第8讲 抽屉原理一.
第8讲抽屉原理一兴趣篇1、学校周末要组织四个班的同学去春游，有三个地点可供选择：石景山游乐园、植物园和动物园。
如果一个班只能去一个地点。
试说明：一定有两个班要去同一个地点。
【分析】一个班去一个地方，三个地方只能去三个班，一定有两个班去了同一个地方。
2、小悦、冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们。
他们一数，共有19块巧克力。
如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。
【分析】每人分6块，总数就是18块，现在有19块，一定会有人至少拿到7块；6,6,7是一种分法，这种分法就没有人拿到8块，所以不一定有人拿到8块。
3、任意40个人中，至少有几个人属于同一生肖？【分析】401234+=个÷=，3144、有红、黄、蓝、绿四种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都足够多。
一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有两颗颜色相同？【分析】每种珠子拿1个，拿了4个都是不同颜色的，如果再拿一个，一定有2个颜色相同，所以要5颗5、某校的小学生中，年龄最小的6岁，最大的13岁。
从这个学校中至少选几个学生，就能保证其中一定有三个学生的年龄相同？【分析】年龄从6岁到13岁共有8种不同的情况，每种情况2个，共16人，此时再选1人，一定有3人的年龄相同。
所以17人能保证。
6、有红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各10支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有4支使同一种颜色的铅笔？【分析】每种颜色拿3支，一共拿了12支还没有满足要求，此时再拿一支，就一定满足要求了。
所以至少需要拿13支7、口袋装有红、黄、蓝、绿这4种颜色的球，且每种颜色的球都有4个。
小华闭着眼睛从口袋往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？【分析】最不利的情况下，把前3种共12个球拿完，还没有满足要求，此时再拿一个肯定满足要求，所以至少要摸13个8、一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。
那么：（1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？（2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有2张牌是红桃？（3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？【分析】（1）除了黑桃全摸完，共摸41张，再摸一张才能保证有黑桃，即42张；（2）除了红桃全摸完，共摸41张，再摸2张才能保证有2红桃，即43张；（3）摸了2张王，还有4种花色各4张，此时再摸一张，肯定有5张同花色的，即至少摸19张。
9、把40块巧克力放入A、B、C、D四个盒子内。
如图，A盒子放的最多，放了13块，且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少，那么：（1）D盒最少可以装几块？（2）D盒最多可以装几块？【分析】（1）B盒至多放12块，C盒至多放11块，剩下的只能放到D盒中，所以D至少放4块；（2）B盒与C盒分别拿2块放入D盒中，此时3盒分别为10，9，8块。
此时最多。
为8块。
10、圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐。
当再有一人入座时，就必须和已经就坐的某个人相邻。
问：已就坐的最少有多少人？【分析】坐下1人后，最多和他相隔2个座位就必须再坐1人，所以最少要坐4人拓展篇1、红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的，试说明：他们中一定有两个人是在同一天出生的。
【分析】一共有366个不同的日子，370人，一定有2人在同一天出生。
2、某公司决定派95名员工去8个不同的城市进行市场调查，是不是一定有12个人会去同一个城市？“一定有13个人去同一个城市”这个说法正确吗？【分析】958117÷=，所以一定有12人会去同一个城市；但不一定有13人去同一个城市。
3、一个盒子内有四个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放”（没有放到格子外的），那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一格内？【分析】5枚棋子放入4格，一定能保证有两枚棋子放在同一格内，4枚的话无法保证，所以答案是5枚。
4、一个鱼缸里有许多条鱼，共有5个品种。
至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？【分析】54121⨯+=条5、冬冬把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）【分析】4个棋子总共有5种不同的组合，那么要有3次摸得一样，需要摸52111⨯+=次6、在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻。
请问：（1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？（2）至少要从中拿出多少个？才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？【分析】（1）最不利情况下，拿完了苹果和草莓，拿41个出现牛奶；（2）最不利情况，拿完了其中一种，拿21个出现第二种口味。
7、一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。
请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？【分析】（1）最不利情况下，摸10个红色，8个黄色，然后再摸1个就满足要求，至少要19个；（2）最不利情况下，拿完了3个蓝色，1个绿色，10个红色，再拿1个旧能保证。
所以要15个。
8、一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。
现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？【分析】最不利情况下，拿了2张大小王，2门花色全拿共26张，另2门花色各2张，此时再拿1张肯定能实现，所以33张9、黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根，混杂放在一起。
在黑暗中取出一些筷子。
要使得这些筷子能够搭配出两双筷子（两根筷子颜色相同即为一双），那么最少要取多少根才能保证达到要求？【分析】每种颜色各1，然后某种颜色取2个，此时6根还没有2双，再来1根就肯定有2双了，最少要7根10、将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里。
请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）【分析】（1）最不利情况下，摸1白，2黑，3红，3黄3绿，此时再1只就肯定可以了，所以至少13只；（2）摸1白，1黑，1红，1黄，9绿，此时再摸1只肯定可以了，所以至少14只。
11、31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？【分析】1男后至少有2女，所以3人看做1组有10组，男生最多10人12、现有10把钥匙分别能开10把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁。
最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？【分析】第一把锁和钥匙配最多要试9次，第二把锁和钥匙配最多要试8次，第三把锁和钥匙配最多要试7次，……第九把锁和钥匙配最多要试1次，共45次，所以最不利的情况下，要试45次，即试验45次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配超越篇1、体育馆里有足球、篮球和排球3种球。
一个班的50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个。
请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？【分析】借球的不同方式有9种，50955÷=，所以最少有6名2、把31个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过3个，那么至少有几只猴子得到的桃子一样多？【分析】从最不利情况出发，每只猴子分的桃子尽量不同，5组0，1，2，3后还剩下1只桃子，那么至少有6只猴子得到的桃子一样多3、有37个数，每个数为0或1。
要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时，总能找到6个1连排在一起。
问：其中最少有多少个数是1？【分析】最不利情况下，每5个1后跟1个0，6组后再来1个0就无法找到6个1在一起，如果再来1个1就肯定有6个1排在一起，所以30个1是无法保证的，而31个肯定可以，所以最少是有31个数是1 4、有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字。
其中写0的有1个，写1的有2个，写2的有3个，…，写9的有10个。
如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有3个，它们上面的数字恰好组成678？（考虑“9”倒过来看是“6”）【分析】最不利情况下，把除6,7,8,9外剩下的数都取完，然后取完6和9，再取完8，最后再取1个肯定可以保证，此时要取48个5、一个袋子中有三种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球8个。
现在阿奇闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则最少要取出多少个球？【分析】最不利情况下，每种颜色取3个，然后再取1个肯定可以满足要求，所以至少取10个；最不利情况下，把绿球取完，剩下2种颜色每种2个，此时再取1个就满足要求，至少取13个6、50个苹果分给8个小朋友，那么分到苹果最多的小朋友至少分到多少个？如果1号小朋友最多给2个，2号最多给4个，3号最多给6个，……，8号最多给16个，那么得到苹果最多的小朋友至少分到多少个？【分析】50862÷=个，617+=个；按照上题结论，至少要得到7个，而没有7个这个数目，所以至少分到8个，构造一个8个的情况即可。
7、888名学生站成一个圆圈，如果任意连续32人中，至多有9名男生，那么男生的人数最多有多少人？【分析】每32人中至多9人，9 88824932⨯≈人8、新春佳节，商场举行抽奖活动。
抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有32、30、28、26、24张。
每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付2元钱。
奖励方式如下：用15张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型，用11张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用4张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模型。
请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色互不相同？【分析】考虑三种不利的情况，第一种，拿了32，30，剩下的3种每种拿3张，此时再拿1张肯定满足要求，此时要拿72张。
第二种，拿了32，剩下的4种每种拿了10张，此时再拿1张也肯定满足要求，此时要拿73张。
第三种，每一种都拿了14张，然后再拿1张也肯定满足要求，此时要拿71张。
综上，最最不利的情况是第二种，至少要拿73张，花146元。
小学数学知识点例题精讲《抽屉原理》学生版
小学数学知识点例题精讲《抽屉原理》学生版同学们，今天我们要学习的是数学中一个非常有趣的知识点——抽屉原理。
这个原理听起来可能有些抽象，但它是解决很多实际问题的重要工具。
下面，我将通过一些生动的例子，帮助大家更好地理解抽屉原理。
一、抽屉原理的基本概念抽屉原理，又称为鸽巢原理，是一种非常直观的数学原理。
它说的是：如果你有n个抽屉和n+1个物品，那么至少有一个抽屉里会有两个或更多的物品。
这个原理看似简单，但它的应用却非常广泛，可以帮助我们解决很多实际问题。
二、抽屉原理的例题讲解例题1：有10个抽屉和11个物品，至少有一个抽屉里会有两个物品。
解答：根据抽屉原理，10个抽屉只能放下10个物品，但这里有11个物品，所以至少有一个抽屉里会有两个物品。
例题2：一个班级有30名学生，他们的生日都在同一年。
至少有两名学生的生日是同一天。
解答：这个问题也可以用抽屉原理来解决。
一年有365天，相当于365个抽屉，但班级里有30名学生，相当于30个物品。
根据抽屉原理，至少有一个抽屉（即一天）里会有两个物品（即两名学生的生日）。
三、抽屉原理的拓展应用抽屉原理不仅可以用在数学问题中，还可以用在我们的日常生活中。
比如，如果你有10个朋友，他们的生日都在同一年，那么至少有两人的生日是同一天。
这是因为一年有365天，而你有10个朋友，所以至少有一个朋友的生日会在同一天。
四、生活中的抽屉原理同学们，抽屉原理不仅仅是一个数学概念，它在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
比如，当你有一堆袜子需要整理时，你可能会发现，无论你如何尝试，总有一只袜子找不到它的配对。
这是因为你拥有的袜子数量（物品）超过了你抽屉的数量（抽屉），所以至少有一只袜子（物品）没有找到它的配对抽屉（抽屉）。
五、趣味性的抽屉原理问题为了让大家更好地理解抽屉原理，让我们来看一个有趣的问题：如果你有五双不同颜色的手套，并且这些手套都被打乱了，你至少需要拿出多少只手套才能保证有一双手套是同一颜色的？解答：这个问题可以用抽屉原理来解决。
抽屉原理(小升初)
第8讲抽屉原理一、基础知识1、抽屉原理:把多于N个的苹果放进N个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2、抽屉原理的一般表达:把多于M×N个苹果随意放到N个抽屉里,至少有一个抽屉里有(M+1)个或(M+1)个以上的苹果.3、在有些问题中,”抽屉”和”苹果”不是很明显的,需要精心制造”抽屉”和”苹果”如何制造”抽屉”和”苹果”可能是很困难的,一方面需要认真分析题目中的条件和问题,另一方面需要多做一些题积累经验.4、利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”哪些是“元素”然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。
b、把元素放入（或取出）抽屉。
C、说明理由，得出结论。
二、典型例题例题1：某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天为什么例题2：某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）例题3：一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的多少只才能保证其中至少有2双不同袜子例题4：任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么例题5：能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同例6、一次数学竞赛，有75人参加，满分20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是980分，问至少有几个人得分相同例7、一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、…..n－1，把这n种情况看作n个抽屉，把（n+1）个自然数反复如n个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被n整除，也就是n的倍数。
随堂练习：1、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。
《抽屉原理》教学设计优秀4篇
《抽屉原理》教学设计优秀4篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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抽屉原理例题解析
抽屉原理1：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果概念解析1、把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢.一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2、如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.3、我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。
等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢.只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。
应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
例题讲解例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
解析（首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
）例2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的.解析（扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。
抽屉原理(高一数学讲座)
抽屉原理（高一数学讲座）抽屉原理(高一数学讲座主讲:江志杰)桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是我们所说的抽屉原理.抽屉原理的一般含义为:〝如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素.〞抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(〝如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子〞).它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题,因此,也称为狄利克雷原理.它是组合数学中一个重要的原理.一．抽屉原理最常见的形式原理1 :如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里,则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体.[证明](反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),这不可能.原理2 :如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉,则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.[证明](反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能.二．应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用.许多有关存在性的证明都可用它来解决.例１:400人中至少有两个人的生日相同.解:将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有两人的生日相同.又如:我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同.〝从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套.〞〝从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同.〞例2: 幼儿园买来了不少白兔.熊猫.长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.解 :从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:(兔.兔),(兔.熊猫),(兔.长颈鹿),(熊猫.熊猫),(熊猫.长颈鹿),(长颈鹿.长颈鹿).把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原理1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是〝存在〞.〝总有〞.〝至少有〞的问题,不错,这正是抽屉原则的主要作用.(需要说明的是,运用抽屉原则只是肯定了〝存在〞.〝总有〞.〝至少有〞,却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.)抽屉原理虽然简单,但应用却很广泛,它可以解答很多有趣的问题,其中有些问题还具有相当的难度.下面我们来研究有关的一些问题.(一)整除问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用[0],[1],[2],…,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m＋1,3m＋1,….在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数.例1 证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数.分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a.b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0.1.2.3.4.5.6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数.例2:对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:[0],[1],[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中,我们从这三个抽屉中各取1个,其和必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数(抽屉原理),而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除.例2′:对于任意的11个整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整除.证明:设这11个整数为:a1,a2,a3……a11又6=2_3①先考虑被3整除的情形由例2知,在11个任意整数中,必存在:3a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1;同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在:3 a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2;同理,其余的5个任意整数中,有:3a7+a8+a9,设:a7+a8+a9=b3②再考虑b1.b2.b3被2整除.依据抽屉原理,b1.b2.b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇(或同偶)的整数之和必为偶数.不妨设2b1+b2则:6b1+b2,即:6a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.例3: 任意给定7个不同的自然数,求证其中必有两个整数,其和或差是10的倍数.分析:注意到这些数队以10的余数即个位数字,以0,1,…,9为标准制造10个抽屉,标以[0],[1],…,[9].若有两数落入同一抽屉,其差是10的倍数,只是仅有7个自然数,似不便运用抽屉原则,再作调整:[6],[7],[8],[9]四个抽屉分别与[4],[3],[2],[1]合并,则可保证至少有一个抽屉里有两个数,它们的和或差是10的倍数.(二)面积问题例1 在边长为1的正方形内,任意给定13个点,试证:其中必有4个点,以此4点为顶点的四边开面积不超过(假定四点在一直线上构成面积为零的四边形)证明(如图)把正方形分成四个相同的小正方形.因13=3_4+1,根据原理2,总有4点落在同一个小正方形内(或边界上),以此4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积,也就不超过整个正方形面积的例1′:边长为1的正方形中,任意放入9个点,求证这9个点中任取3个点组成的三角形中,至少有一个的面积不超过.解:将边长为1的正方形等分成边长为的四个小正方形,视这四个正方形为抽屉,9个点任意放入这四个正方形中,据原理2,必有三点落入同一个正方形内.现把落在这个正方形中的三点记为D.E.F.通过这三点中的任意一点(如E)作平行线,如图可知:例2:九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形,证明:这九条直线中至少有三条经过同一点.证明:如图,设直线EF将正方形分成两个梯形,作中位线MN.由于这两个梯形的高相等, 故它们的面积之比等于中位线长的比,即MH:NH .于是点H有确定的位置(它在正方形一对对边中点的连线上,且MH:NH＝２:３). 由几何上的对称性,这种点共有四个(即图中的H.J.I.K).已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H.J.I.K这四点中的一点.把H.J.I.K看成四个抽屉,九条直线当成９个物体,即可得出必定有３条分割线经过同一点.(三)染色问题例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同.证明:把两种颜色当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么6=2_2+2,根据原理二,至少有三个面涂上相同的颜色.例2 有5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明,这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的.分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况,可以有:3黑,2黑1白,1黑2白,3白共4种配组情况,看作4个抽屉.根据抽屉原理,至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里,也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的.例3:假设在一个平面上有任意六个点,无三点共线,每两点用红色或蓝色的线段连起来,都连好后,问你能不能找到一个由这些线构成的三角形,使三角形的三边同色?解:首先可以从这六个点中任意选择一点,然后把这一点到其他五点间连五条线段,如图,在这五条线段中,至少有三条线段是同一种颜色,假定是红色,现在我们再单独来研究这三条红色的线.这三条线段的另一端或许是不同颜色,假设这三条线段(虚线)中其中一条是红色的,那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形,如果这三条线段都是蓝色的,那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形.因而无论怎样着色,在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形.例3′(六人集会问题)证明在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有三个人以前彼此不相识.〞例3〞:17个科学家中每个人与其余16个人通信,他们通信所讨论的仅有三个问题,而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题.证明:至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题.解:不妨设A是某科学家,他与其余16位讨论仅三个问题,由鸽笼原理知,他至少与其中的6位讨论同一问题.设这6位科学家为B,C,D,E,F,G,讨论的是甲问题.若这6位中有两位之间也讨论甲问题,则结论成立.否则他们6位只讨论乙.丙两问题.这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题,不妨设这三位是C,D,E,且讨论的是乙问题.若C,D,E中有两人也讨论乙问题,则结论也就成立了.否则,他们间只讨论丙问题,这样结论也成立.三．制造抽屉是运用原则的一大关键例1 从2.4.6.….30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34.分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉:凡是抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个数的和是34.现从题目中的15个偶数中任取9个数,由抽屉原理(因为抽屉只有8个),必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点,这两个数的和是34.例2:从1.2.3.4.….19.20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12.分析与解答在这20个自然数中,差是12的有以下8对:｛20,8｝,｛19,7｝,｛18,6｝,｛17,5｝,｛16,4｝,｛15,3｝,｛14,2｝,｛13,1｝.另外还有4个不能配对的数｛9｝,｛10｝,｛11｝,｛12｝,共制成12个抽屉(每个括号看成一个抽屉).只要有两个数取自同一个抽屉,那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选13个数,即可办到(取12个数:从12个抽屉中各取一个数(例如取1,2,3,…,12),那么这12个数中任意两个数的差必不等于12).例3: 从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数.分析与解答根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成10个抽屉(显然,它们具有上述性质):｛1,2,4,8,16｝,｛3,6,12｝,｛5,10,20｝,｛7,14｝,｛9,18｝,｛11｝,｛13｝,｛15｝,｛17｝,｛19｝.从这10个数组的20个数中任取11个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数.例4:某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多.分析与解答共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0.1.2.….n-2,还是后一种状态1.2.3.….n-1,握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的〝抽屉〞,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多.在有些问题中,〝抽屉〞和〝物体〞不是很明显的,需要精心制造〝抽屉〞和〝物体〞.如何制造〝抽屉〞和〝物体〞可能是很困难的,一方面需要认真地分析题目中的条件和问题,另一方面需要多做一些题积累经验.。
高思数学_4年级上-第8讲-简单抽屉原理(彩色)
把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理．一般地，我们有如下结论：以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果．但如果把10个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．因为即使每个抽屉都放1个苹果时，也只能放进199×=（个）苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使该抽屉中有2个苹果．类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，每个抽屉里放99911÷=（个）苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个．但如果把100个苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩下1个苹果再放进抽屉中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果．我们把“抽屉原理I”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理．抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是19世纪德国数学家狄利克莱最早提出的，在组合数学中有着非常重要的地位．抽屉原理I把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．抽屉原理II把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m n÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n÷”个苹果；（2）如果m n÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n÷的商再加1”个苹果．在前面的分析过程中，我们实际上已经用到了“最不利原则”．这是一种从反面考虑问题的思想，也是抽屉原理问题中非常重要的思考方法．在10个苹果放进9个抽屉的例子中，为了证明“能够找到一个抽屉，里面至少放了2个苹果”，我们利用“最不利原则”的思想，假设结论不成立，即“每个抽屉都放了少于2个的苹果”，由此得到9个抽屉将至多放9个苹果，与题目要求的10个苹果矛盾，因此得到原来的结论是成立的．100个苹果放进9个抽屉的例子也是同样的道理．分析 如果没有满足“有5条相同品种的鱼”的要求，最“倒霉”的情况是什么？换句话说，当结论不成立时，最多可能有多少条鱼？只要比这个“最多的”还要多，结论就肯定成立了．练习1.一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同颜色的彩球？分析 仍旧考虑问题的反面，当本题中的结论不成立时，最多能取出多少个球？捞出多少条鱼，才能保证其中有有中摸球，请问：例题2练习2.爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗．小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？分析 结论的反面是什么？在不满足结论的情况下，最多能摸出多少只袜子？练习3.袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只，现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问：（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）9只绿袜子放入一个布袋里．请问：（两只袜子颜色相同即为一双）草花和方块证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有那么最少要取出多少张牌？分析 本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有3张”这两个条件，如果不能同时保证这两个条件，那么最多可能取出多少张牌？练习4.口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个．要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？分析 摸出的4枚棋子的颜色情况都有哪几种？如果结论不成立，最多摸了几次？练习5.库房里有一批篮球、排球和足球，体育老师让一些学生去拿球，每人任意拿两个球．至少选出多少名拿球的学生，才能保证至少有4人拿的球完全相同？两种颜色）才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的4例题5国王让阿凡提在里至少放一粒米，无论怎么放都至少有多少个米粒？题本讲知识点汇总一、抽屉原理I ：把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．二、抽屉原理II ：把m 个苹果放入n 个抽屉（m 大于n ），结果有两种可能：（1）如果m n ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷”个苹果；（2）如果m n ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷的商再加1”个苹果．三、在抽屉原理问题中常常会用到“最不利原则”的思想．四、需要自己构造抽屉的问题．作业1.口袋里装有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个．小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球．他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？2.小钱的存钱罐中有四种硬币：1分、2分、5分、1角，这四种硬币分别有5个、10个、15个、20个．小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有5分硬币也有1角硬币？3.如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）4.盒子里一共有四种不同形状的零件，分别有9、10、11和12个，至少要从中摸出多少个零件，才能保证有3种不同形状的零件，并且这三种零件中每种至少有3个？5.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜．至少有多少名学生，才能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？。
抽屉原理
第二十讲 抽屉原理[知识导学]（1）抽屉原理的一般表述①假设有三个水果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个水果，它的一般表述为： 第一抽屉原理：（mn+1）个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m+1)个物体。
②若把3个物体放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。
它的一般表述为：第二抽屉原理：（mn-1）个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。
（2）构造抽屉的方法：常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。
[典型理解][例1]某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，问：是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？【分析】此类问题明显为抽屉问题，可用抽屉原理求解。
【解答】从9岁到12岁共有4年，合48个月，因为49÷48=14811 ，根据抽屉原理知道这个班一定有两个或两个以上的学生在同一年同一月出生。
因为按48个月设置48个“抽屉”，把49人往“抽屉”里面放，全部放完后，一定有这样一个“抽屉”，里面有两个人或两个以上的人，在同一“抽屉”里面的人就是同年同月生的，所以一定有两个学生，他们是同年同月生的。
[举一反三1]①15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一月出生，至多有几个同一月出生？②某校有370名1998年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是同一天？为什么？③某校六年级有同龄学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？[例2]证明：37人中（1）至少有4人属相相同：（2）要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？【分析】可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。
【解答】（1）因为37÷12=3……1,，所以根据第一抽屉原理，至少有3+1=4（人）属相相同。
（2）要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12+1=49（人）不保证有6人属相相同的最多人数为5×12=60（人）所以，总数应在49人到60人的范围内。
抽屉原理
【本讲教育信息】一. 教学内容：抽屉原理抽屉原理在小学数学教材中没有作为知识向同学们介绍，但它却是我们解决数学问题的一种重要的思考方法。
抽屉原理最早是由德国数学家狄利克雷最早发现的，所以也叫做狄利克雷重叠原则。
下面我们就一起来研究“抽屉原理”。
【典型例题】1. 第一抽屉原理：把()mn +1个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有()m +1个物体。
例如：把3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中有2个苹果。
2. 若把5个苹果放到6个抽屉中，就必然有一个抽屉是空着的。
这称为第二抽屉原理：把()mn -1个物体放在n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有()m -1个物体。
3. 构造抽屉的方法：在我们利用抽屉原理思想解决数学问题时，关键是怎样把题目中的数量相对应的想成苹果和抽屉，所以构造“抽屉”是解题的关键。
下面我们就通过例题介绍常见的构造“抽屉”的思想方法。
例1. 用“数的分组法”构造抽屉。
从1，2，3，……，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有：（1）2个数互质；（2）2个数的差为50；（3）8个数，它们的最大公约数大于1。
分析与解答：（1）将100个数分成50组{1，2}，{3，4}，……，{99，100}。
在选出的51个数中，一定有2个数属于同一组，这一组的2个数是相邻的整数，它们一定是互质的。
（2）我们可以将100个数分成下面这样的50组：{1，51}，{2，52}，……，{50，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。
（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数，即{2，4，……，100}；第二组：3的倍数，即{3，6，……，99}；第三组：5的倍数，即{5，10，……，100}；第四组：7的倍数，即{7，14，……，98}；第五组：1和大于7的质数，即{1，11，13，……，97}。
(完整)抽屉原理讲义-教师
第一抽屉原理原理1：把多于n+k个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n×1,而不是题设的n+k（k≥1），故不可能。
原理2 ：把多于mn（m乘以n)+1(n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体.原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中,则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2).运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中,哪个是物件,哪个是抽屉。
例如，属相是有12个，那么任意37个人中，有几个人属相相同呢？这时将属相看成12个抽屉，则一个抽屉中有 37/12，即3余1，余数不考虑，而向上考虑取整数，所以这里是3+1=4个人，(但这里需要注意的是,前面的余数1和这里加上的1是不一样的.）比如:由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日.这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
例1一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1，2，3，4的各有10块。
问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。
要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件)物品。
所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块.例2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除?分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1,2三种情形。
【小高数学知识点】抽屉原理
抽屉原理一、知识结构图抽屉原理二、方法讲解抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。
它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。
1、抽屉原理将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
例如：有5个苹果放进4个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了 个苹果；将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
例如：如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
如果把97个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
如果把98个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
2、最不利原则这是一种从反面思考问题的思想，也是抽屉原理中非常重要的思考方法，就是从最不利的方向出发分析问题。
例如：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？解析：（1）如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，答案是 ，这是从最有利原则考虑的，这是最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同，而不是“保证至少有4个小球颜色相同”。
（2）为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出 个红球、 个黄球和 个蓝球，此时三种颜色的球都是 个，却无 个球同色。
这样摸出的 个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出 个球。