第五章 数据分布特征的描述
第五章数据分布特征习题
第五章数据分布特征的描述练习题一、填空题1．常用的数值平均数有和以及。
2．权数对算术平均数的影响作用不决定于权数的大小，而决定于权数的的大小。
3．计算算术平均数的基本公式。
4．当标志值较大而次数较多时，平均数接近于标志值较的一方；当标志值较小而次数较多时，平均数靠近于标志值较的一方。
5．加权算术平均数等于简单算术平均数的前提条件是。
6．利用组距数列计算算术平均数，应首先计算各组的。
7．统计中的变量数列是以为中心而左右波动，所以平均数反映了总体分布的。
8．中位数是位于变量数列的那个标志值，众数是在总体中出现次数的那个标志值。
中位数和众数也可以称为平均数。
9．调和平均数是平均数的一种，它是的算术平均数的。
10．现象的是计算或应用平均数的原则。
11．当变量数列中算术平均数大于众数时，这种变量数列的分布呈分布；反之算术平均数小于众数时，变量数列的分布则呈分布。
12．较常使用的离中趋势指标有、、、、。
13．极差是总体单位的与之差，在组距分组资料中，其近似值是。
14．是非标志的平均数为、标准差为。
15．标准差系数是与之比。
16．已知某数列的平均数是200，标准差系数是30％，则该数列的方差是。
17．标准差用的方法解决了离差之和为0而不能求平均离差的问题，因此它在数学处理上优于，因此应用范围更为广泛。
18．对某村6户居民家庭共30人进行调查，所得的结果是，人均收入400元，其离差平方和为5100000，则标准差是，标准差系数是。
19．测定峰度，往往以为基础。
依据经验，当β=3时，次数分配曲线为；当β<3时，为曲线；当β>3时，为曲线。
20．在对称分配的情况下，平均数、中位数与众数是的。
在偏态分配的情况下，平均数、中位数与众数是的。
如果众数在左边、平均数在右边，称为偏态。
如果众数在右边、平均数在左边，则称为偏态。
二、单选题1．下列属于平均指标的是( )。
A某县平均每亩粮食产量B全员劳动生产率C某县平均每人占有耕地D某县平均每户拥有小汽车的数量2，平均数反映了( )。
数据分布特征描述
数据分布特征描述数据分布特征描述是数据分析中的重要内容，通过对数据的分布特征描述，可以更好地理解数据的规律和特点。
数据的分布特征描述通常包括数据频数分布、数据均值、数据方差、数据偏度和数据峰度等指标。
下面将从这几个方面对数据分布特征进行描述。
数据频数分布是描述数据在不同取值范围内出现的频数。
通过数据频数分布可以直观地看出数据的分布规律，包括集中趋势和离散程度等。
通常可以通过直方图或饼图来展示数据频数分布，以便更好地理解数据的集中程度和变异程度。
数据均值是描述数据的集中趋势的指标，代表数据的平均水平。
均值可以帮助理解数据的集中程度，如果数据均值较大，则说明数据整体较高；反之，数据均值较小则说明数据整体较低。
数据均值是数据分布特征描述中最基本的指标之一。
数据方差是描述数据的变异程度的指标，代表数据的离散程度。
方差越大，说明数据的分布越分散；方差越小，说明数据的分布越集中。
通过数据方差可以判断数据的变化幅度和波动情况，对数据分布的特征有着重要的参考价值。
数据偏度是描述数据分布偏斜程度的指标，用来衡量数据分布的不对称性。
正偏态表示数据分布呈右偏，负偏态表示数据分布呈左偏，而零偏态则表示数据分布对称。
数据偏度可以帮助理解数据的分布形态，了解数据的倾向性和集中程度。
数据峰度是描述数据分布峰态的指标，用来衡量数据分布的陡峭程度。
峰度较高表示数据分布较陡峭，峰度较低表示数据分布较平缓。
通过数据峰度可以了解数据的分布形状和尖峭程度，对数据分布特征的描述有很大的帮助。
综上所述，数据分布特征描述是数据分析中的重要内容，通过对数据的频数分布、均值、方差、偏度和峰度等指标的描述，可以更好地理解数据的规律和特点。
数据的分布特征描述对于数据分析和决策具有重要的意义，能够为数据挖掘和预测提供有力支持。
只有深入理解数据的分布特征，才能更好地利用数据资源，为实际应用提供有效的支持和指导。
统计学判断题
第一章总论1.社会经济统计的研究对象是社会经济现象总体的各个方面。
（×）2.统计调查过程中采用的大量观察法，是指必须对研究对象的所有单位进行调查。
（×）3.个人的工资水平和全部职工的工资水平，都可以称为统计指标。
（×）4.对某市工程技术人员进行普查，该市工程技术人员的工资收入水平是数量标志。
（×）5.社会经济统计学的研究对象是社会经济现象的数量方面，但它在具体研究时也离不开对现象质的认识。
（√）6.品质标志说明总体单位的属性特征，质量指标反映现象的相对水平或工作质量，二者都不能用数值表示。
（×）7.某一职工的文化程度在标志的分类上属于品质标志，职工的平均工资在指标的分类上属于质量指标。
（√）第二章统计数据的收集1.全面调查和非全面调查是根据调查结果所得到的资料是否全面来划分的。
（×）2.对某市下岗职工生活状况进行调查，要求在一个月内报送调查结果。
所规定的一个月时间是调查时间。
（×）3.对我国主要粮食作物产区进行调查，以掌握全国主要粮食作物生长的基本情况，这种调查是重点调查。
（√）4.典型调查既可以搜集数字资料，又可以搜集不能用数字反映的实际情况。
（√）5.统计调查误差就是指由于错误判断事实或者错误登记事实而发生的误差。
（×）6.我国人口普查的总体和调查单位都是每一个人，而填报单位是户。
（√）7.与普查相比，抽样调查调查的范围小，组织方便，省时省力，所以调查项目可以多一些。
（√）8.对调查资料进行准确性检查，既要检查调查资料的登记性误差，也要检查资料的代表性误差。
（×）9.在对现象进行分析的基础上，有意识地选择若干具有代表性的单位进行调查，这种调查属于重点调查。
（×）10.普查一般用来调查属于一定时点上社会经济现象的数量，它并不排斥对属于时期现象的项目的调查。
（√）第三章统计数据的整理与展示1.统计分组以后，掩盖了各组内部各单位的差异，而突出了各组之间单位的差异。
集中趋势的度量
第五章数据分布特征的描述第一节集中趋势指标概述一、集中趋势指标及其特点集中趋势（Central tendency），是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或是心值。
在现象的同质总体中，各个单位的标志值是不尽相同的。
如果我们的目的是要对总体的数量水平有一个概括地、一般地认识，显然不能用某一单位的标志值表示。
统计平均数就是用来反映总体的一般水平和集中趋势的指标。
通俗的理解就是，在不变更总体总量的情况下，对总体内的全部标志值进行“截长补短”，使得总体各单位拥有同一水平的数量表现，这个同一水平的数量表现就是平均数，即集中趋势指标。
统计平均数有两个重要的特点：第一，平均数是一个代表值，表示被研究总体的一般水平。
例如，某企业职工的工资水平有高有低，有的职工月工资1680元，有的职工月工资1900元，有的职工月工资1870元，有的职工月工资2200元，等等。
若根据该企业各个职工月工资额综合计算出职工月平均工资为1860元，那么，1860元就是一个代表值。
它反映了该企业职工月工资的—般水平。
第二，平均数把被研究总体各单位的标志值的数量差异抽象化了。
例如，某企业职工的月平均工资为1860元，但是各个职工的工资水平有高有低，高于1860元的工资和低于1860元的工资互相抵消了，从而得出平均工资1860元。
由此可见，平均工资（1860元）已把各职工月工资水平的差别抽象化了。
二、集中趋势指标的作用集中趋势指标——统计平均数，在统计研究中被广泛应用，平均数的作用可以归纳为以下几点：1.利用平均数对比不同总体的一般水平。
平均数可以用来对同类现象在各单位、各部门、各地区之间进行比较，以说明生产水平的高低或经济效果的好坏。
例如，要比较不同的生产企业生产水平的好坏，仅对比企业的产品总产量是不足以说明问题的，因为产品总产量受到企业规模大小的影响。
要比较，需要计算各企业生产人员的平均产品产量，即劳动生产率，并分析不同的生产条件，才能做出正确的判断。
数据分布特征的描述
数据分布特征的描述原⽂链接：知识点：数据分布特征的描述1、变量集中趋势的测定变量在不同个体或不同时间条件下具体表现出来的数据是不同的，不过众多个体的数据常常会呈现出在⼀定范围内围绕某个中⼼⽽波动的分布特征。
衡量数据集中趋势的指标有两类：⼀类是数值平均数，包括算数平均数、调和平均数、⼏何平均数；另⼀类是位置代表值，根据数据所处位置直接观察或根据与特定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。
测定集中趋势指标的作⽤主要是：1）反映变量分布的集中趋势和⼀般⽔平；2）可⽤来⽐较同⼀现象在不同空间或不同阶段的发展⽔平；3）可⽤来分析现象之间的依存关系。
1）数值平均数a、算术平均数(arithmeticmean)，即均值(mean)：将⼀组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果。
2）位置平均数a、众数(mode)是⼀组数据中出现频数最多、频率最⾼的变量值。
众数代表的是最常见的、最普遍的状况，是对现象集中趋势的度量。
众数既可度量定量变量（数值型数据）的集中趋势，也可⽤来测度定性变量（⾮数值型数据）的集中趋势。
b、中位数(median)是将数据从⼩到⼤排序后位置居中的数值，奇数取中间，偶数取中间两个数值的平均数。
总结：算术平均数是数值平均数，和中位数⼀样在任何⼀组数据中都存在且是唯⼀的。
算术平均数受数据中极端值的影响，⽽众数和中位数则不受极端值的影响。
算术平均和众数、中位数三者之间的数量关系取决于数据分布的偏斜（⾮对称）程度：对于呈现单峰分布特征的数据，如果分布是对称，则三者相等；如分布是左偏（负偏），数据中的极⼩值会使算术平均数偏向较⼩的⼀⽅，极⼩值⼤⼩不影响中位数，但其所占项数会影响数据的中间位置从⽽略使中位数偏⼩，众数则完全不受极⼩值⼤⼩和位置的影响，所以是众数⼤于中位数⼤于算术平均数；如果分布式右偏（正偏），则反之。
2、变量离散程度的测定数据的集中趋势和离散程度是数据分布最基本的两⼤特征。
集中趋势反映了数据聚集的中⼼所在，数据的离散程度说明数据之间差异程度的⼤⼩。
数据分布特征的描述
xi fi
i 1 n
fi
xf f
i 1
加权—为了体现各变量值轻重不同的影响作用， 对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi ）.
3-8
权数（fi ，也称权重）
权数——指在计算总体平均数或综合水平的过 程中对各个数据起着权衡轻重作用的变量。
可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频
率）来表示。
x x f f
解：采用简单算术平均法计算，即全体
队员的平均年龄为（单位5 25 30 30 50 22 ... 30
20
538 26.9 20
表 3-2
分组数据不能简单 平均 ！因为各组变 量值的次数不等！
年龄 人数（人）
x
f
若采用简单平均：
集中趋势(Central tendency)
较大和较小的观测值出现的频率比较低，大多数 观测值密集分布在中心附近，使得全部数据呈现 出向中心聚集或靠拢的态势。
测度集中趋势的指标有两大类：
数值平均数——是根据全部数据计算得到的代表值，主要 有算术平均数、调和平均数及几何平均数；
位置代表值——根据数据所处位置直接观察、或根据与特 定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中 位数。
如表3-2中年龄的众数值MO＝25。
众数代表的是最常见、最普遍的状况，是对
现象集中趋势的度量。
可用来测度定性变量的集中趋势；
销售量最大的产品颜色是“白色”，则有M0＝“白色”
可以度量定量变量的集中趋势。
从分布曲线的角度看，众数就是变量分布曲线的最高 峰所对应的变量值。
3-15
从分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数 值，一组数据分布的最高峰点所对应的变量值即为 众数。当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势 或最高峰点，众数也可能不存在；如果有两个最高 峰点，也可以有两个众数，见P55图3-1。
数据分布特征的描述讲解
数据分布特征的描述讲解数据分布特征描述是统计学中对一组数据进行概括和描述的过程。
我们通常使用中心趋势和离散程度来描述数据分布的特征。
中心趋势是指数据集中的一个值，代表数据的代表性，常用的中心趋势措施包括均值、中位数和众数。
离散程度则是指数据的变异程度，包括范围、方差、标准差和四分位距等。
首先，均值是一组数据的中心趋势的一个常用度量。
它是所有数据值的总和除以数据的个数。
均值具有很强的代表性，尤其对于正态分布的数据而言。
均值的计算公式为：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n。
其次，中位数是数据集中的一个特殊值，将数据按照大小排列后，处于中间位置的数即为中位数。
中位数不受极端值的影响，能够更好地反映数据的集中趋势。
对于偶数个数据，中位数为中间两个数的平均值；对于奇数个数据，中位数为中间一个数。
中位数的计算可以通过将数据按照大小排列，然后找到中间位置的数来得出。
此外，众数是数据集中出现频率最高的值，可以是一个或多个。
众数对于描述数据的集中趋势也具有一定的代表性。
众数的计算可以通过建立频数分布表，然后找到出现次数最多的数来得出。
除了中心趋势，离散程度也是描述数据分布特征的重要度量。
范围是测量数据分布范围的最简单方式，它是一组数据中的最大值减去最小值。
范围对于描述数据的离散程度有一定的指示作用，但它受极端值的影响较大，不能完全反映整体数据的变异程度。
方差是衡量数据分布离散程度的一种指标，它表示数据偏离均值的程度。
方差的计算公式为：variance = Σ(xi - mean)² / n，其中xi为每个数据值，mean为均值，n为数据个数。
方差越大，数据的离散程度也越大。
标准差是方差的正平方根，它具有和原始数据单位一致的度量标准，常用于度量数据的波动性。
标准差的计算公式为：standard deviation = √variance。
四分位距是一种度量数据分布离散程度的方法，它是数据按从小到大排列后，第25%分位数和第75%分位数之间的差值。
描述数据的分布特征
描述数据的分布特征
数据的分布特征是数据分析中的重要概念之一，它可以帮助我们更好
地了解数据的基本情况、趋势和规律。
在描述数据的分布特征时，我
们需要考虑下面几个方面：
1. 中心趋势：中心趋势是指数据分布的中心位置，通常用均值、中位
数和众数等指标来表示。
均值是所有数据的总和除以数据的数量，中
位数是所有数据按大小排序后处于中间位置的那个数，众数则是出现
次数最多的那个数。
2. 离散程度：离散程度是指数据分散程度的大小，通常用方差、标准
差和极差等指标来表示。
方差是每个数据与均值的差平方和除以数据
的数量，标准差是方差的平方根，极差则是最大值与最小值之间的差。
3. 偏态性：偏态性是指数据分布的偏斜程度，通常用偏度和峰度等指
标来表示。
偏度是一个数据分布的偏斜程度的大小，正偏态表示平均
值偏大，负偏态则表示平均值偏小，而零偏态则表示平均值与中位数
相等。
峰度则是数据分布的峰态程度的大小，正峰态表示分布中心比
较集中，而负峰态则表示分布中心比较分散。
总体来看，数据的分布特征可以用柱状图、折线图、散点图、箱线图
等多种图表来展示，从而更直观地了解数据分布的情况以及趋势变化。
在实际数据分析中，掌握数据的分布特征不仅有助于数据的初步了解，还能为后续挖掘数据的规律提供帮助。
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动态平均数是反映不同时间总体指标的一般水平。例 如，某企业根据某年12个月计算的职工月平均工资。
2.按计算或确定的方法不同，分为数值平均数和位 置平均数。
数值平均数是根据总体各单位的标志值计算得到的平
均值，主要有算术平均数、调和平均数、几何平均数。
解：
xH xf 30000 2.00 20000 2.50 25000 2.40 170000 2.27(元/千克) 30000 20000 25000 75000 f
练一练
已知某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料 如下，求该商品在市场上的总平均价格。 市场 平均价格（元/千克） 销售额（元） 2.00 60 000 甲 2.50 50 000 乙 2.40 60 000 丙 — 170 000 合计
第五章 数据分布特征的描述
学习目的和重难点提示
本章学习目的
领会数据分布的各种特征：集中趋势、离散趋势、 偏斜程度和峰度。 掌握数据分布特征各测定值的计算方法、特点及 其应用场合。 本章重难点提示 数据分布特征的描述方法，如何使用一些统计量 来对数据进行概括Байду номын сангаас测定。
数据分布特征各测定值的计算方法、特点及其应 用场合。
调和平均数也容易受极端数值的影响，而且受极小值的影响
大于受极大值的影响。调和平均数的应用范围较小，当变量
值中有一项为0时，无法计算调和平均数。
调和平均数的运用
在社会经济领域中，调和平均数经常作为算术平均数的变形
使用。主要适用于质量指标求平均。
如果知道该质量指标的分子资料，则用加权调和平均数公式 计算该指标的平均数；如果知道该质量指标的分母资料，则 用加权算术平均数公式计算该指标的平均数。
2 MO U d 1 2
式中，MO 表示众数；
L 表示众数组的下限；
U 表示众数组的上限；
△1表示众数组次数与前一组次数之差； △2表示众数组次数与后一组次数之差；
d 表示众数组的组距。
练一练
某校计算机专业毕业学生实习月工资统计如下，求众数。
月工资（元） 学生数（人） 月工资（元） 学生数（人）
调和平均数
调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均 数的倒数，也称倒数平均数。
调和平均数按其计算方法不同，可分为简单调和平均数和 加权调和平均数。 n （1）简单调和平均数 xH 1
x
（2）加权调和平均数
m xf xH m f x
m表示调和平均数的权数。
调和平均数的特点
节能灯泡的使用寿命的分组数据
使用寿命（小时） 组中值 (x) 数量（f） xf 频率 （f/Σf) （Σxf/Σf)
1000以下
1000-1200 1200-1400 1400-1600 1600-1800 1800-2000 2000以上 合 计
900
1100 1300 1500 1700 1900 2100 ——
中位数的确定 （1）未分组资料确定中位数
根据未分组资料确定中位数时，首先将标志值按大小顺序
排列，然后确定中点位次Om=(n+1)÷2，再根据中位数的位次
找出对应的标志值。
当总体单位数n是奇数时，中位数即处于中间位置的变量值； 如果n是偶数时，中位数则是中间的两个数值的算术平均数。
例如： 某班7个学生的数学成绩依次排列为65分，75分，78分， 82分，89分，91分，95分，则该数列的中点位次为： Om=（7+1）÷2=4
例如，某生产小组有6人，某天生产的产品零件数分别为12件，14 件，13件，12件，16件，11件，则平均每人日生产零件数为： 78/6=13(件)
加权算术平均数
志值乘以相应的次数，然后加总求和，再除以总次数（总体 单位数），所得结果为加权算术平均数。其计算公式为：
若总体资料已经分组，编成分配数列，这时将各组标
算术平均数可分为简单算术平均数和加权算术平均数。
简单算术平均数
若总体资料未进行分组，则先计算总体标志总量，再用总体 单位数去除，计算的结果为简单算术平均数。其计算公式为：
x1 x 2 x n x x n n
式中， 表示算术平均数；x表示各单位的标志值； n表示总体 单位数；∑x表示总和。
2
8 16 35 23 12 4 100
1800
8800 20800 52500 39100 22800 8400 154200
0.020
0.080 0.160 0.350 0.230 0.120 0.040 1.000
18
88 208 525 391 228 84 1542
算术平均数的数学性质
1）各标志值与算术平均数的离差之和等于零。即 未分组资料： x x 0 分组资料：
——《报刊文摘》2007年12月5日第2版
f(x)
众数
MO
x
众数的确定
字母 MO 表示，反映一种最普遍、最常见的现象。
众数（Mode）是总体中出现次数最多的标志值，一般用
（1）单项数列确定众数 采用直接观察法确定众数。单项数列确定众数比较简单， 只需找出次数最多的标志值即为众数。例如：
住房满意程度 很不满意 户数 80 不满意 100 一般 180 比较满意 250 满意 160
第一节 数据分布集中趋势的测定
集中趋势
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾
向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表 值或中心值。一般而言，集中趋势用平均指标来表 示。
平均指标
一 平均指标的概念及作用
x
平均指标是表明同质总体内某一标志在具体时
间、地点、条件下达到的一般水平的统计指标， 也称为平均数或均值。
几何平均数是n个比率乘积的n次方根，即把若干
主要用于计算现象的平均发展速度，
也适用于对某些具有环比性质的比率求平均。 几何平均数按计算方法不同分为简单几何平均数和加权几何 平均数。 xG n x1 x2 xn n x （1）简单几何平均数 （2）加权几何平均数 x f x f1 x f 2 x f n f xf
（提示：总平均价格=销售总额÷总销售量，已知分子销售总额，应用加权调 和平均数）
解：
xH
m 60000 50000 60000 170000 2.27(元/千克) m 60000 50000 60000 75000 x 2.00 2.50 2.40
几何平均数
个变量连乘，得其乘积再开n次方根。社会经济统计 中，几何平均数适用于各个变量值之间存在连乘积关 系的场合。
解：上面数列中比较满意的户数最多，即出现次数最多， 所以众数 MO为“比较满意”。也就是总体来说，该城市居 民对现有住房还是比较满意的。
（2）组距数列确定众数
首先根据出现的最多次数确定众数所在组（简称众数组），然后利用 公式计算众数的近似值。
其计算公式为： 下限公式： 上限公式：
MO L
1 d 1 2
500以下 500-800 800-1100 1 9 18 1400-1700 1700-2000 2000以上 14 7 4
1100-1400
25
合计
78
解：首先确定众数组，人数最多者为25人，对应组为11001400，则该组为总数所在组。 25 18 300 1217 (元) 根据下限公式：MO L 1 d 1100
1 2 (25 18) (25 14) MO U 根据上限公式： 2 25 14 d 1400 300 1217 (元) ( 25 18 ) ( 25 14 ) 1 2
众数的特点
• 众数是位置平均数，不受极端数值的影响。
位置平均数是根据标志值在分配数列中的位置或出现
次数的多少确定的，主要有中位数和众数。
平均指标的计算
算术平均数
算术平均数是总体单位某一数量标志值之和除以总 体单位总量（即总体单位数）。其计算公式为：
总体标志总量 算术平均数 总体单位总量
例如，某企业2006年12月职工平均人数为500人，其工 资总额为 1000000元，则该企业职工月平均工资为 2000元。
• 如果权数采用频率的形式计算时，平均数的公式变为：
f x x f
• 当权数完全相等（f1 =f2 =…= fn）时，加权算术平均数就成了 简单算术平均数，权数就失去了意义。
• 若分组资料为单项数列，则可直接按公式计算加权算术平均数； • 若分组资料是组距数列，则先计算组中值，用组中值代替各组标志值 的一般水平，再计算加权算术平均数。
• 众数只有在总体单位数多，而且具有明显的集中趋
势时，才有合理的代表性和现实意义。
• 当总体单位数少，或者总体单位数虽多，但无明显
集中趋势时，就不存在众数。
f(x)
中位数
50%
50%
Me
x
中位数（Medians）是将总体各单位的标志值按大小顺 序排列，处于数列中点位置的标志值，一般用字母Me表示。
x1 f1 x2 f 2 xn f n xf x f1 f 2 f n f
权数
• 权数——指在计算总体平均数或综合水平的过程中对 各个数据起着权衡轻重作用的变量。
• 可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频率）来表示。
– 事实上比重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作用的实质。
社会经济现象用几何平均法计算平均数应满足两个条件： （1）若干个比率或速度的乘积等于总比率或总速度。 （2）相乘的各比率或速度不得为零或负值。