第五章-空间问题基本理论
弹性力学复习思考题
其中： 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力 应力函数： 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 σθ = 2 r
= f (r)
= f (r) sin θ
= f (r) cosθ
力偶、 （9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 ）半无限平面体在边界上作用力偶 集中力、分布力下 、应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ （10）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ ） （11）叠加法的应用。 ）叠加法的应用。
X = l(1+ )αT,
Y = m(1+ )αT
（5）温度应力问题求解的基本思路与方法： ）温度应力问题求解的基本思路与方法： （a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足 ）求出满足位移平衡方程（ ）的一组特解（此时， 边界条件；用位移势函数求解）。 边界条件；用位移势函数求解）。 （b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应 ）不计变温，求出满足平衡方程（ ）的一组补充解（ 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 的概念； 与位移分量的关系； （6）位移势函数 ψ 的概念；位移势函数 ψ 与位移分量的关系；温 ） 度应力问题中， 满足的方程； 度应力问题中，位移势函数 ψ 满足的方程；应力分量的位移势 的表示。 函数 ψ 的表示。
王俊民 编 徐秉业 编
《弹性力学学习方法及解题指导》 弹性力学学习方法及解题指导》
同济大学出版社 机械工业出版社
第五章-向量空间
第五章 向量空间向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U 空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的.我们知道,在n 元向量集和n m ⨯矩阵集中,都分别定义了加法和数乘运算,并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论,不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解,同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外,向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用.本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等.5.1 向量空间的概念定义 1 设V 是一个非空集,F 是一个数域．如果：1) V 中定义了一个加法．α∀、∈βV , V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为α与β的和,记为α+β.2) F 到V 有一个数量乘法．k ∀∈F ,∀α∈V ,V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为k 与α的数量乘积,记为αk .3) 加法与数量乘法满足以下算律： ∀α、β、γ∈V ,∀k 、l ∈F 1 α+β=β+α；2 (α+β)+γ=α+(β+γ)；3 0∈V ,称为V 的零元,有0+α=α；4 α-∈V ,称为α的负元,有α+(α-)=0；5 βαβαk k k +=+)(；6 αααl k l k +=+)(；7 )()(ααl k kl =；8 αα=1,那么称V 是数域F 上的一个向量空间.向量空间V 的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:F l k V ∈∀∈∀、、,βα,有V l k ∈+βα.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间.例 1 nF 为数域F 上所有n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,nF 是F 上的一个向量空间.例 2 )(},|){()(F M F a a F M ij n m ij ∈=⨯对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间.例 3 在解析几何里,平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间.分别记为32,V V .例 4 令],[b a C 为定义在区间],[b a 上的一切连续函数所构成的集.对函数的加法,实数与函数的乘法,],[b a C 是实数域上的向量空间.例5 复数域C 是实数域R 上的向量空间.任意数域都是它自身上的向量空间. 由定义1,可以推出向量空间V 的如下几个性质： 1. 在向量空间V 中,零向量是唯一的.事实上,若10与20都是V 的零向量,便有22110000=+=.2. V 中每一向量的负向量是唯一的.事实上,V ∈∀α,若21,αα都是α的负向量,即有0,021=+=+αααα,那么222121110)()(0αααααααααα=+=++=++=+=.规定α-β=α+ (-β). 3. 在V 中, (Ⅰ) 00＝α； (Ⅱ) 00=k ；(Ⅲ) αααk k k -=-=-)()(.事实上, 0=+αα0=+αα1(0+1)ααα==1.等式两边同时加上(-α),得0α=0.故（i ）式成立.由0)00(00k k k k =+=+,两边加上0)(k -,得00=k ,即(ii )式成立.由00)()(==+-=+-k k k k αααα,即)(α-k 是αk 的负元,所以ααk k -=-)(.同样可得ααk k -=-)(.4. 在V 中,如果0=αk ,则=k 0或0=α. 事实上,若0=αk ,而≠k 0,那么001)(1==k k k α.又αααα===1)1()(1k kk k ,故.0=α此外,由于V 中的加法满足交换律﹑结合律,V 中s 个向量相加,可以任意交换各项的次序,任意添加括号,所得结果都相同.定义2 设V 是数域F 上的向量空间,.,φ≠⊆W V W 如果F k W ∈∀∈∀,βα、,有W k W ∈∈+αβα,, (1)那么称W 是V 的一个子空间.由定义,V 的子空间一定含V 中的零向量(则,W ∈α0W ∈=0α).如果W 是V 的子空间,那么W 也是数域F 上的向量空间.这是因为W 对V 的加法和F 到V 的数量乘法封闭，而定义1中的算律1 至8在V 中成立,在W 中当然成立.例 6. 由向量空间V 的零向量构成的集{0}是V 的子空间,称为零空间.V 自身是V 的子空间.这两个子空间都称为V 的平凡子空间.例7. nF 中一切形如),0,,,,(121-n a a a F a i ∈的向量构成的集是nF 的一个子空间.定义2中的条件（1）可表示为:F l k W ∈∀∈∀、、,βαW l k ∈+βα. （2） 反之,若（2）成立,则W 是V 的一个子空间.事实上,在（2）中,令1==l k ,得W ∈+βα;令0=l ,得W k ∈α,由定义2,W 是V 的子空间.在向量空间V 中,我们可以依照3.2中n 元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的线性组合、线性相关等相应的概念,从而得出相应的结论.从形式上说,这些概念、结论的表述是完全一样的.只是在向量空间中涉及这些概念、结论的对象——向量以及线性运算,已经不局限于n 元向量及其运算.在此,不再一一列出.现设V 是数域F 上的向量空间,V 中的s 个向量s ααα,,,21 的一切线性组合构成的集},,2,1,|{2211s i F k k k k s i s s =∈+++=ααα是V 的一个子空间.事实上,∀α﹑β∈S ,∀k ∈F ,令s s k k k αααα+++= 2211,2211ααβl l +=s s l α++ ,那么α+β与αk 仍为s ααα,,,21 的线性组合,即有α+β∈S ,αk ∈S .故S 是V 的子空间,它称为由s ααα,,,21 生成的子空间,记为 L (s ααα,,,21 ),s ααα,,,21 称为生成向量.下面我们看一个例子.m 个方程n 个未知量的齐次线性方程组0=AX ,它的所有解向量的集{}元列向量为n A T ααα,0==是n F 的非空子集.若n F ∈βα、（βα、为n 元列向量）,有0,0==βαA A ,那么F k ∈∀,则0)(=+βαA ,0)(=αk A .即F k T ∈∈∀,,βα,有T k T ∈∈+αβα,.因此T 是n F 的一个子空间.由于0=AX 的任一解都可表示为它的基础解系的线性组合,若r n -ηηη,,,21 是0=AX 的一个基础解系,那么α﹑β可表示为r n -ηηη,,,21 的线性组合,于是T 包含于生成子空间),,,(21r n L -ηηη .即 T ⊆),,,(21r n L -ηηη . 反之,任取∈β),,,(21r n L -ηηη ,令F k k k k i r n r n ∈+++=--,2211ηηηβ 为常数,r n i -=,,2,1 ,那么,0)(2211=+++=--r n r n k k k A A ηηηβ ,即β∈T .因而),,,(21r n L -ηηη ⊆T . 故 ),,,(21r n L T -=ηηη .n F 的子空间),,,(21r n L -ηηη 称为齐次线性方程组0=AX 的解空间.最后，我们给出子空间的和的概念。
空间分析原理与应用：第五章 空间回归分析
来自表2-1总体的两个随机样本
两个独立样本的回归线
总体回归线与样本回归线
Y
.Y1
需 求 量
. e1
u1
Yˆi b1 b2 Xi
.Yˆ1
EY | X B1 B2 Xi
A
..un Yn . en
Yˆn
0
X1 价格
Xn
X
5.2.6 “线性”回归的特殊含义
解释变量线性与参数线性
1. 解释变量线性 非线性举例：
y
y
000.5yy 0.5y 0 y
1 2 3 4 5
000...555yyy334
2 y
1
0.5y 5
0.5y 5
0.5y 4
(3 1)
式（3 1）表示变量y *用其他区域的y进行解释的线性关系，可写成：
y Cy
（3 2）
其中，是需要估计的回归参数，反映了样本数据内在的空间
模式的有效描述，因此需要引入能够描述空间自相关和空 间非平稳性的项，克服回归模型的缺陷。 • 空间关系的描述需要借助空间权重（邻接）矩阵。
空间邻接矩阵为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
W 0 0 0 1 1
(8)
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
行标准化为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
5.2.2 总体回归函数
例子：不同家庭收入水平下的学生数学SAT成绩
家庭年收入与数学S.A.T分数
总体回归函数PRF
E(Y | X i ) B1 B2 X i
(2-1)
Y的条件期望，可简写为E(Y)
B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数 (regression coefficients)。
5_内积空间与希尔伯特空间(讲稿)
其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影
定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特
有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫
空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来
判定最佳逼近的存在性和唯一性。
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定理14 (投影定理) 设M是希尔伯特空间H的闭线性子空间,则对
xH在M中存在唯一的正交投影x0, 使得
x =x0+x1
(其中x1M).
证 xH, 令x到M的距离
{yn}M, 使得||yn-x||d (n) (下确界定义)
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1) 证明 {yn}是基本列 M是H的线性子空间ym,ynM,有
(2) 距离函数 (x, y) x y x y, x y 称为由内积诱导的距离。
注: (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系—— 许瓦兹不等式 x, y x y . (2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：
x, y 1 ( x y 2 x y 2 i x iy 2 i x iy 2) 4
<·,·>:HHK, 使得：对x,y,zH,K,满足
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则称<x, y>为数域K中x与y的内积,而称定义了内积的空间H为 内积空间。 注：1) 当数域K为实数域时，称H为实的内积空间；
当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。
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2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离 定义2 (1) 范数 x x, x 称为由内积诱导的范数。
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初中数学空间理论教案
初中数学空间理论教案1. 让学生掌握空间中点、线、面的基本概念和性质。
2. 培养学生识别和运用点、线、面解决实际问题的能力。
3. 培养学生空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容1. 空间中点、线、面的定义及性质。
2. 点、线、面的位置关系。
3. 点、线、面在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：空间中点、线、面的基本概念和性质，点、线、面的位置关系。
2. 难点：点、线、面的位置关系的运用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解点、线、面的定义及性质。
2. 采用案例分析法，分析点、线、面的位置关系。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题运用点、线、面的知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识空间中的点、线、面，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：详细讲解点、线、面的定义及性质，让学生理解并掌握基本概念。
3. 分析：分析点、线、面的位置关系，引导学生运用所学知识分析实际问题。
4. 实践：布置练习题，让学生通过实际问题运用点、线、面的知识，巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点，布置课后作业。
六、教学评价1. 课后作业：检查学生对点、线、面知识的掌握程度。
2. 课堂练习：评估学生在实际问题中运用点、线、面的能力。
3. 学生反馈：了解学生对教学内容的满意度和建议，不断改进教学方法。
七、教学反思在教学过程中，要注意引导学生从生活中的实例认识点、线、面，培养学生的空间想象力。
同时，通过实际问题，让学生学会运用点、线、面的知识解决实际问题，提高学生的抽象思维能力。
在教学方法上，要注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
5-生态空间格局
第五章生物空间格局分析空间问题：生态学理论的最后前沿。
－P. Kareiva(1994)生态学的一个重要问题是个体的空间格局。
因为对于动物学家，空间行为是行为生态学的中心问题。
在近50年空间格局调查也成为植物生态学的一个特殊的研究领域，其研究方法的发展堪称壮观。
在种群的意义上讲，空间格局的研究主要是植物方面的。
因为动物种群的集群性非常明显，关于格局的研究重要是个体方面的。
另外，动物的迁移能力往往使种群的格局研究极端困难。
我们的目的在于：1）了解在野外，一个种群显示了怎样的空间格局？2）发展一套测量空间格局的思路，即扩散指数。
首先，如何能够在统计上确定，哪一种格局是对我们特定种群的一个好的描述。
空间格局分析方法可分为两类：1）基于种群的空间分布图；2）基于大量的样方调查数据。
第一节、空间格局类型及其影响因子一、动植物的分布格局连续分布（线性分布特例）/ 间断分布（鸟踏石分布）规则分布、随机分布、集群分布、嵌式分布二、生物空间格局的影响因子1、扩散与迁移：植物种子特征：翅、钩、粘、毛、刺、气囊、果实、营养、形状、大小、数量；植物传播方式：弹射、重力、风播、水播、动物播；植物种子繁殖特征：迅萌、休眠、后熟、延迟、火烧；动物繁殖/迁移2、生境梯度3、种间竞争与种内竞争4、环境变迁第二节、统计分布生物在自然界可能形成规则的、随机的或聚集的空间格局。
规则和聚集的程度可以描述，而随机即是随机，无程度的区分。
我们可以说红松在某些生境中更聚集或规则一些，而不能说某处更随机。
从统计学的角度，给定一个个体的空间位置，在其附近存在另一个个体的机率随两者之间的距离减小而：1）增大－聚集格局；2）减小－规则格局；3）无影响－随机格局因为生物学和统计学中分别对生物个体或某种数据的格局进行了定义。
故在此加以表达上的区分。
统计学上叫做分布；生态学上称空间格局。
统计学研究的一组抽象的种群样品成为统计学种群；而生物学意义上的一群具体的同种个体构成生物学种群。
第五章 Hilbert空间理论-黎永锦
第5章 Hilbert 空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.Hilbert D .(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家)Hilbert 空间在历史上比赋范空间出现得早,2l 是最早提出来的Hilbert 空间,它是 1912年Hilbert D .在研究积分方程时给出的,而Hilbert 空间的公理化定义直到1927年才由Neumann V J ..在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,llich F Lowig H Re .,.和Riesz F .在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了.5.1 内积空间在2R 中,把一个点看成一个向量,对于2R 的任意两个点),(),,(2121y y y x x x ==,定义内积2211),(y x y x y x +=,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质.定义 5.1.1 设X 是线性空间,若存在X X ⨯到K 的一个映射,使得对任意X z y x ∈,,, 有（1） ),(),(x y y x =；（2） ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；（3） 0),(≥x x , 且0),(=x x 当且仅当0=x 时成立.则称X 内积空间.在.}C ,)||(,|){(21212为复数这里+∞<∈=∑∞=i ii i x C x x l 上,定义内积为∑∞==1),(i i i y x y x ,则明显地,2l 是一个内积空间.n R 中的S c h w a r C a u c h y -不等式可以追溯Lagrange 和Cauchy ,积分形式的S c h w a r z C a u c h y -不等式是ky Bouniakows 在1859年和Schwarz 在1885证明的.2l 中的S c h w a r z C a u c h y -不等式则是Schmidt 在1908年得到的.抽象的Schwarz Cauchy -不等式是Neumann von 在1930年证明的.在内积空间X 中,有下面的Schwarz Cauchy -不等式成立.定理5.1.1(Schwarz Cauchy -不等式) 若X 是内积空间,则对任意X y x ∈,,有),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤证明 明显地,只须证明0≠y 时不等式成立.对于任意0,≠∈y K λ,有2||),(}),Re{(2),(),(λλλλ⋅++=++y y y x y x y x y x 取),(),(y y y x -=λ, 则 0),(),(|),(|),(|),(|2),(222≥+-y y y y y x y y y x x x 因此),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤.利用S ch wa r z Ca u ch y -不等式,可以证明任意的内积空间X 都可以定义范数),(||||x x x =,使之成为赋范空间.定理5.1.2 设X 是内积空间,),(||||x x x =,则||||⋅是X 的范数.证明 由内积的定义可知0||||=x 时,有0=x . 由于),(||),(),(2x x x x x x λλλλλ==因此,||||||),(||),(||||x x x x x x λλλλλ===.对于任意X y x ∈,,由Cauchy 不等式,有),(),(),(2),(),()],Re[(2),(),(||||21212y y y y x x x x y y y x x x y x y x y x ++≤++=++=+ 因而||||||||||||y x y x +≤+,所以||||⋅是X 的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,),(||||x x x =是X 的范数,一般称这一范数为内积),(y x 诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间X 看成赋范空间||)||,(⋅X ,这样的内积空间X 上可以使用赋范空间||)||,(⋅X 的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义 5.1.2 若内积空间X 在范数),(||||x x x =下是B a n a c h 空间,则称X 是Hilbert 空间.容易证明,2l 是Hilbert 空间. 内积空间还具有许多很好的性质.定理5.1.3 设X 是内积空间,若y y x x n n →→,,则),(),(y x y x n n →.证明 由于 |||||||||||||||||),(||),(||),(),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y y x y x x y x y x y x y x y x y x n n n n n n n n n n n n -⋅+⋅-≤-+-=-+-≤-因此y y x x n n →→,时,有),(),(y x y x n n →.不难证明,对于内积空间X ,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4 设X 是实内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||(||41),(22y x y x y x --+= 定理5.1.5 设X 是复内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=由于内积空间具有很好的几何直观性,而每一个内积空间都可以引入范数),(||||x x x =, 使之成为赋范空间,因此可以考虑如下问题.问题 5.1.1 对于任意赋范空间X ,可否定义内积使之成为内积空间,且满足),(||||x x x = ?例如,在赋范空间1l 中,对于任意1,l y x ∈,定义∑∞==1),(i i i y x y x ,则),(y x 是否为 1l 的内积,并满足),(||||x x x =？定理 5.1.6 设X 是赋范线性空间,则在X 可以定义内积),(,使之成为内积空间,且),(||||x x x =的充要条件为对任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++证明 若X 可以定义内积,使之成为内积空间,且),(||||x x x =,则2222||||2||||2),(2),(2),(),(||||||||y x y y x x y x y x y x y x y x y x +=+=--+++=-++反过来,若对于任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++.为了简明起见,这里只证X 是实赋范空间的情形.令 )||||||(||41),(22y x y x y x --+=,则 （1） ),(),(x y y x =；（2） 0),(≥x x 且0),(=x x 且当仅当0=x ;（3） 对于任意X z y x ∈,,,有)]||2||||)2((||2)||2||||)2((||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||)(||||)((||41),(2222222222y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y x z y x z y x +++--++++=+--++++-+-+-+++++++=-+-++=+ )||2||||2(||2122z y x z y x -+-++= 由于)||2||||2(||21)]||2||||2(||2)||2||||2(||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||||||||||||||(||41),(),(22222222222222z y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y z y z x z x z y z x -+-++=-+-+--+++=---++-+-+---+++-+++=--++--+=+ 因此,),(),(),(z y z x z y x +=+.对于任意X y x R ∈∈,,λ,令),()(y x f λλ=,则)(λf 为连续函数,且)()()(2121λλλλf f f +=+,因此)(λf 是线性的,即λλ⋅=)1()(f f ,因而),(),(y x y x λλ=. 由222||||)||||||(||41),(x x x x x x x =--+=可知),(||||x x x =,因此),(y x 是X 上的内积,且),(||||x x x =.在上面定理的证明中,当X 是复赋范空间时,令)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=, 则可证明),(y x 就是X 上的内积,且满足),(||||x x x =.由以上定理可知,一般的赋范线性空间||)||,(⋅X 不一定可以定义内积),(⋅⋅,使之成为内积空间,且满足),(||||x x x =.例 5.1.1 在∞l 中,取),0,1,1(),,0,0,1,1( -==y x ,则1||||,1||||==y x ,但2||||||||=-=+y x y x ,因此)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +≠-++,所以在∞l 上不能定义内积,使得∞l 成为内积空间,且满足),(||||x x x =.利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8 设X 是内积空间,则X 一定是严格凸的赋范空间.证明 对于任意X y x ∈,,若y x ≠,且1||||||||==y x ,则由 )||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++可知4||||4||||22<--=+y x y x ,因而1||2||<+y x ,所以X 是严格凸的.5.2 投影定理内积空间是n R 的自然推广,在内积空间X 上,可以把向量空间n R 的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1 设X 是内积空间,X y x ∈,,若0),(=y x ,则称x 与y 正交,记为y x ⊥. 若X M X x ⊂∈,,且对任意M y ∈,有0),(=y x ,则称x 与M 正交,记为M x ⊥.若对任意N y M x ∈∈,,都有0),(=y x ,则称M 与N 正交,记为N M ⊥.若X M ⊂,则称}|{M x X x M ⊥∈=⊥为M 的正交补.例题 5.2.1 设]1,1[-C 为[-1, 1]上的实连续函数全体,内积为⎰-=11)()(),(dt t y t x y x ,若M为[-1, 1]上的实连续奇函数全体,试证明M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.证明 (1) 若y 为[-1, 1]上的实连续偶函数,则对所有,M x ∈)()(t y t x 都是[-1, 1]上的实连续奇函数,从而0)()(),(11==⎰-dt t y t x y x ,因此⊥∈M y . (2) 反过来，若⊥∈M y ，令)()()(t y t y t z --=,则)()()()(t z t y t y t z -=--=-,从而)(t z为奇函数,因此M z ∈,所以0),(=z y .由于)()()()()()]()([)(2t z t y t z t y t z t y t y t z --+=--=,因此 0),(),()()()()()(1111112=+=--+=⎰⎰⎰---z y z y dt t z t y dt t z t y dt t z从而 0)]()([112=--⎰-dt t y t y 由)(t y 是连续函数可知)()(t y t y -=,即)(t y 一定是偶函数.由(1)和(2)可知,M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立.定理5.2.1 设X 为内积空间,X M X x ⊂∈,,则（1） 当y x ⊥时,有222||||||||||||y x y x +=+；（2） 当y x ⊥且z x ⊥时,有)(21z y x λλ+⊥对于任意K ∈21,λλ都成立；（3） 当N M ⊥时,有⊥⊂N M ,且⊥⊂M N ；（4） 当N M ⊂时,有⊥⊥⊃N M ；（5） }0{⊂⊥M M ,对任意X M ⊂成立.定理5.2.2 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥M 是X 的闭线性子空间.证明 对于任意 ⊥∈M y x ,,及M z ∈,有 0),(=z x 且 0),(=z y因此,对任意 K ∈βα,,有0),(),(),(=+=+z y z x z y x βαβα故⊥∈+M y x βα,即⊥M 是线性子空间.若x x M x n n →∈⊥,,则对任意M z ∈,有0),(lim ),(==∞→z x z x n n , 因此⊥∈M x ,所以,⊥M 是X 的闭线性子空间.定理5.2.3 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥⊥=M M span ))((.证明: 对于M M span ⊃)(因此⊥⊥⊂M M span ))((.反过来,对任意⊥∈M x ,有⊥⊂}{x M ,由上面定理可知⊥}{x 是闭子空间, 故⊥⊂}{x M span ,因而⊥∈))((M span x ,所以⊥⊥⊂))((M span M ,从而⊥⊥=M M span ))((. 定义 5.2.2设X 是内积空间,M ,N 是X 的线性子空间,若N M ⊥,则称},|{N y M x y x H ∈∈+=为M 与N 的正交和,记为N M H +=.如在2R 中,取}|),0{(},|)0,{(2211R x x N R x x M ∈=∈=,则N M ⊥,且N M R +=2.定义5.2.3 设M 是内积空间X 的线性子空间,X x ∈,若存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0则称0x 为x 在M 上的投影.在3R 中,对},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,及任意 X x x x x ∈=),,(321,有⊥∈=∈=M x y M x x x ),0,0(,)0,,(3210,使得y x x +=0即0x 为x 在M 上的投影.定理5.2.4 设X 是内积空间,M 是X 的子空间,X x ∈,若0x 是x 在M 上的投影,则||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈ 证明 由于0x 是x 在M 上的投影,因此M x ∈0且M x x ⊥-0,故对于任意M z ∈,有M z x ∈-0,因而z x x x -⊥-00,故2020202002||||||||||||||)()(||||||x x z x x x z x x x z x -≥-+-=-+-=-,所以,||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈. 在3R 中,若取},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,则对任意X x x x x ∈=),,(321,x 在M 上的投影)0,,(210x x x =与x 的距离是x 到M 上的最短距离.Schmidt E .在讨论 Hilbert 的原型2l 空间时,在2l 证明了对任一固定的闭子空间M ,若x 是2l 的任一点,则存在唯一的⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,这就是现在的投影定理.定理5.2.5 设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间,则对任意X x ∈,x 在M 上存在唯一的投影,即存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,且这种分解是唯一的.证明 对于X x ∈,令||||inf ),(z x M x d d Mz -==∈,则存在M x n ∈,使得 d x x n n =-∞→||||lim . 由于M x x n m ∈+2,因此d x x x n m ≥-+||2||. 故 ||)2||||||(||2)||2||2||||||(||2)||2||2(2||||22222222d x x x x x x x x x x x x x x x n m n m n m n m n m --+-≤-+--+-=-=- 由d x x n →-||||,可知}{n x 是Cauchy 列.由于X 是Hilbert 空间,且M 是闭凸集,因此存在M x ∈0,使得0x x n →,所以),(||||0M x d x x =-.令0x x y -=,则y x x +=0,因此下面只须证明M y ⊥.对任意0,≠∈z M z ,及任意K ∈λ,有M z x ∈+λ0.因此d z x x ≥+-||)(||0λ,故22202020||||||)),(Re(2||||||)(||d z z x x x x z x x ≥+---=--λλλ.取20||||),(z z x x -=λ,则 22202022022020|||||),(||||||||||),(||||||),(|2||||d z z x x x x z z x x z z x x x x ≥---=-+---由d x x =-||||0可知,一定有 0),(0=-z x x ,因此z x x ⊥-0对于任意M z ∈成立,即M y ⊥. 由上面讨论可知对于任意M x ∈,存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0.现证这种分解是唯一的.假设存在另一个M x ∈'0及⊥∈M y ',使得''0y x x +=,则⊥∈-∈-M y y M x x ''00,,故由M x x x x x x y y ∈-=---=-'00'00')()(,可知'y y =.结合前面的定理,还可以得下面推论.推论 5.2.1 设X 是Hilbert 内积空间,M 是X 的闭子空间,X x ∈则M x ∈0使得),(||||0M x d x x =-当且仅当M x x ⊥-0.问题 5.2.1 若M 是Hilbert 空间X 的子空间,但M 不是闭的子空间,那对任意X x ∈,x 在M 上是否存在投影呢？例5.2.2 在2l 中,M 为只有有限项非零的实数列全体构成的子空间,则M 不是2l 的闭子空间。
5。区域空间发展与规划
“市场力量倾向于加剧地区间的不平等” A：favoured region B：backward region 起初，两区处于均衡状态，但A区由于某 种最初的 initial trigger促使它的发展 高于其它地区，从而具有某种早期优势 （初始优势 initial trigger）。
欧洲空间发展 欧洲议会空间规划部 长理事会，1999 非约束性文件 战略目标：平衡和可 持续的发展战略。
RSDP（Regional
Spatial Development Perspective ）
区域空间发展 具体的实践
四、空间规划
Spatial planning refers to the
何谓空间结构?
人类经济活动作用于一定地域范围所形成的空间 组织形式。 ——以资源开发和人群经济活动场所为载荷 的经济地域单元为中心问题的空间分异 与组织关系； ——空间实体构成的某种等级规模体系； ——各种空间实体之间存在的某种要素流的形式。
（一）城市空间结构模式
（二）农村空间结构模式
（三）城乡空间结构谱图
2、应用
法国经济学家布代维尔 （J.R.Bouderville）为把增长 极理论运用于法国的区域规划， 提出了所谓的“可使用的规划模 式”，表示经济增长如何发生在 极化地区（polarized regions）。
上个世纪 60-70 年代，国际上 处于不同发展水平的国家声 称它们曾按增长极理论制定 过区域或城市发展政策。
(2) 实践原因：
具有规划倾向的国家的经济发 展绩效不佳，而具有市场倾向 或自由倾向的国家和地区发展 较快。
二 、 地 理 上 的 二 元 经 济 （geographical dual economy）
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yz
E yz , (1 )
(x ,y , z). ( f )
由物理方程可以导出 1 2 Θ,
E
E 1 2
（ g）
Θ是第一应力不变量，又称为体积应力。
--称为体积模量。
结论
结论： 空间问题的应力，形变，位移等15个未 知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数
应力分量的边界值与面力分量之间的关系
斜面应力
§5-3 主应力 最大与最小的应力
1.假设 n 面(l , m , n)为主面，则此斜面上
n 0 , p σ n σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为：
主应力 应力主面 应力主向
p x l , p y m , p z n .
(d)
应力主向
m1 n1 由上两式解出 l1 , l1 。然后由式(b)得出
l1
1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
定量
.
(e)
再求出 m1 及 n1 。
定性
是否存在主应力？有几个？关系为何？
4. 任一点一定存在三个互相垂直的主应力
σ1 ,σ 2 ,σ 3 （数学，证明见书上）
px lσ x m yx n zx ,
( x, y, z ).
(a)
n n
2. 求
p (σ n , n )
将 p ( px , p y , pz ) 向法向 n投影，即得
σ n lp x mpy np z
l 2σ x m2σ y n2σ z 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
M
x
0 ， yz zy ，
(x, y , z) (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (d xd yd z )。
思考题
在图中，若点
o的x向正应力分
z
B dz
量为 σ x ，试表
示点 A , B 的x向
dy dx x o A
y
式(g)中的各式，左边是不随坐标选择 而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关， 但其和也应与坐标选择无关。 所以分别称 Θ1,Θ2 ,Θ3 为第一、二、
三应力不变量。这些不变量常用于塑性力
学之中。
一点应力状态
6.关于一点应力状态的结论：
(1)6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。 (2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。
轴对称问题
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)的函数。 平面轴对称问题
应力中只有 σ ,σ ,σ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; 位移中只有 u , u z , u 0。
(b)
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
§5-1
平衡微分方程
静力学
取出微小的平行六面体， d v d x d y d z， 表示出各坐标面上的应力分量，然后考虑其 平衡条件:
F
0, x
x
F
M
y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
坐标增量引起应力增量、Taylor展开
应力正负号规定：正负面、正负向
正应力分量。
坐标增量引起应力增量
斜面应力
§5-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量 σ x … yz …，来求出斜
面(法线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
物理方程
空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
⑴ 应变用应力表示，用于按应力求解方法：
1 x (σ x σ y σ z ), E
yz
2(1 ) yz , E
( x ,y ,z ). (e)
⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
u z , , z z u z u z 。 z u u ,
(c)
物理方程： 应变用应力表示：
1 (σ σ σ Z )，（ , υ, z ) E (d) 2(1 ) z z E
3. 在
sσ 上的应力边界条件 设在 sσ 边界上，给定了面力分量
fx, f y , fz ,
则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜 面与边界重合。斜面应力分量 ( p x , p y , pz ) 应 代之为面力分量 ( f x , f y , f z ) ，从而得出空间 问题的应力边界条件:
(lσ x m yx n zx )s f x , ( x, y, z) . (在Sσ 上) (d )
平衡微分方程：
σ z σ σ f 0, z σ z z z f z 0. z
F F
0, 0,
(b)
Z
几何方程：
其中 u 0， z 0, 几何方程为
代入 p x , p y , p z , 得到：
lσ x m yx n zx lσ , mσ y n zy l xy mσ , nσ z l xz m yz nσ .
(a)
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1.
2 2 2
边界上约束位移分量的已知值
体积应变
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
u v w x y z x y z
几何学 物理学
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
u x , x
w v yz , y z
( x, y, z; u, v, w)
坐标轮换
(a)
( x, y, z; u, v, w)
几何方程
从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系：
⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
2 x yz 2 y zx 2 z xy
应力主向
3.应力主向 设主应力 σ1 的主向为 l1 , m1 , n1。代入式 (a)中的前两式，整理后得
m1 n1 yx zx (σ x σ1 ) 0, l1 l1 m1 n1 (σ y σ1 ) zy xy 0. l1 l1
应力不变量
5.应力不变量
若从式(c) 求出三个主应力 σ1 , σ 2 , σ 3 ， 则式(c)也可以用根式方程表示为，
(σ σ1 )(σ σ 2 )(σ σ 3 ) 0
(f )
因式(c) 和( f )是等价的方程，故 σ 的各 幂次系数应相等，从而得出：
应力不变量
Θ1 σ1 σ 2 σ 3 σ x σ y σ z , Θ2 σ1σ 2 σ 2 σ 3 σ 3σ1 σ y σ z 2 2 2 σ z σ x σ x σ y τ yz τ zx τ xy , (g) Θ3 σ1σ 2 σ 3 σ x σ y σ z 2 2 2 σ x τ yz σ y τ zx σ z τ xy 2τ yz τ zx τ xy .
由 得
2 2 2 2 p 2 px p2 p σ y z n n,
2 2 2 2 2 n px py pz σn .
(c)
n n
从式(b)、(c )可见, 当坐标面上的六个 应力分量确定之后，任一斜面上的应力也
就完全确定了。
完全确定一点的应力状态
应力边界条件
(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量 Θ1,Θ2 ,Θ3 .
σ1 σ 3 . (5) 最大和最小切应力为 2
设 σ1 σ 2 σ3
，作用于通过中间
主应力、并且“平分最大和最小正应
力的夹角”的平面上。
几何方程
§5-4 几何方程及物理方程
第五章 空间问题基本理论
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 例题
平衡微分方程
物体内任一点的应力状态 主应力 最大与最小的应力
几何方程及物理方程 轴对称问题的基本方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基 本知函数共有15个，且均为x, y, z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及 按位移求解和按应力求解的方法，都是与 平面问题相似的。因此，许多问题可以从 平面问题推广得到。
σ x σ
xy xz
σ y σ
yx yz
σ z σ