江苏省专转本统一考试高等数学复习总纲简略版
高等数学复习提纲
一、 极限
(一)极限七大题型 1. 题型一
()
lim
()
m x
n P x P x (,m n 分别表示多项式的幂次)要求: A:达到口算水平; B:过程即“除大”。 2. 题型二
()lim x a a 有限分子
分母
将a 带入分母
3. 题型三(进入考场的主要战场)
()
lim v x x
a
u x
注:应首先识别类型是否为为“1”型!
公式:1
lim(1)e 口诀:得1得+得内框,内框一翻就是e 。(三步曲)
4. 题型四: 等价无穷小替换(特别注意:0→) (1)
A:同阶无穷小:lim
0()x
f f
g 是g 的同阶;
B:等价无穷小:lim
1(g )x
f f
g 和等价;
C:高阶无穷小:lim
0(g )x
f f g
是的高阶.注意:f g 和的顺序
特别补充:2sec 1~2
-
(3)等价替换的的性质:
0 直接带入a 求出结果就是要求的值
1)自反性:~;αα
2)对称性:~~αββα若,则;
3)传递性:~~~.αββγαγ若,,则 (4)替换原则:
A:非0常数乘除可以直接带入计算; B:乘除可换,加减忌换 (5)另外经常使用:ln M M e 进行等价替换
题型五
有界:,|()|M g x M
有界 (sin ,cos ,arcsin ,arccot ,x x x x 均有界)
识别不存在但有界的函数:sin
,cos
,,2e
5. 题型六:洛必达法则(极限题型六),见导数应用:洛必达法则
6. 题型七:洛必达法则(极限题型七),定积分,见上限变限积分
7. 题型三&题型四的综合 (二)极限的应用 1、单侧极限
(1)极限存在条件 0
lim ()
(0)
(0)x
x f x A
f x f x A 左左右右
(2)极限的连续性 0
00lim ()
()()x
x f x f x f x x x 即在连续
(3)间断点及分类(★难点)
把握两个问题:第一,如何找间断点 ;第二,间断点分类(难)。 A:间断点:定义域不能取值的内点
导数(坚守的阵地) (一) 导数定义
定义一 1、“陡”、“平”的形象叙述;
2、
00()'()
df x f x dx 唯一切线斜率();
3、00()()tan
f x x f x y x
x
;
4、0
000
()()'()
lim
x
f x x f x f x x
. 拓展:0
000()
()
lim
'()f x f x A
f x
,Ⅱ类
不存在,不能分类,求左右极限
注意:1)分段点求导,永远用定义! 2)有连续性条件时可直接带入 定义二
1、乘法运算:()'
''uv u v
uv ()'
'''uvw u vw uv w uvw
2、除法运算:2
''
()'u u v uv v v
(四) 复合函数求导(核心内容★★★)
1、层次分析(如右“九字诀”,由外向内,“遇则则止”) 所谓的“则”是+、-、×、÷
2、几点性质:
(1)公式()ln x '=1
x
,推广为:11(ln |
|)'
||
x x
x (2)形如:()()v x u x 利用公式ln M M e 等价替换
(3)奇偶性: ①()'y f x y 奇
偶 ②()'y
f x y 偶
奇
1、
基本知识 'dy
y dx 注意求的时候要加“d x ”.
2、 参数方程求导(考试重点)
参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分 ()x x t =
t 为中间变量
公式:''t t y dy dx
x 2
2(
)''
t t dy
d y dx dx
x 3、 符号型求导 ""f 层抽象符号层 4、
隐函数求导(必考)
题目一般形式是:(,)(,),f x y g x y =22d d ,.d d y y
x x
求
5、 对数法求导
巧用对数的性质,变形式子 (七) 导数的应用 1、切线与法线
切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率×切线斜率=-1; 2、洛必达法则(极限题型六)(★)
单调性与极值求解
A :单调性:
'0,;'0,.
y x I y y x I y >∈?↑<∈?↓
B :单调性交界点→极值点(判据) C:极值点可疑点('0&'y y =不存在☆)
D:渐近线 lim (),()lim ()()x x a
f x A y A y f x f x x a y f x →∞
→====∞==如果则是的水平渐近线;
如果,则是的垂直渐近线.
2)函数凹凸性与拐点 A :
''0,;
''0,.
y x I y y x I y >∈?<∈?凹()凸()
B:凹凸性交界点且能取值→拐点 C :拐点可疑点''0&''y y =不存在☆ 一般求解步骤:
(1) 求定义域、渐近线; (2) 计算',''y y ;
(3) 求'0,''0y y ==的点和使',''y y 不存在的点,设为123,,...x x x ; (4) 列表分析; (5) 得出结论.
4、函数最大值、最小值
比较:1)'()0,'f x f =?不存在极值可疑点; 2)端点 5、函数的实际应用
步骤:(1)合理做设,x 具有唯一性;
(2)(),y f x =建模;(关键点所在)
(3)令*'0,()y x x ==符合实际;
(4)“八字”,唯一驻点,即为所求。 三、多元微分学(20+) (一) 显函数一阶偏导数 '(,)x x u
u u x y x
?==?变常 (二)全微分
一元函数:(),d 'd y f x y y x == 此时,?可微可导 二元函数:(,),d d d .u u
u f x y u x y x y
??==+?? 此时,?可微偏导数存在,且连续 (三) (高)二阶偏导数
主要是求22u x ??2u x y ???2u y x ???22
u
y ??,分别定义为:
2222
2
2(),(),(),().u u u u u u
x x x x y x y u u u u u u
y x y x y y y
??????==?????????????==???????
(四) 二元隐函数求导 一阶:
''x z F z x F ?=-? ''y z
F z
y F ?=-? 二阶直接求 :(,)z z x y = (五) 符号型求导(必考)
1.(),x
u y
??=为已知函数(第一类:“妈妈一元”函数)
2. (,2),u f xy x y f =-为已知函数(第二类)(重点★) 会画关系图
“求即变”:求哪个,哪个就是变量
【例题】 (,23),u f xy x y f =-已知.求2,,
.u u u
x y x y
???????
解:(1)画关系图
1
√ △ 2
√
△
(2)“九字诀”求解 四、 不定积分★ (一) 基本知识
1. 性质:[()d ]'();d[()d ]()d ;d ()()f x x f x f x x f x x F x F x C ===+??? 1、方法一 (1) 凑常数
公式:1
d d(),,x ax b a b a
=+均为常数
(2) 配方
见到一元二次方程敏感的想到配方法 (3) 拆分 公式:
11()()1[]()()()()()()
c ax b a cx
d c a
ax b cx d bc ad ax b cx d bc ad cx d ax b +-+=?=?-++-++-++
(4) 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分
2、方法二——固定搭配 公式'()(())d x f x x x ???
3、方法三——分布积分 (1) 一般分布积分
框1 框2
公式:d d u v uv v u =-?? 关键:v 是什么
(
2)
特殊方程法积分法
积分时,对如下积分要特别注意:
2222
sin ln sin3d ,d ,d ,d ,sin d ,sin(ln )d ,cos4d 1
x x
x x x
e x x e x x x x x x x e x x x x +???
????等等 4、方法四——变量替换
(1) 一次项替换 如:x
2,t b
t x a
-==即.
(2) 二次项替换
(一) 定积分计算
公式 (牛顿-莱布尼兹公式)
主要思想是利用积分方法进行积分,然后“出来代值”计算 ;
2.变换——变限 111()
()
()
()
()d [()]'()d .b
b x t a
a t x f x x f t t t ??????---==????→←??????
(二) 定积分性质
1.(1)()d 0.a
a
f x x =? (2)()d ()d .a
b
b
a
f x x f x x =-??
2. d ,(()d )0.d b
a
a b f t t x =?若为常数,
3. 更名:()d ()d ()d .b
b
b
a
a
a
f x x f t t f ==???
4. 拆分:()d ()d ()d .b c b
a
a
c
f x x f x x f x x =+???
v 的优先级方向
高
积分性质的运用:
(1) 分段函数的定积分 (2) 函绝对值积分
(3) 三角函数积分(实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算) 5.若()f x 为奇函数,则()d 0.a
a f x x -=?
★这一性质十分重要,特别是见到对称限时要想到这一性质。 6.变限积分
涉及到求极限七大题型的最后一种题型,即题型七
(1)()()d x
a
g x f t t =? (()d )'()x
x a
f t t f x =? ★记住:与x 没有关系
推广:2()
1()
2211(()d )'(())'()(())'().x x x f t t f x x f x x ??????=-?
上限带入乘上限求导-下限带入乘下限求导 (2)洛必达法则 (极限题型七) 7广义积分 三种形式:(1)()d a
f x x +∞?
;(2)()d a
f x x -∞
?
;(3)()d f x x +∞
-∞
?
.
解:定义:()d u u a F f x x =? 原
式=lim u u u F →+∞→-∞
=
A (有限) 收敛
∞或不存在 发散
(三) 定积分应用
一般出现在综合题的最后一题,题型仅有两种:第一,求面积;第二求旋转体体积(绕,x y 轴轴) 1. 面积
21[()()]d b
a
S x x x ??=-?阴影 *x 积分
2. 旋转体体积
(1)“坐在x 轴上”
(2)“坐在y 轴上”
(四) 二重积分 1. 累次积分 公式:2211()
()
()
()
d (,)d [(,)d ]d b
x b
x a x a
x x f x y y f x y y x ????=??
??
2. 二重积分的计算
直角坐标系的几何意义: 3. 二重积分改变次序
记住一些不能正序积分的函数:2
2sin 1ln ,
,sin ,sin ,, (1)
Ax x x
e x x x x + 思路:原累次积分??
?→还原二重积分?????→改变定限方向
新累次积分 21[()()]d d
c
S y y y ??=
-?
阴影 *y 积分
4. 极坐标
主要是圆的思想,注意画图,特别注意上限和下限!
六、 常微分方程(ODE ) (一) 分离变量法 1. 标准型
'()()y H x G y =?
步骤:①
d d ()()()d d ()y y H x G y H x x x G y =??=??
2. 变化型 '()y
y f x =
核心:令y
u x
=
(二) 一阶线性ODE (重点)
1.标准型:'()()y p x y q x +=,关键是找到()p x 、()q x ;
2.
常数变量法:()d ()d (()d )p x x p x x
y q x e x C e -??=+?? 做题步骤:
(1) 找到()p x 、()q x ;
(2) ()d p x x
?
,计算()d p x x
e ?
,()d p x x
e -?;
(3) 带入公式()d ()d (()d )p x x p x x
y q x e x C e -??=+??(三) 三大题型
题型1:贝努里方程(Bernoulli )
'()()n y p x y q x y +=→1'()()n n y y p x y q x --?+=,即1d ()()d n n y
y p x y q x x
--?
+= 题型2:积分方程 特定条件'(0)0.y =
Jacobi 因子
一次 +号
无
y
||,不要“| |
【例题】0
()()()d ,().x f x f x f t t x f x 满足下列方程:求
解:令0
()
()d x y x f t t ,则()
'()f x y x
原式即为:'()()
y x y x x
整理之:()d ()d (()d )p x x
p x x
y q x e x C e -??=+??=…
题型3:二阶线性ODE (1) 齐次方程(''
'0()y py qy p q 、为常数) 特性方程即:
2
120,.p
q
解出、 (补充:
2
4b
b ac
)
,12
、 为互异实根
,12
=
,
(
0)i
(2) 非齐次方程
标准型:''
'(()cos ()sin )x m n y py qy
e P x x
Q x x ,m n 为幂次.
关键是读参数:,,,,,,.m n u k l 求解过程:
'''y py qy =()f x
1)'''0y py qy
2
0p
q
解出12;.y 、得
2)读参数,,,m n .()f x
可设特解方程:*
(()cos ()sin )k x l l y x e P x x
Q x x
代入*,y y 原方程,确定系数 3)*.y
y
y
【例题】2'''23.x y y y e 解常微分方程:
解:①2'''23x y y y
e
'''2y y y =0,即1
2
____________0___,
___;,
②23x e =2x e (__________) (草稿纸上做) *
12(cos(0)
sin(0))x y x e A x B x =2x Axe (草稿纸上做)
将*y 带入'''2y y y =0,解出系数__________.A
③*
__________
___________.y y
y
七、 级数 (一) 定义
1.0120
......n n n a a a a a +∞
=+++++=∑
2.n S =012...n a a a a ++++
3.收敛的必要条件?lim 0n n a →∞
=
第一部分 (0)n n a a ≥∑ 判别图
S 有限 收敛
∞或不存在
发散
N
第二部分 交错级数 (1)n n a -∑ (1)
(2的判别
注:1)
||n n b b 收敛收敛,且为绝对收敛.
2)
||n n b b 发散可能收敛(为绝对收敛),也可能发散.
识别过程:
(3)级数的几点性质 第三部分 幂级数 1.收敛域和收敛半径
00
()n n n a x
x
____;______.n a x (中心点或展开点)
2.幂级数的展开 1)公式1:1
,;!
n
x
n x e
x
n 2)公式2
:
1,(||1)1n n x x x
;
1(1),(||1)1
n n n x x x
3)逐项微分,逐项积分
00(
())d (
()d )x x n
n n n x x a x x x
a x
x x
八、 空间解析几何 (一) 矢量运算 1. 矢量的内积
(1)123123{,,}a i j k =++=a a a a a a 21||a =+a a (2)内积:112233||||cos a b a b a b a b a b θ?==++ (3)0a b a b
⊥??= 2. 矢量的叉积
+ - +
1lim |
|n
n
n a R
a 如0
(,)x R x
R 收敛,
.
R
带入原级数找解,看能否取到
(1)12
3123
i j k a b a a a b b b ?= (2)
(3)12212121{,,}M M x x y y r r =--- (二) 平面方程
1.点法式:00n MM ?= 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=
例如:2350,{_,_,_}x y z n ++== 2.直线
标准型(点斜式)
九、 证明题综述(18+) (一) 介值定理(零点定理) 定理条件: (1)[()[,]f x a b ∈(2)()()f a f b <注意: 1.
2.解题要点:A :()f x 是什么 B:[,]a b 是什么
3.解答过程要规范,工整. (二) 罗尔定理(Roller ) 定理条件: (1)[()[,]f x a b ∈
(2)()(,)f x a b 在可导 (3)()()f a f b =
题型解释:
1.一般是证明“必有一个正根或负根”
解题步骤:A:利用介值定理证明根的存在性; B:利用反证法,证明根的唯一性。 2.证明某表达式的零点在什么之间
例如: (1)()(,)f x -∞+∞在可导,证明()'()()f x f x f x +的两零点之间必有的零点.
1.()()0,,;f a f b a b ξ∨==
2.()()0,(,).f a f b a b ξ<∈
O
(2)()(,)f x -∞+∞在可导,证明在f(x)两零点之间存在ξ,使得
'()()()'()0f g f g ξξξξ+=.
对于这种题型的解答,注意构造一个适当的函数,这是解决此类问题的关键所在 下面是一些常用的构造函数:
(1) 求'()()f x Rf x +,构造为:()()Rx F x e f x = (2) 求'()()xf x f x +,构造为:()()F x xf x =
(3) 求'()()()'()f x g x f x g x +,构造为:()()()F x f x g x = (4) 求'()()()'()f x g x f x g x -,构造为:()
()()
f x F x
g x =
(5) 求'()()'()f x f x g x +,构造为:()()()g x F x e f x =等等 (三) 拉格朗日(LaGrange )中值定理 定理条件:
(1)[()[,]f x a b ∈
(2)()(,)f x a b 在可导
一般出现在填空题:.....求拉格朗日定理中的ξ= ; (四) 证明不等式
此类证明主要利用函数的单调性 一般步骤:
令()()(F x f x g =-
∴原不等式成立
(五) 主要是变换..
的思想1、__a a a
a
--=?? 或 0
__=??