变上限积分求导

变上限定积分求导法则： 例如：原函数存在定理：()(

)()0x

f t dt

f x '

=⎰

如果该函数()f t 再添一个变量x ，那么公式就变为

()()

()()0

x

x

xf t dt f t dt xf x '=+⎰

⎰

相当于：x 是一个常数，提取在变上限定积分()0x

f t dt ⎰的前面。 举例：（2008年高职升本试卷）

若()f x 在(),-∞+∞内连续，()()()02x

F x x t f t dt =-⎰ 证明：（1）若()f x 为奇函数，则()F x 为奇函数。 （2）若()f x 非增，则()F x 非减。

证明：（1）若()f x 为奇函数，则证明()()F x F x -+=0即可。

()()()()002x

x F x x t f t dt xf t dt ''⎡⎤⎡⎤'=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()02x tf t dt '⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰ =()()()()()002x x

f t dt xf x xf x f t dt xf x +-=-⎰⎰

()()()()00

2()x

x F x x t f t dt x f t dt --''⎡⎤⎡⎤'-=--=--⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦⎰⎰()02x tf t dt -'⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ =()()()()()0

()(1)2()(1)x

x f t dt x f x x f x f t dt xf x ---+-------=---⎰⎰

故：()()()()()()00

x

x

F x F x f t dt xf x f t dt xf x -''+-=----⎰⎰

()()()0

0 0x

x

x x f t dt f t dt f t dt --=+==⎰⎰⎰ 由拉格朗日定理，可知：()() F x F x C ''+-≡（C 为常数） 当0x =时代入，可得：()()F x F x -+=0。 （2）若()f x 非增，则证明()0F x '>。 由()F x '=

()()0

x

f t dt xf x -⎰

由积分中值定理，可得：[]0,x ξ∈

上式()F x '=()()()()()()()0f x xf x xf xf x x f f x ξξξ--=-=-⎡⎤⎣⎦ 依题意，得：不妨设0x >，则()()0x f f x ξ->⎡⎤⎣⎦ 即

：

命

题

得

证.