第六讲微分及洛必达法则
(整理)第六节 洛必达法则
第一节洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题一. 微分学中值定理[拉格朗日中值定理]如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
[ 罗尔定理]若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理[柯西中值定理]如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c ，使成立。
在求函数的极限时，常会遇到两个函数)(x f 、)(x F 都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限)()(limx F x f 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为00型或∞∞型。
例如，xx x sin lim 0→就是00型的未定式；而极限x x x ln lim +∞→就是∞∞型的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、00型未定式定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x →-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1limx x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解 该极限属于“0”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''． 例3 计算极限33221216lim 248x x x x x x →-+--+．解 由洛必达法则，得33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-． 例4 计算极限arctan 2lim 1x xxπ→+∞-．解 arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2211lim 1x x x →+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+． 二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例5 计算极限ln lim(0)x xx αα→+∞>．解 此极限满足洛必达法则，于是得11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααααα-→+∞→+∞→+∞===． 例6 计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．例7 计算极限20tan lim sin x x xx x →-．解 20tan lim sin x x x x x →-30tan limx x xx →-=（利用等价无穷小量代换sin x x ） 22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim(3333x x x x x x x x x →→→-====． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）πππ--→x x x )sin(lim； （2）x xx 2tan 3tan lim 0→；（3）)0(ln lim >+∞→n xxn x ； （4）为常数）、n m x x n n m m x ,0(lim ≠--→αααα； （5）20)1ln(lim xx x +→； （6）x arc x x cot )11ln(lim ++∞→； （7）xx xe e x x x sin 2lim 0----→； （8）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→．4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于00型或∞∞型的极限. ②如果(x )g )( lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则.③如果(x )g )( lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x ))( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解.第二节函数的极值 一、函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. 判定方法[定理] 设函数()y f x =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调增加； （２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调减少. 证明 （1）由于函数)(x f 满足拉格朗日中值定理条件，故在],[b a 上任取两点21,x x （不妨设21x x <），必有),,(21x x ∈ξ使))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ如果0)(>'x f ，必有0)(>'ξf ，于是0)()(12>-x f x f ，即 ).()(21x f x f < 这表明函数()y f x =在],[b a 上单调增加.同理可证，如果0)(<'x f ，函数()y f x =在],[b a 上单调减少.注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间],[b a 若改为开区间),(b a 或无限区间，该定理结论同样成立． （2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数3x y =的导数23x y ='，当0=x 时，.0='y 但它在),(+∞-∞内是单调增加的，如图所示．(图4-2)图4-2[例1]讨论函数ln y x =的单调性. 解 ln y x =的定义域为(0,)+∞. 因为10[(0,)]y x x'=>∈+∞，所以ln y x =在其定义域(0,)+∞内单调增加. [ 例2]：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(－∞,＋∞) 因为：，所以可以判出：当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； 当x ＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。
3.1微分中值定理与洛必达法则
二、洛必达法则：
1、未定式：在求函数极限 lim f (x) 时，我们会遇到 g(x)
lim f (x) 0 （或为 ）、 limg(x) 0 （或为 ），
这时由于 lim f (x) 可能存在也可能不存在，我们将 g(x)
这种“ 0 ”型或“ ”型成为未定式.
0
二、洛必达法则：
设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件：
3.1微分中值定理与罗必塔法则 一. 微分中值定理
1.罗尔中值定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ;
(3) f (a) f (b) ,
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
y y f (x)
A
B
Oa
bx
x x
x
x
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
即 f (x) 0 至少有三个实根.
f (x) 是四次多项式, f (x) 是三次多项式,
f (x) 0 至多有三个实根.
综上所述, f (x) 0 仅有三个实根 , 分别在 (a, b), (b, c), (c, d)中.
例2. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
如何利用罗尔定理 来证明？
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
4.1 微分中值定理及洛必塔法则
练习二 下列函数在指定的区间上是否满 足拉格朗日定理的条件？如满足，就求出定理 足拉格朗日定理的条件？如满足， 中的 ξ . 3 3 ξ =± (1) f ( x ) = 2 x , [ − 1,1] 3
(2) f ( x ) = arctan x, [0,1]
3 2
ξ=
4
π
−1
(3) f ( x ) = x − 5 x +x − 2, [ − 1,0]
练习三
利用洛必达法则求下列极限
(1) (2) (3) (4)
(1 + x )α − 1 lim (α 为任意实数) = α x →0 x ln x lim 2 = ∞ x →1 ( x − 1) x − sin x 1 lim = 3 x →0 x 6 2 x3 − 6 x + 4 lim 3 =6 2 x →1 x − 2 x + x
f ′( x) = A( 或 ∞) . (3) lim x → x g ′( x )
0
f ( x) f ′( x) = lim = A( 或 ∞)． 则 lim x→ x g ( x) x → x g ′( x )
0 0
例4 解
ln cot x 求 xlim ． →0 + ln x
当 x → 0+ 时，有 ln cot x → ∞ 和 ∞ 型未定式. ln x → −∞ ，这是 型未定式.由罗必达法 ∞ 则 1 tanx ⋅ (− 2 ) ln cot x x sin x = − lim = lim lim x →0 1 x →0 + cos x sin x x →0 + ln x x 2x = − lim = −1 + x → 0 sin 2 x
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。
设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。
因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。
它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。
3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。
设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。
进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。
例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。
3.2 洛必达法则
()
()
+ cos
例如: 求 lim
→∞ − cos
∞
∞
洛必达法则失效
解
+ cos
1 − sin
lim
≠ lim
→∞ − cos
→∞ 1 + sin
极限不存在
cos
1+
= 1. 注意洛必达法则的使用条件
事实上 原式 = lim
0
若 lim ′
仍属 型 , 且 ′ (), ′ ()满足定理1条件,
()
0
()
′ ()
″ ()
则 lim
= lim ′
= lim ″
.
()
()
()
并且可以以此类推.
第二节 洛必达法则
第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用
tan
例1 求 lim
e
e
e
+1
∵ lim = lim = 0,
→+∞ e
→+∞ e
∴ lim = 0.
→+∞ e
第三章 微分中值定理与导数的应用
注
ln
(1) lim = 0 ( > 0)和 lim = 0 ( > 0, > 0)的结果表明,
2
1 + = lim
= 1.
2
1
→+∞ 1 +
− 2
π
− arctan
2
思考： 如何求 lim
(为正整数) ?
洛必达法则的内容
洛必达法则
一、洛必达法则的基本形式
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
其基本形式为：如果函数f(x)和g(x)满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内可导；
2. g'(x)不等于0；
3. 存在一个实数点b，使得f(b)=0；
4. 存在一个实数点c，使得g(c)=0。
那么，当x趋近于a时，f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
二、洛必达法则的推导过程
洛必达法则的推导过程涉及到极限、导数和微分的知识。
其证明过程为：根据泰勒公式，f(x)和g(x)都可以展开为泰勒级数，然后通过比较系数，可以证明f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
三、洛必达法则的应用范围
洛必达法则可以应用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
具体来说，当分母或分子为无穷大时，可以通过求导数的方法来解决极限问题。
此外，洛必达法则还可以应用于一些其他类型的极限问题，例如求定积分、不定积分等。
四、洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是微积分中的一个重要定理，但是它也存在一些局限性。
首先，洛必达法则只适用于0/0或无穷/无穷的极限问题，对于其他类型的极限问题无法应用。
其次，在使用洛必达法则时需要注意满足其前提条件，否则可能导致错误的结果。
此外，洛必达法则也无法应用于一些复杂的极限问题，例如涉及到多个变量或多个函数的极限问题。
因此，在使用洛必达法则时需要结合其他方法来解决复杂的极限问题。
洛必达法则的证明方法
洛必达法则的证明方法洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中经典的一个公式，常用于求解极限问题。
洛必达法则的精髓是通过对于分子和分母同时求导数，以得到更简单的极限值。
本文将详细阐述洛必达法则的证明方法，希望能帮助大家更好地理解和使用它。
一、洛必达法则的基本形式设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x=a$ 处两侧连续，且 $g'(x)\neq 0$，则有$$ \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$当两个极限值都存在或都为 $\infty$ 或都为 $-\infty$ 时，上式成立。
二、洛必达法则的应用洛必达法则可以解决许多涉及无穷小量的极限问题。
我们可以采用以下的一般步骤：1. 将极限表达式化为 $\dfrac{0}{0}$ 或$\dfrac{\infty}{\infty}$ 的形式。
2. 将分子和分母同时求导数。
3. 计算所得导数的极限值。
如果存在，则该极限值即为原极限的值。
三、洛必达法则的证明方法洛必达法则的证明可以分为以下三个步骤：1. 构造函数 $h(x)=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$2. 将 $h(x)$ 在 $x=a$ 处进行泰勒展开，得到$h(x)=\frac{(x-a)f'(a)+(x-a)r_1(x)}{(x-a)g'(a)+(x-a)r_2(x)}$其中 $r_1(x)$ 和 $r_2(x)$ 为当 $x \to a$ 时 $O((x-a)^2)$ 级别的无穷小量。
3. 对于分子和分母进行合并，得到 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}$当 $x \to a$ 时，$(x-a)r_1(x)$ 和 $(x-a)r_2(x)$ 均趋于零，因此$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$$因此，洛必达法则得证。
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析龚睿微分中值定理概述微分中值定理充当了沟通函数与导数之间的联系纽带，可以用来计算，判定和证明等。
在应用过程中比较灵活。
但是微分中值定理同时存在理论性较强，内容抽象等特点，所以在学习过程中会难于理解和应用。
微分中值定理，是研究函数的有力工具，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。
关于微分中值定理的证明费马引理在证明微分中值定理前，我们首先引进费马引理，对于费马定理通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。
定义：函数f（x）在点ξ的某邻域U（ξ）内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x ∈U（ξ），都有f（x）＜=f（ξ）（或f（x）＞=f（x）），那么f’（ξ）=0。
证明：设f（x）在ξ处最大，故不论Δx是正数还是负数，我们总会得到：之后我们假设Δx＞0，那么可以得到：因此，通过极限的保号性我们可以得到：1）而当时，由此可以得到：2）由（1），（2）两式及f'(ξ)存在知，那么一定会存在：证明f（x）在ξ处最小的情况与上面的相似。
罗尔定理定义：如果R上的函数f（x）满足以下条件：1）在闭区间[a,b]上连续，2）在开区间（a,b）内可导，3）f（a）=f（b），则至少存在一个ξ∈（a,b），使得f’（ξ）=0。
证明：因为函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且f（a）=f（b）。
所以存在最大值与最小值，不妨设为M与m，分两种情况讨论：（1）M=m，则函数f（x）在[a,b]上必为常函数，则恒有（2）若M＞m，不妨设，由可导条件知，，，又由极限存在定理知左右极限均为0，则。
综上所述如果R上的函数f（x）满足以下条件：拉格朗日中值定理回到家，我身上的衣服都干了，在家院前我仰头看着刚刚下过太阳雨的田野远处，看到一条圆弧形的彩虹，晶亮地横过天际，天空中干净清朗，没有一丝杂质。
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f ( ) 0.
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2、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 即 使
f ( )
f (b) f (a ) . ba
f (b) f (a)=f (（ ) b a).
x
e 1 lim x 0 2 x
x
3. 0 ,1 , 型(指数型未定式)
0 0
求法:
0 取对数 1 0 0
0
x x 0
x . 例10 求 lim
( 00 )
则 ln y x ln x
1 x lim x 0 1 2 x
解 设y x
当x 时, 该法则仍然成立 .
f ( x) f ( x ) lim lim . x F ( x ) x F ( x )
当x a , x 时的未定式 , 也有相应的洛必达法则 .
例1 解
tan x 求 lim . x 0 x
0 ( ) 0
(tan x ) sec2 x 1. 原式 lim lim x 0 x 0 ( x ) 1
2 2
6 cos 6 x 3. lim x 2 cos 2 x
2
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
1. 0 型
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 2 x 求 lim x e . ( 0 ) 例7
0 ( ) 0
x3 3 x 2 例2 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1
2
3x 3 6 x 3 解 原式 lim 2 lim . x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2
例3 求 lim 2
x
arctan x 1 x .
解
13 x 13 x y cos x (3e ) e ( sin x)
dy e
13 x
(3cos x sin x)dx.
例6. 设 求
由方程
确定,
解: 方程两边求导,
得
3 x 2 3 y 2 y 3cos3x 6 y 0
当 x 0 时 y 0,由上式得 例7. 已知
求
dy
x 0
1 dx 2
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y
二、中值定理 1、罗尔（ Rolle ）定理 满足:
y f ( x)
o
a
b x
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点 使
tan x 0 , ( ) 例如, lim x 0 0 x
tan x lim , () x tan 3x 2
定理 (洛必达法则）设 (1) 当 x a时, 函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在 且 F ( x) 0; f ( x) (3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x) 那末 lim lim . x a F ( x) x a F ( x )
x
ln x lim ln y lim x ln x lim x 0 x 0 x 0 1 x
0
原式 e 1.
0
例11
1 求 lim x 0 x
tan x
tan x
( )
0
1 设 y 解 x 取对数得 ln y tan x ln x ln x lim tan x ln x lim x 0 cot x x 0
tan x 1 2 sec x tan x 1 lim . lim x 0 3 3 x 0 x 6x
2
2. 型
求法:
例8 解
1 1 求 lim( ). x 0 sin x x
0 或 0
变形
()
1 1 例9 求 lim( x ). x 0 x e 1
(3, 4) 上.
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三、洛必达法则
0 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
定义
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f ( x) 与 F ( x) 都趋于零或都趋于无穷大，那末 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在．通 xa F ( x) ( x ) 0 常把这种极限称为 或 型未定式. 0
3x 2 x
0.24.
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx, 即dx x.
dy f ( x0 )dx.
函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)dx.
dy f ( x ). dx
x
e e lim . 解 原式 lim x 2 x 2 x
x
x
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解
tan x x 求 lim 2 . x 0 x tan x
2 sec x 1 tan x x lim 原式 lim 3 x 0 x 0 3 x2 x
在区间 I 上满足
推论: 若函数
则
在 I 上必为常数.
例8. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
1 arctan x arctan ( x 0) x 2
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上成立.
证:
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x 例9. 证明不等式 1 x ln(1 x) x ( x 0).
0 ( ) 0
1 2 2 x 解 原式 lim 1 x lim 1. 2 x 1 x 1 x 2 x ln sin ax ( ) . 例4 求 lim x 0 ln sin bx
a cos ax sin bx a sin bx 解 原式 lim lim x 0 b cos bx sin ax b x 0 sin ax
1 2 sin x x lim lim 0 2 x 0 csc x x 0 x
原式 lim y lim e
x 0
x 0
ln y
e
x0
lim ln y
e 1
0
注意：洛必达法则的使用条件．
x cos x 例12 求 lim . x x
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
例2.求
x
d(arctan e )
例3. 解:
求
y
1 1 ex
2
2
(1 e )
x2
1 1 ex
e
x2
x2
( x )
2
1 1 e
x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e 2x
dy ydx
2 xe
x2 x
2
1 e
即
d y A x
即
在点 x0 可微的充要条件是
dy f ( x0 )x
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例1
求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x
dy
x2 x 0.02
3x x.
2
x2 x 0.02
证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
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思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 _____ 4 .
方程
有
3
(2, 3) , (1, 2) , 个根 , 它们分别在区间
解 原式 lim e 1 x x 0 x(e x 1)
x
x sin x 1 cos x sin x 原式 lim lim lim 0. x 0 x sin x x 0 2x x 0 2
e lim x 0 2
x
e 1 x lim 2 x 0 x 1 2
dx
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例4
设 y tan (1 2 x ), 求dy.
2 2
解
y 8x tan(1 2x )sec (1 2x ),
2 2 2
dy 8x tan(1 2x2 )sec2 (1 2x2 )dx
1 3 x 设 y e cos x, 求dy. 例5
第二章 第六讲 函数的微分、洛必达法则
一、微分的定义及求法
二、中值定理
三、洛必达法则
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一、微分的概念
在点 x0 的增量可表示为 A x o(x) ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x) 在点 可微, 而 A x 称为 定义: 若函数