21//C C2002年, E E Dyakonova [7]进一步对以上结论进行研究, 给出了23{},i i P T n cu n −=～ 0c <<∞为一常数, n →∞, 其中1(,,)p u u =L u ,1,,i p =L 。