圆柱直齿齿轮简化模型的弯曲振动特性

０ 引 言 在超声振动系统 的 设 计 中，珩 磨 轮 以 及 研 磨 轮 等
都是典型的圆盘类零 件，其 尺 寸 比 超 声 复 合 加 工 中 的 工具头尺寸和质量都 大，这 就 要 求 在 设 计 超 声 振 动 系 统的过程中对此进行研究。张串等人研究了边缘条件 下轴对 称 薄 板 弯 曲 振 动 时 频 率 方 程 的 推 导 及 其 求 解［１］。Ｈｙｅｏｎｇｉｌｌ Ｌｅｅ等 人 分 别 用 薄 盘 和 厚 盘 理 论 研 究了环盘的弯曲振动模式［２］。Ｄ．Ｓ．Ｗａｎｇ等人 研 究 了 有孔圆板模型的弯曲 振 动 方 程 的 简 化 方 法，并 给 出 了 其振动频率的计算方法 。 ［３］
图１为齿轮 简 化 模 型，其 中，ｄ４ 为 齿 轮 分 度 圆 直 径。该模型是一个直齿圆柱齿轮的变截面简化模型， 可看作是由３个圆 环 盘 组 成，在 ｄ２ 和 ｄ３ 处 发 生 了 截 面厚度变化。一般的薄圆盘振动位移解为：
ｙｒ ＝ ［ＡＪ０ （ｋｒ）＋ ＢＹ０ （ｋｒ）＋ ＣＩ０ （ｋｒ）＋ ＦＫ０（ｋｒ）］·ｅｘｐ（ｊωｔ）。 ………………………… （１） 其中：Ｊ０、Ｙ０ 分别为第一类和第二类零阶贝塞尔函数； Ｉ０、Ｋ０ 分别为第 一 类 和 第 二 类 零 阶 修 正 贝 塞 尔 函 数； Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｆ 为与边界条件有关的系数；ｋ、ω 分别为薄圆盘 的波数、角频率；ｒ为圆盘上的点到圆盘中心的距离。
摘要：在超声珩齿加工中，齿轮既是被加工零件，也是振动系统的主要部件，其动力学特性和固有频率对振 动系统的设计和优化至关重要。针对含轮毂、辐板、轮缘的齿轮结构特点，将其简化为一阶梯变厚度圆环 盘，应用经典薄板理论推导了模型横向弯曲振动 的 频 率 方 程，求 得 了 其 固 有 频 率，并 将 计 算 结 果 与 ＡＮＳＹＳ 模态分析结果进行了对比。结果表明：该简化模型的频率分析较为合理，且理论计算可以获得较高精度。 关 键 词 ： 齿 轮 ； 薄 板 ； 弯 曲 振 动 ； 固 有 频 率 ；ＡＮＳＹＳ 中 图 分 类 号 ：ＴＨ１３２．４１７∶ＴＨ１１３．１ 文 献 标 识 码 ：Ａ
第 ４ 期 （总 第 １７３ 期 ） ２０１２ 年 ８ 月
机械工程与自动化 ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＆ ＡＵＴＯＭＡＴＩＯＮ
文 章 编 号 ：１６７２－６４１３（２０１２）０４－００６７－０３
Ｎｏ．４ Ａｕｇ．

圆柱直齿齿轮简化模型的弯曲振动特性研究
郭振武，吕 明，王时英
（太原理工大学 机械工程学院，山西 太原 ０３００２４）
弯矩为零时有： Ｑ１（ｒ１）＝０ 。 ＭＲ１（ｒ１）＝０ 。 Ｑ３（ｒ４）＝０ 。 ＭＲ３（ｒ４）＝０ 。 把式（２）、式（３）、式（４）代 入 上 述 连 续 条 件 以 及 边
在 超 声 珩 齿 中 ，齿 轮 是 其 加 工 的 对 象 ，同 时 也 是 超 声振动系统中的负 载。 在 超 声 珩 齿 系 统 中，由 于 使 用 的盘形齿轮通常直径 大 但 是 厚 度 小，所 以 王 时 英 等 人 将其简化为一种薄圆盘 。 ［４－６］ 但是很多时候，也 会 采 用 辐板圆柱直齿轮，此 时 由 于 薄 圆 盘 并 不 能 很 好 地 作 为 齿轮的简化模型，本 文 将 齿 轮 简 化 为 一 种 阶 梯 变 厚 度 圆 环 盘 模 型 ，对 这 种 模 型 进 行 频 率 方 程 的 推 导 ，并 建 立 圆环盘横向弯曲振动 的 数 学 方 程，采 用 数 值 求 解 的 方 法，求 得 其 固 有 振 动 频 率，同 时 对 计 算 结 果 与 ＡＮＳＹＳ软件模态 分 析 结 果 进 行 比 较，来 验 证 计 算 结 果的准确性。 １ 齿 轮 简 化 模 型
图 １ 齿 轮 简 化 模 型
由 式 （１）可 得 图 １ 所 示 模 型 的 位 移 解 形 式 为 ： ｙ１（ｒ）＝ ［Ａ１Ｊ０ （ｋ１ｒ）＋Ｂ１Ｙ０ （ｋ１ｒ）＋Ｃ１Ｉ０ （ｋ１ｒ）＋ Ｆ１Ｋ０（ｋ１ｒ）］ｅｘｐ（ｊωｔ） ｄ１≤２ｒ≤ｄ２ 。 ………… （２） ｙ２（ｒ）＝ ［Ａ２Ｊ０ （ｋ２ｒ）＋Ｂ２Ｙ０ （ｋ２ｒ）＋Ｃ２Ｉ０ （ｋ２ｒ）＋ Ｆ２Ｋ０（ｋ２ｒ）］ｅｘｐ（ｊωｔ） ｄ２＜２ｒ＜ｄ３ 。 ………… （３） ｙ３（ｒ）＝ ［Ａ３Ｊ０ （ｋ１ｒ）＋Ｂ３Ｙ０ （ｋ１ｒ）＋Ｃ３Ｉ０ （ｋ１ｒ）＋ Ｆ３Ｋ０（ｋ１ｒ）］ｅｘｐ（ｊωｔ） ｄ３≤２ｒ≤ｄ４ 。 ………… （４） 图１ 所 示 齿 轮 简 化 模 型 由 ３ 部 分 组 成：① 内 径 ｄ１、外径 ｄ２、厚 度 为 ｈ１ 的 轮 毂 部 分；② 内 径 ｄ２、外 径 ｄ３、厚度为ｈ２ 的辐板部分；③内径ｄ３、外 径 ｄ４、厚 度 为 ｈ１ 的轮缘部分。而轮毂与 辐 板、辐 板 与 轮 缘 在 连 接 处 的应力和变 形 应 该 是 连 续 的，即 轮 毂 与 辐 板 在 ｄ２ 处 （即ｒ＝ｒ２＝ｄ２／２）有 以 下 连 续 条 件 ： （１）位 移 连 续 ：ｙ１（ｒ２）＝ｙ２（ｒ２）。
收 稿 日 期 ：２０１２－０２－２８； 修 回 日 期 ：２０１２－０３－１０ 作者简介：郭振武 （１９８５－），男，山西长治人，在读硕士研究生，主要研究方向为超声珩齿振动。
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机 械 工 程 与 自 动 化 ２０１２年第４期
（２）转 角 连 续 ：ｄｙ１ｄｒ（ｒ２）＝ｄｙ２ｄｒ（ｒ２）。 （３）剪 切 力 连 续 ：Ｑ１（ｒ２）＝Ｑ２（ｒ２）。 （４）弯 矩 连 续 ：ＭＲ１（ｒ２）＝ＭＲ２（ｒ２）。 同理，在ｒ＝ｒ３ 处有以下连续条件： （１）位 移 连 续 ：ｙ２（ｒ３）＝ｙ３（ｒ３）。 （２）转 角 连 续 ：ｄｙ２ｄｒ（ｒ３）＝ｄｙ３ｄｒ（ｒ３）。 （３）剪 切 力 连 续 ：Ｑ２（ｒ３）＝Ｑ３（ｒ３）。 （４）弯 矩 连 续 ：ＭＲ２（ｒ３）＝ＭＲ３（ｒ３）。 当齿轮满足内外 缘 自 由 边 界 条 件 时，即 剪 切 力 和