第五章 静态场的边值问题要点
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电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
静态场及其边值问题的解PPT教案
并 选 择 有 限 远处为 电位参 考点。 例如， 选择ρ= a 的 点 为电位 参 考点，则有
(r ) l0 ln 2L C 20
C l0 ln 2L 20 a
(r ) l0 ln a 20
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14
5. 电 位 的 微 分 方程
在 均 匀 介 质 中，有
D
E
grr
(o) 0
x
P
r
o
z E0
在 球 坐 标 系 中， 取极轴 与 的方 向一致 ，即 ， 则 有
E0
E0
ez E0
(P)
r E0
grr
r ez
grr
E0
E0r
cos
在 圆 柱 面 坐标 系中， 取 与 x轴方向 一致， 即 ，故
，而
r e ez z
(P)
ErE0 g0rr
r ex
z
(,, z)
L
R
z ' dl dz
y
x
-L
13
在 上 式 中 若令
， 则可 得到无 限长直 线电荷 的电位 。当
时 ， 上 式 可 写为
L R
L
(r ) l0 ln
2 L2 L
l 0
ln
2 L2 L
l 0
ln 2L
40 2 L2 L 20
20
L
当
时 ， 上 式 变 为无 穷大， 这是因 为电荷 不是分 布在有 限区域 内，而 将电位 参考点 选在无 穷远点 之故。 这时可 在上式 中加上 一个任 意常数 ，则有
2 (x) C2 x D2
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17
—Chap5 静态场边值问题解法A
n
则X (x)
c
os
(kx
x）
c
os[(2n 1)
2a
x],n 1,2,
若x是齐次边界条件时(这里认为kx的本征函数是正、余弦函数)，则y=0或y=b 处必有非齐次边界，Y(y)的本征函数采用双曲或指数函数形式，否则解为0
(a)
若
( (
y y
0) b)
0
0或
(
y
b)
0
则
本
征
函
数 为s inh(
Chap. 5 静态场边值问题的解法
§5－1 静态场问题的分类
分布型问题
已知场源分布，求各点场强或位函数 （正问题） 已知场分布，求场源的分布 （反/逆问题）
边值型问题
给定空间某一区域内的场源分布，同时给定该区域边界上的 场强或位函数（即边值条件），在这种情况下求解该区域内的 位函数或场分布；
又
12
y y
b 0， 2b 0
1
x
,
y
Asin
a
x sinh
a
b
y，
2 x,
y
B sin
a
x sinh
a
2b
y
1x, y 0 2 x, y 0
2 x,
y
y
1 x,
y
y
y0
0 0
sin x
a
A
sinh
a
b
B
sinh
a
2b
B
cosh
• 若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根
据迭加原理，将待求场分解成几个场的迭加，而每个场的边
则X (x)
c
os
(kx
x）
c
os[(2n 1)
2a
x],n 1,2,
若x是齐次边界条件时(这里认为kx的本征函数是正、余弦函数)，则y=0或y=b 处必有非齐次边界，Y(y)的本征函数采用双曲或指数函数形式，否则解为0
(a)
若
( (
y y
0) b)
0
0或
(
y
b)
0
则
本
征
函
数 为s inh(
Chap. 5 静态场边值问题的解法
§5－1 静态场问题的分类
分布型问题
已知场源分布，求各点场强或位函数 （正问题） 已知场分布，求场源的分布 （反/逆问题）
边值型问题
给定空间某一区域内的场源分布，同时给定该区域边界上的 场强或位函数（即边值条件），在这种情况下求解该区域内的 位函数或场分布；
又
12
y y
b 0， 2b 0
1
x
,
y
Asin
a
x sinh
a
b
y，
2 x,
y
B sin
a
x sinh
a
2b
y
1x, y 0 2 x, y 0
2 x,
y
y
1 x,
y
y
y0
0 0
sin x
a
A
sinh
a
b
B
sinh
a
2b
B
cosh
• 若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根
据迭加原理，将待求场分解成几个场的迭加，而每个场的边
静态场的边值问题
在区域τ内存在两个不同的函数 ?和1 ?都2 满足相同的泊松
方程 ? 2? ? ，f 并且在区域边界 S上满足同样的边界条件。
令
? ?? ? 1 ? ? 2
则有
? 2? ?? ? 2 (? 1 ? ? 2 ) ? ? 2? 1 ? ? 2? 2 ? f ? f ? 0
利用
?
??
? ?(uF ) ? u? ?F ? F? u
讨论：
①对于第一类边界条件， 因为
?
? ?0 S
所以C = 0
②第二类和第三类边界条件的情况 ? 1 ? ? 2 ? C
对于所有边界上给出唯一的边界条件时，边值问题 的解才是唯一确定的。
②唯一性定理 给出了求解电磁场问题的理论依据 不论采用什么方法，只要得到的解能够在区域内满足方程而在 边界上满足边界条件，这个解就是该边值问题的唯一正确解。
①给定全部边界上的函数值
? s ? C1
“狄利赫利”边界条件
②给出全部边界上函数的法向导数值
?? ?n s ? C2
“聂曼”边界条件
③给定部分边界上的函数值，而其余边界上给出函数的法向导数值
? s1 ? C1 , ?? ?n s2 ? C2
混合边界条件
3、唯一性定理的证明
证明：考虑泊松方程，用反证法
?
s1 ? C1
? ?
?
s2 ? C2
? ?
?
s3 ? C3
分解为三个边界问题
? ? ?
? ?
2? 1 ? 0 1 s1 ? C1
? ?
?
1 s2
?
0
? ?
?
1 s3
?
0
? ? ?
第5章 静态场边值问题1
电子科技大学
d1 d 2 a , q
2
d2 a q q d1 a
| q′|>|q|，可见球外的电荷量大于球内电荷量（绝对值） 像电荷的位置和电量与外半径b无关（为什么？）
电子科技大学 用计算机模拟的，接地空心导体球壳中有一个点电荷q时， 球内空间的电位、电场分布图
由图可知，点电荷q在 内球面将产生电量为－q 的非均匀感应电荷 但是，感应电荷的总 量不等于镜像电荷，也 就是说，用镜像电荷替 代感应电荷，只是作用 上的等效
得电位分布为 q 1 1 1 1 4 r r1 r2 r3
d1 r
P
q
d2
2 -d2 q2
=∞
r3 q3 r2
电子科技大学 用计算机模拟的，当夹角为60°的两个半无限大接地导体 平板之间有一个点电荷q时，镜像电荷的位置示意图
由图可知，点电荷q共 有5个像电荷 6个电荷两两成对地分 别构成两个平面（包括 平面的延伸部分）的镜 像关系，缺一不可
q
1 q q R R 4 0
但是 d2 ? q ?
利用边界条件可以确定未知的d2和q′。
令r＝a，此时有R=R0 ， R′=R0′。由球 面上电位为零，即＝0，得
电子科技大学 P a O a R0 q
q q =0 R0 R0
R0 q = - =常数 R0 q
电子科技大学
d2 1 q q q a ，其中q q q，d1d 2 a 2 4 0 R R r d1 a
0
Ae qE x d x q 2 4 0
d
0
q2
0
d
静态场及其边值问题的解课件
qh 2 π rdrd q 2 2 32 0 0 2π (r h )
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
电磁场公式整理
第一章标量三重积： 矢量三重积方向导：梯度：计算公式：矢量线方程:通量：散度：散度计算公式： 散度定理（高斯定理）： 旋度：斯托克斯定理： 拉普拉斯运算：第二章电流连续性方程微分形式：对于恒定电流场： )()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅CB A BC A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯grad nu u en∂=∂zy x x y x∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ),,(d ),,(d ),,(d z y x F zz y x F y z y x F x z y x ==00cos cos cos |lim M l u u u u ul lx y z αβγ∆→∂∆∂∂∂==++∂∆∂∂∂d d d n SSψψF S F e S==⋅=⋅⎰⎰⎰ττ∆⋅=⎰→∆SSd F div F lim 0z F y F x F Sd F div z y x S ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=⎰→∆ττF lim⎰⎰⋅∇=⋅VSVF S F d dmax ]rot [F e F n n =⨯∇zy x z y xF F F z y xe e e F ∂∂∂∂∂∂=⨯∇=⎰⎰⋅⨯∇=⋅SCS F l F d d )()(2F F F ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇uu 2)(∇=∇⋅∇0d ⎰=⋅SS J 、0=⋅∇JtJ ∂∂-=⋅∇ρ静电场散度：高斯定理的积分形式： 静电场旋度：毕奥萨法尔定律：任意电流回路 C 产生的磁感应强度恒定磁场散度： 恒定磁场是无散场恒定磁场旋度： 恒定磁场是有旋场，它在任意点的旋度与该点的电流密度成正比，电流是磁 场的旋涡源。
极化强度：----------电介质的电极化率电位移矢量：电介质中高斯定理的积分形式： 磁化强度矢量： 磁化电流体密度： 真空中安培环路定理推广到磁介质中： 磁场强度 ：M B H-=0μ麦克斯韦方程组的微分形式传导电流和变化的电场都能产生涡旋磁场。
第5章 静态场的边值问题(1)静态场边值问题的基本概念
2
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
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第五章
第五章 静态场的边值问题
各种边界
本章主要介绍静态场边值问题 及其基本计算方法。
2020/9/26
1
电磁场理论
第五章
第一节 静态场边值问题的基本概念
一、静态场：
静电场、恒定场、恒定磁场。
二、静态场的基本方程：
即：环量、通量方程 E B J 引入辅助量 A
泊松方程或拉普拉斯方程 ( 0, J 0)
1) 分析：
１２
a. 由（５-２-１３)、(５-２-１４), x 0,x a, 0
(５-２-１８)的解 f (x)只能取三角函数,即通解中的三种
情况只有第一种是可以存在的.
b. 由(５-２-１５), y 0, 0
(５-２-１９)的解 g(y)只能取双曲函数.
2) 通解: f (x) A1 sin kx x A2 cos kx x (５-２-２１)
g( y) B1shay y B2chay y (５-２-２２)
2020/9/26
14
电磁场理论
第五章
3) 特解: (x, y) f (x) g(y)
a. f (x) f (x) A1 sin kx x A2 cos kx x
均为一次线性式。
15
1 g
d2g dy2
k y 2
(５-２-１９)
kx2 ky2 0
５、求通解：
(５-２-２０) １６
kx2 >０，
ky2 <０； kx2 <０，
解为三角函数 解为双曲函数 或实指数函数
ky2 >０。
９
kx 0
k y 0 １０
2020/9/26
13
电磁场理论
第五章
６、特解： （结合具体边界条件）
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2020/9/26
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
利用给定的边界条件求
A
的特解；
E; A B
四、求解静电场的边值问题的方法:
解析法：求 在整个场域内所满足的函数表达式,根据表 达式,可求出任意点确切的 值.(规则边界)
2020/9/26
3
电磁场理论
第五章
分离变量法、镜像法、
优点：解具有代数方程的形式,方程中解的参数值可以置 换,便于研究不同参数下场的不同分布;
令 (x, y, z) f (x) g(y)h(z) (５-２-２)
将 (５-２-２) 代入 (５-２-１) ,并整理得:
1 d 2 f 1 d 2g 1 d 2h 0 f dx2 g dy2 h dz2
(５-２-３)
2020/9/26
7
电磁场理论
第五章
３、三个常微分方程：
1 f
d2 f dx2
讨论 (５-２-４) 为实数；
1 d2f f dx2
kx2
则 f (x) A1 sin kx x A2 cos kx x (５-２-８)
A1 A2 为待定系数。
30
kx2 <０，
kx jax , ax 为实数；
则 f (x) B1shax x B2chax x (５-２-９)
或
2020/9/26
５、由给定边界条件确定待定系数 特解。
2020/9/26
10
电磁场理论
第五章
例：一长直金属槽的长度方向平行于z轴，其横截面 如图所示，其侧壁与底面电位均为０，而顶盖电位
(x,b) U (x). 1.
2.
求槽内电位 的解。
U (x) U0,
U (x) Um sin a x,
(x) 0
解： 由题意， 沿z方向是没有变化的，而槽的
f (x) B1eaxx B2eaxx
电磁场理论
(５-２-１０) １３
9
第五章
kx 0
则 f (x) C1x C2
１３
1 f
d2 f dx2
kx2
(５-２-１１)
同理，g( y),h(z) 的通解亦可根据 k y , kz 的取值不同，
从而得到类似 f (x) 的通解。
故 (x, y, z) f (x) g(y)h(z)
缺点:要求边界形状比较苛刻,复杂边界形状的场域难以求解.
数值计算法：求 在场域内一组离散点上的近似函数值。
缺点：一次运算
一个边界；
优点：任意边界。
实验研究法:
用实验装置模拟实际的物理场方程及给定 边界值,测量出相应的待求函数的值的方法.
2020/9/26
4
电磁场理论
第五章
第二节 分离变量法
一、分离变量法的一般步骤（规则边界）：
(５-２-１４)
(５-２-１５) 15
U (x) y b, 0 x a (５-２-１６)
１４
４、用分离变量法分离出两个常微分方程：
令 (x, y) f (x) g(y) (５-２-１７)
2020/9/26
12
电磁场理论
第五章
１１
则 (５-２-１２) 变成两个方程
1 f
d2 f dx2
kx2 (５-２-１８)
kx2
1 g
d2g dy2
ky2
(５-２-４) (５-２-５)
1 h
d 2h dz2
k z 2
由 (５-２-３) 得： kx2 ky2 kz2 0
k x , k y , k z 称为分离常数。
(５-２-６) (５-论
第五章
４、通解： kx2 >０，
kx
并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程）， 分解出三个常微分方程；分别写出其通解。
用给定边界条件以及通解中正交函数的正交
性确定通解中的待定常数。
特解 。
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电磁场理论
第五章
二、直角坐标系中的分离变量法：
１、位函数 的拉氏方程：
2
0
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
(５-２-１)
２、分离变量：
边界是与直角坐标系的坐标面平行的。
１、选直角坐标系：如图所示。
２、拉氏方程：
2
x 2
2
y 2
0
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电磁场理论
１３ (５-２-１２)
11
第五章
３、边界条件：
条件
0 0 0
边界
x 0, 0 y b
x a, 0 y b
y 0, 0 x a
(x) 0
(５-２-１３)
2 ( 0, 0)
（５－１－１）
2 A J ( 0, J 0) 三个标量方程（５－１－２）
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2
电磁场理论
第五章
三、静态场的求解------静态场的边值问题:
根据唯一性定理：满足三类边值问题的泊
松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
求(５-１-１)、 (５-１-２)的通 解 A ；
第五章 静态场的边值问题
各种边界
本章主要介绍静态场边值问题 及其基本计算方法。
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1
电磁场理论
第五章
第一节 静态场边值问题的基本概念
一、静态场：
静电场、恒定场、恒定磁场。
二、静态场的基本方程：
即：环量、通量方程 E B J 引入辅助量 A
泊松方程或拉普拉斯方程 ( 0, J 0)
1) 分析：
１２
a. 由（５-２-１３)、(５-２-１４), x 0,x a, 0
(５-２-１８)的解 f (x)只能取三角函数,即通解中的三种
情况只有第一种是可以存在的.
b. 由(５-２-１５), y 0, 0
(５-２-１９)的解 g(y)只能取双曲函数.
2) 通解: f (x) A1 sin kx x A2 cos kx x (５-２-２１)
g( y) B1shay y B2chay y (５-２-２２)
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14
电磁场理论
第五章
3) 特解: (x, y) f (x) g(y)
a. f (x) f (x) A1 sin kx x A2 cos kx x
均为一次线性式。
15
1 g
d2g dy2
k y 2
(５-２-１９)
kx2 ky2 0
５、求通解：
(５-２-２０) １６
kx2 >０，
ky2 <０； kx2 <０，
解为三角函数 解为双曲函数 或实指数函数
ky2 >０。
９
kx 0
k y 0 １０
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电磁场理论
第五章
６、特解： （结合具体边界条件）
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
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电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
利用给定的边界条件求
A
的特解；
E; A B
四、求解静电场的边值问题的方法:
解析法：求 在整个场域内所满足的函数表达式,根据表 达式,可求出任意点确切的 值.(规则边界)
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电磁场理论
第五章
分离变量法、镜像法、
优点：解具有代数方程的形式,方程中解的参数值可以置 换,便于研究不同参数下场的不同分布;
令 (x, y, z) f (x) g(y)h(z) (５-２-２)
将 (５-２-２) 代入 (５-２-１) ,并整理得:
1 d 2 f 1 d 2g 1 d 2h 0 f dx2 g dy2 h dz2
(５-２-３)
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电磁场理论
第五章
３、三个常微分方程：
1 f
d2 f dx2
讨论 (５-２-４) 为实数；
1 d2f f dx2
kx2
则 f (x) A1 sin kx x A2 cos kx x (５-２-８)
A1 A2 为待定系数。
30
kx2 <０，
kx jax , ax 为实数；
则 f (x) B1shax x B2chax x (５-２-９)
或
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５、由给定边界条件确定待定系数 特解。
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电磁场理论
第五章
例：一长直金属槽的长度方向平行于z轴，其横截面 如图所示，其侧壁与底面电位均为０，而顶盖电位
(x,b) U (x). 1.
2.
求槽内电位 的解。
U (x) U0,
U (x) Um sin a x,
(x) 0
解： 由题意， 沿z方向是没有变化的，而槽的
f (x) B1eaxx B2eaxx
电磁场理论
(５-２-１０) １３
9
第五章
kx 0
则 f (x) C1x C2
１３
1 f
d2 f dx2
kx2
(５-２-１１)
同理，g( y),h(z) 的通解亦可根据 k y , kz 的取值不同，
从而得到类似 f (x) 的通解。
故 (x, y, z) f (x) g(y)h(z)
缺点:要求边界形状比较苛刻,复杂边界形状的场域难以求解.
数值计算法：求 在场域内一组离散点上的近似函数值。
缺点：一次运算
一个边界；
优点：任意边界。
实验研究法:
用实验装置模拟实际的物理场方程及给定 边界值,测量出相应的待求函数的值的方法.
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电磁场理论
第五章
第二节 分离变量法
一、分离变量法的一般步骤（规则边界）：
(５-２-１４)
(５-２-１５) 15
U (x) y b, 0 x a (５-２-１６)
１４
４、用分离变量法分离出两个常微分方程：
令 (x, y) f (x) g(y) (５-２-１７)
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电磁场理论
第五章
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则 (５-２-１２) 变成两个方程
1 f
d2 f dx2
kx2 (５-２-１８)
kx2
1 g
d2g dy2
ky2
(５-２-４) (５-２-５)
1 h
d 2h dz2
k z 2
由 (５-２-３) 得： kx2 ky2 kz2 0
k x , k y , k z 称为分离常数。
(５-２-６) (５-论
第五章
４、通解： kx2 >０，
kx
并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程）， 分解出三个常微分方程；分别写出其通解。
用给定边界条件以及通解中正交函数的正交
性确定通解中的待定常数。
特解 。
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电磁场理论
第五章
二、直角坐标系中的分离变量法：
１、位函数 的拉氏方程：
2
0
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
(５-２-１)
２、分离变量：
边界是与直角坐标系的坐标面平行的。
１、选直角坐标系：如图所示。
２、拉氏方程：
2
x 2
2
y 2
0
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电磁场理论
１３ (５-２-１２)
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第五章
３、边界条件：
条件
0 0 0
边界
x 0, 0 y b
x a, 0 y b
y 0, 0 x a
(x) 0
(５-２-１３)
2 ( 0, 0)
（５－１－１）
2 A J ( 0, J 0) 三个标量方程（５－１－２）
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电磁场理论
第五章
三、静态场的求解------静态场的边值问题:
根据唯一性定理：满足三类边值问题的泊
松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
求(５-１-１)、 (５-１-２)的通 解 A ；