经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷19
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、<B>计算题</B>(总题数：28，分数：56.00)1.设F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题正确的是( )．A.∫1／xf(lnax)dx=1／aF(lnax)+CB.∫1／xf(lnax)dx=F(lnax)+C √C.∫1／xf(lnax)dx=aF(lnax)+CD.∫1／xf(lnax)dx=1／xF(lnax)+C由题设F(x)为f(x)的一个原函数，可知∫f(x)dx=F(x)+C．故∫1／xf(lnax)dx=∫1／axf(lnax)d(ax)=∫f(lnax)d(lnax)=F(lnax)+C．故选B．2.不定积分∫x 2．A.－1／3(1－x 3 ) 3／2 +CB.－2／9(1－x 3 ) 3／2 +C √C.－3(1－x 3 ) 3／2 +CD.－9／2(1－x 3 ) 3／2 +C利用凑微分法可得∫x 2dx=1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(x 3 )=－1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(1－x 3 ) =－1／3．2／3(1－x 3 ) 3／2 +C=－(1－x 3 ) 3／2 +C．故选B．3.设f(x)在区间[a，b]上，有f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．记S 1 =∫a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b－a)，S 3 =1／2[f(b)+f(a)](b－a)，则有( )．A.S 1＜S 2＜S 3B.S 3＜S 1＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 3√由于f'(x)＜0，可知函数f(x)在[a，b]上单调减少；由于f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)在[a，b]上为凹．曲线的图形如图1—3—1所示．由图可知，S 1表示曲边梯形ABDC的面积，S 2表示以b－a为长，f(b)为宽的矩形ABDE的面积，而S 3表示梯形ABDC的面积，因此可得S 2＜S 1＜S 3，故选D．4.设F(x)= ∫a x f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则为( )．A.a 2B.a 2 f(a) √C.0D.不存在因为且所给问题为含有可变限积分的极限问题，且所给极限为“0／0”型．通常含有可变限积分的极限求解需要利用洛必达法则，通过求导数消去可变限积分．则由洛必达法则可得故选B．5.如图1—3—1所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf'(x)dx等于( )．A.曲边梯形ABOD的面积B.梯形ABOD的面积C.曲边三角形ACD的面积√D.三角形ACD的面积由于∫0a xf'(x)dx=xf(x)| 0a－∫0a f(x)dx=af(a)－∫0a f(x)dx．又由于af(a)的值等于矩形ABOC 的面积，∫0a f(x)dx的值等于曲边梯形ABOD的面积，可知∫0a xf'(x)dx的值等于曲边三角形ACD的面积．故选C．6.∫01．A.1B.π／2C.π／3D.π／4 √y= 可以化为(x－1) 2 +y 2 =1，y≥0，因此y= 表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01 dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．7.∫1e．A.－eB.eC.－1／e √D.1／e也可以直接使用分部积分法：C．8.二元函数f(x，(0，0)处必定( )．A.连续且偏导数存在B.连续但偏导数不存在C.不连续但偏导数存在√D.不连续且偏导数不存在由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．9.设z=，则dz=( )A.B.C.D. √求dz通常利用可微分的充分条件，即先求出为连续函数，则有dz= dy．由于当x 2+y 2≠0时，都为连续函数，因此故选D．10.设z=x y，x=sint，y=tant,则全导数dz／dt| t=π／4 =( )．A.B.C. √D.由于dz／dt= =yx y－1，=x y lnx． dx／dt=cost，dy／dt=1／cos 2 t，因此 dz／dt=yx y－1．cost+x y lnx．1／cos 2t=(sint) tant(1+ )，因此 dz／dt|t=π／4= (1－ln2)．故选C．11.设有三元方程xy－zlny+z 2=1，根据隐函数存在定理，存在点(1，1，0)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A.只能确定一个具有连续偏导数的函数z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z) √注意隐函数存在定理：设函数F(x，y，z)在点P(x 0，y 0，z 0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x 0，y 0，z 0 )=0，F' z (x 0，y 0，z 0 )≠0，则方程F(x，y，z)=0在点P(x 0，y 0，z 0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=z(x，y)，它满足条件z 0 =z(x 0，y 0 )，且有在本题中令 F(x，y，z)=xy－zlny+z 2－1，则 F(1，1，0)=0，且 F' x =y，F' y =x－，F' z =－lny+2z， F' x (1，1，0)=1，F' y (1，1，0)=1，F' z (1，1，0)=0．由隐函数存在定理可知，可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．故选D．12.设(0，0)( )．A.为z的驻点且为极小值点B.为z的驻点但不为极小值点C.不为z的驻点，但为极小值点√D.不为z的驻点，也不为极小值点z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．13.函数z=x 2 +y 2在条件=1下的极值为( )．A.B.C. √D.所给问题为条件极值．构造拉格朗日函数 F(x，y，λ)=x 2 +y 2 +λ( －1)，解联立方程组可解得唯一一组解对于条件极值问题，判定其驻点是否为极值点，往往是利用问题的实际背景来解决．所给问题不是实际问题．但是可以理解为：考查直线=1上的点到原点的距离的极值问题．由于直线上任意一点(x，y)到原点的距离而点(x，y)应满足直线方程=1．因此问题转化为求在条件=1下函数d=的最小值问题．为了计算简便，可以求z=d 2 =x 2 +y 2在条件=1下的极值问题．在此实际背景之下，由于原点到定直线上点之间的距离存在最小值，可知所给条件极值存在最小值．由于驻点唯一，因此所求驻点为最(极)小值点，相应的最(极)小值为故选C．14.设z=z(x，y)由方程z－y－xe z－y－x－y=0确定，则．A.－1B.1 √C.－1+e z－y－xD.－1－e z－y－x设F(x，y，z)=z－y－x+xe z－y－x，则 F' y =－1+xe z－y－x．(－1)=－(1+xe z－y－x )， F' z =1+xe z－y－x．因此故选B．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=lnx，则du=1／xdx．所以ln2x=ln2+lnx=ln2+u，ln4x=u+ln4=u+2ln2=u－ln2．ln(2ln2+u)+C =lnx－ln2．ln(ln4x)+C．)16.设f(x)为连续函数，且满足∫0x f(t－1)dt=x 3，求f'(x)．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于f(x)为连续函数，因此将所给表达式两端同时关于x求导，可得 f(x－1)=3x 2．令t=x－1，则x=t+1，可得f(t)=3(t+1) 2，即 f(x)=3(x+1) 2，故f'(x)=6(x+1)．)17.，求a，b的值．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于原式型，由洛必达法则可得由于分子的极限为零，比值的极限存在，因此分母的极限必定为零，即(b－cosx)=b=1=0，可得b=1．因此可知a=2或a=－2．)18.计算定积分∫π／4π／2．__________________________________________________________________________________________正确答案：(19.计算定积分∫1／23／2．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令t=1－x，则dx=－dt．当x=1／2时，t=1／2；当x=3／2时，t=－1／2．因此)20.设，求∫01 xf(x)dx．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：将f(x)= dt两端同时关于x求导，可得f'(x)=2x 由分部积分公式可得∫01 xf(x)dx 当x=1时，有 f(1)=∫11dt=0，因此∫01 xf(x)dx=1／4(e －1－1)．)21.求由曲线y=和直线x=0，x轴所围成图形的面积．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于当0≤x≤＞0，故所求图形面积为令t=x 2，当x=0时，t=0；当x= 时，t=π／4．因此)22.设二元函数__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x／y，v=y／x，则z=sinu+cosv23.设z=方f[x+φ(y／x)]，其中f(u)，φ(v)为可导函数，求dz．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x+φ(y／x)，v=y／x，则z=f(u)24.设2=z(x，y)由f(x 2－y，y 2 +z)=0确定，其中f(u，v)可微，求dz．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：记f' i为f对第i个位置变量的偏导数，i=1，2，设 F(x，y，z)=f(x 2－y，y 2+z)，则F' x =f' 1．2x，F' y =f' 1．(一1)+f' 2．2y，F' z =f' 2．)25.设z=z(x，y)由方程x+y+z－xyz=0确定，求dz．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解法1利用全微分形式不变性求解．dx+dy+dz－d(xyz)=0，dx+dy+dz－yzdx－xzdy－xydz=0，(1－yz)dx+(1－xz)dy+(1－xy)dz=0．当1－xy≠0时，有dz= [(1－yz)dx+(1－xz)dy]．解法2先利用隐函数存在定理求，再利用全微分公式求dz．令F(x，y，z)=x+y+z－xyz，则F' x=1－yz，F' y =1－xz，F' z =1－xy，当xy≠1时，有)26.设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由e xy－y=0和e z－z=0确定，求du／dx．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于y=y(x)，z=z(x)，可知u为x的一元函数，则有du／dx=f' 1+f' 2．+f' 3．dz／dx．将e' xy－y=0两端关于x求导，可得 e xy．(xy)'－y'=0， e xy．(y+xy')－y'=0，可得将e z－xz=0两端关于x求导，可得 e z．z'－(z+xz')=0， z'=z／(e z－x) 因此) 27.设函数z=lnx+3lny，求z在条件x 2 +y 2 =25下极值点的坐标．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=lnx+3lny+λ(x 2 +y 2－25)，求解方程组由①，②可得λ=－1／2x 2 =－3／2y 2，因此y 2 =3x 2，代入③可得由于z=lnx+3lny，知x＞0，y＞0，故只有唯一的可能极值点(5／2，5／)．本题可以理解为：在圆周x 2 +y 2 =25上求一点，使lnxy 3达到极值，由lnxy 3表达式可知，其极小值不存在，极大值应该存在，驻点唯一，因此该驻点即为极大值点，此点即为所求点．)28.设计一幅广告画，要求画面面积为4840cm 2，上、下空白处各要留8cm，左、右空白处各要留5cm，问怎样确定画面的长和宽，才能使整幅广告画所用纸张的面积最小?__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设画面长、宽分别为x，y(cm)，则整幅广告画所用纸张面积为 S=(x+16)(y+10)，(x＞0，y＞0)．要求面积S=(x+16)(y+10)在约束条件xy=4840下的最小值．构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=(x+16)(y+10)+λ(xy－4840)．x=88，y=55，则(88，55)是唯一可能的极值点．由实际问题可知所用纸张面积一定存在最小值，且可能极值点唯一，因此长为88cm，宽为55cm时为所求画面的长和宽．)。
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：28，分数：56.00)1.设F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题正确的是( )．A.∫1／xf(lnax)dx=1／aF(lnax)+CB.∫1／xf(lnax)dx=F(lnax)+C √C.∫1／xf(lnax)dx=aF(lnax)+CD.∫1／xf(lnax)dx=1／xF(lnax)+C由题设F(x)为f(x)的一个原函数，可知∫f(x)dx=F(x)+C．故∫1／xf(lnax)dx=∫1／axf(lnax)d(ax)=∫f(lnax)d(lnax)=F(lnax)+C．故选B．2.不定积分∫x 2．A.－1／3(1－x 3 ) 3／2 +CB.－2／9(1－x 3 ) 3／2 +C √C.－3(1－x 3 ) 3／2 +CD.－9／2(1－x 3 ) 3／2 +C利用凑微分法可得∫x 2dx=1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(x 3 )=－1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(1－x 3 ) =－1／3．2／3(1－x 3 ) 3／2 +C=－(1－x 3 ) 3／2 +C．故选B．3.设f(x)在区间[a，b]上，有f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．记S 1 =∫a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b－a)，S 3 =1／2[f(b)+f(a)](b－a)，则有( )．A.S 1＜S 2＜S 3B.S 3＜S 1＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 3√由于f'(x)＜0，可知函数f(x)在[a，b]上单调减少；由于f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)在[a，b]上为凹．曲线的图形如图1—3—1所示．由图可知，S 1表示曲边梯形ABDC 的面积，S 2表示以b－a为长，f(b)为宽的矩形ABDE的面积，而S 3表示梯形ABDC的面积，因此可得S 2＜S 1＜S 3，故选D．4.设F(x)= ∫a x f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则为( )．A.a 2B.a 2 f(a) √C.0D.不存在因为且所给问题为含有可变限积分的极限问题，且所给极限为“0／0”型．通常含有可变限积分的极限求解需要利用洛必达法则，通过求导数消去可变限积分．则由洛必达法则可得故选B．5.如图1—3—1所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf'(x)dx等于( )．A.曲边梯形ABOD的面积B.梯形ABOD的面积C.曲边三角形ACD的面积√D.三角形ACD的面积由于∫0a xf'(x)dx=xf(x)| 0a－∫0a f(x)dx=af(a)－∫0a f(x)dx．又由于af(a)的值等于矩形ABOC 的面积，∫0a f(x)dx的值等于曲边梯形ABOD的面积，可知∫0a xf'(x)dx的值等于曲边三角形ACD的面积．故选C．6.∫01．A.1B.π／2C.π／3D.π／4 √y= 可以化为(x－1) 2 +y 2 =1，y≥0，因此y= 表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01 dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．7.∫1e．A.－eB.eC.－1／e √D.1／e也可以直接使用分部积分法：C．8.二元函数f(x，(0，0)处必定( )．A.连续且偏导数存在B.连续但偏导数不存在C.不连续但偏导数存在√D.不连续且偏导数不存在由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．9.设z=，则dz=( )A.B.C.D. √求dz通常利用可微分的充分条件，即先求出为连续函数，则有dz= dy．由于当x 2+y 2≠0时，都为连续函数，因此故选D．10.设z=x y，x=sint，y=tant,则全导数dz／dt| t=π／4 =( )．A.B.C. √D.由于dz／dt= =yx y－1，=x y lnx．dx／dt=cost，dy／dt=1／cos 2 t，因此 dz／dt=yx y－1．cost+x y lnx．1／cos 2t=(sint) tant(1+ )，因此 dz／dt| t=π／4= (1－ln2)．故选C．11.设有三元方程xy－zlny+z 2=1，根据隐函数存在定理，存在点(1，1，0)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A.只能确定一个具有连续偏导数的函数z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z) √注意隐函数存在定理：设函数F(x，y，z)在点P(x 0，y 0，z 0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x 0，y 0，z 0 )=0，F' z (x 0，y 0，z 0 )≠0，则方程F(x，y，z)=0在点P(x 0，y 0，z 0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=z(x，y)，它满足条件z 0 =z(x 0，y 0 )，且有在本题中令F(x，y，z)=xy－zlny+z 2－1，则F(1，1，0)=0，且 F' x =y，F' y =x－，F' z =－lny+2z， F' x (1，1，0)=1，F' y (1，1，0)=1，F' z (1，1，0)=0．由隐函数存在定理可知，可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．故选D．12.设(0，0)( )．A.为z的驻点且为极小值点B.为z的驻点但不为极小值点C.不为z的驻点，但为极小值点√D.不为z的驻点，也不为极小值点z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．13.函数z=x 2 +y 2在条件=1下的极值为( )．A.B.C. √D.所给问题为条件极值．构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=x 2 +y 2 +λ( －1)，解联立方程组可解得唯一一组解对于条件极值问题，判定其驻点是否为极值点，往往是利用问题的实际背景来解决．所给问题不是实际问题．但是可以理解为：考查直线=1上的点到原点的距离的极值问题．由于直线上任意一点(x，y)到原点的距离而点(x，y)应满足直线方程=1．因此问题转化为求在条件=1下函数d=的最小值问题．为了计算简便，可以求z=d 2 =x 2 +y 2在条件=1下的极值问题．在此实际背景之下，由于原点到定直线上点之间的距离存在最小值，可知所给条件极值存在最小值．由于驻点唯一，因此所求驻点为最(极)小值点，相应的最(极)小值为故选C．14.设z=z(x，y)由方程z－y－xe z－y－x－y=0确定，则．A.－1B.1 √C.－1+e z－y－xD.－1－e z－y－x设F(x，y，z)=z－y－x+xe z－y－x，则F' y =－1+xe z－y－x．(－1)=－(1+xe z－y－x )， F' z =1+xe z－y－x．因此故选B．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=lnx，则du=1／xdx．所以ln2x=ln2+lnx=ln2+u，ln4x=u+ln4=u+2ln2=u－ln2．ln(2ln2+u)+C =lnx－ln2．ln(ln4x)+C．)16.设f(x)为连续函数，且满足∫0x f(t－1)dt=x 3，求f'(x)．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：由于f(x)为连续函数，因此将所给表达式两端同时关于x求导，可得f(x－1)=3x 2．令t=x－1，则x=t+1，可得f(t)=3(t+1) 2，即f(x)=3(x+1) 2，故f'(x)=6(x+1)．)17.，求a，b的值．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：由于原式型，由洛必达法则可得由于分子的极限为零，比值的极限存在，因此分母的极限必定为零，即(b－cosx)=b=1=0，可得b=1．因此可知a=2或a=－2．)18.计算定积分∫π／4π／2．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(19.计算定积分∫1／23／2．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：令t=1－x，则dx=－dt．当x=1／2时，t=1／2；当x=3／2时，t=－1／2．因此)20.设，求∫01 xf(x)dx．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：将f(x)= dt两端同时关于x求导，可得f'(x)=2x 由分部积分公式可得∫01 xf(x)dx 当x=1时，有f(1)=∫11dt=0，因此∫01 xf(x)dx=1／4(e －1－1)．)21.求由曲线y=和直线x=0，x轴所围成图形的面积．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：由于当0≤x≤＞0，故所求图形面积为令t=x 2，当x=0时，t=0；当x= 时，t=π／4．因此)22.设二元函数________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=x／y，v=y／x，则z=sinu+cosv23.设z=方f[x+φ(y／x)]，其中f(u)，φ(v)为可导函数，求dz．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=x+φ(y／x)，v=y／x，则z=f(u)24.设2=z(x，y)由f(x 2－y，y 2 +z)=0确定，其中f(u，v)可微，求dz．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：记f' i为f对第i个位置变量的偏导数，i=1，2，设 F(x，y，z)=f(x 2－y，y 2 +z)，则F' x =f' 1．2x，F' y =f' 1．(一1)+f' 2．2y，F' z =f' 2．)25.设z=z(x，y)由方程x+y+z－xyz=0确定，求dz．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：解法1利用全微分形式不变性求解．dx+dy+dz－d(xyz)=0，dx+dy+dz－yzdx－xzdy －xydz=0，(1－yz)dx+(1－xz)dy+(1－xy)dz=0．当1－xy≠0时，有dz= [(1－yz)dx+(1－xz)dy]．解法2先利用隐函数存在定理求，再利用全微分公式求dz．令F(x，y，z)=x+y+z－xyz，则F' x=1－yz，F' y =1－xz，F' z =1－xy，当xy≠1时，有)26.设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由e xy－y=0和e z－z=0确定，求du／dx．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于y=y(x)，z=z(x)，可知u为x的一元函数，则有du／dx=f' 1+f' 2．+f' 3．dz／dx．将e' xy－y=0两端关于x求导，可得 e xy．(xy)'－y'=0， e xy．(y+xy')－y'=0，可得将e z－xz=0两端关于x求导，可得 e z．z'－(z+xz')=0， z'=z ／(e z－x) 因此) 27.设函数z=lnx+3lny，求z在条件x 2 +y 2 =25下极值点的坐标．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=lnx+3lny+λ(x 2 +y 2－25)，求解方程组由①，②可得λ=－1／2x 2 =－3／2y 2，因此y 2 =3x 2，代入③可得由于z=lnx+3lny，知x＞0，y＞0，故只有唯一的可能极值点(5／2，5／)．本题可以理解为：在圆周x 2 +y 2 =25上求一点，使lnxy 3达到极值，由lnxy 3表达式可知，其极小值不存在，极大值应该存在，驻点唯一，因此该驻点即为极大值点，此点即为所求点．)28.设计一幅广告画，要求画面面积为4840cm 2，上、下空白处各要留8cm，左、右空白处各要留5cm，问怎样确定画面的长和宽，才能使整幅广告画所用纸张的面积最小?________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：设画面长、宽分别为x，y(cm)，则整幅广告画所用纸张面积为 S=(x+16)(y+10)，(x＞0，y＞0)．要求面积S=(x+16)(y+10)在约束条件xy=4840下的最小值．构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=(x+16)(y+10)+λ(xy－4840)．x=88，y=55，则(88，55)是唯一可能的极值点．由实际问题可知所用纸张面积一定存在最小值，且可能极值点唯一，因此长为88cm，宽为55cm时为所求画面的长和宽．)。
2019年经济类联考数学答案及解析
2019年入学经济类专业学位联考综合能力真题21. 设函数()x y y =由参数方程,e ,d e 220t t u y u x ==⎰则=x y d d （ ）. （A ）2t （B ）22t （C ）1 （D ）2【答案】C 【解析】参数方程的求导1d d d d d d ==t x t yx y 22. 设函数()x f ，()x g 在区间[]b a ,上均可导，且函数值、导数值均恒负（其中b a ＜），若()()()()0''＜x g x f x g x f -，则()b a x ,∈时，不等式（ ）成立.（A ）()()()()a g a f x g x f ＞ （B ）()()()()b g b f x g x f ＜ （C ）()()()()a g a f x g x f ＞ （D ）()()()()b g b f x g x f ＞【答案】C【解析】导数的应用，()()()()()()()().00''>⇒=<⇒=x G x g x f x G x F x g x f x F ； 23.()=--→11tan lim 321x x x （ ）. （A ）21 （B ）31 （C ）32 （D ）43 【答案】C【解析】等价无穷小替换求极值.24. 已知xxe 是()xf 的一个原函数，则()=⎰x x f x d 102（ ）. (A)1 (B)2e - (C)e 2- (D)e 2+【答案】C【解析】先求出()x f ，再带入定积分中求解.25. 函数,333xy y x z -+=则（ ）.(A)点()1,1是函数的极大值点 (B)点()1,1是函数的极小值点(C)点()0,0是函数的极大值点 (D)点()0,0是函数的极小值点【解析】先求出驻点，然后利用二元函数极值的充分条件判断.26.已知抛物线422+-=x x y 在点M 处的切线与x 轴的交角成45，则点M 的坐标为（ ）.(A)()4,2 (B)()3,1 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛413,23 (D)()4,0 【答案】C【解析】导数的几何意义，求出该点的导数值.27. 随机变量X 呈正态分布(),6,32N {},2.043=<<X P 则{}=≥2X P （ ）.（A ）0.2 （B ）0.3 （C ） 0.7 （D ）0.8【答案】C【解析】正态分布关于3=x 对称，{}5.03=<X P .28.()41=A P ，()31=A B P ，()21=B A P ，则()=⋃B A P （ ）. （A ）1 （B ）12 （C ）13（D ）14 【答案】C 【解析】利用概率的乘法公式求出()B P ，再利用加法公式求出()B A P ⋃.29.求4阶行列式 1040211206002412D --=--，则第四行各元素代数余子式之和，即41424344A A A A +++=（ ）.（A ）-18 （B ）-9 （C ）-6 （D ）-3【答案】A【解析】利用代数余子式的定义，所求结果为将元行列式最后一行元素全部替换成1得到的新行列式.30. 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5110141322455323211k A ，且秩3)(=A r ，则常数=k （ ）. （A ）2 （B ）2- （C ）1 （D ）1-【解析】利用矩阵秩的定义得出矩阵A 的任意一个包含常数k 的四阶子式的行列式为0.31. 已知极限011lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++∞→b ax x x x ，求常数a 和b . 【答案】1,1-==b a【解析】“∞-∞”型，先通分，再求解常数.32. 求函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导，且1)2(,e )()(==f x f x f '，求)2('''f .【答案】32)2(e f ='''【解析】复合函数的求导法则()()[]()()()x g x g f x g f '''⋅=. 33.求不定积分2x . 【答案】C x x x +++=21232523452原积分 【解析】遇到根号式，常利用换元法求积分.34.求定积分10x ⎰.【答案】 232e =原积分 【解析】与33题类似，遇到根号式，常利用换元法求积分.35. 已知()f x 在(,)-∞+∞内连续，且(0)4f =，求极限020()()d lim x x f t x t t x →-⎰.【答案】2【解析】“∞/∞”洛必达法则求极值，同时结合变限积分求导公式.36. 设(), ln y x z +=证明. 21=∂∂⋅+∂∂⋅y z y x z x 【解析】多元函数求偏导同时结合了复合函数求偏导公式.37. 某足球彩票售价1元.中奖率为0.1，如果中奖可得8元.小王购买了若干张足球彩票，如果他中奖2张，则恰好不赚也不赔，求小王收益的期望值.【答案】12.8【解析】先求出小王购买的彩票数，再求出每一次盈利的期望，最后利用数学期望的性质求出收益的期望值.求：(1)X 的数学期望EX ;(2)概率{}.01≠<X X P【答案】16/37=EX ;{}.8/2501=≠<X X P【解析】利用概率的归一性求出k . 39. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A ，三阶矩阵B 满足E AB A =-2，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵B .【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000120B 【解析】12--=⇒=-A A B E AB A . 40. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,0321321321kx x x x kx x x x kx 有非零解，求k 的所有可能取值.【答案】2-1或=k【解析】有非零解可知系数矩阵的行列式等于0.。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷14(题后含
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷14(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />可知f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小．故选D．知识模块：微积分6．设f(x)=且在x=0处连续，则a=( )．A．1／3B．1C．3／2D．3正确答案：A解析：由题设知f(x)在x=0处连续，且f(0)=a．又有所以f(x)=f(0)，得a=1／3．故选A．知识模块：微积分7．∫15xdx=( )．A．272／15B．272／5C．272／3D．272／2正确答案：A解析：令t=，则x=t2+1，dx=2tdt．当x=1时，t=0；当x=5时，t=2．因此∫15xdx=∫02(t2+1)t．2tdt=2∫02(t4+t2)dt故选A．知识模块：微积分8．下列命题错误的是( )．A．f(x，y)=A的充分必要条件是f(x，y)=A+α，其中α满足α=0B．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处必定连续C．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则z=f(x，y)在M0(x0，y0)必定存在偏导数dyD．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在连续偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)必定可微分，且dzdy正确答案：B解析：对于命题A可仿一元函数极限基本定理证明其正确，又可以称这个命题为二元函数极限基本定理．命题B不正确：偏导数存在不能保证函数连续，同样函数连续也不能保证偏导数存在．由全微分的性质可知，若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则必定存在，且可知命题C正确．对于命题D，教材中以定理形式出现“如果函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)连续，那么函数在该点可微分”，还给出定理的证明，这说明命题D正确．故选B．知识模块：微积分9．设x=ln(x+y2)，则dz|(1，0)=( )．A．dx+dyB．dx－dyC．dxD．dy正确答案：C解析：可以依常规方法先求出，然后求出dz|(1，0)．也可以先求出z(x，0)=lnx，z(1，y)=ln(1+y2)，分别求出，再分别令x=1，y=0求之．下面利用前者：因此dz|(1，0)=dx．故选C．知识模块：微积分10．设函数u=(x／y)z，则du|(3，2，1)=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：所给问题为三元函数的微分运算．这里要指出，对于二元函数的偏导数、全微分运算都可以推广到多于二元的函数之中．由于=z(x／y)z－1．1／y=z ／y(x／y)z－1，=z(x／y)z－1．(－x／y2)=－zx／y2(x／y)z－1，=(x／y)z．lnx ／y．由幂指函数的定义可知x／y＞0，因此上面三个偏导数在其定义区域内都为连续函数．可知当x=3，y=2，z=1时，故选A．知识模块：微积分11．设组织z=z(x，y)是由方程x2y－z=φ(x+y+z)所确定的函数，其中φ可导，且φ’≠－1，则=( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：设F(x，y，z)=x2y－z－φ(x+y+z)，则F’x=2xy－φ’，F’z=－1－φ’，可得故选C．知识模块：微积分12．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且=－2，则( )．A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点D．根据所给条件无法判定点(0，0)是否为f(x，y)的极值点正确答案：B解析：由题设=－2，又由于二元函数f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，所给极限表达式中分母极限为零，从而f(x，y)=0=f(0，0)．又由二元函数极限基本定理其中α满足α=0．从而f(x，y)=－2(x2+y2)2+α(x2+y2)2．在点(0，0)的足够小的邻域内，上式右端的符号取决于－2(x2+y2)2，为负，因此f(0，0)为极大值，故选B．知识模块：微积分13．设f(x，y)=3x+2y，z=f[xy，f(x，y)]，则=( )．A．4x+3B．4x－3C．3x+4D．3x－4正确答案：C解析：由于f(x，y)=3x+2y，则z=f[xy，f(x，y)]=3xy+2f(x，y)=3xy+6x+4y，从而知=3x+4．故选C．知识模块：微积分14．设z=z(x，y)由方程(x+1)z－y2－x2f(x－z，y)确定，则dz|(0，1)=( )．A．－dx－2dyB．－dx+2dyC．dx－2dyD．dx+2dy正确答案：B解析：当x=0，y=1时，代入给定方程得z=1．设F(x，y，z)=(x+1)z－y2－x2f(x－z，y)，则F’x=z－2xf(x－z，y)－x2f’1，F’y=－2y－x2f’2，F’z=(x+1)+x2f’1，所以因此dz|(0，1)=－dx+2dy．故选B．知识模块：微积分计算题15．设f’(x)=cosx－5x，且f(0)=0，求f(x)．正确答案：由f’(x)=cosx－5x，可得∫f’(x)dx=∫(cosx－5x)dx=sinx－x2+C1，又∫f’(x)dx=f(x)+C2，从而有f(x)=sinx－x2+C，其中C=C1－C2为任意常数．又f(0)=0，代入上式可得C=0．因此f(x)=sinx－x2．涉及知识点：微积分16．计算不定积∫dx．正确答案：令t=，则x=t2，dx=2tdt．所以涉及知识点：微积分17．设f’(x)为连续函数，F(x)=∫ax(x－t)f’(t)dt，求F”(x)．正确答案：由于被积函数中含有变上限的变元，应先将所给表达式变形．则有F(x)=∫ax[xf’(t)－tf’(t)]dt=x∫axf’(t)dt－∫axtf’(t)dt，所以F’(x)=∫axf’(t)dt+矿xf’(x)－xf’(x)=∫axf’(t)dt．又由于f’(x)为连续函数，故F”(x)=f’(x)．涉及知识点：微积分18．求y=上的平均值．正确答案：由题设y=上连续．由连续函数在闭区间上平均值的定义可知所求平均值表达式为令x=sint，dx=costdt，当x=1／2时，t=π／6；当x=时，t=π／3．因此涉及知识点：微积分19．计算定积分∫1edx．正确答案：涉及知识点：微积分20．设xex∫01f(x)dx++f(x)=1，求∫01f(x)dx．正确答案：由于定积分表示确定的数值，设∫01f(x)dx=A，则所给表达式可以化为Axex++f(x)=1．将上式两端同时在[0，1]上取定积分，有∫01Axexdx+∫01dx+∫01f(x)dx=∫01dx，可得A∫01xexdx+∫01dx+A=1，(*)其中∫01xexdx=xex|01－∫01exdx=e－ex|01=1，∫01dx=arctanx|01=arctan1=π／4，代入(*)式可得所以∫01f(z)dx= 涉及知识点：微积分21．设三次多项式f(x)=ax3+bx2+cx+d满足d／dx∫xx+1f(t)dt=12x2+18x+1，当x为何值时，f(x)取到极大值．正确答案：由于d／dx∫xx+1f(t)dt=f(x+1)－f(x)=3ax2+(3a+2b)x+a+b+c=12x2+18x+1，比较系数，得a=4，b=3，c=－6．所以f(x)=4x3+3x2－6x+d，再由f’(x)=12x2+6x－6=6(2x－1)(x+1)，令f’(x)=0，得f(x)的两个驻点x1=1／2，x2=－1．又f”(x)=24x+6，则有f”(1／2)＞0，f”(－1)＜0．由极值第二充分条件知，当x=－1时，f(x)取到极大值．涉及知识点：微积分22．已知某产品的需求函数为p=10－，成本函数为C=50+2Q，求产量为多少时，利润最大．正确答案：由于收益=需求×价格，利润=收益－成本．设利润为F(Q)，则故F’(Q)=－Q+8，令F’(Q)=0，得F(Q)的唯一驻点Q=20．当Q＜20时，F’(Q)＞0；当Q＞20时，F’(Q)＜0．由上可知当Q=20时，F(Q)取得极大值，此时利润最大．涉及知识点：微积分23．设二元函数z=ex+ycos，求dz．正确答案：设u=x+y，v=，则z=eucosv．涉及知识点：微积分24．设二元函数z=z(x，y)由方程xyz=arctan(x+y+z)确定，求正确答案：令F(x，y，z)=xyz－arctan(x+y+z)，则涉及知识点：微积分25．设z=1／xf(xy)+yφ(x+y)，其中f，φ具有一阶连续导数，求正确答案：设u=xy，v=x+y，则z=1／xf(u)+yφ(v)．因此涉及知识点：微积分26．设z=z(x，y)由方程x2y+ez=2z确定，求dz．正确答案：解法1设F(x，y，z)=x2y+ez－2z，则F’x=2xy，F’y=x2，F’z=ez －2，解法2将方程两端微分，可得d(x2y)+d(ez)=d(2z)，yd(x2)+x2dy+ezdz=2dz，(2－ez)dz=2xydx+x2dy，dz=(2ydx+xdy)．涉及知识点：微积分27．求二元函数z=x3－4x2+2xy－y2的极值点与极值．正确答案：即函数z有两个驻点(0，0)及(2，2)．由于对于驻点(0，0)，=－2．B2－AC=－12＜0．由极值的充分条件知点(0，0)是极大值点，极大值为0．对于驻点(2，2)，=－2．B2－AC=12＞0．由极值的充分条件知点(2，2)不为极值点．涉及知识点：微积分28．求函数M=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=xy+2yz+λ(x2+y2+z2－10)，令当λ≠0时，①，③式联立，消去y，λ得z=2x．将z=2x代入②式，整理后与①式联立，消去λ，得y2=5x2，将z=2x，y2=5x2代入④式可得四个可能极值点当λ=0时，解得E(2)．由于在点A与点B处，M=5；在点C与点D处，M=－5；在点E与点F处，M=0．又因为该问题必存在最值，并且最值不可能在其它点处，所以Mmax=5，Mmin=－5．涉及知识点：微积分29．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22．(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．正确答案：所谓最优广告策略，是指该公司销售商品能获得最大利润．其中(1)在广告费用不限的情况下求最优广告策略为无约束极值问题；(2)在限定广告费用的情况下求最优广告策略为条件极值问题．(1)在广告费用不限的情况下，利润函数为S=R－(x1+x2)=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22－(x1+x2)=15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22，则=－4x1－8x2+13，=－8x1－20x2+31．令=0，可解得x1=0．75，x2=1．25．由于B2－AC=－16＜0，A=－4＜0，所以利润函数S在(x1，x2)=(0．75，1．25)处达到极大值，亦是最大值．所以当电台广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时能获得最大利润．(2)若提供的广告费用为1．5万元，则利润函数为S=15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22，问题转化为在条件x1+x2=1．5下求S的极大值．构造拉格朗日函数L(x1，x2，λ)=15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22+λ(x1+x2－1．5)，令可解得x1=0，x2=1．5，即广告费用1．5万元全部用于报纸广告，可使利润最大．涉及知识点：微积分。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷18(题
经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷18(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)为连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是( )．A．若F(x)为奇函数，则f(x)比定为偶函数B．若f(x)为奇函数，则F(x)必定为偶函数C．若f(x)为偶函数，则F(x)必定为奇函数D．若F(x)为偶函数，则f(x)必定为奇函数正确答案：C解析：对于A，因为F(x)为f(x)的一个原函数，因此F’(x)=f(x)．若F(x)为奇函数，即F(－x)=－F(x)，两端关于x求导，可得－F’(－x)=－F’(x)，即F’(－x)=F’(x)．从而知f(－x)=f(x)，即f(x)为偶函数，可知A正确．对于B，由于F(x)是f(x)的一个原函数，可知F(x)=∫0xf(t)dt+C0，则F(－x)=∫0－xf(t)dt+C0，令u=－t，则F(－x)=∫0xf(－u)．(－1)du+C0，当f(x)为奇函数时，有f(－u)=－f(u)．从而有F(－x)=∫0xf(u)du+C0=F(x)，即F(x)为偶函数，可知B正确．对于C，取f(x)=x2，则f(x)为偶函数，又(x3+1)’=x2，则x3+1为f(x)=x2的一个原函数，但x3+1不是奇函数，可知C不正确．对于D，若F(x)为偶函数，即F(－x)=F(x)，两端关于x求导，可得－F’(－x)=F’(x)，即－f(－x)=f(x)，可知f(x)为奇函数，因此D正确．故选C．知识模块：微积分2．设∫f(x)dx=－，则f(x)=( )．A．－1B．－2xC．2xD．1／2x正确答案：C解析：由于∫f(x)，有因此f(x)=2x．故选C．知识模块：微积分3．A．－5B．1／2C．3／2D．2正确答案：B解析：当x→∞时，原式分子与分母的极限皆为∞，不能利用极限的四则运算法则．首先分子、分母同乘1／x3，得故选B．知识模块：微积分4．设f(x)为[a，b]上的连续函数，[－c，d][a，b]，则下列命题正确的是( )．A．∫abf(x)dx=∫abf(t)dtB．∫abf(x)dx≥∫cdf(x)dxC．∫abf(x)dx≤∫cdf(x)dxD．∫abf(x)dx与∫abf(t)dt不能比较大小正确答案：A解析：由题设f(x)为[a，b]上的连续函数，因此∫abf(x)dx存在，故它的值为确定的数值，取决于f(x)和[a，b]，与积分变量无关，因此∫abf(x)dx=∫abf(t)dt，可知A正确，D不正确．由于题设并没有指明f(x)的正负变化，可知B，C都不正确．故选A．知识模块：微积分5．当x→0时，下列选项中与z为等价无穷小量的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：对于A，可知应排除A．对于B，sinx／x=1，可知x→0时，sinx／x 不是无穷小量，应排除B．对于C，可知当x→0时，与x为等价无穷小量，故选C．对于D，当x→0时，xsin1／x为无穷小量，但是不存在，这表明当x→0时，无穷小量xsin1／x的阶不能与x的阶进行比较，因此排除D．知识模块：微积分6．设f(x)=f(x)存在，则a=( )．A．4B．ln4C．0D．ln1／4正确答案：B解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限来考虑．(1+ax)1／x=ea．由于=f(x)存在，ea有=4，从而a=ln4．故选B．知识模块：微积分7．已知某商品总产量的变化率f(t)=200+5t－t2，则时间t在[2，8]上变化时，总产量增加值△Q为( )．A．1266B．568C．266D．8正确答案：A解析：由总产量函数与其变化率的关系，有Q’(t)=f(t)，于是总产量增加值为△Q=∫28Q’(t)dt=∫28f(t)dt=∫28(200+5t－t2)dt=(200t+t3)|28=1266．故选A．知识模块：微积分8．在下列区间内，函数f(x)=有界的是( )．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：由于f(x)在x1=1，x2=3处没有定义，当x≠1，x≠3时，f(x)为初等函数且为连续函数．又由可知f(x)在(－1，0)内为有界函数，故选A．知识模块：微积分9．若n阶行列式Dn=＜0，则n为( )．A．任意正整数B．奇数C．偶数D．4k－1或4k－2，k=1，2，…正确答案：D解析：由行列式定义，该行列式非零项为副对角线元素的乘积，即有Dn=(－1)τ(n(n－1)…321)=(－1)[n(n－1)]／2，若Dn＜0，则应有1／2n(n－1)为奇数，即n=4k－1或4k－2，k=1，2，…．故选D．知识模块：线性代数10．设A为对角矩阵，B，P为同阶矩阵，且P可逆，下列结论正确的是( )．A．若A≠O，则Am≠OB．若B≠O，则Bm≠OC．AB=BAD．若A=P－1，则|A|＞0时，|B|＜0正确答案：A解析：选项A，设由于A≠O，不妨令a0≠0，从而有a1m≠0，所以Am≠O．故选A．选项B，见反例，设B=，但有B2=，知该结论不正确．选项C，两同阶对角矩阵对乘法有交换律，但对角矩阵与一般矩阵之间对乘法无交换律，故结论不正确．选项D，若A=P－1BP，则|A|=|P－1BP|=|P－1||B||P|=|B|，故结论不正确．知识模块：线性代数11．设α1，α2，α3为同维向量，则下列结论不正确的是( )．A．α1，α2，α3中任何一个向量均可被向量组α1，α2，α3线性表示B．若存在一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，则α1，α2，α3必线性相关C．若α1=2α2，则α1，α2，α3必线性相关D．若α1，α2，α3中有一个零向量，则α1，α2，α3必线性相关正确答案：B解析：选项B，根据向量组线性相关的概念，只有在k1，k2，k3不全为零的情况下，满足k1α1+k2α2+k3α3=0，才能确定α1，α2，α3线性相关，所以该选项不正确，故应选B．选项A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量αi(i=1，2，3)，不妨取α1，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得α1=1．α1+0．α2+0．α3．选项C，由条件可知，存在一组不全为零的数1，－2，0，使得α1－2α2+0．α3=0，因此α1，α2，α3线性相关．选项D，不妨取α1=0，于是存在一组不全为零的数1，0，0，使得1．α1+0．α2+0．α3=0．因此α1，α2，α3线性相关．知识模块：线性代数12．设α1=(1，2，－1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，若α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则a=( )．A．2B．3C．6D．8正确答案：C解析：根据题设，该向量组的秩为2，于是解法1用初等变换．即由(α1，α2，α3)T知当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成．故选C．解法2用行列式．由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个3阶子式为零，故故当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选C．知识模块：线性代数13．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若考ξ1，ξ2，ξ3是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系( )．A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含两个线性无关解向量D．含三个线性无关解向量正确答案：B解析：由A*≠O，知r(A*)≥1，故r(A)≥n－1，又因方程组Ax=b有互不相等的解ξ1，ξ2，ξ3，知r(A)＜n，从而r(A)=n－1，因此，方程组Ax=0的基础解系含n－(n－1)=1(个)线性无关解向量，故选B．知识模块：线性代数14．设f(x)=，则=________A．0B．+∞C．-∞D．不存在，但也不是∞正确答案：D解析：因为，故应分左右极限来讨论。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷12(题后含
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷12(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />不存在，这表明当x→0时，无穷小量xsin1／x的阶不能与x的阶进行比较，因此排除D．知识模块：微积分5．设f(x)=f(x)存在，则a=( )．A．1／2B．1C．2D．e正确答案：C解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限考虑．由于f(x)存在，则e2／a=e，可得a=2．故选C．(1+ax)b／x+c=eab．以后可以用作公式，简化运算．相仿知识模块：微积分6．设函数f(x)=在(－∞，+∞)内连续，则( )．A．a=2，b=－1B．a=2，b=1C．a=－1，b=2D．a=1，b=2正确答案：A解析：由题设，点x=－1与x=1为f(x)的分段点，在(－∞，1)，(－1，1)，(1，+∞)内f(x)都是初等函数，皆为连续函数．只需考查f(x)在x=－1与x=1处的连续性．(x2+ax+b)=1－a+b．若f(x)在x=－1处连续，则应有1－a+b=－2，即a－b=3．①又(x2+ax+b)=1+a+b，当f(x)在x=1处连续时，应有1+a+b=2，即a+b=1．②联立①②得方程组解得a=2，b=－1．故选A．知识模块：微积分7．设函数f(x)=，讨论f(x)的间断点，其正确的结论为( )．A．不存在间断点B．存在间断点x=1C．存在间断点x=0D．存在间断点x=－1正确答案：D解析：所给问题为判定函数f(x)的间断点．由于f(x)以极限的形式给出，因此应该先求出f(x)的表达式．由题设，得可知f(x)为分段函数，分段点为x=－1，x=1．画出草图易知x=－1为其唯一间断点．故选D．知识模块：微积分8．若函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0，则=( )．A．－2f’(0)B．－f’(0)C．f’(0)D．0正确答案：D解析：由于=f’(0)－f’(0)=0．故选D．知识模块：微积分9．设函数f(x)=其中g(x)为有界函数，则在点x=0处f(x)( )．A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：f(x)在分段点x=0两侧函数表达式不同，考虑：可知f(x)=f(0)，因此f(x)在x=0处极限存在且连续，应排除A，B．又由单侧导数的定义，有可知f’－(0)≠f’+(0)，从而f’(0)不存在，故选C．知识模块：微积分10．设函数f(x)=(x－1)(x－2)…(x－10)，则f’(1)=( )．A．9!B．－9!C．10!D．－10!正确答案：B解析：利用导数定义．=(x－1)(x－2)…(x－9)=(－1)99!=－9!．故选B．知识模块：微积分11．设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)=( )．A．eB．1／eC．－1／eD．－e正确答案：B解析：首先应求出ξn，进而得到f(ξn)，最后求出极限值．因为ξn是曲线在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标，即x轴截距，所以还需从切线方程入手．注意点(1，1)在曲线f(x)=xn上．由于f’(x)=nxn－1，所以过点(1，1)的切线斜率k=f’(1)=n．切线方程为y－1－=n(x－1)，令y=0，代入切线方程，求得的x 值就是ξn．所以ξn=1－，f(ξn)=(1－)n，故=e－1=1／e．故选B．ξn的几何意义是说，随着n的增大，曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点就越来越靠近点(1，0)．当n→∞时，切线的极限位置将是一条过点(1，1)且垂直于x轴的直线，此时切线的斜率k=∞．知识模块：微积分12．已知x=2是函数y=x3－ax+5的驻点，则常数a为( )．A．3B．6C．9D．12正确答案：D解析：当f’(x0)=0时，称x0为函数y=f(x)的驻点．由于y=x3－ax+5，y’=3x2－a，又x=2为y的驻点，故x=2时，y’=3x2－a=0，可得a=12．故选D．知识模块：微积分13．设y=f()，f’(x)=arctanx2则dy／dx|x=0=( )．A．－π／2B．－π／4C．π／4D．π／2正确答案：D解析：dy／dx=f’(u)．u’=arctanu2．当x=0时，u=－1．因此dy／dx|x=0=arctan(－1)2．=π／2．故选D．知识模块：微积分14．设f”(x)存在，y=sinf(x2)，则dy／dx=( )．A．xf’(x2)cosf(x2)B．－xf’(x2)cosf(x2)C．2xf’(x2)cosf(x2)D．－2xf’(x2)cosf(x2)正确答案：C解析：设y=sinu，u=f(v)，v=x2，则因此dy／dx=cosu．f’(v)．2x=2xf’(x2)cosf(x2)．故应选C．知识模块：微积分计算题15．正确答案：涉及知识点：微积分16．若=5，且当x→0时，f(x)与xa为同阶无穷小量，求a．正确答案：已知=5，可知=5+a(当x→0时，a为无穷小量)，即为非零常数，应有a+1=3，因此a=2．涉及知识点：微积分17．设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的极限．正确答案：当x→0－时，1／x→－∞，e1／x→0；当x→0+时，1／x→+∞，e1／x→+∞．因此需讨论f(x)在点x=0处的左极限与右极限．由于当x→0+时，－1／x→－∞，e－1／x→0，因此可知f(x)在z=0处的左极限与右极限都存在，但不相等，因此f(x)不存在．涉及知识点：微积分18．设当x→0时，－1与cosx－1为等价无穷小量，求常数a．正确答案：当x→0时，－1～a／2x2，1－cosx～x2／2，依题设，有因此a=－1．涉及知识点：微积分19．设函数f(x)=当a，b为何值时，函数f(x)在点x=0处连续．正确答案：由ln(b+x2)=lnb，若函数f(x)在点x=0处连续，应有a／2=lnb=1，所以a=2，b=e．涉及知识点：微积分20．讨论函数f(x)=．x的连续性．正确答案：由于函数f(x)是极限形式，所以先求出极限，化为分段函数，再讨论其连续性．当|x|＜1时，当|x|=1时，当|x|＞1时，型，分子、分母同除以x2n，f(x)的定义域为(－∞，+∞)．当x∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)时，f(x)为初等函数，在其定义区间内连续．注意到f(x)都不存在，x=－1和x=1是两个第一类间断点，故f(x)的连续区间为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)．涉及知识点：微积分21．设f(x)=，判定f(x)的连续性，指出间断点，并判别其类型．正确答案：当x=0，x=－1，x=1时，f(x)表达式的分母为零，f(x)没有意义．可知上述三点为f(x)的间断点．在(－∞，－1)，(－1，0)，(0，1)，(1，+∞)内f(x)皆为初等函数，因此皆为连续函数．可知x=－1为f(x)的第一类间断点，且为可去间断点．可知f(x)不存在．点x=0为f(x)的第一类间断点，且为跳跃间断点．可知点x=1为f(x)的第二类间断点，且为无穷间断点．涉及知识点：微积分22．设y=3tanx．sin1／x，求dy|x=1．正确答案：y’=3tanx．ln3．(tanx)’．sin+3tanx．cos1／x．(1／x)’=3tanx．ln3．1／cosx2．sin+3tanx．cos1／x．(－1／x2)=3tanx．ln3．1／cos2x．sin．3tanx．cos1／x．dy|x=1=y’|x=1dx=3tan1(ln3－cos1)dx．涉及知识点：微积分23．设y=，求y(n)．正确答案：求高阶导数关键在于将函数及y’，y”恒等变形，以寻找规律．由于=2(1+x)－1－1，y’=2．(－1)(1+x)－2，y”=2．(－1)．(－2)(1+x)－3，……可得y(n)=(－1)n2．n!(1+x)－(n+1)．涉及知识点：微积分24．求曲线xy=x2y在点(1，1)处的切线方程．正确答案：由于点(1，1)在曲线上，只需求出y’|x=1．所给曲线方程为隐函数方程，且为幂指函数形式．需将方程变形，以利于求y’．将方程两端取对数，得ylnx=ln(x2y)=2lnx+lny，两端关于x求导数，得将x=1，y=1代入上式可得1=2+y’|x=1得y’|x=1=－1．因此所求切线方程为y－1=－(x－1)，即x+y=2．涉及知识点：微积分25．设函数f(x)=问f(x)在x=1处是否连续?若不连续，修改函数在x=1处的定义，使之连续．正确答案：因为而f(1)=1≠f(x)，所以函数f(x)在x=1处间断．若要使之连续，需修改f(x)在x=1处的定义为f(1)=－4／π2，即涉及知识点：微积分26．设极限=4，求c的值．正确答案：易判定题设条件中只能c＞0．则涉及知识点：微积分27．求函数y=x3－x2－x+3的单调区间与极值．正确答案：y的定义域为(－∞，+∞)，y’=3x2－2x－1=(3x+1)(x－1)．令y’=0，得x1=－1／3，x2=1为y的两个驻点．当x＜－1／3时，y’＞0，可知y在(－∞，－1／3)内单调增加；当－1／3＜x＜1时，y’＜0，可知y在(－1／3，1)内单调减少；当x＞1时，y’＞0，可知y在(1，+∞)内单调增加．进而由上述分析知x=－1／3为y的极大值点，相应极大值为86／27；而x=1为y的极小值点，相应极小值为2．涉及知识点：微积分28．设方程x4+ax+b=0．(1)当a，b满足何种关系时，方程有唯一实根；(2)当a，b满足何种关系时，方程无实根．正确答案：设y=x4+ax+b，定义域为(－∞，+∞)．y在定义区间内为连续函数．且y’=4x3+a．令y’=0可得x=为y的唯一驻点．由y”=12x2，y”＞0，可知x=为函数y的极小值点．由y”＞0，可知在(－∞，+∞)内曲线为凹．且(x4+ax+b)=+∞，(x4+ax+b)=+∞，注意极小值y=(－a／4)4／3+a(－a／4)1／3+b．(1)当ymin=0，即(－a／4)4／3+a(－a／4)1／3+b=0时，y有唯一零点，即原方程有唯一实根．(2)当ymin＞0，即(－a／4)4／3+a(－a／4)1／3+b＞0时，y没有零点，即原方程没有实根．涉及知识点：微积分。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷17(题
经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷17(题后含答案及解析)题型有：1.1．A．等于2／3B．等于3／2C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：A解析：当x→4时，分子与分母的极限都为零，不能直接利用极限的商的运算法则．又由于分子与分母中都含有根式，先有理化再求极限．故选A．知识模块：微积分2．不定积分∫x2dx=( )．A．－1／3(1－x3)3／2+CB．－2／9(1－x3)3／2+CC．－3(1－x3)3／2+CD．－9／2(1－x3)3／2+C正确答案：B解析：利用凑微分法可得∫x2dx=1／3∫(1－x3)1／2d(x3)=－1／3∫(1－x3)1／2d(1－x3)=－1／3．2／3(1－x3)3／2+C=－(1－x3)3／2+C．故选B．知识模块：微积分3．设f(x)，φ(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)是φ(x)高阶的无穷小．则当x→0时∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：B解析：由于所以当x→0时，∫0xf(t)sintdt为∫0xtφ(t)dt的高阶无穷小．故选B．知识模块：微积分4．设xn=e1／n，则当n→∞时，xn的极限( )．B．为1C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：A解析：当n→∞时，cos2／n→1，e1／n→1，sin1／n～1／n．则故选A．知识模块：微积分5．∫0πdx=( )．A．3／4B．4／3C．－3／4D．－4／3正确答案：B解析：由于故选B．知识模块：微积分6．二元函数f(x，y)=在点(0，0)处必定( )．A．连续且偏导数存在B．连续但偏导数不存在C．不连续但偏导数存在D．不连续且偏导数不存在正确答案：C解析：由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．知识模块：微积分7．若已知函数f(x)在点x=4处的导数f’(4)=1，则=( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：所给问题似乎与导数定义的形式相同，但是仔细分析可以发现两者之间的差异．已知条件为f’(4)=1，从而有=1．因此可设u=2x，得=2f’(4)=2．故选B．知识模块：微积分8．已知f(n－2)(x)=sin2x，则f(n)(x)=( )．B．－4sin2xC．4cos2xD．－4cos2x正确答案：B解析：由于f(n－2)(x)=sin2x，可得f(n－1)(x)=[f(n－2)(x)]’=(sin2x)’=2cos2x，f(n)(x)=[f(n－1)(x)]’=(2cos2x)’=－4sin2x．故选B 知识模块：微积分9．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且=－2，则( )．A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点D．根据所给条件无法判定点(0，0)是否为f(x，y)的极值点正确答案：B解析：由题设=－2，又由于二元函数f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，所给极限表达式中分母极限为零，从而f(x，y)=0=f(0，0)．又由二元函数极限基本定理其中α满足α=0．从而f(x，y)=－2(x2+y2)2+α(x2+y2)2．在点(0，0)的足够小的邻域内，上式右端的符号取决于－2(x2+y2)2，为负，因此f(0，0)为极大值，故选B．知识模块：微积分10．设f’(ex)=e－x，则[f(ex)]’=( )．A．1B．e2xC．e－2xD．－1正确答案：A解析：由复合函数的链式求导法则，可知[f(ex)’=f’(ex)．ex=e－x．ex=1，故选A．知识模块：微积分11．已知向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2线性表示，则( )．A．α1，α2，α3必线性相关B．α1，α2，α3必线性无关C．β1，β2也可由α1，α2，α3线性表示D．若β1，β2线性无关，则α1，α2，α3也必线性无关正确答案：A解析：若个数多的向量组能被一个个数少的向量组线性表示，则该向量组必线性相关，由此可以确定α1，α2，α3必线性相关．故应选A．知识模块：线性代数12．设α1=(1，2，－1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，若α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则a=( )．A．2B．3C．6D．8正确答案：C解析：根据题设，该向量组的秩为2，于是解法1用初等变换．即由(α1，α2，α3)T知当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成．故选C．解法2用行列式．由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个3阶子式为零，故故当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选C．知识模块：线性代数13．设A为m×n矩阵，若方程组Ax=b有唯一解，则A的( )．A．行向量组线性无关B．行向量组线性相关C．列向量组线性无关D．列向量组线性相关正确答案：C解析：非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，其充分必要条件是r(A)=r(Ab)=n，从而知A的列向量组线性无关．故选C．知识模块：线性代数14．若xf”(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，则( )。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷12(题
经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷12(题后含答案及解析)题型有：1.1．设xn=则当n→∞时，变量xn为( )．A．无穷大量B．无穷小量C．有界变量D．无界变量正确答案：D解析：由题设可知所以xn不是无穷大量，不是无穷小量，也不是有界变量，是无界变量，故选D．知识模块：微积分2．已知f(x)存在，且函数f(x)=x2+x－2f(x)=( )．A．3／2B．2／3C．－2／3D．－3／2正确答案：B解析：由于极限值为一个确定的数值，因此可设f(x)=A，于是f(x)=x2+x－2A两端同时取x→1时的极限，有(x2+x－2A)=2－2A，于是A=2－2A．解得A=2／3．故选B．知识模块：微积分3．已知x+是f(x)的一个原函数，则∫xf(x)dx=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：由于x+是f(x)的一个原函数，可得故选A．知识模块：微积分4．设f(x)为连续函数，且F(x)=∫1／xlnx(t)dt，F’(x)=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：如果f(x)为连续函数，φi(x)为可导函数，i=1，2，则[f(t)dt]’－f[φ2(x)φ’2(x)－f[φ1(x)φ’1(x)，因此F’(x)=f(lnx)(lnx)’－f(1／x)(1／x)’故选A．若f(x)为连续函数，则[∫axf(t)dt]’=f(x)，[∫xbf(t)dt]’=－f(x)．又φ(x)可导，则有[∫a φ(x)f(t)dt]’=f[φ(x)]．φ’(x)，[∫φ(x)bf(t)dt]’=－f[φ(x)]．φ’(x)．这里有两个前提条件：(1)f(x)为连续函数，φ(x)为可导函数；(2)被积函数中不含变上(下)限的变元．知识模块：微积分5．设z=exy，dz|(1，1)，dz|(0，1)，dz|(0，1)分别为( )．A．dx，dy，e(dx+dy)B．dy，dx，e(dx+dy)C．e(dx+dy)，dx，dyD．e(dx+dy)，dy，dx正确答案：D解析：由于=xexy都为连续函数，因此故选D．知识模块：微积分6．设函数u=(x／y)z，则du|(3，2，1)=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：所给问题为三元函数的微分运算．这里要指出，对于二元函数的偏导数、全微分运算都可以推广到多于二元的函数之中．由于=z(x／y)z－1．1／y=z ／y(x／y)z－1，=z(x／y)z－1．(－x／y2)=－zx／y2(x／y)z－1，=(x／y)z．lnx ／y．由幂指函数的定义可知x／y＞0，因此上面三个偏导数在其定义区域内都为连续函数．可知当x=3，y=2，z=1时，故选A．知识模块：微积分7．设y=y(x)是由方程ey=(x2+1)2－y确定的隐函数，则点x=0( )．A．不是y的驻点B．是y的驻点，但不是极值点C．是y的驻点，且为极小值点D．是y的驻点，且为极大值点正确答案：C解析：将所给方程两端关于x求导，可得ey．y’=4x(x2+1)－y’，y’=．4x(x2+1)．令y’=0，可得y的唯一驻点x=0．当x＜0时，y’＜0；当x＞0时，y’＞0．由极值的第一充分条件可知x=0为y的极小值点．故选C．知识模块：微积分8．设A为m×n矩阵，E为m阶单位矩阵，则下列结论不正确的是( )．A．ATA是对称矩阵B．AAT是对称矩阵C．ATA+AAT是对称矩阵D．E+AAT是对称矩阵正确答案：C解析：选项C，由题设，ATA是n阶方阵，AAT是m阶方阵，两者加法运算不成立，故选C．选项A，由(ATA)T=AT(AT)T=ATA，知ATA是对称矩阵．选项B，由(AAT)T=(AT)TAT=AAT，知AAT是对称矩阵．选项D，两个m阶对称矩阵AAT 和E构成的矩阵仍是对称矩阵．知识模块：线性代数9．α1，α2，α3两两线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )．A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：向量组α1，α2，α3线性无关，则其部分向量组必线性无关，因此，α1，α2，α3两两线性无关．但α1，α2，α3两两线性无关未必有向量组α1，α2，α3线性无关，见反例：向量α1=(0，1)，α2=(1，0)，α3=(1，1)两两线性无关，但向量组α1，α2，α3线性相关．所以，α1，α2，α3两两线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的必要但非充分条件，故选B．知识模块：线性代数10．设α1，α2，α3，α4为n维向量组，则该向量组的所有向量均可以被其部分向量α1，α2，α3线性表示是α1，α2，α3构成该向量组最大无关组的( )．A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：α1，α2，α3要构成向量组的一个最大无关组，必须具备两个条件：一是α1，α2，α3为线性无关组，二是α1，α2，α3可将α1，α2，α3，α4中的所有向量线性表示．因此，是必要但非充分条件，故选B．知识模块：线性代数11．设α1，α2，…，αr为齐次方程组Ax=0的一个基础解系，若同维向量组β1，β2，…，s也是该齐次方程组的一个基础解系，则应满足的条件是( )．A．β1，β2，…，βs与α1，α2，…，αr等价B．r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αr)C．β1，β2，…，βs与α1，α2，…，αr等价且r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αr)D．β1，β2，…，βs与α1，α2，…，αr等价且s=r正确答案：D解析：依题设，r=n－r(A)．判断一个向量组是否为方程组的基础解系，应具备三个条件：一是方程组的解，二是为线性无关向量组，三是个数为n－r(A)．选项D提供的条件中，β1，β2，…，βs与α1，α2，…，αr等价，说明β1，β2，…，βs是方程组的解，且与α1，α2，…，αr的秩相等，s=r又说明β1，β2，…，βs是线性无关组，个数等于n－r(A)．因此，可以确定β1，β2，…，βs是该齐次方程组的一个基础解系，故选D．选项A，β1，β2，…，βs与α1，α2，…，αr等价，即两向量组可以互相表示，说明β1，β2，…，βs也是方程组的解，且两向量组秩相等，但向量组等价并不能说明β1，β2，…，βs的线性无关性和向量个数．选项B，仅由r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αr)，并不能说明β1，β2，…，βs是方程组的解，也不能说明β1，β2，…，βs的线性无关性．类似地，选项C不能确定β1，β2，…，βs的线性无关性和向量个数．知识模块：线性代数12．设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若r(A)=1，则方程组A*x=0的基础解系含无关解的个数为( )．A．3B．2C．1D．0正确答案：A解析：由r(A)=1知A的所有2阶子式均为零，所以r(A*)=0，从而知方程组A*x=0的基础解系含无关解的个数为3，故选A．知识模块：线性代数13．设方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)Bx=0，则两方程组为同解方程组的充分必要条件是( )．A．A，B的列向量组可以相互表示B．A，B的行向量组可以相互表示C．A，B的秩相等D．矩阵A，B等价正确答案：B解析：选项B，A，B的行向量组各自代表两个方程组的方程，将两个方程组联立，在消元过程中，若A的行向量组可以线性表示B的行向量组，则可以消去向量组(Ⅱ)的所有方程，因此，方程组(Ⅰ)的解也一定是方程组(Ⅱ)的解．反之，若B的行向量组可以线性表示A的行向量组，则方程组(Ⅱ)的解也一定是方程组(Ⅰ)的解，从而知两方程组同解．故选B．选项A，两方程组解的关系取决于代表各自方程组的行向量组，与列向量组无关．选项C，两方程组同解则系数矩阵的秩相等，但仅由系数矩阵的秩相等不能说明两方程组解之间的任何关系．选项D，矩阵A，B等价是指两矩阵可以通过初等变换相互转换，因此必定同行同列，但两方程组同解，其系数矩阵未必同行同列．知识模块：线性代数14．设f(x)=则下列结论错误的是A．x=1，x=0，x=一1为间断点B．x=0为可去间断点C．x=一1为可去间断点D．x=0为跳跃间断点正确答案：B 涉及知识点：数学基础15．设f(x)=arccos(x2)则，f’(x)=( )。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷9(题后含
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />A．－3／2B．－2／3C．2／3D．3／2正确答案：A解析：当x→1时，x25x+4→0，因此故选A．知识模块：微积分5．设f(x)=若f(x)+g(x)在x=0和x=1处都有极限，则( )．A．a=2，b=0B．a=2，b=sin1C．a=1，b=0D．a=1，b=sin1正确答案：B解析：需先求出f(x)+g(x)的表达式．显然点x=0，x=1为f(x)+g(x)的分段点，在分段点两侧函数表达式不同，应考虑左极限与右极限．[f(x)+g(x)]=(2e－x+b)=2+b，[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b．由于f(x)+g(x)在点x=0处有极限，因此a+b=2+b，可知a=2．[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b，[f(x)+g(x)]=(a+sinx)=a+sin1．由于f(x)+g(x)在点z=1处有极限，因此a+b=a+sin1，可知b=sin1．故选B．知识模块：微积分6．A．a=1，b=1／2B．a=1，b=2C．a=1／2，b=1D．a=1／2，b=2正确答案：A解析：由于=b，且分母的极限为零，则必定有分子的极限为零，即(a－cosx)=a －1=0，从而得a=1，因此有故选A．知识模块：微积分7．函数f(x)=，则( )．A．x=－1为f(x)的可去间断点，x=1为无穷间断点B．x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为可去间断点C．x=－1与x=1都是f(x)的可去间断点D．x=－1与x=1都是f(x)的无穷间断点解析：当x=－1与x=1时，f(x)没有定义．这两个点是f(x)的间断点．可知x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为f(x)的可去间断点．故选B．知识模块：微积分8．已知函数y=f(x)在点=1处可导，且=2，则f(1)=( )．A．1B．2C．3D．6正确答案：D解析：所给题设为导数定义的等价形式，由导数定义可知可得f’(1)=6．故选D．知识模块：微积分9．设函数f(x)在点x=0处连续，且f(x)／x=1，则下列命题不正确的是( )．A．f(x)=0B．f(0)=0C．f’(0)=0D．f’(0)=1正确答案：C解析：已知x=0，所以必有f(x)=0．又f(x)在点x=0处连续，故f(0)=f(x)=0．于是故选C．知识模块：微积分10．若y=f(x)可导，则当△x→0时，△y－dy为△x的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价无穷小D．等价无穷小正确答案：A解析：由微分的定义可知，当△x→0时，→0，△y－dy为△x的高阶无穷小，故选A．知识模块：微积分11．若在[0，1]上f”(x)＞0，则f’(1)，f’(0)，f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小顺序是( )．A．f’(1)＞f’(0)＞f(1)f(0)B．f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)C．f(1)一f(0)＞f’(1)＞f’(0)D．f’(1)＞f(0)－f(1)＞f’(0)解析：本题考查导数值的关系．题设条件为二阶导数大于零，可考虑利用二阶导数符号来判定一阶导函数的增减性来求解．由于在[0，1]上f”(x)＞0，可知f’(x)为[0，1]上的单调增加函数，因此f’(1)＞f’(0)．又f”(x)在[0，1]上存在，可知f’(x)在[0，1]上连续．f(x)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理，可知必定存在点ξ∈(0，1)，使得f(1)－f(0)=f’(ξ)，由于f’(x)在[0，1]上为单调增加函数，必有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)．故选B．知识模块：微积分12．设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导数的图形如图1—2—1所示．则f(x)有( )．A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点正确答案：A解析：由于极值点只能是导数为零的点或不可导的点，因此只需考虑这两类特殊点．由图1—2—1可知，导数为零的点有三个，自左至右依次记为x1，x2，x3．在这些点的两侧，f’(x)异号：当x＜x1时，f’(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f’(x)＜0．可知x1为f(x)的极大值点．当x1＜x＜x2时，f’(x)＜0；当x2＜x＜0时，f’(x)＞0．可知x0为f(x)的极小值点．当0＜x＜x3时，f’(x)＞0；当x＞x3时，f’(x)＜0．可知x3为．f(x)的极大值点．由导函数图形知，在点x=0处f(x)不可导，但在x=0左侧f’(x)＞0，在x=0右侧f’(x)＞0．可知点x=0不为．f(x)的极值点．综上可知函数f(x)有一个极小值点和两个极大值点．故选A．知识模块：微积分13．设y=sinx，则y’=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：y=sinx，则y’=(x1／3)’sinx+x1／3．(sinx)’=1／3x－2／3sinx+x1／3cosx=故选D．知识模块：微积分14．已知函数f(x)连续，且f(x)／x=2，则曲线y=f(x)上对应x=0处的切线方程是( )．A．y=xB．y=－xC．y=2xD．y=－2x正确答案：C解析：由于f(x)为连续函数，f(x)／x=2，可知f(0)=f(x)=0．因此曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x．故选C．知识模块：微积分计算题15．求极限x[ln(x+2)－lnx]．正确答案：所求极限为“0．∞”型，不能利用极限的四则运算法则．由对数性质及连续函数的性质有：=lne2=2．涉及知识点：微积分16．求极限(3－n+4－n)1／n．正确答案：(3－n+4－n)1／n令x=(3／4)n，则(3／4)n=0，即x=0．原式=1／3(1+x)1／n=1／3[(1+x)1／x]x／n=1／3．涉及知识点：微积分17．求极限(1+2n+3n)1／n．正确答案：由于由极限存在准则(夹逼定理)可知=1／3lim(1+2n+3n)1／n=1，(1+2n+3n)1／n=3．涉及知识点：微积分18．若=0，求常数a的值．正确答案：所给表达式中，由于当x→0时sin3x／x极限存在，由极限的性质可知当x→0时，ln()1／x极限存在，且有=lnea+1=a+1．因此a+1=3，得a=2．涉及知识点：微积分19．设当x→0时，(－1)．ln(1+x2)是比xnsinx高阶的无穷小量，而xnsinx 是比1－cosx高阶的无穷小量，求正整数n的值．正确答案：当x→0时，(－1)．ln(1+x2)～x2．x2=x4，xnsinx～xn+1，1－cosx～x2／2．由题设可知，应有2＜n+1＜4，因此n=2．涉及知识点：微积分20．设f(x)=在点x=0处连续，求a，b的值．正确答案：f(x)为分段函数，点x=0为分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，考查f(x)在点x=0处左连续与右连续．由于sin1／x为有界变量，当x→0时，x为无穷小量，因此xsin1／x=0．而可得f(x)=3，由f(0)=a，可知当a=3时，f(x)在点x=0处左连续．(1+bx)2／x=e2b．可知当e2b=a，即b=1／2lna时，f(x)在点x=0处右连续．综上可知，当a=3，b=1／2ln3时，f(x)在点x=0处连续．涉及知识点：微积分21．求函数y=ln的连续区间．正确答案：首先求y=ln的定义域，应有＞0，且1－x≠0，解得0＜x＜1．可知y=ln的定义域为(0，1)，y=ln为初等函数，在其定义区间(0，1)内必定为连续函数，可知(0，1)为所求．涉及知识点：微积分22．设y=cos(2x+x2)，求dy．正确答案：解法1先求y’，由dy=y’dx解之．y=cos(2x+x2)，y’=－sin(2x+x2)．(2x+x2)’=－sin(2x+x2)．(2x．ln2+2x)．因此dy=y’dx=－sin(2x+x2)．(2xln2+2x)dx．解法2利用微分形式不变性解之．dy=d[cos(2x+x2)]=－sin(2x+x2)．d(2x+x2)=－sin(2x+x2)．(2xln2+2x)dx．涉及知识点：微积分23．设y=+sinx，求y’．正确答案：先将所给函数分为两项之和，第一项为连乘除形式，应利用对数求导法，对此，令则有ln|y1|=2ln|x|－ln|1－x|+ln|2+x|－ln|2－x|，两端关于x求导，可得涉及知识点：微积分24．设y=f(x)由方程sin(xy)+lny－x=1确定，求n[f(2／n)－e]．正确答案：由于n→∞时，2／n→0，f(2／n)→f(0)，先将x=0代入所给方程，可得f(0)=e．只需求f’(0)．将方程两端对x求导，有cosxy．(y+xy’)+．y’－1=0．将x=0及y|x=0=e代入上式，可得y’|x=0=f’(0)=e(1－e)，所以n[f(2／n)－e]=2e(1－e)．涉及知识点：微积分25．正确答案：本题是“苦0／0”型极限，但若直接用洛必达法则，求导比较麻烦．考虑到分子、分母都有，故可先设t=，然后用洛必达法则．涉及知识点：微积分26．正确答案：当x→∞时，ln(1+)～1→x，可知所以本题是“∞－∞”型．应先做变换，令t=1→x，则涉及知识点：微积分27．设函数y=x2+ax+b在点x=2处取得极小值3，求常数a，b的值．正确答案：由于函数y在点x=2处取得极小值3，因此有3=22+2a+b，即2a+b=－1．又y’=2x+a，y’|x=2=4+a=0，可得a=－4，进而知b=7．涉及知识点：微积分28．当e＜x1＜x2时，问lnx1／x1与lnx2／x2哪个大，为什么?正确答案：由题目可知是考查函数y=lnx／x的单调性．当x＞e时，y有定义，由于令y’=0得y的驻点x=e．当x＞e时，y’＜0，可知函数y=lnx／x单调减少．因此当e＜x1＜x2时，有lnx1／x1＞lnx2／x2．涉及知识点：微积分29．假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：千元)的函数Q=120－8p．商品的固定成本为25(千元)，每多生产一单位产品，成本增加5(千元)．试求使销售利润最大的商品单价和最大销售利润．正确答案：利润等于销售收益减去总成本，所以首先求出成本函数C=C(Q)．然后求L=pQ－C的最大值．已知商品固定成本为25(千元)，可变成本呈线性增长．所以总成本函数C=25+5Q．总销售利润L=R－C=pQ－C=p(120－8p)－25－5(120－8p)=160p－8p2－625，L’=160－16p．令L’=0，得驻点p=10．由L”=－16＜0及唯一性可知当p=10(千元)时，总销售利润最大．最大销售利润为L(10)=160×10－8×102－625=175(千元)．涉及知识点：微积分。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷4(题
经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知f(x)存在，且函数f(x)=x2+x－2f(x)=( )．A．3／2B．2／3C．－2／3D．－3／2正确答案：B解析：由于极限值为一个确定的数值，因此可设f(x)=A，于是f(x)=x2+x－2A两端同时取x→1时的极限，有(x2+x－2A)=2－2A，于是A=2－2A．解得A=2／3．故选B．知识模块：微积分2．A．－1B．1C．2D．3正确答案：B解析：所给极限为“∞／∞”型，不能利用极限的四则运算法则，也不能利用洛必达法则求之．通常对无穷大量运算的基本原则是转化为无穷小量运算．故选B．知识模块：微积分3．A．3／2B．2／5C．5／3D．3正确答案：C解析：所给极限为“0／0”型，不能直接利用极限的四则运算法则．首先进行等价无穷小代换，再分组，可简化运算．故选C．知识模块：微积分4．A．等于－1B．等于3／2C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：D解析：当x→+∞时，ex→+∞，因此当x→∞时，ex→0，因此故选D．知识模块：微积分5．设xn=e1／n，则当n→∞时，xn的极限( )．A．1／4B．为1C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：A解析：当n→∞时，cos2／n→1，e1／n→1，sin1／n～1／n．则故选A．知识模块：微积分6．设f’(x0)=f”(x0)=0，f”(x0)＞0，则下列选项正确的是( )．A．f’(x0)是f’(x)的极大值B．f(x0)是f(x)的极大值C．f(x0)是f(x)的极小值D．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点正确答案：D解析：需注意如果f”(x0)=0，则判定极值的第二充分条件失效．如果记F(x)=f’(x)，由题设条件有F’(x0)=0，F”(x0)＞0．由极值的第二充分条件知F(x0)为F(x)的极小值，即f’(x0)为f’(x)的极小值，因此A不正确，排除A．取f(x)=x3，则f’(x)=3x2，f”(x)=6x，f”‘(x)=6．因此f’(0)=f”(0)=0，f”‘(0)=6＞0．而x=0既不为．f(x)=x3的极小值，也不为f(x)=x3的极大值，可知B，C都不正确，排除B，C．由于f”‘(x0)＞0，知f”(x)在点x0处连续，又f”(x0)=0，由导数定义可以验证f”(x)在x0两侧异号，从而知点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．故选D．利用泰勒公式可以证明下述命题：若f’(x0)=f”(x0)=…=f(n－1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0，则(1)当n为偶数时，x0为f(x)的极值点，且①当f(n)(x0)＞0时，x0为f(x)的极小值点；②当f(n)(x0)＜0时，x0为f(x)的极大值点．(2)当n为奇数时，x0不为f(x)的极值点．但点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．以后可以将上述结论作为定理使用．知识模块：微积分7．设在(1，2，3)的某个邻域内z=z(x，y)由方程2z－z2+2xy=1确定，则dz|(1，2)=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：解法1记F(x，y，z)=2z－z2+2xy－1，则x=1，y=2，z=3满足方程F(x，y，z)=0．又F’x=2y，F’y=2x，F’z=2－2z，F’x(1，2，3)=4，F’y(1，2，3)=2，F’z(1，2，3)=－4．所以因此dz=dx+dy．故选B．解法2由于2z－z2+2xy=1，将方程两端直接求微分，可得2dz－d(z2)+2d(xy)=0，即2dz－2zdz+2ydx+2xdy=0，当x=1，y=2，z=3时，代入上式，可得－4dz+4dx+2dy=0，即dz|(1，2)=dx+dy．故选B．知识模块：微积分8．设z=，则点(0，0)( )．A．为z的驻点且为极小值点B．为z的驻点但不为极小值点C．不为z的驻点，但为极小值点D．不为z的驻点，也不为极小值点正确答案：C解析：z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．知识模块：微积分9．设f(x，y)=x2y2+xlnx，则点(1／e，0)( )．A．不是f(x，y)的驻点，是f(x，y)的极值点B．不是f(x，y)的驻点，也不是f(x，y)的极值点C．是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极大值点D．是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极小值点正确答案：D解析：由题设可知f’x(x，y)=2xy2+lnx+1，f’y(x，y)=2x2y．令解得f(x，y)的唯一驻点x=1／e，y=0，即驻点为(1／e，0)，因此排除A，B．又有f”xx=2y2+，f”xy=4xy，f”yy=2x2，A=f”xx|(1／e，0)=e，B=f”xy|(1／e，0)=0，C=f”yy|(1／e，0)=2／e2，B2－AC=－2／e＜0，所以由极值的充分条件知(1／e，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为－1／e．故选D．知识模块：微积分10．设A为m×n矩阵，且r(A)=r，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则有( )．A．m＞nB．m＜nC．m＞rD．r＜n正确答案：D解析：选项D，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r(A)＜n，故选D．选项A，m＞n，表示方程组Ax=0的方程个数大于未知量的个数，与该方程组解的状态没有直接关系．选项B，m＜n表示方程组Ax=0的方程个数小于未知量的个数，必定含有自由未知量，因此，该方程组必有非零解．但该方程组有非零解未必方程个数小于未知量的个数．选项C，m＞r，表示方程组Ax=0含有多余方程，在消元过程中必定会被消去，与该方程组解的状态没有直接关系．知识模块：线性代数11．设方程组(Ⅰ)(Ⅱ)－x1+x2－x3=0，则( )．A．当a=2时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组B．当a=1时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组C．当a=0时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组D．无论a取何值，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)均不是同解方程组正确答案：D解析：两个方程组为同解方程组的必要条件是系数矩阵的秩相等，无论a取何值，方程组(Ⅰ)中的两个方程的系数均不成比例，因此，其系数矩阵的秩为2，而方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩为1，所以，这两个方程组不可能为同解方程组．故选D．知识模块：线性代数12．设A为m×n矩阵，r(A)＜n，则( )．A．ATAx=0与Ax=0的解之间没有关联B．Ax=0的解一定是ATAx=0的解，但反之不然C．ATAx=0的解一定是Ax=0的解，但反之不然D．Ax=0与ATAx=0为同解方程组正确答案：D解析：关键在于两方程组非零解之间的关系，若η是方程组Ax=0的非零解，即有Aη=0，也必有ATAη=0，因此，η也必定是方程组ATAx=0的解．反之，若η是方程组ATAx=0的非零解，也必有Aη=0，否则，Aη≠0，使得(Aη)TA η=ηTATAη≠0，从而与假设ATAη=0矛盾．从而知ATAx=0与Ax=0为同解方程组，综上，知选项A，B，C均不正确，故选D．知识模块：线性代数13．设函数f(x)在开区间(a，b)内有f’(x)＜0，且f”(x)＜0，则y=f(x)在(a，b)内( )A．单调增加，图像上凹B．单调增加，图像下凹C．单调减少，图像上凹D．单调减少，图像下凹正确答案：C 涉及知识点：数学基础14．设A，B为两个随机事件，且P(A)=0．4，P(A∪B)=0．7，若A，B 相互独立，则P(B)=( )．A．0．2B．0．3C．0．4D．0．5正确答案：D解析：由加法公式和事件独立性的概念，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)，即0．4+P(B)(1－0．4)=0．7，解得P(B)=0．5．故选D．知识模块：概率论15．假设一批产品中一、二、三等产品各占60％，30％，10％，从中随意取出一件，结果不是三等产品，则取到的是一等产品的概率为( )．A．4／5B．2／3C．3／5D．1／2正确答案：B解析：设事件Ai(i=1，2，3)为取到第i等产品，由题设知P(A1)=3／5，P(A3)=1／10，由条件概率公式，有故选B．知识模块：概率论16．已知离散型随机变量X的分布律为P{X=k)=1／3pk(k=0，1，…)，则p=( )．A．2／3B．1／2C．1／3D．1／4正确答案：A解析：一般地，若随机变量的取值点(即正概率点)为xi(i=1，2，…)，则P{X=xi}=pi(i=1，2，…)为X的分布律的充分必要条件是：pi＞0(i=1，2，…)且pi=1．因此有解得p=2／3，故选A．知识模块：概率论17．把x→0+时的无穷小量α=∫0xcost2dt，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷13(题后含
经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷13(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />，则故选C．知识模块：微积分计算题16．计算不定积分∫dx．正确答案：令t=，则x=t2，dx=2tdt．所以涉及知识点：微积分17．设y=y(x)可微，且yx2－∫0ydt=0，求dy．正确答案：将所给方程两端同时关于x求导，可得y’x2+2xy－．y’=0．所以涉及知识点：微积分18．设f(x)为连续函数，且∫0xtf(2x－t)dt=1／2arctanx2，f(1)=0，求∫12f(x)dx．正确答案：欲求∫12f(x)出需知f(x)或f(x)的原函数．题设条件中f(x)出现在可变限积分的被积函数内，可变限的变元隐含在f(2x－t)中，应先变换，化为可直接求导的形式．令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x 时，u=x．则∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=－2x∫2xxf(u)du+∫2xxuf(u)du，即－2x∫2xxf(u)du+∫2xxuf(u)du=1／2arctanx2．将上式两端同时关于x求导，可得－2∫2xxf(u)du－2x[f(x)－2f(2x)]+xf(x)－2．2xf(2x)=即－2∫2xxf(u)du－xf(x)=已知f(1)=0，令x=1，可得－2∫21f(u)du－1．f(1)=1／2，所以∫12f(x)dx=1／4．涉及知识点：微积分19．计算定积分∫18dx．正确答案：应先去掉根式，设t=，则x=t3，dx=3t2dt．当x=1时，t=1；当x=8时，t=2．因此涉及知识点：微积分20．计算定积分∫0π／2e－xcosxdx．正确答案：由于∫0π／2e－xcosxdx=e－xsinx|0π／2+∫0π／2sinxdx=e－π／2+(－e－xcosx|0π／2－∫0π／2e－xcosxdx)=e－π／2+1－∫0π／2cosxdx，2∫0π／2e－xcosxdx=e－π／2+1，∫0π／2e－xcosxdx=1／2(e－π／2+1)．涉及知识点：微积分21．设y=y(x)由∫0ydx=1／2(x1／3－1)2(x＞0)确定，求y(x)的极值．正确答案：将所给方程两端同时关于x求导，得令y’=0，得y(x)的唯一驻点x=1．当0＜x＜1时，y’＜0；当x＞1时，y’＞0．因此x=1为y的极小值点，极小值由原方程确定．将x=1代入原方程得∫0ydx=1／2(1－1)2=0，由被积函数＞0，可知极小值为y(1)=0．涉及知识点：微积分22．设生产x单位产品的总成本为C(x)，固定成本为C(0)=200(万元)，边际成本为C’(x)=6x+10(万元／单位)．求总成本C(x)．正确答案：由题设得C(x)=∫C’(x)dx=∫(6x+10)dx=3x2+10x+C．又由C(0)=200，得C=200，故总成本C(x)=3x2+10x+200．涉及知识点：微积分23．设二元函数z=，求dz|(1，2)．正确答案：设u=x2－xy，则z=eu．因此dz|(1，2)=－=－e－1dy．涉及知识点：微积分24．设二元函数z=5－x2y+|(3，4)．正确答案：涉及知识点：微积分25．正确答案：由题意可知z为y与v的函数，x，u为中间变量．由于复合关系比较复杂，可利用全微分形式不变性求解．只需将dx与du用含有dy与dv 的关系式表示，有涉及知识点：微积分26．设三元函数u=，求du．正确答案：将等式两端微分，得涉及知识点：微积分27．设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)由exy－xy=2确定，z=z(x)由ez=∫0x－zdt确定，求du／dx．正确答案：由题设知y=y(x)，z=z(x)，因此u为x的一元函数．由于f有连续偏导数，可知du／dx=f’1+f’2．y’+f’3．z’．将exy－xy=2两端关于x求导数，可得exy．(y+xy’)－(y+xy’)=0，将ez=∫0x－zsint／tdt两端关于x求导，可得涉及知识点：微积分28．求函数u=xyz在条件(x＞0，y＞0，z＞0，a＞0)下的极值．正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=xyz+λ()．令①×x+②×y+③×z可得注意到，上式可化为3xyz=λ／a，代回①式可得x=3a；同理代回②，③式可得y=z=3a．由此得到点(3a，3a，3a)是函数u=xyz在给定的约束条件下唯一可能的极值点．若记由约束条件确定的隐函数z=z(x，y)，将目标函数看作u=xyz(x，y)=F(x，y)．由二元函数极值的充分条件可知(3a，3a，3a)为u=xyz在给定约束条件下的极小值点，相应的极小值为27a3．涉及知识点：微积分29．某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x(万尾)，乙种鱼放养y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为(3－αx－βy)x和(4－βx－2αy)y，其中α＞β＞0．求使鱼总产量最大的放养数．正确答案：设鱼总产量为z，则z=3x+4y－αx2－2αy2－2βxy，由极值的必要条件，得方程组由于α＞β＞0，则△=4(2α2－β2)＞0，可得唯一一组解B2－AC=4β2－8α2=－4(2α2－β2)，由题设可知B2－AC＜0，且A＜0．因此(x0，y0)为极大值点，其中x0，y0分别为两种鱼的放养数．涉及知识点：微积分。