第七章 空间问题的基本理论

第七章 空间问题的基本理论

§7-1 平衡微分方程

图7-1

在物体内的任意一点P ，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于从标轴，而棱边的长度为dz PC dy PB dx PA ===,,，图7-1。一般而论，应力分量是位置坐标的函数。因此，作用在这六

面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。例如，作用在后面的正应力是x σ，由于坐标x 改变了dx 作用在前面的正应力应当是dx x

x

x ∂∂+

σσ，余类推。由于所取的六面体是微小的，因

而可以认为体力是均匀分布的。

首先，以连接六面体前后两中心的直线ab 为矩轴，列出力矩的平衡方程0∑=ab M ：

略去微量以后，得

zy

yz

τ

τ

=。

同样可以得出

yx xy xz zx τ

τττ==,

只是又一次证明了切应力的互等性。

其次，以x 轴为投影轴，列出投影的平衡方程∑=0

x

F ，得

.

0d d d d d d d )(d d d d )d (d d d d )d (=+-∂∂+

+

-∂∂+

+-∂∂+z y x f y

x y x dz z

x

z x z y y

z y z y x x x zx zx

zx

yx yx

yz

x x

x

τ

τ

τ

ττ

τσσσ

由其余2个平衡方程，∑=0y F 和∑=0z F ，可以得出与此相似的2个方程。将这3个方程约简以后，除以z y x d d d ，得

⎪⎪

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪

⎬⎫=+∂∂+

∂∂+

∂∂=+∂∂+

∂∂+

∂∂=+∂∂+

∂∂+

∂∂.0,0,0z

yz

xz

z

y xy

zy

y

x zx

yz

x

f y

x

z

f x z y f z

y x τ

τ

στ

τ

σττ

σ （7-1）

这就是空间问题的平衡微分方程。

§7-2 物体内任一点的应力状态

现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量

,,,z y x σσσyx xy xy zx zy yz ττττττ===,,为已知，试求经

过P 点的任一斜面上的应力。为此，在P 点附近取一个平面ABC ，图7-2。当四面体PABC 无限减小而趋于P 点，平面ABC 上的应力就成为该斜面上的应力。

n

命平面ABC 的外法线为n '，其方向余弦为

n z n m y n l x n ='='='),cos(,),cos(,),cos(。

设三角形ABC 面积为S d ，则三角形BPC ，CPA ，APB 的面积分别为S l d ，S m d ，S n d 。四面体PABC 的体积用V d 代表。三角形ABC 上的全应力p 在坐标轴上的投影用z y x p p p ,,代表。根据四面体的平衡条件∑=0x F ，得：

xy

zx yz

z

y

x

n lm nl mn n m l τττ

σ

σ

σ

σ2222

2

2

+++++=。（7-3）

2

2

2

2

2

n z y x n p p p στ-++=。 （7-4）

如果在S 面上作用面力，则面力和应力的关系式为：

⎪

⎭

⎪

⎬⎫

=++=++=++.)(,)(,)(z s yz xz z y s xy zy y x s zx

yx

x

f m l n f l n m f n m l ττσττστ

τ

σ

(在σs 上) （7-5）

其中s yz s x )(,,)(τσ 是应力分量的边界值。这就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系 。

§7-3 主应力 最大与最小的应力

设经过一点P 的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P 点的一个主应力，该斜面称为在P 点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为P 点的一个应力主向。

假设在P 点有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力

σ。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为

σσσn p m p l p z y x ===,,。

将式（7-2）代入，即得

⎪

⎭⎪

⎬⎫=++=++=++.,στ

τ

σ

στ

τσσ

ττ

σ

n m l n m l n m l n m l yz

xz

z

xy zy

y

zx yx x

（a ）

此外还有方向余弦的关系式

12

2

2

=++n m l

。 （b ）

如果将式（a ）与（b ）联立求解，能够得出n m l ,,,σ的一组解答，就得到P 点的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。用下述方法求解，比较方便。

将式（a ）改写为

⎪

⎭⎪

⎬⎫

=-++=+-+=++-.0)(,0)(,0)(n m l n m l n m l z yz xz zy y xy zx

yx

x

σστττσσττ

τ

σσ

(c)

这是n m l ,,的3个齐次线性方程。因为由式（b ）可见n m l ,,不能全等于零，所以这三个方程的系数的行列式式等于零，即

.0=---σ

στ

ττσ

στττσσ

z

yz

xz

zy y xy zx

yx

x

用式xy zx yz τττ,,代替yx xz zy τττ,,，将行列式展开，得σ

的三次

方程