弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方式与一般性原理
弹性力学5PPT课件
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
弹塑性力学 第05章弹性力学问题的建立和一般原理
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij
第五章基本方程
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
2)位移边界条件
u u s
在位移边界Su 上处处
给定位移约束 ui (u, v, w)
ui ui
v v s
w w s
边界条件: 域内位移场的边界值应等于给定边界值。
弹性力学问题的建立
静力( 运动) 学
变形几何学
本构关系 (物理学)
建立
弹性力学偏微分 方程的边值问题
讨论
问题的解法 解的唯一性 局部影响原理
第五章 弹性力学基本方程及原理 5-1 弹性力学问题的微分方程提法
§5-2 位移解法 §5-3 应力解法 §5-4 叠加原理 § 5-5 解的唯一性定理 §5-6 圣维南原理 §5-7 几个简单问题的解
E 1
1 2
u x
yz
E w
2(1
)
y
v
z
应力边界条件
x
s
m
yx
s
n zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
xz
s
m
yz
s
n z
v z
y
E 1
1
《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法
在非线性弹性力学中的应用
解决几何非线性问题
01
通过引入复变函数法，可以更精确地描述和分析材料
的几何非线性行为，如大变形、弯曲和扭转等。
分析材料非线性特性
02 复变函数法可用于研究材料的非线性本构关系，包括
弹性模量、泊松比和屈服强度等随应变变化的规律。
求解非线性弹性力学方程
03
利用复变函数法的数学工具，可以更有效地求解非线
03
典型应力集中问题的 复变函数解法
通过实例详细讲解复变函数法在求解 典型应力集中问题中的应用，如圆孔 、椭圆孔、矩形孔等孔边应力集中的 求解。
裂纹问题的复变函数解法
裂纹问题的定义和 分类
介绍裂纹的概念、分类以及裂 纹对材料和结构的影响，如疲 劳裂纹、脆性裂纹等。
复变函数法在裂纹 问题中的应用
阐述如何利用复变函数法求解 裂纹问题，包括裂纹尖端应力 场的求解、裂纹扩展的判据等 。
在迭代计算过程中，要判断 计算结果的收敛性。如果结 果不收敛，应调整计算参数 或改进算法。误差Fra bibliotek析程序实现
分析计算结果的误差来源， 如模型误差、离散化误差、 舍入误差等。尽量减小误差， 提高计算精度。
编写稳定、可靠的程序，实 现复变函数法的数值计算。 程序应具有良好的可读性和 可维护性。
06 复变函数法在弹性力学中 的拓展应用
04 复变函数法在平面问题中 的应用
应力集中问题的复变函数解法
01
应力集中问题的定义 和分类
阐述应力集中的概念，如孔边应力集 中、缺口应力集中等，以及不同类型 的应力集中对材料和结构的影响。
02
复变函数法在应力集 中问题中的应用
介绍如何利用复变函数法求解应力集 中问题，包括应力函数的构造、边界 条件的处理等。
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
弹性力学简明教程第五章
y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑴ 应力边界条件用 Φ表示
取出坐标 的正方向作为边界线s 的正 dy 向（图中为顺时针向），当移动ds 时， 为正，而dx 为负，所以外法线的方向余弦 为
dy l cos α , ds dx m sin α . ds
第五章 用差分法和变分法解平面问题
y
10
T0 , 2h
所以得
2h( q y ) 2
T1 0 T0
.
(e)
这时，边界点2的 T2 是未知的，对2点 须列出式（d）的方程。此方程涉及到 T1 0 值，可将式（e）代入。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
例2
稳定温度场问题的 40 差分解。设图中的矩 形域为6m×4m ，取 32 网格间距为h=2m，布 置网格如图，各边界 点的已知温度值如图 24 所示，试求内结点a， b的稳定温度值。
边界条件
将上式和式(d)代入式(b)，得
d y 2Φ d x 2Φ ( ) ( ) fx, 2 d s y d s xy
d x 2Φ d y 2Φ ( ) ( ) fy. 2 d s x d s xy
即
d Φ ( ) f x , d s y
d Φ ( ) fy. d s x
第五章 用差分法和变分法解平面问题 抛物线差分公式
从上两式解出o点的导数公式，
f 1 ( )0 ( f1 f 3 ), x 2h 2 f 1 ( 2 )0 2 ( f1 f 3 2 f 0 ). x h
(b)
式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出 高阶导数公式。
第一节 第二节
弹性力学 第五章 弹性力学基本方程与原理
ν ν
Fi,i
(b)
Ӎ
( ) ∇ 2σ ij
+
1 1+ν
Θ ,ij
=
−
ν 1−ν
δ ij Fk ,k
−
Fi, j
+ F j,i
∇ 2σ xx
+
1
1 +ν
∂2Θ ∂x 2
=
−
1
ν −
ν
divF
− 2 ∂X ∂x
(b)
(5.2.2a)
53
∇ 2σ yy
+
1
1 +ν
∂2Θ ∂y 2
=
−
1
ν −ν
divF
∂x
(5.2.1b)
(λ + µ ) ∂e + µ ∇2v + Y = 0
∂y
(5.2.1c)
(λ + µ ) ∂e + µ ∇2w + Z = 0
∂z
51
Ƒ e
= uk,k ,∇2
=
∂2 ∂x 2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
(5.21)
NJ
ࢨ -ඪ Ʊ (5.2.1) L
( Lamé-Navier
−
Fi, j
+ Fj,i
−
ν 1−ν
δ
ij
Fk′,k
−
Fi′, j
+ F j′,i
ν
ν
(Ti − σ ijν j ) + (Ti′− σ i′jν j ) = 0
(σ ij + σ i′j ), j + (Fi + Fi′) = 0
弹性力学 徐芝纶 第五章
数必须等于3个。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5－2 弹性理论问题的基本解法
应力法 位移法
直接解法：
间接解法：
逆解法 半逆解法
5－3 基本定理
弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于 满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用 下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作 用于弹性体的解答。
弹性力学解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的 作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部 分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平 衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是 唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分 量也是唯一的。
第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移 分量， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为位移边界条件。 第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面 的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各 点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部 分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称 为混合边值问题。
2 x 2 0 y 2 y 2 0 x 2 xy 0 xy
一次多项式应力函数对应无应力应力状态。 这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y 的线性函数，将不影响应力分量的值。
二、应力函数为二次多项式
ax2 bxy cy2
x yx X 0 x y
xy x
y y
Y 0
此微分方程组的解为特解与通解的和
特解：
x Xx, x 0,
x Yy, x 0,
xy 0 xy 0
x x Xx Yy
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第五章弹性力学的求解方式和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，咱们已经推导和肯定了弹性力学的大体方程和常常利用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的大体方程作一总结，而且讨论具体地求解弹性力学问题的方式。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，大体方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对如此一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必需讨论问题的求解方式。
按照这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的大体方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是按照问题性质，肯定大体未知量，成立通过大体未知量描述的大体方程，取得大体解法。
弹性力学问题的大体解法主如果位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，大体方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方式的一些大体原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为此后的弹性力学问题解成立基础。
若是你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和温习前三章相关内容，以保证此后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的大体方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§弹性力学的大体方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经成立了一系列的弹性力学大体方程和边界条件。
本节的主要任务是将大体方程和边界条件作综合总结，而且对求解方式作初步介绍。
弹性力学问题具有15个大体未知量，大体方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
由于大体方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程能够取得应变分量，然后通过物理方程能够取得应力分量；反之，若是已知应力分量，也可通过物理方程取得应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必需知足一组补充方程，即变形协调方程。
基于上述的理由，为简化求解的难度，能够选取部份未知量作为大体未知量求解。
按照大体未知量，弹性力学问题能够分为应力解法、位移解法和混合解法。
上述三种求解方式对应于偏微分方程的三种边值问题。
学习要点：1、弹性力学大体方程；2、本构方程；3、边界条件；4、弹性力学边值问题一、弹性力学大体方程第一将弹性力学大体方程综合如下1、平衡微分方程用张量形式描述2、几何方程用张量形式描述3、变形协调方程4、本构方程-广义胡克定律用应力表示的本构方程用应变表示的本构方程二、边界条件若是物体表面的面力F s x，F s y，F s z为已知，则边界条件应为称为面力边界条件，用张量符号表示为。
若是物体表面的位移已知，则边界条件应为称为位移边界条件。
除面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。
综上所述，弹性力学的大体未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。
大体方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个大体方程。
这里没有考虑变形协调方程，原因是位移已经作为大体未知量。
对于任意的单值持续的位移函数，若是设其有三阶的持续导数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果，自然地知足，所以位移作为大体未知量时，不需要考虑变形协调方程。
要使大体方程有肯定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个大体方程。
3、弹性力学边值问题固然，具体求解弹性力学问题时，并非需要同时求解十五个大体未知量，能够而且必需做出必要的简化。
按照几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是彼此独立的。
假设已知位移分量，通过几何方程能够取得应变分量，然后通过物理方程能够取得应力分量。
反之，若是已知应力分量，也可通过物理方程取得应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必需知足一组补充方程，即变形协调方程。
基于上述的理由，为简化求解的难度，选取部份未知量作为大体未知量。
若以位移函数作为大体未知量求解，称为位移解法；若以应力函数作为大体未知量，称为应力解法；若以部份位移分量和部份应力分量作为大体未知量，称为混合解法。
在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。
依照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。
第一类边值问题：已知弹性体内的体力F b x，F b y，F b z和其表面的面力F s x，F s y，F s z，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。
第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量F b x，F b y，F b z和表面的位移分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为位移边界条件。
第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量F b x，F b y，F b z，和物体表面的部份位移分量和部份面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。
这时的边界条件在面力已知的部份，用面力边界条件，位移已知的部份用位移边界条件，称为混合边值问题。
以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。
若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。
§位移解法－位移表示的平衡微分方程学习思路:以位移函数作为大体未知量求解弹性力学问题的方式称为位移法。
位移解法的大体方程是位移表示的平衡微分方程。
位移分量求解后，则能够通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。
若是问题的边界条件为位移边界条件，边界条件描述比较简单。
若是问题为面力边界条件，由于边界条件是通过位移函数的导数描述的，因此应用困难。
总之若以位移为大体未知函数求解时，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。
学习要点：1、位移表示的应力分量；2、位移表示的平衡微分方程；3、位移边界条件一、位移表示的应力分量位移解法是以位移函数作为大体未知函数求解的，所以需要通过几何方程将位移函数表达为应变分量，再通过物理方程将其表达为应力分量，代入平衡微分方程即可取得位移解法的大体方程。
第一，按照物理方程和几何方程，能够取得由位移分量表达的应力分量，即其中二、位移表示的平衡微分方程将上述位移表示的应力分量代入平衡微分方程，整理后可得这里是拉普拉斯运算符号，即。
上述方程是以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅（Lamé）方程，它能够表示为张量形式或表达为矢量形式上式中为拉普拉斯算符矢量。
3、位移边界条件对于边界条件，若是物体表面的位移已知，则直接由位移形式给定，即便用位移边界条件若是给定的边界条件是物体表面的面力，则面力边界条件式需用位移分量表示，将应力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力边界条件或表达为张量形式显然，若是给定的边界条件是面力边界条件，那么位移解法的边界条件表达式十分复杂，因此求解的难度将是比较大的。
总之，若是以位移函数作为大体未知函数求解弹性力学问题，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。
位移分量求解后，则可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。
§应力解法－应力表示的应变协调方程学习思路:若是选用应力分量或应力函数作为大体未知量求解弹性力学问题称为应力解法。
应力解法的大体方程不仅有平衡微分方程，而且有变形协调方程。
因为仅仅知足平衡微分方程的应力分量并非必然是真实应力，这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将可能取得一组矛盾方程，这就不可能求出单值持续的位移分量。
由于变形协调方程是应变表示的，在应力解法中，需要转化为大体未知量应力分量表示。
利用平衡微分方程的求导形式简化变形协调方程，能够取得应力分量表示的变形协调方程。
总之，在以应力函数作为大体未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程。
学习要点：1、应力解法的大体方程；2、变形协调方程的简化；3、应力分量表达的变形协调方程；4、体力为常量时的变形协调方程。
一、应力解法的大体方程以应力作为大体未知函数求解弹性力学问题时，应力分量必需知足平衡微分方程和面力边界条件。
可是仅此还不够，仅仅知足上述条件的应力分量并非是真正的应力。
因为这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将可能取得一组矛盾方程，不可能求出单值持续的位移分量。
要使这组方程不矛盾，则要求应力分量不仅知足平衡微分方程和面力边界条件，而且应力分量对应的应变分量必需知足变形协调方程。
那个问题也能够从物理上解释，应力分量知足平衡微分方程和面力边界条件，只能保证物体的平衡，可是不能保证物体的持续。
只有这组应力分量求出的应变分量知足变形协调方程时，才能保证变形后的物体是持续的。
当位移分量作为大体未知函数求解时，变形协调方程是自然知足的。
若是位移表示大体未知量，只有应力作为大体未知函数求解时，变形协调方程作为一组补充方程是必需的。
因此，对于应力解法，应力分量必需知足平衡微分方程和变形协调方程。
由于变形协调方程是由应变分量表达的，在应力解法中，需要将其转换为由应力分量表达。
将物理方程改写为其中将上式代入变形协调方程的第一，四两式，可得轮换x，y，z可得其余四个方程，由此可得应力表达的变形协调方程。
二、变形协调方程的简化为了使问题进一步简化，就是使上式有更简单的形式，利用平衡微分方程再次对变形协调方程作进一步的简化。
将平衡微分方程的第一和第二两式别离对x，y求偏导数后再相加，则将上式代入应力分量表示的变形协调方程第一式而且注意到，可得轮换x，y，z以后，可得另外两个类似的公式。
将轮换后取得的三个公式相加，可得将上式回代到简化方程可得轮换x，y，z以后，可得另外两个类似的公式。
3、应力分量表达的变形协调方程下面咱们对应力分量表示的变形协调方程的第二式作简化第一对平衡微分方程的第二和第三两式别离对z，y求偏导数，然后相加能够取得将上式与变形协调方程的第二式相加后并整理，可得上式为简化后的方程，轮换x，y，z以后，可得另外两个类似的公式。
综上所述，咱们一共取得以下六个关系式上述方程即为应力分量表达的变形协调方程，通常称为贝尔特拉米-米切尔方程。
4、体力为常量时的变形协调方程若是弹性体体力为常量，则应力分量表达的变形协调方程能够简化为上述方程为应力分量表达的变形协调方程，通常简称为应力协调方程。
可是应该注意：应力是不需要协调的，其实质仍为应变分量所知足的变形协调关系。