(优选)空间问题的基本理论纯黑
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空间问题基本理论英语版演示文稿
dφ
φ
φ
ρ
ρ φ
z
z
z
dz
zr
zr
z
dz
r rz
rz
rz r
dr
r
r r
dr
zr
r
z
根据r方向的平衡，可得
r
r
r
d r (r
d r)d
d
z
rr
d
d
z
2
dr
d
z
d
2
r
r
z
d z r d
dr
r r d
dr
Krr d
drdz
0
化简后得到
r
r
r
z
r
r
Kr
0
第十一页，共12页。
第四页，共12页。
N
ZN XN
YN
zx 0 y 由x方向的平衡得到：
XNΔS = lΔSσx+mΔSτyx+nΔSτzx
即 XN = lσx+mτyx +nτzx
注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。
第五页，共12页。
由y、z方向的平衡得到:
YN= lτxy+mσy+nτzy ZN = lτxz +mτyz+nσz
应力边界条件为：
X = lσx+mτyx +nτzx Y = lτxy+mσy+nτzy Z = lτxz +mτyz+nσz
求解的应力应满足平衡方程和应力边界条件，在 空间应力状态有六个未知的应力函数，只有三个 平衡方程；边界条件主要是用来确定解出的应力 中的未定常数。
8空间问题的基本理论
对三维 情形( i，j =1，2，3) 排列成矩阵：
⎡δ 11 δ 12 δ 13 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎥ = ⎢ 0 1 0⎥ δ ij = ⎢ δ δ δ 22 23 ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣0 0 1⎥ ⎦ ⎢ ⎣δ 31 δ 32 δ 33 ⎥
对二维 情形( i，j =1，2) 排列成矩阵：
x2
A ⋅ S = A S cos( A, S ) = ∑ a k ξ k A ⋅ S = A S cos( A, S ) = ∑ a i ′ξ i ′
k =1 3′ i ′ =1′
3
x1
显然，
A ⋅ S 应与坐标系的选择无关，即有
i ′ =1′
′ x1
∑a ξ = ∑a ξ
i′ i′ k =1 k
F = ∑ akξ k
3
x′ 3
x3 A S P
O′ O
P′
x′ 2
x2
是与坐标有关的三个标量， 它们使得一次形式：
k =1
在坐标变换时不变，则 矢量的变换规律： 设
为矢量。 ( a1 , a 2 , a 3 )
—— 判别任意三个标量是否构成矢量的准则。
x1
′ x1
、( a1′ , a 2′ , a 3′ )分别为 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )、 (a1 , a 2 , a 3 ) 和 (ξ 1′ , ξ 2′ , ξ 3′ )
比较式（d）等号的右边，有
x1
′ x1
a k = ∑ a i ′ l i ′k
i ′ =1′
3′
（e）
同理，将式（a）： ξ k = ∑ l i ′k ξ i ′
i ′ =1′
3′
（a）
空间问题基本理论
上式应变分量用位移分量 表示， E u 1 2 1
E z z 1 1 2 E zr zr 2(1 )
u 1 2 E w z 1 1 2 z E 1 E u w z z 2(1 )
1
就得到了平面应变状 态下的物理方程。
5.5
空间轴对称问题
r
rz
z
z dz z zr zr dz z rz rz dr r
θ
r
dr
dθ
dθ
r
z
zr
r
r dr r
θ
r
r
从轴对称物体中取出图 示的单元体。 由于对称性， 并且环向体力分量为零。
以X轴为投影轴，列出平衡方程
F
x
0
整理后便得到x方向的平衡方程:
X
yz 同理可以得到y、z方向的 xz yz dz xz dz z 平衡方程 z yz yz dy yz y y y y dy xz y yx 则空间问题平衡方程如下： x xy yx y d y yx
求解上式得三个实根σ1，σ2，σ3，这即为P点的三 个主应力。 并可得与σ1对应的l1,m1,n1的关系 1 l1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
5.4
几何方程和物理方程
空间问题的位移分量为：u、v、w u v w x , y , z x y z w v u w v u yz , zx , xy y z z x x y 位移边界条件：u s u , vs v, ws w 物理条件： E 1
空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
§7-1 平衡微分方程
工程实际中，除经常碰到一些平面问题外，还会 碰到大量的空间问题，对空间问题，必须考虑三个方 向的尺度
分析空间问题，仍然要从三个方面考虑：a、静力 学方面 b、几何学方面 c、物理学方面
空间问题中未知量为： x、y、z、xy、xz、yz x、y、z、xy、xz、yz u、v、w
先从静力学方面考虑，导出空间问题的平衡微分方程 从物体内任一点P，取微小的平行六面体，它的六个面 垂直于坐标轴，棱边长分别为：
PA=dx， PB=dy， PC=dz
各面上的应力分量如图所示，体积力为fx、fy、fz
建立微单元的平衡微分方程：
Fx 0
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
Fy 0
y
y
xy
r
E
1
[
1 2
r ]
j
E
1
[
1 2
j ]
z
E
1
[ 1 2
z]
zr
2(1 E
)
zr
(7-20)
小结：
空间轴对称问题的基本未知量为： 应力分量：r、j、z、zr 应变分量：r、j、z、zr 位移分量：ur、uz 这10个未知量应满足2个平衡微分方程；4个几何 方程；4个物理方程；在边界上还要满足边界条件
§ 7-4 几何方程及物理方程
一、几何方程（参照平面问题几何方程）：
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xz
u z
w x
yz
v z
w y
位移在边界上满足位移边界条件：
§7-1 平衡微分方程
工程实际中，除经常碰到一些平面问题外，还会 碰到大量的空间问题，对空间问题，必须考虑三个方 向的尺度
分析空间问题，仍然要从三个方面考虑：a、静力 学方面 b、几何学方面 c、物理学方面
空间问题中未知量为： x、y、z、xy、xz、yz x、y、z、xy、xz、yz u、v、w
先从静力学方面考虑，导出空间问题的平衡微分方程 从物体内任一点P，取微小的平行六面体，它的六个面 垂直于坐标轴，棱边长分别为：
PA=dx， PB=dy， PC=dz
各面上的应力分量如图所示，体积力为fx、fy、fz
建立微单元的平衡微分方程：
Fx 0
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
Fy 0
y
y
xy
r
E
1
[
1 2
r ]
j
E
1
[
1 2
j ]
z
E
1
[ 1 2
z]
zr
2(1 E
)
zr
(7-20)
小结：
空间轴对称问题的基本未知量为： 应力分量：r、j、z、zr 应变分量：r、j、z、zr 位移分量：ur、uz 这10个未知量应满足2个平衡微分方程；4个几何 方程；4个物理方程；在边界上还要满足边界条件
§ 7-4 几何方程及物理方程
一、几何方程（参照平面问题几何方程）：
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xz
u z
w x
yz
v z
w y
位移在边界上满足位移边界条件：
第七章 空间问题的基本理论
物理方程
u
E 1 z , E 1 z z , E 2 1 z z E
15
7-5 轴对称问题的基本方程
体积应变
1 2 1 2 z z E E
10
7-4 几何方程及物理方程
空间问题的物理方程
1 x x y z , E 1 y y x z , E 1 z z x y , E 2 1 2 1 2 1 yz yz , xz zx , xy xy E E E
9
7-4 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程
u v w x , y , z x y z w v u w v u yz , zx , xy y z z x x y
体应变
x y z
u v w x y z
x
x y
Hale Waihona Puke 0x y
1
q
22
第七章 典型例题
2 11 q z E 1
2 11 q x y z E 1
由于没有摩擦力，因此剪应力分量都为零，所以应力分量 体应变为
第七章 空间问题的基本理论
目 录 §7-1 平衡微分方程
§7-2 物体内任一点的应力状态
§7-3 主应力 最大和最小应力
§7-4 几何方程和物理方程
§7-5 轴对称问题的基本方程
2
7-1 平衡微分方程
在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分 量、6个形变分量和3个位移分量，而且他们都是x,y,z的 函数
u
E 1 z , E 1 z z , E 2 1 z z E
15
7-5 轴对称问题的基本方程
体积应变
1 2 1 2 z z E E
10
7-4 几何方程及物理方程
空间问题的物理方程
1 x x y z , E 1 y y x z , E 1 z z x y , E 2 1 2 1 2 1 yz yz , xz zx , xy xy E E E
9
7-4 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程
u v w x , y , z x y z w v u w v u yz , zx , xy y z z x x y
体应变
x y z
u v w x y z
x
x y
Hale Waihona Puke 0x y
1
q
22
第七章 典型例题
2 11 q z E 1
2 11 q x y z E 1
由于没有摩擦力，因此剪应力分量都为零，所以应力分量 体应变为
第七章 空间问题的基本理论
目 录 §7-1 平衡微分方程
§7-2 物体内任一点的应力状态
§7-3 主应力 最大和最小应力
§7-4 几何方程和物理方程
§7-5 轴对称问题的基本方程
2
7-1 平衡微分方程
在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分 量、6个形变分量和3个位移分量，而且他们都是x,y,z的 函数
弹性力学-05空间问题的基本理论 第五章(1)
B
dz A
d
O x
P
z
y
r
dr
y
z
O
dz
r rz
r
C Z
zr
P
rz rz dr z dr r
r
Kr
r r dr r
A
d
rd
r
dr
Kr
(r+dr)d
x
r r dr r
F
r
0, （略去四阶以上小量）
r r dzdrd drdzrd r zr dzrdrd dzdrd z K r rddrdz 0
物理方程：
x c11 x c12 y c13 z c14 yz c15 zx c16 xy y c21 x c22 y c23 z c24 yz c25 zx c26 xy z c31 x c32 y c33 z c34 yz c35 zx c36 xy yz c41 x c42 y c43 z c44 yz c45 zx c46 xy zx c51 x c52 y c53 z c54 yz c55 zx c56 xy xy c61 x c62 y c63 z c64 yz c65 zx c66 xy
体积应变 e 、体积应力 Θ 不随体积而变。
用应变表示的物理方程：
E r e r e 2G r 1 1 2 E e e 2G 1 1 2 E z e z e 2G z 1 1 2
式中：E 为材料的弹性模量； 为泊松比。
7-空间问题的基本理论
yx
y
dy
B
dy
zx
z
zy
A
z
oy
x
2020/8/7
土木工程与力学学院 蒋一萱
8
§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
F 0
z
z z
dz
FF 00 C o
y
zx
yz yx
zx dz
z xy
xy x
x dx
Z xz
xzX
x xy
zy
Y
zy dz
z
x x
第七章 空间问题的基本理论
2020/8/7
土木工程与力学学院 蒋一萱
1
主要内容
§7.1 空间问题的一般理论与基本方程 §7.2 物体中任一点的应力状态 §7.3 空间问题的两种简化形式
2020/8/7
土木工程与力学学院 蒋一萱
2
❖ 为什么要研究空间三维弹性体？
—— 有工程的需要：对于复杂的工程问题，由于结构体的 形状复杂，受力也多种多样，因而有必要对三维的空间问 题予以研究。 —— 某些可看作平面问题的精细化求解：平面问题只是对 某些具有特殊几何与外部载荷特征的（如薄板受面内作用 力、柱形体受与轴向无关的载荷等）三维空间问题的简化 处理。
zx
T zx
w x
u z
T
;
2020/8/7
土木工程与力学学院 蒋一萱
13
§7.1 空间问题的一般理论与基本方程
为了导出刚体位移的表达式，可令各应变分量为零，即
x 0; y 0;
z 0;
xy 0; yz 0;
球对称问题
在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数。 R ， ， R ， ， ij ij 0 ，
CH 7 空间问题的基本理论
7.2 物体内任一点的应力状态
• 应力状态特征方程
• ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方 ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方 向。 • 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条 主应力和应力主轴方向取决于载荷、 件等，与坐标轴的选取无关。 件等，与坐标轴的选取无关。 • 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是 因此，特征方程的根是确定的， 不随坐标轴的改变而变化的。 不随坐标轴的改变而变化的。 分别称为应力张量的第一 第一、 • I1 、 I2 、 I3 分别称为应力张量的 第一 、 第二和第三 不变量。 不变量。
εy =
σx = λe +2Gεx ,σy = λe +2Gεy ,σz = λe +2Gεz τ yz = Gγ yz , τzx = Gγ zx, τxy = Gγ xy
X = lσx + m yx + nτzx τ Y = m y +nτzy +lτxy σ Z = nσz +lτxz +m yz τ
CH 7 空间问题的基本理论
l (σ x − σ ) + mτ yx + nτ zx = 0 lτ xy + m(σ y − σ ) + nτ zy = 0 lτ xz + mτ yz + n(σ z − σ ) = 0
7.3 主应力与应力主向
σ x −σ τ xy τ xz
σ y −σ τ yz
cos(N, x) = l, cos(N, y) = m cos(N, z) = n ,
设 面 C的 积 ∆S,则 角 B ,CPA APB 面 平 AB 面 为 三 形 PC , 的 积 1 分 为∆s, m s, n∆s。 四 体 体 为 V = ∆x∆y∆z 别 l ∆ 命 面 的 积 ∆ 3
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ij ij I
(7-5)
特征方程为
f det ij I 3 I12 I2 I3 0 (7-6)
其中I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、二、三不变 量，是与应力张量对应的行列式的一、二、三阶主子式
之和，即为
I1 x y z
I2
x xy
xy y y yz
(x xx)(y yy)(z zz)
其单位体积的体积改变也就是所谓体积应变为
(x xx)( y y y)(z zz) x yz
(1 x )(1 y )(1 z ) 1 x y z y z z x x y x yz
忽略二阶以上微量，则有
x y z xx yy zz 11 22 33 kk
此即为体积应变。
广义虎克定律
Lamè形式
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
yz
1
yz
,
zx
1
zx
,
xy
1
xy
(7-8)
写成张量形式则有
其中
ij
1
E
ij
yz z z zx
zx x
x xy xz I3 xy y yz
xz yz z
例题 已知物体某点的应力分量为x=50a，y=80a， z =-70a，xy=-20a，yz=60a，zx =0。试计算主应力值，
并求出主方向。
解：首先求出应力不变量为
I1 x y z 60a
x
x
yx
y
zx
z
X
0
xy
x
y
y
yz
z
Y
0
xz
yz
z
Z
0
x y z
(7-1) Nevier方程
以及
yx xy , xz zx , yz zy
§7.2 物体内任一点的应力状态
当平面ABC趋近P点 时，平面ABC上的应力就 成为该斜面上的应力。令 n的方向余弦为
n l, m, nT
n
pn2
2 n
X
2 n
Yn2
Zn2
2 n
(7-3)
以上各式用矩阵可以写成
X n x xy xz l Yn xy y yz m Zn xz yz z n
或者
pn ( ij )n
x
n l, m, n xy
xy y
xz l yz m
xz yz z n
n nT ( ij )n
(7-2a) (7-3a)
其中
x xy xz
ij xy y yz
xz
yz
z
称为一点处的应力张量(stress tensor)。它是对称于主 对角线的，即为对称张量。应力张量实质上是该点三
个互相垂直微面上应力分量关系总的特征。应力张量
是反映该点应力状态的特征力学量。
E
ij
x y z 1 2 3 kk
ij
1 0
i j i j
Kronecker-
(7-8)
Young-Poisson形式
x
E
1
1 2
x
y
E
1
1 2
y
z
E
1
1 2zΒιβλιοθήκη yzE21
yz , zx
E
21
zx , xy
E
21
xy
写成张量形式则有
相应的方向余弦为
l1 0.0474 l2 - 0.3140 l3 - 0.9483
m1 - 0.3350 , m2 0.8993 , m3 - 0.2810
n1
0.9410 n2
0.3044
n3
- 0.1478
§7.4 几何方程 物理方程
Geometrical equations & Physical equations
得斜面上的应力为
Xn
l x
m xy
n xz
Yn l xy m y n yz
Zn
l xz
m yz
n z
C
n
yx xy
x
y z
Zn
P yz X n
zy
xz
Yn zx
B
A
z
o
xy
(7-2)
若将斜面ABC上的应力按沿法线和切线方向分解，则 成为
n lX n mYn nZn l 2 x m2 y n2 z 2mn yz 2nl zx 2lm xy
（优选）空间问题的基本理论 纯黑
yy
z
zz
zx
zy
yx yz
xz
xz
xz
x
dx
xx
xx
x
xy
dx
xx
xy xy dx x yx
yz
yz
y
dy
yx
yy dy
yy
y
y
dy
xy
方程推导
图示单元体受力情况属于空间一般力系，由ΣX=0， ΣY=0， ΣZ=0， Σmx=0， Σmy=0， Σmz=0，可得
( )uk,ki ui,kk X i 0 (i 1,2,3)
I2
x xy
xy y y yz
yz z z zx
zx 9100a2 x
x xy xz I3 xy y yz 432000a3
xz yz z
3 60a2 9100a2 432000a3 0
得特征值为
1 91.361a,2 44.0728a,3 107.288a
其中
ij ij 2ij
(7-9)
x y z 1 2 3 kk
E , G E
(1 )(1 2 )
2(1 )
Lamè弹性常数
弹性空间问题位移解法
将Cauchy方程代入物理方程，得到用位移分量 表示的应力分量，而后用此应力分量代入Navier方 程即可。
( )( u),i 2ui Xi 0 (i 1,2,3)
x
u x
,y
v y
, z
w z
xy
u y
v x
,
(7-7)
yz
w y
v z
,
zx
u z
w x
Cauchy方程
记为张量形式则有
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
其中脚标中的逗号表示对坐标的微分。
(7-7)
体积应变(volume strain)
设有微小正平行六面体，起棱边长为x、y、z， 变形前体积为xyz，变形后体积成为
当上述斜面ABC是弹性体的边界面时， (7-2)则成 为弹性体的边界条件
l x l xy
m xy m y
n n
xz yz
X Y
(7-4)
l xz
m yz
n z
Z
§7.3 主应力、主方向的确定
应力张量
x xy xz
ij xy y yz
xz
yz
z
也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数 理论，它存在特征矩阵和特征方程，特征矩阵为