高三数学寒假作业五(含答案)

高三数学寒假作业五一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程）1.已知集合1|12xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =______.2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是______.3.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.4.现把某类病毒记作m n X Y ，其中正整数(),6,8m n m n ≤≤可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为______.5.若双曲线2222x y a b－＝1(a >0，b >0)与直线y 无交点，则离心率e 的取值范围是________．6.等比数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，满足654320S S S -+=，则5S =______.7.已知1sin cos 5αα+=，0απ<<，则2sin sin 2αα+=______. 8.已知a R ∈，实数x ，y 满足方程22ln 0x x y -+=，则()()222a x a y -+--的最小值为______. 9.已知函数()32*10,n n ny a x a xan N +=-≠∈的图像在1x =处的切线斜率为3n a +，且当1n =时其图像过点()216,，则7a =______. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点()00,M x y 是椭圆C ：22163x y +=在第一象限上的一点，从原点O 向圆M ：()()22002x x y y -+-=作两条切线1l ，2l ，若12l l ⊥，则圆M 的方程是______.11.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点，已知函数()142xx f x m +=--在区间[]0,1上存在均值点，则实数m 的取值范围是______.12.已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是______.13.已知ABC ∆中，3AB =，1AC =，且()()31AB AC R λλλ+-∈的最小值为2，若P 为边AB 上任意一点，则PB PC ⋅的最小值是______.14.已知函数()3241f x x ax x =-+++在(]0,2上是增函数，函数()ln 2ln g x x a x =--，若312,,x x e e ⎡⎤∀∈⎣⎦（e 为自然对数的底数）时，不等式()()125g x g x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.已知函数2()12sin ()4f x x x π=+--，（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间． （2）若方程()0f x m -=在区间[,]4ππ上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．16.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，2a ，4a ，8a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =⋅，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，求n S .17.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线OA ，OB 所成角为23π，现欲在海岸线OA ，OB 上分别取点P ，Q 修建海堤，以便围成三角形陆地OPQ ，已知海堤PQ 长为6千米.（1）如何选择P ，Q 的位置，使得OPQ ∆的面积最大； （2）若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤PQ的另一侧选取点M ，修建海堤MP ，MQ 围成四边形陆地.当海堤MP 与MQ 的长度之和为10千米时，求四边形MPOQ 面积的最大值.18.已知直线l为椭圆22143x y+=的右准线，直线l与x轴的交点记为P，过右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点.（1）设点M在直线上，且满足MF AB⊥，若直线OM与线段AB交于点D，求证：点D为线段AB的中点；（2）设Q点的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线BQ与直线l交于点E，试问EA EP⋅是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*231n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()()111n n n n a b a a +=--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式141n kT n >-+都成立，求实数k 的取值范围； （3）记2nn n a c a =+，是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m c -，1s c -，1t c -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由.20.已知函数()332f x x ax =+--，0a >.（1）当2a =时，求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）当01a <<时，试问：过点()2,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切？高三数学寒假作业五参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合1|12xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =______.【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】分别求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，找出A 与B 的并集即可．【详解】由A 中的不等式变形得：01122x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到x >0，∴A ={x |x >0}，由B 中的不等式变形得：lg x >lg1，得到x >1，即B ={x |x >1}，则AB =()0,∞+，故答案为：()0,∞+【点睛】本题考查了求对数式、指数式不等式的解集和并集的运算，属于基础题。

2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是______. 【答案】1 【解析】 【分析】通过复数方程，两边同乘1-2i ，然后求出复数z 即可．【详解】因为复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i )， 即5z =5+10i ， 所以z =1+2i ,实部为1.故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数z 的实部，不能写成复数z 的结果。

本题属于基础题。

3.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.【答案】27 【解析】 【分析】根据s=0，n=1，s=(0+1)×1=1，n=1+1=2，不满足条件n ＞3，执行循环体；依此类推，当n=4，满足条件n ＞3，退出循环体，得到输出结果即可．【详解】s =0,n =1,s =(0+1)×1=1，n =1+1=2，不满足条件n >3，执行循环体；s =(1+2)×2=6，n =1+2=3，不满足条件n >3，执行循环体； s =(6+3)×3=27，n =1+3=4，满足条件n >3，退出循环体，则输出结果为：27 故答案为：27。

【点睛】本题考查了循环结构的应用，循环次数少的时候可以将每一次的赋值情况列出，不容易出错。

本题属于中等题。

4.现把某类病毒记作m n X Y ，其中正整数(),6,8m n m n ≤≤可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为______. 【答案】14【解析】 【分析】求出m 取小于等于6的正整数，n 取小于等于8的正整数，m 取到奇数，n 取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【详解】m 取小于等于6的正整数，n 取小于等于8的正整数，共有6×8=48种取法。

m 取到奇数的有1，3，5共3种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况，则m ，n 都取到奇数的方法种数为3×4=12种。

所以m ，n 都取到奇数的概率为121=484. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式()A mP A n=包含的基本事件的个数基本事件的总数，属于基础题。

5.若双曲线2222x y a b－＝1(a >0，b >0)与直线y 无交点，则离心率e 的取值范围是________．【答案】(1,2] 【解析】因为双曲线的渐近线为y ＝±bax ，要使直线y x 与双曲线无交点，则直线y 应在两渐近线之间，所以有bab a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2. 6.等比数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，满足654320S S S -+=，则5S =______. 【答案】31 【解析】 【分析】将654320S S S -+=化成 ()()655465220S S S S a a ---=-=，解得2q =，再根据等比数列前n 项和公式，即可求出5S 。

【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由654320S S S -+=,可得()()665546552202a S S S S a a q a ---=-=⇒==。

∴()()55151********a q S q-⨯-===--，故答案为：31.【点睛】本题考查了数列中n S 与n a 之间的关系，即()12n n n a S S n -=-≥，属于中等题。

7.已知1sin cos 5αα+=，0απ<<，则2sin sin 2αα+=______. 【答案】825- 【解析】 【分析】根据1sin cos 5αα+=联立22sin cos 1αα+=，即可求出sin α和cos α的值，再将2sin sin 2αα+化成2sin 2sin cos ααα+代入即可。

【详解】1sin cos 5αα+=, 1cos sin 5αα∴=-又22221sin cos sin sin 15αααα⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭ 22142sin sin 1sin 5255ααα∴-+=⇒=或35-0απ<<，413sin ,cos sin 555ααα∴==-=-即2224438sin sin 2sin 2sin cos 255525ααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：825-。