矩形和菱形的性质与判定经典例题练习
初中数学正方形菱形矩形的判定例题
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矩形菱形的性质与判定(附加答案)
矩形菱形的性质与判定（附加答案） 一．解答题（共30小题） 1．（2012•娄底）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点． （1）求证：△MBA ≌△NDC ；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．2．（2010•泰州）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB ，∠DEC=90°． （1）求证：AC ∥DE ； （2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连接EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由．3．（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若∠BOC=120°，AB=4cm ，求四边形ABCD 的面积．4．（2010•常州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．5．（2008•南京）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ； （2）四边形ABCD 是矩形．6．（2010•崇左）如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE=BF=CG=DH ． （1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF=2cm ，求矩形ABCD 的面积．7．如图所示，BD ，BE 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线．AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E ，D 为垂足，求证：四边形AEBD 是矩形．8．如图，O 为△ABC 内一点，把AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接形成四边形DEFG ．（1）四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG 是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．9．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE=CG ，AH=CF ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如果AB=AD ，且AH=AE ，求证：四边形EFGH 是矩形．10．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，F 为BA 延长线上的一点，AE 平分∠FAC ，DE ∥AB 交AE 于E ．（1）求证：AE ∥BC（2）求证：四边形AECD 是矩形； （3）BC=6cm ，，求AB 的长．11．（2012•西藏）如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ．求证：AE=AF ．12．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2． （1）若CE=1，求BC 的长； （2）求证：AM=DF+ME ．13．（2012•嘉兴）如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE ． （1）求证：BD=EC ； （2）若∠E=50°，求∠BAO 的大小．14．（2012•温州）如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．将△ABC 沿射线BC 方向平移10cm ，得到△DEF ，A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，连接AD ．求证：四边形ACFD 是菱形．15．（2012•聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．16．（2012•恩施州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．17．（2011•宁波）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．18．（2011•临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．19．（2011•济宁）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．20．（2011•恩施州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．21．（2011•常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．22．（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．23．（2010•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为AC的中点，以BD为折痕，将△BCD折叠，使得C点到达C1点的位置，连接AC1．求证：四边形ABDC1是菱形．24．（2010•徐州）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．25．（2010•温州）如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．26．（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_________．27．（2002•广西）如图所示，DE是▱ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如果∠A=60°，AD=5，求菱形AEFD的面积．28．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，求证：OE⊥DC．29．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，若AB=5，AC=8，BD=6．（1）求证：AC⊥BD．（2）求证：平行四边形ABCD是菱形．（3）四边形ABCD的面积．30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG．（1）求证：四边形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB和△NDC中，∵，∴△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN 的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∴MP=BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB ，∴∠EDC=∠ACD，∴AC∥DE；（2）解：四边形BCEF是平行四边形．理由如下：∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，∴∠DEC=∠AFB=90°，DC=AB在△CDE和△BAF中，，∴△CDE≌△BAF（AAS），∴CE=BF，DE=AF（全等三角形的对应边相等），∵AC∥DE，即DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，∵CE=BF，∴四边形BCEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．3．（1）证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD，∴AC=2CO，BD=2BO，∴AC=BD ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：在△BOC 中，∵∠BOC=120°， ∴∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°， ∴在Rt △ABC 中，AC=2AB=2×4=8（cm ）， ∴BC=（cm ）． ∴四边形ABCD 的面积=4．证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BC ，AB=DE ，AE=BD ． ∵D 为BC 中点， ∴CD=BD ． ∴CD ∥AE ，CD=AE ． ∴四边形ADCE 是平行四边形． ∵AB=AC ，D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ，即∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE 是矩形．5．证明：（1）∵BE=CF ，BF=BE+EF ，CE=CF+EF ， ∴BF=CE ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ． 在△ABF 和△DCE 中，∵AB=DC ，BF=CE ，AF=DE ， ∴△ABF ≌△DCE ．（2）∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠B=∠C ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ． ∴∠B+∠C=180°． ∴∠B=∠C=90°． ∴四边形ABCD 是矩形．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA=0B=OC=OD ， ∵AE=BF=CG=DH ， ∴AO ﹣AE=OB ﹣BF=CO ﹣CG=DO ﹣DH ， 即：OE=OF=OG=OH ， ∴四边形EFGH 是矩形；（2）解：∵G 是OC 的中点， ∴GO=GC ， ∵DG ⊥AC ， ∴∠DGO=∠DGC=90°， 又∵DG=DG ， ∴△DGC ≌△DGO ， ∴CD=OD ， ∵F 是BO 中点，OF=2cm ， ∴BO=4cm ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴DO=BO=4cm ， ∴DC=4cm ，DB=8cm ， ∴CB==4， ∴矩形ABCD 的面积=4×4=16cm 2．7．证明：∵BD ，BE 分别是∠ABC ，∠ABP 的平分线， ∴∠ABD+∠ABE=（∠ABC+∠ABP ）=90°．即∠EBD=90°． 又∵AE ⊥BE ，AD ⊥BD ， ∴∠AEB=∠ADB=90°， ∴四边形AEBD 是矩形．8．解：（1）四边形DEFG 是平行四边形．理由如下： ∵D 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵四边形DEFG是矩形，∴DE⊥EF，∴OA⊥EF，∴OA⊥BC，即O点在BC边的高上且A和垂足除外．9．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．（2分）∴EH=GF．（1分）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）∴GH=EF．（1分）∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°﹣α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．（1分）∴∠DHG=∠DGH=．（1分）∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）解法二：连接BD，AC．∵AH=AE，AD=AB，∴，∴HE∥BD，（1分）同理可证，GH∥AC，（1分）∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）10．解：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AE平分∠FAC，∴∠EAD=90°，∴AE∥BC；（2）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是矩形；（3）∵BC=6cm，∴CD=3cm ， ∵，∴AD=4， ∴AB=AC==5，∴AB 的长是5cm ．11．证明：方法一：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠ABC=∠ADC ， ∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠ADC ， 即∠ABE=∠ADF ， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD=90°， 在△ABE 和△ADF 中，，∴△ABE ≌△ADF （AAS ）， ∴AE=AF ．方法二：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC=CD ， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴菱形ABCD 的面积=BC •AE=CD •AF ， ∴AE=AF ． 12．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ， ∴∠1=∠ACD ， ∵∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2， ∴MC=MD ， ∵ME ⊥CD ， ∴CD=2CE ， ∵CE=1， ∴CD=2， ∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF=CF=BC ，∴CF=CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ， ∴∠ACB=∠ACD ， 在△CEM 和△CFM 中， ∵，∴△CEM ≌△CFM （SAS ），∴ME=MF ，延长AB 交DF 的延长线于点G ， ∵AB ∥CD ， ∴∠G=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠G ， ∴AM=MG ， 在△CDF 和△BGF 中， ∵，∴△CDF ≌△BGF （AAS ）， ∴GF=DF ，由图形可知，GM=GF+MF ， ∴AM=DF+ME ．13．（1）证明：∵菱形ABCD ， ∴AB=CD ，AB ∥CD ， 又∵BE=AB ，∴BE=CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°．14．证明：由平移变换的性质得：CF=AD=10cm，DF=AC，∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC===10，∴AC=DF=AD=CF=10cm，∴四边形ACFD是菱形．15．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．16．证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形．17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=AB，DF=CD．∴BE=DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴DE=BE，∵四边形DFBE是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．18．证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠DAC=∠FAC，∵∠B+∠BCA=∠FAC，∴∠B=∠FAC，∴∠B=∠FAD，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB（AAS），∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形20证明：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，∴∠AFC=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∵∠ACF+∠PCA=90°，∴∠PCA=∠CAF，∴PC∥AQ，同理：AP∥QC，∴四边形APCQ是平行四边形．∵AF∥CP，AE∥CQ，∴∠EPC=∠PAF=∠FQC，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴CE=BE=CB（等腰三角三线合一），∵AF是CD边上的中线，∴CF=CD，∵CB=DC，∴CE=CF，∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°，∴∠PCE=∠QCF，∴△PEC≌△QFC（AAS），∴PC=QC，∴四边形APCQ是菱形．．21．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）22．（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠FEA=∠CAE ，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA．在△AEC和△EAF中，∵∴△AEC≌△EAF（AAS），∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=AB，∵DE垂直平分BC，∴∠BDE=90°∴∠BDE=∠ACB∴ED∥AC又∵BD=DC∴DE是△ABC的中位线，∴E是AB的中点，∴BE=CE=AE，又∵AE=CE，∴AE=CE=AB，又∵AC=AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．23．证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°∴BA=AC．又∵BD是斜边AC的中线，∴BD=AD=AC=CD．∴BD=AB=CD，∴∠C=∠DBC=30°，∵将△BCD沿BD折叠得△BC1D，∴△CBD≌△C1BD，∴CD=DC1，∴AB=BD=DC1，∴∠C1BA=∠BC1D=30°，∴BA∥DC1，DC1=AB，∴四边形ABDC1为平行四边形，又∵AB=BD，∴平行四边形ABDC1为菱形．24．证明：（1）∵CE∥BF，∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；又∵D是BC的中点，即BD=DC，∴△BDF≌△EDC；（AAS）（2）∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三线合一），由（1）知：△BDF≌△EDC，则DE=DF，DB=DC；∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．25．证明：（1）在▱ABCD 中，BC∥AF ，∴∠1=∠F，∵BE=BP，∴∠E=∠1，∴∠E=∠F；（2）∵BD∥EF，∴∠2=∠E，∠3=∠F，∵∠E=∠F，∴∠2=∠3，∴AB=AD，∴▱ABCD是菱形．26．（1）证明：∵矩形ABCD，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OD，∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∴四边形AODE是菱形．（2）解：∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴平行四边形AODE是矩形．故答案为：矩形．27．（1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形DAEF是平行四边形．∵∠2=∠AED，∠1=∠2，∴∠AED=∠1．∴AD=AE．∴四边形AEFD是菱形．（2）解：∵∠A=60°，∴△AED为等边三角形．∴DE=5，连接AF 与DE相交于O，则EO=．∴OA==．∴AF=5．∴S菱形AEFD=AF•DE=．28．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵ABCD是矩形，∴OC=OD．∴四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD．29．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC，BO=BD，∵AC=8，BD=6，∴AO=4，BO=3，∵32+42=52，∴AO2+BO2=AB2，∴∠AOB=90°，（2）∵CA⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）四边形ABCD的面积为：AC•BD=×8×6=24．30．（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，∴∠CFD=90°．∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，∴Rt△AEC≌Rt△DFC．∴CE=CF．∴DE=AF．而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，∴Rt△AFG≌Rt△DEG．∴GF=GE；（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，∴CE=AC=CD，∴CE=ED ．∴BC=BD=1．又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，∴BE=BC=BD=，在直角三角形ABC中，∠A=30°，则AB=2BC=2．则AE=AB﹣BE=，∵Rt△AEC≌Rt△DFC，∴DF=AE=．。
平行四边形矩形菱形经典例题(8套)
经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例
ABCD EFO矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考. 一、矩形知识的应用例1(甘肃白银7市课改)如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 .分析：由四边形ABCD 是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC ，由三角形全等可求出阴影部分的面积.解：∵矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O . ∴OA=OB=OD=OC ，AC=BD∵)(,SAS COF AOE COD AOB ∆≅∆∆≅∆ ∴COF AOE COD AOB S S S S ∆∆∆∆==, ∴阴影部分的面积33221=⨯⨯=点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上(四个角都是直角)，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.二、菱形知识的应用例2. (山东)如下图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a ，求：(1)∠ABC 的度数；(2)已知a AO 23=，求对角线AC 的长；(3)求菱形的面积.分析： 因为E 是AB 的中点，且DE ⊥AB 可得等腰三角形ABD 为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC 的长和菱形面积.解：(1)连结BD.在菱形ABCD 中，∵ DE ⊥AB ，E 是AB 的中点，∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD 为等边三角形.∴ ∠ABD=60° .∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.(2)在菱形ABCD 中 ，AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分. 由(1)在Rt △ABO 中，a AO 23=a a AO AC 32322=⨯==∴ (3)由(1)知a AB BD ==，∴a a S ⋅⨯=⋅=321BD AC 21菱形 .232a = 点评：(1)本题首先证明△ABD 是等边三角形，从而求出∠ABD 的度数，再利用菱形的性质可求∠ABC.(2)求AC 的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)菱形的面积可用21AC·BD 求出，也可利用AB·DE 求出. 本题应用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，即可求出面积.三、正方形知识的应用例3(浙江台州)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H (如图).试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.分析：本题是将正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG .构造全等三角形.解：HG HB =. 证法1：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形.∴90B G ∠=∠=°.由题意知AG AB =，又AH AH =.DCAB GHFEDC AB GHFERt Rt()∴△≌△，AGH ABH HL=∴.HG HB证法2：连结GB.，都是正方形，∵四边形ABCD AEFG∠=∠=∴°.ABC AGF90由题意知AB AG=.∴.∠=∠AGB ABG∴.∠=∠HGB HBG∴.=HG HB点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH或HBG∠即可.=HGB∠练习：1.如图，如果要使平行四边行ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.2.如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E.求证：四边形CDC′E是菱形.3.如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC 于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.参考答案1.AB AD AC BD，等.=⊥2.证明：根据题意可知DE∆≅C∆CDE'则'''，，=∠=∠=CD C D C DE CDE CE C E∵AD//BC ∴∠C′DE=∠CED∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE∴CD=C′D=C′E=CE ∴四边形CDC′E为菱形3.(1) 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.(2) 不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC 边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.说明：未用举反例的方法说理的不得分.(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .从而有BE=DF.。
矩形 菱形的性质及判定专项练习
矩形，菱形的性质及判定专项练习）在下列命题中，真命题是（ 1. Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形面积为24cm, 那么这个菱形的周长为______________, 已知菱形的两条对角线长为2.10cm和A_______________. B那度角, 的长方形纸条叠放在一起3.将两张长10cm宽3cm, 使之成60M________________. 么重叠部分的面积的最大值为NO那么两条对角线长度之和为40, 80, 周长为4.一个菱形面积为__________. DC___________. 那么这个特殊四边形是得到一个菱形. 5.顺次连接一个特殊四边形的中点,：BE=1，BC，CE⊥BDOE：，6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点OOF⊥AD BD 的长。
OF=4，求∠ADB的度数和3，EOBC F，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。
是MBC的中点，且MA⊥MD如图所示，矩形7.ABCD中，，，如图，若AB=2重合，得折痕，再折叠使折叠矩形纸片8.ABCD，先折出折痕BDAD边与对角线BDDG 。
BC=1，求AG DCEBAG，，FEABCD如图，9.已知：平行四边形的四个内角的平分线分别相交于点G，EFGH，求证：四边形是矩形。
H页6 共页1 第，矩上一点，，且上一点，10.如图，在矩形中，是是cm2EF?CE,DE?CEABCD?EFEABADF与的长．形的周长为，求CF16cmABCDAE平移后的三角形，其平移的方（1），画出△AOB如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，11.外还有哪（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长。
一种特殊的平行四边形？并给出证明。
CEF°，求∠CD和上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15ABCD12.如图所示，已知菱形中，E、F分别在BC 的度数。
4.3~4.4矩形,菱形的性质及判定练习
4.3~4.4矩形，菱形的性质及判定练习1．菱形、矩形的有关概念矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.温馨提醒：（1）矩形、菱形具有平行四边形的一切性质；（2）依据矩形的性质，得出直角三角形具有的性质斜边上的中线等于斜边的一半；（3）矩形、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；3．菱形、矩形的判定矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等的平行四边形是矩形.菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；温馨提示：（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再找一个角为直角或对角线相等。
很多同学容易忽视这个问题。
（2）在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。
（3）两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件；对角线相互垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件。
5．面积、角度、线段等计算问题S 菱形＝12l l ·l 2(l 1、l 2为菱形对角线长) 连对角线，矩形、菱形就可得到特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形），因此，解矩形、菱形问题时，要注意特殊三角形性质的运用。
利用全等三角形解决问题。
跟踪训练：一、填空题：1.矩形的定义：____________________________的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的所有性质；矩形的四个角______________； 矩形的对角线______________； 矩形是轴对称图形，它的对称轴是______________。
人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 习题精选(含答案)
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。
2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。
3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。
4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。
5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。
6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。
7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。
C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。
8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。
10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。
11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。
12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。
矩形和菱形的性质与判定经典例题试
矩形和菱形的性质与判定经典例题试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一课时——矩形的性质 矩形的性质：边角对角线对称性练一练： 1、矩形的两条对角线把矩形分成 个等腰三角形．2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等3.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （ ）A.21B.41C.51D.61 4.在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE =DE ，若AB =2AD ，则∠ADE 等于（ ）A.45°B.30°C.60°D.75°【探究三】直角三角形斜边上的中线性质1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：2、归纳我们已学过的直角三角形的性质：角：边：斜边上的中线：边与角：练一练：1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是 度．精讲精练例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。
变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.例2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，求PE+PF 的值。
例3、如图,延长矩形的边CB 至E ，使CE=CA,F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥三、用中学习：1.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A.98B.196C.280D.2842.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或263.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.4.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC 的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.V的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，MN与DE有5、如图，已知BD、CE是ABC怎样的位置关系。
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第一课时——矩形的性质 矩形的性质：边
角
对角线
对称性
练一练： 1、矩形的两条对角线把矩形分成 个等腰三角形．
2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A ．对角线互相平分
B ．两组对边分别相等
C ．相邻两角互补
D ．对角线相等
3.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （ ）
A.21
B.41
C.51
D.6
1 4.在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE =DE ，若AB =2AD ，则∠ADE 等于（ ）
A.45°
B.30°
C.60°
D.75°
【探究三】直角三角形斜边上的中线性质
1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：
2、归纳我们已学过的直角三角形的性质：
角：
边：
斜边上的中线：
边与角：
练一练：1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是 度．
精讲精练
例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。
变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.
例2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，求PE+PF 的值。
例3、如图,延长矩形的边CB 至E ，使CE=CA,F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥
三、用中学习：
1.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）
A.98
B.196
C.280
D.284
2.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）
A.16
B.22
C.26
D.22或26
3.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
4.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC 的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.
5、如图，已知BD、CE是ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，MN与DE有怎样的位置关系。
请证明。
第二课时———矩形的判定
矩形的四种判定方法：
精讲精练
例1、已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H。
求证：四边形EFGH是矩形。
例2、已知：在四边形ABCD 中，AB=CD,180,A D ∠+∠=︒AC 、BD 相较于点O ，AOB 是等边三角形。
求证：四边形ABCD 是矩形。
例3、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，顺次连结E 、F 、G 、H 所得的四边形EFGH 是矩形吗？说明理由.
三、用中学习
1.两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（ ）
A.一般平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
2.延长等腰△ABC 的腰BA 到D ，CA 到E ，分别使AD =AB ，AE =AC ，则四边形BCDE 是________，其判别根据是_______.
3、如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 。
4.在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，且AB =CD ，四边形ABCD 是矩形吗？为什么？
5、已知：如图，ABC 中，AB=AC ，P 是BC 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，CG AB ⊥于G 。
求证：PE+PF=CG
拓展延伸
1、将一将矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA=6，OC=10.
(1)如图1，在OA 上取一点E ，将EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；（2）如图2，将矩形变为矩形OA B C ''',在OA '、OC '边上选取适当的点E '、F ',将E OF ''沿E F ''折叠，使O 点落在A B ''边上的D '点，过D '作//D G A O ''交E F ''于T 点，交OC '于G 点，求证：TG A E ''=
2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，把矩形COAB 绕点C 顺时针旋转α角，得到矩形CFED ，设FC 与AB 交于点H ，且A （0,4)、C （6,0）。
（1）当60α=︒时，CBD 的形状
是
（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式。
第一课时：菱形的性质
一、知识回顾
菱形的定义：。
菱形是中心对称图形，是对称中心。
菱形的对边，对角，对角线。
菱形的四条边都。
菱形是轴对称图形，都是它的对称轴。
菱形的对角线，并且每一条对角线都。
菱形的面积=底×高= 。
二、练习题
1、一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm，则这个菱形的面积为。
2、在菱形ABCD中，∠B=70°,对角线AC、BD相交于点O，则∠OCD= .
3、菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则另一条对角线的长为。
4、菱形的两条对角线长分别为18cm和24cm，则这个菱形的周长为。
5、菱形的周长为20cm，两邻角的比为2：1，则较短的对角线的长为。
6、若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为。
7、菱形的周长为20cm，那么一边上的中点到两条对角线长的交点的距离为。
8、菱形的一条对角线长与它的边相等，则它的一个锐角为。
9、如图已知菱形的两条对角线长分别为12cm和16cm，求菱形的高？
10如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长
第二课时：菱形的判定
一、知识回顾
菱形的判定方法：①、相等的平行四边形是菱形。
②都相等的四边形是菱形
③对角线的平行四边形是菱形。
二、练习题
1、下列命题正确的是。
A、有一个角是60°的平行四边形是菱形。
B、有一组邻边相等的四边形是菱形
C、有两边相等的平行四边形是菱形。
D、四边相等的四边形是菱形。
E、邻角相等的四边形是菱形。
F、对角线互相垂直的四边形是菱形。
G、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
H、对角线互相平分的四边形是菱形。
I、对角线互相平分且相等的四边形是菱形。
2、已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别添加下列条件：
⑴∠ABC=90°；⑵AC⊥BD; ⑶AB=BC; ⑷AC平分∠BAD；⑸AO=DO,使得四边形是菱形的条件的序号。
3、如图平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF是菱形，则添加的一个条件是
（图中不能添加别的点和线）
4如图∆ABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到∆DBC，请你判断四边形ABDC的形状。
5如图在梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AD＞CD,将纸片沿点D的直线折叠使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E。
⑴求证：四边形CDC′E是菱形。
⑵若BC=CD+AD,试判断四边形ABED的形状，并加以证明。
6、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、OE、OF．求证：四边形AEOF是菱形．
7、如图，AD∥FE,点B、C在AD上∠1=∠2,BF=BC,
⑴求证：四边形BCEF是菱形
⑵若AB=BC=CD,求证：∆ACF≌∆BDE。