杨辉三角中的“几何图形”

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研究性学习课题：杨辉三角

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杨辉三角在其他数学领域的应用研究
总结词
杨辉三角在组合数学、概率论、数论等领域都有广泛的应用，研究这些应用有助于深入理解相关数学领域的基本原理。
详细描述
杨辉三角是组合数学中的重要工具，它可以用来计算组合数、排列数等。此外，杨辉三角在概率论中也有应用，如计算概率的加法定理等。同时，杨辉三角在数论中也有应用，如计算质因数分解等。研究这些应用有助于深入理解相关数学领域的基本原理和应用
杨辉三角在计算机科学中的应用
总结词
杨辉三角在计算机科学中也有着广泛的应用，它为计算机算法设计和数据结构提供了重要的启示。
详细描述
杨辉三角的规律性和高效性使得它在计算机科学中有着广泛的应用。例如，利用杨辉三角可以设计高效的算法来计算组合数、排列数等，同时也可以利用杨辉三角来设计一些特殊的数据结构，如动态规划等。此外，杨辉三角在计算机图形学、加密算法等领域也
3
杨辉三角的数字排列方式具有对称性、规律性和高效性等特点，使得它在解决一些数学问题时具有独特的优势。
杨辉三角的性质和特点
杨辉三角的每一行数字都是上一行相邻两个数字之和，这种递推关系使得杨辉三角具有高
度的自相似性。
杨辉三角的数字排列具有规律性，如每一行的数字个数、对称性等，这些规律使得杨辉三角在解决数学问题时具有高效
杨辉三角在数学归纳法中的应用
总结词
数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的数学方法，而杨辉三角为其提供了一种有效的工具。
详细描述
在数学归纳法的应用过程中，杨辉三角可以提供组合数的一些性质和关系，从而简化了归纳法的证明过程。例如，利用杨辉三角可以证明组合数的递推公式，进而证明与自然数有关的命题。

2018年中考数学真题赏析「杨辉三角」

2018年中考数学真题赏析「杨辉三角」1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．（2018年孝感中考数学第15题）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是．【答案】﹣24．【分析】解：由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=(n(n+1))/2，∴a10=(10×11)/2=55、a11=(11×12)/2=66，则a4+a11﹣2a10+10=10+66﹣2×55+10=﹣24，故答案为：﹣24．（2018年宜昌中考数学第8题）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6【答案】B．【分析】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，答案为B．（2018年德州中考数学第11题）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为A．84 B．56 C．35 D．28【答案】B．【分析】解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；（a+b）5的第四项系数为10=6+4；（a+b）6的第四项系数为20=10+10；（a+b）7的第四项系数为35=15+20；∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．答案为B．。

杨辉三角的基本性质

一杨辉三角的基本性质我们先来考察一下杨辉三角里面数字排列的规则. 一般的杨辉三角是如下的图形：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1………………………………………第 n 行 1，1,,,,,,2111111•••C ••••C ••C •••C n n r n r n n ------ 第n +1行 1,,,,,,,1121•••C ••••C •••C •C •n n r n n n -…………………………………………………这里，记号r n C 是用来表示下面的数：)!(!!!)1()1(r n r •n •r •r n n n C r n -=+--= ，而记号n ！（同样r ！和（n -r ）！），我们知道它是代表从1到n 的连乘积n （n -1）（n -2）…3·2·1，称为n 的阶乘. 学过排列组合的读者还可以知道，r n C 也就是表示从n 件东西中取出r 件东西的组合数.从上面的图形中我们能看出什么呢？就已经写出的一些数目字来看，很容易发现这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加. 例如2=1+1，3=1+2，4=1+3，6=3+3，…. 其实杨辉三角正就是按照这个规则作成的. 在一般的情形，因为,)!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111•C •r n r n ••r n r r n r n •r n r n r n r n C C r n r n r n =-=-+--=---+---=+--- 这说明了，上图中的任一数r n C 等于它肩上的两数11--r n C 和r n C 1-的和.为了方便起见，我们把本来没有意义的记号0n C 和n n C 1-令它们分别等于1和0，这样就可以把刚才得到的结果写成关系式：,),,2,1(,111••n •••••r ••C C C r n r n r n ==+--- 而称它为杨辉恒等式. 这是杨辉三角最基本的性质.对于杨辉三角的构成，还可以有一种有趣的看法.如图1，在一块倾斜的木板上钉上一些正六角形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方框子. 把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面，以后，落到第二层中间一个六角板的左边或右边的两个竖直通道里去.再以后，它又会落到下一层的三个竖直通道之一里面去. 这里，如果要弹子落到最左边的通道里，那末它一定要是从上一层的左边通道里落下来的才行（1个可能情形）；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可（1个可能情形）；至于要它落在中间的通道里，那就无论它是从上一层的左边或右边落下来的都成（2个可能情形）。

第六章数学探究杨辉三角的性质与应用

他家和学校相隔了好几个街道,如图所示.
在放学回家的过程中,小明这样想:我肯定不会走回
头路的,所以我只能向右和向上走,一共应该向右走
5条街道,向上走5条街道.
小刚先假设小明家和学校只相隔一个街区,图 (1)中
顶点处的数字“1”表示从这个顶点到达小明家只有
一条路线.小刚再假设小明家和学校只相隔四个街区,
形,其构造方法为第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3个数(不足3
2
5
个数的,缺少的数计为0)之和,第k行共有2k+1个数.若在(1+ax)(x +x+1) 的展开
8
式中,x 项的系数为75,则实数a的值为
2
.
4.如图所示的杨辉三角最早出现在我国南宋数学家杨
辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中,它有很
(4)已知(2-
2
3
2019
2
2
2
2
)n(n≥2,n∈N*)的展开式中x的系数为f(n),则
+
+
+…+
等于
(2) (3) (4)
(2020)
( B )
2019
A.
110
2019
B.
505
1009
C.
1010
1009
D.
505
1.目的
通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,体会其中的数学文化.
数学探究杨辉三角的性质与应用
本章总结提升
(2) 540的不同正约数共有 24
个.
(3)用5种不同颜色(颜色可以不全用完)给三棱柱ABC-DEF的六个顶点涂色,要
求每个点涂1种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方案的种

高中数学知识点：杨辉三角问题解法(动画版)

高中数学知识点：杨辉三角问题解法(动画版)在高中数学知识点中，杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。

下面让我们更深入的了解一下高中数学知识点之杨辉三角的相关知识吧。

一、杨辉三角的性质前提：端点的数为1.1.每个数等于它上方两数之和。

2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3.第n行的数字有n项。

4.第n行数字和为2n-1。

5.第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。

7.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。

可用此性质写出整个杨辉三角。

即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。

即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

8.(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

9.将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

10.将各行数字相排列，可得11的n-1(n为行数)次方：……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字”1”放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位......，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。

以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为25937424601=1110。

二、杨辉三角的解法1.解题法一那幺怎样才能显示成金字塔形状呢？问题在于如何将每行前的空格数与行。

杨辉三角

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

排列前10行：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11 行：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1第12 行：1，11，55，165，330，462，462，330，165，55，11，1第13行：1，12，66，220，495，792，924，792，495，220，66，12，1第14行：1，13，78，286，715，1287，1716，1716，1287，715，286，78，13，12性质前提：端点的数为1.1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行数字和为。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（组合数性质性质6的公式表述之一）6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。

可用此性质写出整个杨辉三角。

即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。

（公式见右图）7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同杨辉三角的组合数表示元素中取m-1个元素的组合数。

（见右图）组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

[1]9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

中考复习杨辉三角ppt课件

C．5 2
D． 51
1 23 256 7 2 2 3 10 ………
9
4．【2015广西】将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从左到右第n个数，如（3，2）表示正整数5，（4， 3）表示正整数9，则（100，16）表示的正整数是 4966 ．
10
5．(2018·枣庄)将从1开始的连续自然数按如下规律排列：
所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中
取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，;a11﹣2a10+10的值是
．
8
3．(2018·十堰)如图，是按一定规律排成的三
角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左
至右第5个数是 ( B )
A．2 10
B． 41
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
Cr r
Cr r1
Cr r2
Cr n1
C r1 (n n
r)
5
探究3
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28
7
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图

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解题篇创新题追根溯源
高二数学2019年5月剧劇•那圧代扬辉三毎G的“几何图形”
■陕西省武功县教育局教研室杨辉，是我国南宋时期一位杰出的数学
家。

在他所著的《详解九章算法》一书中，画
了一张表示二项式展开后的系数构成的三角
图形，现在简称为“杨辉三角”，它是数学史上
的一大重要研究成果。

一般地.杨辉三角是指如下的图形：李歆
解：因为C；=1,C；=3,C[=1O,所以此
“三角形”中第1行、第3行、第5行最中间的
数依次应是杨辉三角中的第2行第1个数、
第4行第2个数、第6行第3个数，由此可
知，此“三角形”中的第7行最中间的数应是
杨辉三角中的第8行第4个数，即为©= 11
121
1331
14641
15101051
1615201561
第”项l.C：-!,C4，…，©二；，C：T,…，C：：］,1第n+1项 1.C：,&,•••,C：7,（：：,•••,cr1,!
图1
从上面的图形中，很容易发现，这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加。

例如.2= 1+1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,等等。

在一般情形下，若令C°=1,C：_,=O,则有C㈡+C；_1=C；(r=l,2,—,n).这个等式被称为杨辉恒等式，它是杨辉三角最基本的性质。

当我们把杨辉三角中的上下左右相连的部分数看成一个独立的整体，那么就会发现一些非常有趣的“几何图形”，从而挖掘出杨辉三角“形”的秘密。

一、杨辉三角中的“三角形”
伸I/在图2所示的“三角形”中.第7
行最中间的数是____O
1第1行
12第2行
133第3行
1464第4行
1510105第5行
点评：求解此题关键有两点：一是找岀第7行是杨辉三角中的第几行，二是找出最中间的数是杨挥三角中的第几行的第几个数。

只有找出这两个结果，才能顺利解题。

二、杨辉三角中的“梯形”
15*12在图3所示的“梯形'‘中，第8行的第2个数是_____o
33第1行
464第2行
510105第3行
61520156第4行
图3
解：因为C；=3,所以此“梯形”中第1行的第2个数应是杨辉三角中的第1+3=4行的第3个数，由此可知，此“梯形”中的第8行的第2个数应是杨辉三角中的第8+3=11行的第3个数，即为Cf°=捫|y=45。

点评：由此“梯形''中第1行的第2个数入手，找出它在杨辉三角中的具体位置，是求解此题的关键。

三、杨辉三角中的"平行四边形”
15>1?在图4所示的“平行四边形”中，第6行的第1个数是_____o
4641第1行
101051第2行
201561第3行
352171第4行
图2图*
33
从尿诫■解题篇创新题追根溯源T今虫愈圧U高二数学2019年5月
解：因为C：=4,C〔=10,Cg=20,C?= 35,所以此“平行四边形”中的前四行的第1个数依次应是杨辉三角中的第5行的第2个数、第6行的第3个数、第7行的第4个数、第8行的第5个数，由此可知，此“平行四边形”中的第6行的第1个数应是杨辉三角中
9I
的第10行的第7个数，即&=話珂=84。

点评：如果从第2行起，移动每一个数，并将它们与第1行的各个数对齐，那么此“平行四边形”就变成了“矩形”，这样一变，图中的规律便变得隐蔽起来，从而题目的难度将会增加。

四、杨辉三角中的“菱形”
捌U在图5所示的菱形中，第（5）个“菱形”是
1234 123364105 361015 (1)（2）（3）(4)
图5
解：由前4个“菱形”可知，第（5）个“菱形”最上面的数应为5,第2行的两个数应为15,6,最下面的数应为15+6=21。

5
所以，第（5）个“菱形”是：156
21
点评：此题给出的前4个“菱形"，具有明显的规律性：（1）每个“菱形”的第1行是按顺序排列的自然数；（2）每个“菱形”右上斜边是连续的两个数；（3）从第2个“菱形''开始，后面毎1个“菱形”第2行的第1个数是前1个“菱形"最下面的数。

五、杨辉三角中的“六边形”
伸1F在图6所示的“六边形”中，第（4）个“六边形”是——O
11331010 121464152015 3310103535
(1)（2）（3）
图6角中找出这两个数的位置以及下面两行相邻的数，即得此“六边形”中第（4）个“六边形”是：
3535
567056
126126
点评：按照题中给出的前3个“六边形"，写出第（4）个“六边形”的第1行很容易，关键是如何找出第2行的第1个（或第3个）数。

对此可以利用“还原法”和“补数法''完成，即将题中给出的3个“六边形”先还原为杨辉三角，然后补上所需要的数，即可得到答案。

六.“倒立”的杨辉三角
捌6图7是“倒立”的杨辉三角，则第（4）个“倒立”的杨辉三角最下面的数是_____o 111211331
233464
61010
20
(1)（2）（3）
图7
解：由前3个图示可知，第4个“倒立”的杨辉三角的第1行的五个数应为1,4,6,4,1,由此可知第2行的四个数应为5,10,10,5,第3行的三个数应为15,20,15,第4行的两个数应为35,35,第5行的一个数应为70,所以第（4）个“倒立”的杨辉三角最下面的数是70。

点评：如果由前3个图示给出的最下面的数2,6,20,去猜测或者求解第（4）个“倒立''的杨辉三角中最下面的数，那么难度会很大，但是由上而下去看，则规律明显，虽然要一行一行去推出每个数，却能稳操胜券。

七、“侧放”的杨辉三角
捌7图8是“侧放”的杨辉三角，则第（4）个“侧放”的杨辉三角最前面的数是_____。

2070
126
31035126 14151556
152184
628
36
(1)（2）（3）
解：由前3个“六边形”可知，第4个“六边形”第1行的两个数应为35,35,在杨辉三
图8
解：由给出的图示可知，第1个、第2个、
34
解题篇创新题追根溯源
髙二数学2019年5月
中孝生皋浬化
第3个“侧放”的杨辉三角最前面的数依次是1,4,15,因为C；=1,C：=4,&=15,所以它们应是杨辉三角第3行的第1个数、第5行的第2个数、第7行的第3个数，由此可知，第（4）个“侧放”的杨辉三角最前面的数应是杨辉三角第9行的第4个数，即为C；=
变式2：图11是“倒立”的杨辉三角，则第（4）个“倒立”的杨辉三角最下面的数是_____。

21331464 34651010
101520
35
(1)（2）（3）
点评：一般地，按照此题“侧放”的杨挥三角，第（n）个最前面的数是=
（2n）!
5—1）!5+1）!°
八、“X型”的杨辉三角
例0图9是“X型”的杨辉三角，则第（4）个“X型”的杨辉三角最中间的数是____。

图11
杨辉三角是我国古代数学传承下来的珍贵文化，它形中有数，数中有形，看似简单平凡，却内涵十分丰富，是数与形结合的最佳产物。

当我们走进杨辉三角，对它的内部结构和形状进一步探究时，就会挖掘出许多有价值的智力资源，从而不断提升我们的解题智慧O
（责任编辑赵平）
1331464 51010
12461520
31035 4615205670
21353584126126
120210252210
(1)（2）（3）
图9
解：由给出的图示可知，第（1）个、第（2〉个、第（3）个“X型''的杨辉三角最中间的数依
次是3,10,35,因为C；=3, C：=10,C弓=35,
所以它们应是杨辉三角第4行的第2个数、
第6行的第3个数、第8行的第4个数，由此
可知，第（4）个“X型”的杨辉三角最中间的数
应是杨辉三角中第10行的第5个数.即为C；
点评：“X型''的杨辉三角，可以看成是由
一个杨辉三角中的“三角形'‘与另一个“倒立”
的杨辉三角合并得到的，因此，此题可以分解
为下列两个子问题。

变式1：在图10所示的“三角形”中，第（4）个“三角形”最上面的数是_____。

31035 615205670
21353584126126
120210252210 (1)（2）（3）
图10（上接第32页）
点评：这种面的涂邑问题可转化为区域涂色问题，再利用区域的涂色方法进行求解。

练习3：直线jc=m,y=jc将圆面x2y2 <4分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则加的取值范围是()o
A.(—72,^2)
B.(—2,2)
C.(—2,—Q)U(Q,2)
D.(—oo,—2)U(2,+oo)
解：如图6,①当m
W—2或时，圆面
/+被分成2块，
涂色方法有20种；②当
—2V/H V—y[2或祝
V2时，圆面x2
被分成3块，涂色方法有
60种；③当一时，圆面d+b<4被分成4块，涂色方法有120种。

所以"的取值范围是（一>/2,72）,故选A。

（责任编辑赵平）
35。