直线一级倒立摆系统的建模及仿真
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
(完整word版)一级倒立摆的Simulink仿真
单级倒立摆稳定控制直线-级倒立摆系统在忽略了空'(阻力及各种摩擦Z后，町抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。
图2控制系统结构假设小车质量M=0.5kg,匀质摆朴质量m=0.2kg,摆朴长度21 =0.6m, x(t)为小车的水半位移，〃为摆杆的角位移，g = 9.8m/s2o控制的目标是通过外力u⑴使得摆直立向上(即&(t) = 0) o该系统的非线性模型为:(J +inl‘)典(nilcos^)&= niglsin^ (ml cos。
)翼(M其中J二一ml+ m)&= (mlsin0)6^ + u一、非线性模型线性化及建立状态空间模型因为在工作点附近(& = 0.必0)对系统进行线竹:•化，所以可以做如下线性化处理: 03 Q1sin0« 0 --------- 、COS&Q 1-----------------3! 2!当e很小时，由COS0V sine的幕级数展开式可知，忽略高次项后, 可得cos0~l, sin0=0, 0Z 2=0：因此模型线性化后如下：(J+nil A2)0r z +mlx z z =mgl0 (a)取系统的状态变量为％ = x,x2 =仪X3 = x4=灰输出y = [x OF包扌舌小车位移和摆杆的角位移.由线性化后运动方程组得故空间状态方程如下:■010 0 ■「xT■ ■x2*00-2.6727 0x21 1.8182 x3f =000 1x3+0_x4J|_x40031.1818 0-4.5455uml0f r + (M+m) x''二u (b) 其中J = -ml3■ ■ xl ■ ■Xx2x1 x30 x4&Y=xlx3X1/二x'=x2—沁—册4(M + m) 一3m44(M + m) - 3m u3(M +m)g4(M + m)l 一3ni-34(M + m)l 一311119 1 00 ''xlM00 -3mg0am xl x2‘ _4(M + m) 一3m x2 x3* ~00 01x3x4J00 3(M + m)g0[_x44(M + m)l - 3ml 044(M + m) - 3m 0一34(M + m)l - 3nil二. 通过Matlab 仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。
单级倒立摆的数学建模与仿真
单级倒立摆的数学建模与仿真倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。
由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性,因而对其研究具有重大的理论和实践意义。
由于倒立摆系统本身所具有的上述特点,使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。
现对单级倒立摆系统进行数学建模并利用MATLAB 进行仿真。
在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，M ：小车质量 x ：小车位置m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量F ：加在小车上的力l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度θ：摆杆与垂直向上方向的夹角根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为：（2）摆杆重心的运动方程为：（3）小车水平方向上的运动为：22..........(4)x d xF F M d t -=联立上述4个方程，可以得出一阶倒立摆数学模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J m l F m l J m l m l g x J m l M m m l m l F m l M m m m l M m J m l θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=- 2222(sin )..........(2)(cos ).........(3)x y d F m x l d t d F m g m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩由以上得出的一阶倒立摆模型，对一阶倒立摆进行仿真，222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩。
直线单级倒立摆系统建模与磁悬浮建模与模型
直线单级倒立摆系统建模。
图 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1(a)为直线单级倒立摆实际设备，为方便分析，将其抽象这小车与摆杆的示意图，如图 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1 (b)所示。
倒摆的参数与量纲见表 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
这和手持木棒使之直立不倒的现象很类似，研究此系统很有意义，如在火箭发射时，火箭必须靠开发动机来维持它沿推动力方向飞行。
显然，若对小车不加控制，摆杆的倒立状态是不稳定的平衡状态，若稍有振动摆杆必然倒下，实际上，这就是稳定性的含义。
这里暂不讨论如何控制的问题。
设加在小车上的力为F ，小车的位置为x ，摆杆与垂直向上方向的夹角φ，垂直向下方向的夹角为θ(πθφ=+)，在空气阻力很小可以忽略、杆是刚性的条件下，建立数学模型。
(a)实物图(b)示意图图 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1 直线单级倒立摆系统表 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1 直线单级倒立摆系统参数参数 大小 摆杆质量m 0.109kg 小车质量M1.096k g摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l 0.25m摆杆绕其重心的转动惯量J 20.0034k g m ⋅摆杆与小车间的摩擦系数b 1 10.001N m s rad -⋅⋅⋅ 小车水平运动的摩擦系数b 2 10.1N s m -⋅⋅摆杆与垂直向上方向的夹角φπθ-图 错误！文档中没有指定样式的文字。
-2单级倒立摆受力分析图解：定义逆时针转动为正方向。
设摆杆的重心为(),g g x y ,则sin cos g gx x l y l φφ=-⎧⎪⎨=⎪⎩ (1) 根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程：(1) 摆杆绕其重心转动的动力学方程为：1sin cos y x J N l N l b φφφφ=+- (2)式中，J 为摆杆绕其重心的转动惯量：22112123J mL L l ml ==。
一级倒立摆的建模与控制分析
一级倒立摆的建模与控制分析直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计一状态空间模型的建立1.1直线一级倒立摆的数学模型图1.1 直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。
图1.2是系统中小车的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图1.2 系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的受力分析图。
F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。
图1.3 摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：()11-设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。
()21-对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：N x f F x M --=()θsin 22l x dtd m F N S +=- ()31-即：αθθθθsin sin cos 2fF ml ml xm N +-+= ()41-对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()θcos 22l l dtd m F mg P h -=++-()51-即 θθθθαcos sin cos 2 ml ml F mg P g+=++- ()61-力矩平衡方程如下：0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71-代入P 和N ，得到方程：()0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαxml ml mgl ml I l F l F g g ()81-设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。
基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计
基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计一级倒立摆是一个经典的控制系统问题，它由一根杆子和一个在杆子顶端平衡的质点组成。
杆子通过一个固定的轴连接到一个电机，电机可以通过施加力来控制杆子的平衡。
设计一个控制系统来实现对一级倒立摆的稳定控制是一个重要的研究课题。
在这篇文章中，我们将介绍基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计。
我们将首先介绍一级倒立摆的数学模型，并根据模型设计一个反馈控制器。
然后，我们将使用MATLAB来进行仿真，评估控制系统的性能。
一级倒立摆的数学模型可以通过牛顿第二定律得到。
假设杆子是一个质点，其运动方程可以表示为：ml²θ''(t) = mgl sin(θ(t)) - T(t)其中m是质点的质量，l是杆子的长度，g是重力加速度，θ(t)是杆子相对于竖直方向的偏角，T(t)是电机施加的瞬时力。
为了设计一个稳定的控制系统，我们可以使用PID控制器，其控制输入可以表示为：T(t) = Kp(θd(t) - θ(t)) + Ki∫(θd(t) - θ(t))dt +Kd(θd'(t) - θ'(t))其中Kp，Ki和Kd分别是比例，积分和微分增益，θd(t)是我们期望的杆子偏角，θ'(t)是杆子的角速度。
在MATLAB中，我们可以使用Simulink来建模和仿真一级倒立摆的控制系统。
我们可以进行以下步骤来进行仿真：1. 建立一级倒立摆的模型。
在Simulink中，我们可以使用Mass-Spring-Damper模块来建立质点的运动模型，并使用Rotational Motion 库提供的Block来建立杆子的旋转模型。
2. 设计反馈控制器。
我们可以使用PID Controller模块来设计PID 控制器，并调整增益参数以实现系统的稳定性和性能要求。
3. 对控制系统进行仿真。
通过在MATLAB中运行Simulink模型，我们可以观察控制系统的响应，并评估系统的稳定性和性能。
一级倒立摆的可视化建模与稳定控制设计
1966年
1976年
1995年
倒立摆的应用
倒立摆的分类
直线倒立摆 一级倒立摆
基座运动
环形倒立摆
摆杆
二级倒立摆
平面倒立摆
多级倒立摆
另外根据材料分类：刚体摆杆倒立摆系统和柔性摆杆倒立摆系统 „„
根据不同的分类方法，我们可以将倒立摆进行不同的分类。
倒立摆的特点
特性：非线性、多变量、强耦合、不稳定性
倒立摆系统拥有低投入、简易的结构、直观 的形象、方便仿真等特点。
设计演示界面
保存文件，命名为 fangzhenjieguo.fig ，同时会自动生成一 个fangzhenjieguo.m 文件
将摆角、小车位 移和时间参量， 导入到工作区中 ，供GUI编程使 用。
打开之前保存演示界面是生成的fangzhenjieguo.m文件，找到 “仿真开始”按钮所对应的回调函数，在函数下方加入程序： sim('daolibaimoxing');%运行仿真模型
初始条件设为[0.1rad,0.5rad/s,0,0],仿真曲线如 图所示，上面图线为摆角，下面为小车位移。
右图为未加控制器前的系统 阶跃响应曲线，可以看出， 摆角和小车位移的曲线都是 发散的。通过与仿真结果比 较，可以看出，加了BP神经 网络控制器的倒立摆系统， 摆角和小车位移曲线趋于稳 定，说明所设计的BP神经网 络控制器能够起到有效的控 制作用。验证了控制器设计 的正确性和可行性。
四、GUI设计
图形用户界面（Graphical User Interface， 简称 GUI，又称图形用户接口）是指采用图形 方式显示的计算机操作用户界面。
GUI具有下面几个方面的基本要求：轻型、 占用资源少、高性能、高可靠性、便于移 植、可配置等特点。
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模首先，我们需要定义系统的坐标和状态变量。
在这个问题中，我们可以选择将质点的位置和角度作为系统的状态。
令x表示质点的水平位置，θ表示摆杆与竖直方向的夹角。
其次，我们需要确定系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律和欧拉定理，可以得到如下的动力学方程：m * x'' = -m * g * sin(θ) - c * x';I * θ'' = m * g * cos(θ) * L - J * θ'其中，m是质点的质量，g是重力加速度，c是摩擦系数，L是摆杆的长度，I是质点关于摆杆固定点的转动惯量，J是摆杆的转动惯量。
最后，我们可以采用数值方法来求解这个动力学方程。
牛顿-欧拉方法是一种常用的数值方法，它基于一阶泰勒级数展开近似，并使用离散时间步长来进行数值计算。
具体步骤如下：1.将时间t离散化为n个时间步长Δt的序列：t_0,t_1,...,t_n。
2.初始化系统的状态变量：x(0),θ(0),x'(0),θ'(0)。
3.对于每个时间步长i，计算状态变量的更新：a. 计算加速度：x''(i) = (1/m) * (-m * g * sin(θ(i)) - c * x'(i))θ''(i) = (1/I) * (m * g * cos(θ(i)) * L - J * θ'(i))b.使用泰勒级数展开逼近位置和速度：x(i+1)=x(i)+Δt*x'(i)+0.5*Δt^2*x''(i)θ(i+1)=θ(i)+Δt*θ'(i)+0.5*Δt^2*θ''(i)c.使用泰勒级数展开逼近速度和加速度：x'(i+1)=x'(i)+Δt*x''(i)θ'(i+1)=θ'(i)+Δt*θ''(i)d.根据实际情况对状态进行调整，如质点位置不能超过摆杆范围等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算机控制技术课程设计实验：直线一级倒立摆系统的建模及仿真一、已知条件：图1倒立摆简化模型摆杆角度为输出，小车的位移为输入。
导轨中点为坐标轴的中心即零点，右向为坐标值增加的方向，杆偏移其瞬时平衡位置右侧的角度为正值。
二、任务要求：总体任务通过调节PID参数，设计PID控制器实现摆杆在受到干扰的情况下，依然能恢复平衡。
具体包括以下几部分：1. 理论推导包括倒立摆系统的动力学模型，传递函数，离散传递函数，状态空间或差分方程，稳定性分析，PID控制器设计2. 程序实现实现内容：倒立摆系统模型，控制器以及仿真结果的显示。
开发语言和工具：Matlab m 文件或C/C++ (工具：VC++或其它)3. PID控制参数设定及仿真结果。
分别列出不同杆长的仿真结果（例如：L=0.25 和L=0.5）。
4. 将理论推导、程序实现、仿真结果写成实验报告。
具体求解过程如下：一，倒立摆系统动力学模型的建立图1 摆杆的受力分析图以摆杆为研究对象，对其进行受力分析，如图1所示。
根据质点系的达朗贝尔原理得IC I 0F CP mg CP M →→⨯+⨯-= （1）式中，IC F 为杆的惯性力，表达式为()IC C P CP CP IP ICP ICP t n t nF ma m a a a F F F ==++=++，m 为杆的质量，g 为重力加速度，I M 为杆的惯性力偶。
惯性力及惯性力偶的大小分别为2222IP P ICP I c 2221,,3t d x d d F ma m F m m M J mL dt dt dt θθαα======（2）式中，α为杆的角加速度，P a 为小车的加速度，2L 为杆的长度，θ为杆偏离中心位置的角度，x 偏离轨道中心的位移。
对（2）式代入（1）式，并整理可得22224sin cos 3d d x L g dt dt θθθ-=-（3） 当摆动较小时，可以进行近似处理sin ,cos 1θθθ≈≈。
故（3）式可化为222243d d xL g dt dtθθ-=- （4） 对（4）式进行拉普拉斯变换得()()()2243Ls s g s s X s Θ-Θ=- （5） I PIC Fmg则系统的开环传递函数为()()()222243s s as G s X s s agLs g Θ--===-- （6）式中，34a L=二，离散传递函数，差分方程、状态空间及稳定性分析 1，离散传递函数将连续系统离散化，根据连续传递函数()G s 可求得相应的脉冲传递函数为()()()()()121121212111222/2/21Ts e as G z Z G s z Z s s ag a z Z ez eza a a ab z abz bz z ---------⎡⎤⎡⎤--==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=---+--=--++-=-+ （7）式中，b e =+。
将参数1,10,0.01L g T ===代入（7）式得该参数下的脉冲传递函数为()12120.75 1.500.75031 2.001z z G z z z-----+-=-+ （8） 2，根据离散传递函数求系统差分方程由()()()()1212/2/21z a a ab z abz G z X z bz z ----Θ-++-==-+可得()()()()()()121222ab ab z bz z z z aX z a z X z z X z ----⎛⎫Θ-Θ+Θ=-++- ⎪⎝⎭ （9）进行反变换即可得到对应的差分方程()()()()()()121222ab ab k b k k ax k a x k x k θθθ⎛⎫--+-=-++--- ⎪⎝⎭ （10）将参数1,10,0.01L g T ===代入（10）式得该参数下的差分方程为()()()()()()2.001120.75 1.5010.75032k k k x k x k x k θθθ--+-=-+---（11） 3，根据离散传递函数求系统状态空间表达式 根据()()()()12121212/2/2211ab a z bz z a a ab z abz G z a X z bz z bz z--------⎛⎫-- ⎪Θ-++-⎝⎭===-+-+-+ 设()()121X z W z bz z --=-+ （12）则()()()()()()()()121222W z bz W z z W z X z ab ab z aX z a z W z a z W z ----=-+⎛⎫⎛⎫Θ=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （13） 选取状态变量()()()()()121121,X z z W z X z z W z z X z ---=== （14） 将()W z 代入()()12,X z X z ，取z 反变换，可得状态方程()()()()()()()()()112212111100122x k x k b x k x k x k ab ab k ax k a x k a x k θ+⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （15）将参数1,10,0.01L g T ===代入（15）式得该参数下的状态方程为()()()()()()()()()1122121 2.00081110010.750.00030.0003x k x k x k x k x k k x k x k x k θ+⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--- （16） 4，稳定性分析对于开环系统，由传递函数可得系统的特征方程为()2 2.0011z z z ∆=-+ （17） 特征方程的根为121.032,0.969z z ==。
由于特征根中有一个大于1，位于单位圆外，故系统是不稳定的。
四，PID 控制器设计由以上分析可知，系统是不稳定的，为使倒立摆在受到干扰时能保持稳定，必须对系统进行PID 控制器的设计。
倒立摆计算机控制系统的框图如下模拟PID 控制器的基本算式为()()()()()01kP I D j x k K e k K e j K e k e k ==++--⎡⎤⎣⎦∑ （18）根据式（16）和（18）可求得在不同,,P I D K K K 下的摆角值。
具体的仿真过程如下：1，取I D 2.0,0.3K K =-=-固定不变，P K 分别取0.5,1.0,1.5,2.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a1)KP=0.5,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθ(b1)(c1)KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθKP=1.5,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθ(d1)由图(a1)、(b1)、(c1)、(d1)可知，当P 0.5K =时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大P K 到1.0，系统的调节时间变短；当P 1.5K =时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当P 2.0K =时，倒立摆已无法恢复稳定。
2，取P D 1.0,0.3K K ==-固定不变，I K 分别取-0.5,-1.5,-2.5,-3.5，倒立摆的输出变化曲线如下：(a2)-2-1.5-1-0.500.511.542KP=2.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθKP=1.0,KI=-0.5,KD=-0.3t/sθ(b2)(c2)KP=1.0,KI=-1.5,KD=-0.3t/sθKP=1.0,KI=-2.5,KD=-0.3t/sθ(d2)由图(a2)、(b2)、(c2)、(d2)可知，当I 0.5K =-时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长后无法达到稳定；继续减小I K 到-1.5，系统可以达到稳定；当I 2.5K =-时，系统的调节时间变短；当I K 减小到-3.5时，倒立摆已无法恢复稳定。
3，取P I 1.0, 2.0K K ==-固定不变，D K 分别取-0.1,-0.3,-0.5,-0.7，倒立摆的输出变化,曲线如下：8KP=1.0,KI=-3.5,KD=-0.3t/sθKP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.1t/sθ(a3)(b3)(c3)KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/sθ012345678910KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.5t/sθ(d3)由图(a3)、(b3)、(c3)、(d3)可知，当I K 从-0.1减小到-0.7时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.7时系统已无法恢复稳定。
五，改变杆长后的仿真结果将杆长由1L =改为0.5L =，系统的仿真结果如下： 1，取I D 1.2,0.1K K =-=-固定不变，P K 分别取0.2,0.4,0.8,1.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a11)17KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.7t/sθKP=0.2,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθ(b11)(c11)KP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθKP=0.8,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθ(d11)由图(a11)、(b11)、(c11)、(d11)可知，当P 0.2K =时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大P K 到0.4，系统的调节时间变短；当P 0.8K =时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当P 1.0K =时，倒立摆已无法恢复稳定。
2，取P D 0.4,0.1K K ==-固定不变，I K 分别取-1.0,-1.3,-1.6,-1.9，倒立摆的输出变化曲线如下：51KP=1.0,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθKP=0.4,KI=-1.0,KD=-0.1t/sθ(a12)(b12)(c12)KP=0.4,KI=-1.3,KD=-0.1t/sθ12345678910KP=0.4,KI=-1.6,KD=-0.1t/sθ(d12)由图(a12)、(b12)、(c12)、(d12)可知，当I 1.0K =-时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长时会失去稳定；继续减小I K 到-1.3，系统可以达到稳定；当I 1.6K =-时系统可以稳定但调节时间变长；当I K 减小到-1.9时，倒立摆已无法恢复稳定。
3，取P I 0.4, 1.2K K ==-固定不变，D K 分别取-0.01,-0.1,-0.2,-0.24，倒立摆的输出变化,曲线如下：96KP=0.4,KI=-1.9,KD=-0.1t/sθKP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.01t/sθ(a13)(b13)(c13)KP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.1t/sθ012345678910KP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.2t/sθ(d13)由图(a13)、(b13)、(c13)、(d13)可知，当I K 从-0.01减小到-0.24时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.24时系统已无法恢复稳定。