2.3 二进制运算规则
从多个角度认识和分析一下二进制数 (一)
从多个角度认识和分析一下二进制数（一）近几年，山东省高考基本能力测试中，多次出现了与二进制有关联的试题，为此，有必要与同学们共享一下有关二进制方面的认识与技法。
莱布尼兹与二进制的发明：二进制的发明人是德国著名的数学家和哲学家莱布尼兹（1646～1716），二进制对现代计算机系统有着重要意义，为了加快研制计算机的进程，莱布尼兹在法国巴黎定居4年，所以有不少人错误认为他是法国人。
莱布尼兹与计算机莱布尼兹对帕斯卡的加法机很感兴趣。
于是，他也开始了对计算机的研究。
1672年1月，莱布尼兹搞出了一个木制的机器模型，向英国皇家学会会员们做了演示。
但这个模型只能说明原理，不能正常运行。
此后，为了加快研制计算机的进程，莱布尼兹在巴黎定居4年。
此期间，他与一位著名钟表匠奥利韦合作，他对奥利韦作了一些机器制作的简单说明，制造工作就全部由这位钟表匠独自去完成。
1674年，最后定型的那台机器，就是由奥利韦一人装配而成的。
莱布尼兹的这台乘法机长约1米，宽30厘米，高25厘米。
它由不动的计数器和可动的定位机构两部分组成。
整个机器由一套齿轮系统来传动，它的重要部件是阶梯形轴，便于实现简单的乘除运算。
莱布尼兹设计的样机，先后在巴黎，伦敦展出。
由于他在计算设备上的出色成就，被选为英国皇家学会会员。
1700年，他被选为巴黎科学院院士。
同学们都知道，第一台计算机是1946年在美国宾西法尼亚大学诞生，起名“埃尼阿克”，但从上述材料，我们应明白这样一个道理：历史上任何一项重大科学技术发明都是无数人长期探索的结果，并不是一个神人一夜之间就能够梦出来的。
二进制与中国上个世纪八十年代在大学数学系读书期间，给我们讲《数学史》的老师曾说：莱布尼兹认为中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想，他是从研究中国的八卦受到启发才发明了二进制数，当时觉得真是令人振奋，我们的老祖宗能耐竞这么大。
而当代的许多科学家认为易经中并不含有复杂的二进制思想，可是这本中国古籍《易经》中的一些基本思想和二进制在很大程度上仍然有着千丝万缕的联系。
《大学计算机基础与计算思维》课后习题参考答案.doc
《大学计算机基础与计算思维》课后习题参考答案第1章计算、计算机与计算思维............................. 第2章数据的计算基础计算机硬件系统第4章操作系统基础 (11)第5章算法与数据结构 (13)第6章程序设计及软件工程基础 (17)第7章数据库技术 (19)第8章计算机网络 (22)第9章信息安全与职业道德 (24)第10章计算软件第11章办公软件Office 2010算机科学与技术学院计算机基础教学部28 292015年9月第1章计算、计算机与计算思维1.1举例说明可计算性和计算复杂性的概念。
答：对于给定的一个输入，如果计算机器能在有限的步骤内给出答案，这个问题就是可计算的。
数值计算、能够转化为数值计算的非数值问题（如语咅、图形、图像等）都是可计算的。
汁算复杂性从数学上提出计算问题难度大小的模型，判断哪些问题的讣算是简单的，哪些是困难的，研究计算过程屮时间和空间等资源的耗费情况，从而寻求更为优越的求解复杂问题的有效规则，例如著名的汉诺塔问题。
1.2列举3种电子计算机岀现之前的计算工具，并简述其主要特点。
答:（1）算盘通过算法口诀化，加快了计算速度。
（2）帕斯卡加法器通过齿轮旋转解决了自动进位的问题。
（3）机电式计算机Z・l,全部采用继电器，第一次实现了浮点记数法、二进制运算、带存储地址的指令等设计思想。
1.3简述电子计算机的发展历程及各时代的主要特征。
答：第一代一一电子管计算机（1946—1954年）。
这个时期的计算机主要釆用电子管作为运算和逻辑元件。
主存储器采用汞延迟线、磁鼓、磁芯，外存储器采用磁带。
在软件方面，用机器语言和汇编语言编写程序。
程序的编写与修改都非常繁琐。
计算机主要用于科学和工程计算。
第二代一一晶体管计算机（1954—1964年）。
计算机逻辑元件逐步由电子管改为晶体管, 体积与功耗都有所降低。
主存储器采用铁脸氧磁芯器，外存储器釆用先进的磁盘，汁算机的速度和可靠性有所提高。
第2章 数字化信息编码
2.3.2 数据的转换
2. 十进制数据转换为二、八、十六进制数据
1) 十进制数转换为二进制数 十进制数到二进制数的转换，通常要区分数的整数 部分和小数部分，分别按除2取余数和乘2取整数两种 不同方法来完成。 例：将十进制整数245转换为二进制整数，按下列 步骤操作。 (1)用2去除给出的十进制整数，得到商和余数。记 下余数，为转换后的二进制整数的最低位数字。 (2)再用2去除所得的商，得到新的商和新的余数。 记下余数，为转换后的二进制整数的高一位的数字。 (3)重复执行步骤(1)，直到商为0结束转换过程。这 样，(245)10=(11110101)2。
（2-1）
式中的Di(-K≤i≤m-1)为该数制采用的基本符号，可 取值0，1，2，…，r-1，小数点位臵隐含在D0与D-1位 之间，则Dm-1…D1D0为N的整数部分，D-1D-2…D-k为N 的小数部分。
2.3.1 数制与进位记数法
2. 位权 若每一个 Di 的单位值都赋予固定的值 Wi ，则称 Wi 为Di位的权，此时的数制称为有权的基r数制。此时N 代表的实际值可表示为：
2.3.2 数据的转换
现在以R=2为例，来说明如何将二进制数转换为 十进制数。按下式计算： (1101.0101)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×21+1×2-2+0×2-3+1×2-4 =8+4+1+0.25+0.0625=(13.3125)10 熟练地记清二进制数每位上的位权是有益的。当 位序号为0～12时，其各位上的位权依次为1、2、4 、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048 、4096。
2.2.4 数值数据的表示与编码
二进制数
二进制数二进制是逢2进位的进位制，0、1是基本算符。
现代的电子计算机技术全部采用的是二进制，因为它只使用0、1两个数字符号，非常简单方便，易于用电子方式实现。
计算机内部处理的信息，都是采用二进制数来表示的。
二进制（Binary）数用0和1两个数字及其组合来表示任何数。
进位规则是“逢2进1”，数字1在不同的位上代表不同的值，按从右至左的次序，这个值以二倍递增。
除了数值外，英文字母、符号、汉字、声音、图象等数据在计算机内部也采用二进制数的形式来编码。
目前最常用的是使用国际标准代码ASCII码（美国标准信息交换码）。
汉字在计算机内部也是以二进制数代码形式表示的。
由于汉字量多，1981年，我国国家标准GB2312--80（信息交换用汉字编码字符集——基本集）为6763个常用汉字规定了代码，每个汉字占两个字节，每个字节用八位二进制数来表示。
1 995年又颁布了《汉字编码扩展规范》（GBK）。
GBK与GB2312--80国家标准所对应的内容标准兼容，同时，在字汇一级支持ISO/IEC10646--1和GB13000--1的全部中、日、韩（CJK）汉字，共计20902字。
把文字、图形、图象、声音、动画等信息，变成按一定规则编码的二进制数，这就是信息的数字化。
[编辑]二进制四则运算规则加法0＋0＝0，0＋1＝1＋0＝1，1＋1＝10减法0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，0－1＝-1 10100-1010=1010乘法0×0＝0，0×1＝1×0＝0，1×1＝1除法0÷1＝0，1÷1＝1只有0和1两个数码，基数为二。
十进制数与二进制数转换：十进制数二进制数0 01 12 103 114 1005 101…… ……1101101=（从右往左数）1+0×2+1×2ˆ2+1×2ˆ3+0×2ˆ4+1×2ˆ5+1×2ˆ6=1+4+8+32+64=1091个二进制位称为bit,bit是表示数据的最小单位。
二进制运算规则知识讲解
二进制运算规则知识讲解1. 位（bit）：位是计算机中最小的存储单位，可以表示0或者1，是二进制数的基本元素。
2. 字节（byte）：字节是计算机中常用的存储单位，通常由8个位组成。
3.二进制数：二进制数使用0和1两个数字进行表示，并按照从右到左的顺序依次排列。
每一位上的数字称为一个二进制位。
1.加法运算：二进制数的加法运算和十进制数的加法类似。
在二进制数相加时，从右到左逐位相加，并将结果保存到同一位数的最右边。
当两个二进制位相加时，结果有三种可能性：0+0=0，1+0=1，1+1=0（并产生进位1）。
如果两个二进制数的位数不一致，则需要在较短的数的前面补0再进行相加。
2.减法运算：二进制数的减法运算和加法运算类似，只需要将减数取反并加1，然后进行加法运算即可。
3.乘法运算：二进制数的乘法运算和十进制数的乘法类似。
首先将两个二进制数的每一位逐位相乘，将结果按照位数相加，并通过进位规则进行进位。
然后将每一位的和组合在一起得到最终结果。
4.除法运算：二进制数的除法运算和十进制数的除法类似。
需要利用短除法的原理，将除数逐位与被除数进行比较，然后进行相应的商和余数的运算。
这里需要注意的是，使用二进制数进行除法运算时，被除数必须大于或等于除数。
5.位运算：位运算是对二进制数进行逐位操作的运算。
常用的位运算有与运算、或运算、异或运算和取反运算等。
-与运算（AND）：两个二进制数对应位上的数字都为1时，结果为1，否则为0。
-或运算（OR）：两个二进制数对应位上的数字有一个为1时，结果为1，否则为0。
-异或运算（XOR）：两个二进制数对应位上的数字相同则为0，不同则为1-取反运算（NOT）：对一个二进制数的每一位取反，即0变成1，1变成0。
以上是针对二进制数的基本运算规则进行的讲解。
在实际计算过程中，还可以使用位移运算、逻辑运算、比较运算等其他运算规则。
二进制运算是计算机中非常基础和重要的运算方式，很多计算机科学和编程领域的问题都离不开二进制运算。
二进制补码规则
二进制补码：定义、计算方法、特点和应用二进制补码是一种用二进制表示有符号整数的方法，它可以使正数和负数的加减法运算更加简单和高效。
本文将介绍二进制补码的定义、计算方法、特点和应用，以及与原码和反码的区别和联系。
一、二进制补码的定义在计算机中，通常用一个固定长度的二进制数来表示一个有符号整数，其中最高位为符号位，0表示正数，1表示负数，其余位为数值位。
例如，用一个8位的二进制数来表示十进制数-5，可以写成10000101，其中第一位1是符号位，表示这是一个负数，后面七位0000101是数值位，表示这个数的绝对值是5。
但是，在计算机中，不同的二进制表示方法会导致不同的运算规则和结果。
为了方便计算机进行有符号整数的加减法运算，人们提出了三种不同的二进制表示方法：原码、反码和补码。
其中，补码是最常用的一种方法，它的定义如下：正数的补码等于其原码，即符号位为0，数值位为其二进制形式。
负数的补码等于其原码除符号位外按位取反再加1，即符号位为1，数值位为其绝对值的二进制形式按位取反再加1。
例如，用一个8位的二进制数来表示十进制数5和-5的补码，可以写成：十进制原码补码50000010100000101-51000010111111011可以看出，正数的补码和原码相同，而负数的补码是在原码的基础上除符号位外按位取反再加1得到的。
例如，-5的原码是10000101，除符号位外按位取反得到11111010，再加1得到11111011。
二、二进制补码的计算方法在计算机中进行有符号整数的加减法运算时，通常先将操作数转换成补码形式，然后按照无符号整数的加减法规则进行运算，最后将结果转换成原码形式输出。
下面介绍如何进行这些步骤。
2.1 将原码转换成补码将原码转换成补码的方法很简单，只需要根据前面给出的定义进行操作即可。
具体步骤如下：如果原码表示的是正数，则直接保留原码作为补码。
如果原码表示的是负数，则除符号位外按位取反再加1得到补码。
算术位运算
算术位运算
位运算指对二进制数的操作，基本的算术位运算规则如下：
- 对于32位无符号整数unsigned int，直接将这32位编码看作32位二进制数。
- 对于32位有符号整数int，以最高位为符号位，0表示非负数，1表示负数。
对于最高位为0的每种编码，直接看作32位二进制数。
若n为非负数，n的符号位为0，原码、反码、补码相同。
若n为负数，n的符号位为1，反码为原码除最高位取反，补码为反码加一。
在实际应用中，位运算通常用于程序设计、数据处理等方面。
如果你想要了解更多关于位运算的内容，可以继续向我提问。
第四讲 二进制运算及数的表示
要存储符号、指数与尾数三部分。浮点数分为单精度与双精度两种，
单精度浮点数用32位（4字节）存储，双精度浮点数用64位存储。 在计算机中二进制可进行算术运算与逻辑运算，算术运算规则简单， 实现较容易。逻辑运算包括“与”、“或”、“非”与“异或”运算。
计算机基础科学系
Thank you!
Department of Computer Science and Technology
计算机基础科学系
3 .计算机中数的概念
在计算机中表示数需要考虑的三个问题 数的长度
长度固定
符号
最高位（最左端）为数的符号位 符号位: 0表示“＋”，１表示“－”
小数点
位置隐含 位置可固定（定点数），也可浮动（浮点数）
计算机基础科学系
4.1 定点数的表示
定点整数
定点小数
小数点的位置约定在数符位和数值部分的最高位之间，用以表示小于１的纯小数。
2.4 二进制异或运算
⑷“异或”运算（XOR） “异或”运算用符号“ ”来表示。其运算规则如 下：0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0 即当两个参与运算的数取值相异时，运算结果为 1，否则为0。 例二十：分别求10111001 11110011与 100010101 101111100的结果。
2.计算机中是用有限的连续字节保存浮点数的。保存 这些浮点数当然必须有特定的格式，Java 平台上的浮点 数类型 float 和 double 采纳了 IEEE 754 标准中所定义的 单精度 32 位浮点数和双精度 64 位浮点数的格式。
计算机基础科学系
小 结
计算机中的数是利用二进制数来表示，存储数的方法有定点法与浮点 法。定点法通常用来表示整数。浮点法用来表示小数，存储浮点数需
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教学
内容
2.3二进制数的运算规则
2.4数的定点与浮点表示
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目的
要求
知识与技能：掌握二进制数的运算规则以及定点数和浮点数的表示方法
过程与方法：教师引导，学生自学
情感态度与价值观：培养学生分析、理解问题的能力以及学习兴趣和积极性。
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重点
二进制数的运算规则
定点数和浮点数的表示方法
定点整数
定点小数
2.4.2浮点表示法
2.4.3定点表示和浮点表示
（1）用相同的字长表示二进制，浮点数表示的范围比定点数表示的范围大
（2）浮点数运算规则比定点数复杂
教
后
札
记
0
11
0
0101
阶码符号阶码数符尾数
规格化数：N=210×0.1010
0
10
0
1010
阶码符号阶码数符尾数
（2）浮点数运算规则比定点数复杂
例：设二个浮点数N1=2P1×S1，N2=2P2×S2
1、若P1=P2：
P1+P2=2P1×S1+2P2×S2=2P1（S1+S2）
2、若P1≠P2：要先对阶（小数点对齐，阶码相同），然后才能相加
学生练习
学生识记
学生练习
请学生说出十进制的除法规则，从而总结出二进制除法规则
学生练习
师生共同总结
学生倾听
一种是定点表示法，一种是浮点表示法。
板书：2.4数的定点与浮点表示
板书：2.4.1定点表示法
定点表示法概念：
定点表示法是将小数点的位置固定不变，约定在数值的某个位置上。
思考：定点表示法中的小数点究竟在数置的什么位置呢？
Pf
Sf
阶码符号阶码数符尾数
例如：字长为8位，阶码用2位，尾数用4位，阶码和数码各用1位，则二进制数N=2+11×0.1011在浮点机器中的表示为：
0
11
0
1011
阶码符号阶码数符尾数
板书：2.4.3定点表示和浮点表示的比较
（1）用相同的字长表示二进制，浮点数表示的范围比定点数表示的范围大
举例：
1、对于定点机：假定用32位二进制数表示数，对定点机用定点整数表示范围为：
1 0 1 0 0
被减数
—
1 0 0 1
减数
1 0 1 1
差
板书：2.3.3乘法规则
0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1
例：将二进制数1101乘以1010的结果
1 1 0 1
被乘数
×
1 0 1 0
乘数
0 0 0 0
1 1 0 1
0 0 0 0
1 1 0 1
部分积
1 0 0 0 0 0 1 0
例：N1=211×0.1001，N2=201×0.1100
N1+N2=211×0.1001+201×0.1100
=211×0.1001+211×0.0011
=211×（0.1001+0.0011）
=211×（0.1100）
通过事例，理解浮点数表示范围比定点大
学生倾听并理解
学生思考，并回答，移动小数点即调整阶码就行了
+2（127（223—1）~ —2（127（223—1）
讲解：
二进制浮点规格化数概念：
二进制浮点规格化数即尾数的最高位是有效数字1而不是0，即尾数应满足1/2≤S<1。
思考：非规格化数如何实现转换成规格化数呢？
或者如何把二进制数N=211×0.0101转换成标准的数N=210×0.1010呢？
非规格化数：N=211×0.0101
例：将两个二进制数1111和1001相加。
1 1 1 1
被加数
+
1 0 0 1
加数
1 1 0 1 0
和
板书：2.3.2减法规则
0-0=0 0-1=1（向相邻高位借1当作2）
1-0=1 1-1=0
学生思考
讨论并回答
由于和十进制类似，学生很容易回答出二进制的加法规则
学生练习
学生识记
例：将二进制数10100减去1001的结果。
了解浮点表示法以及小数点的位置
任何一个二进制数N可以表示为：N=2P×S
说明：
1、S为数N的尾数，表示N的有效数值。
Sf表示尾数的符号：Sf=0正数, Sf=1负数
2、P为数N的阶码，表示小数点的位置，
Pf表示阶码的符号位：Pf=0正数, Pf=1负数
总结：浮点数由两部分组成分别是阶码和尾数，在数的表示中都有各自的符号位，形式如下：
教学
难点
定点数和浮点数的表示方法
教学
方法
教师引导，学生练习为主
教学
用具
计算机、多媒体幻灯片演示
教
学
过
程
教师主导活动
学生主体活动
引入：
通过上面几节课的学习，我们已经了解了二进制的特点以及它和其他进制之间的转换，那二进制的运算规则是什么呢？
板书：2.3二进制数的运算规则
板书：2.3.1加法规则
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10
学生观察两种表示形式，总结出移动小数位数即调整阶码的数值即可。
学生了解浮点数运算法则
学生了解浮点数加法，从而也明白了浮点数的乘法等运算，感受到浮点数运算较复杂。
板
书
设计Biblioteka 2.3二进制数的运算规则2.3.1加法规则
2.3.2减法规则
2.3.3乘法规则
2.3.4除法规则
2.4数的定点与浮点表示
2.4.1定点表示法
乘积
板书：2.3.4除法规则
除法是乘法的逆运算，与十进制类似。
例如：将二进制数1001110除以110的结果
0001101
商
除数
被除数
1 1 0
1 1 1
1 1 0
1 1 0
1 1 0
0
总结：二进制的加、减、乘、除运算，可归结为加、减、移位三种操作。
引入：在前面的讨论中，没有涉及小数点在机器中如何表示的问题，而实际上计算机处理的数据大部分是带有小数的。在计算机中常用两种方法表示数据：
例如：纯小数±0.1010110
·
小数点位置
±
1 1 0 1 0 0 1
板书：2.4.2浮点表示法
思考：在浮点表示法中小数点位置与定点表示法有什么不同呢？
讲解：在浮点表示法中，小数点的位置不是固定，而是浮动的。
学生了解定点表示法和小数点的位置
识记定点整数，以及小数点的位置
识记定点小数，以及小数点的位置
+（231—1）~ —（231—1）（机器数）
十进制数举例：
9×10-28=0.9×10-27
2×1023=0.2×1024
学生识记进制数N的表示形式，掌握表达式中字母的含义
识记浮点数表示的形式
倾听事例讲解，理解浮点数的表示方法
识记定点表示和浮点表示的区别，并思考为什么？
2、对于浮点机，字长32位，（8位表示阶码（含阶符），24位表示尾数（含数符））
讲解：定点表示法中小数点的位置是隐含约定在某位置，定点整数和小数中的小数点位置如下：
定点整数概念：
约定小数点在隐含在最低数值位后，这使得所有的数值位表示的数为整数，称为定点整数。
例如：纯整数±1101001
±
·
小数点位置
1 1 0 1 0 0 1
定点小数的概念：
约定小数点隐含在最数值位之前和符号位之后，这使得所有的数值位表示的数小数，称为定点小数。