第五章多目标规划
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第五讲多目标规划模型
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性
的函数：
U (x) U ( f1, f 2 ,..., f p )
并设
aij f i (x j )
且各个方案的效用函数分别为
U (x j ) U (a1 j , a2 j ,..., a pj )
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ordU ( X ) (U ( X 1 ),U ( X 2 ),...., U ( X p ))T s.t. gi ( X ) 0
6
U ( X 1 ) j a1 j 34
j 1
6
U ( X 2 ) j a2 j 40.6
j 1
6
U ( X 3 ) j a3 j 57.925
j 1
6
U ( X 4 ) j a4 j 40.27
j 1
U* maxU U ( X 3 ) 57.925
^
^
S
x
f j (x)
f
* j
j
S j1, j 2,3,, p
4、步骤法（STEM法）
这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者 之间的对话逐步进行，故称步骤法。
步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的 一组理想解(f1*,f2*,…,fp*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,…,p) 无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解 作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修 改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原 来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。
依次进行，直到
得最优值 f1*
得最优值
f
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
5 多目标规划
优先因子（pl） ： 不同目标有主次 优先因子之间的关系 为轻重两种差别。一 Pl＞＞ Pl+1，即Pl对 种差别是绝对的， 应的目标比 Pl+1对应的目 标有绝对的优先性。只有 可以用优先因子pl 在高级优先因子对应的目 来表示，一种差别 标已优化的基础上，才考 虑较低级优先因子对应的 是相对的，这些目 目标。
在研究以什么为“最 佳’’的衡量指标时, 可能会提出各种各样的 目标来 ①要求总花费最少 ②要求糖的总斤数最大 ③要求甲糖果数量最大
2 多 目 标 数 学 模 型 及 特 点
模型一般形式： 与单目标规划模型不同，多目标 规划的目标函数为多个。
max f i ( x) f ( f1 ( x), f 2 ( x), f n ( x)) min g ( x) g ( g ( x), g ( x), g ( x)) i 1 2 n si ( X ) bi yi ( X ) ci x X
的有效解，根据决策者的
偏爱从其中选择出一个有
效解称为满意解
（satisfaction solution）
3 多目标规划的解
设多目标规划模型的可行域为
R=｛X‖gi(X)≤bi,i=1,2,3…m｝，对于最大化（max）
的多目标规划问题，不同解的定义如下： （1）有效解(非劣解) （2）满意解 （3）弱有效解 （4）绝对最优解
对于每一个目标都给定了一定的目标值，要求
在约束条件下目标函数尽可能逼近给定的目标值。
决策者给定目标函数相应的目标值，在各种约 束条件下，使各个目标函数尽量逼近给定的目标，
这种求解多目标问题的方法即为目标规划或目的
规划（goal programming）。
2. 基本概念及数学模型
在研究以什么为“最 佳’’的衡量指标时, 可能会提出各种各样的 目标来 ①要求总花费最少 ②要求糖的总斤数最大 ③要求甲糖果数量最大
2 多 目 标 数 学 模 型 及 特 点
模型一般形式： 与单目标规划模型不同，多目标 规划的目标函数为多个。
max f i ( x) f ( f1 ( x), f 2 ( x), f n ( x)) min g ( x) g ( g ( x), g ( x), g ( x)) i 1 2 n si ( X ) bi yi ( X ) ci x X
的有效解，根据决策者的
偏爱从其中选择出一个有
效解称为满意解
（satisfaction solution）
3 多目标规划的解
设多目标规划模型的可行域为
R=｛X‖gi(X)≤bi,i=1,2,3…m｝，对于最大化（max）
的多目标规划问题，不同解的定义如下： （1）有效解(非劣解) （2）满意解 （3）弱有效解 （4）绝对最优解
对于每一个目标都给定了一定的目标值，要求
在约束条件下目标函数尽可能逼近给定的目标值。
决策者给定目标函数相应的目标值，在各种约 束条件下，使各个目标函数尽量逼近给定的目标，
这种求解多目标问题的方法即为目标规划或目的
规划（goal programming）。
2. 基本概念及数学模型
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划课件
min U(F(X))
X∈R
然后求解该问题，并将其最优解X*作为(VP) 的最优解。 由于构造评价函数的多种多样，也就出现 了多种不同的评价函数方法。
处理多目标规划的一些方法
1. 线性加权和法 对 重 且(要 ∑V程λPj)=中度1，的给然p以个后适目构当标造的f评1权(X价系),函数f2数(λXj≥),0…(j,=f1p(,X2,)…按,p其),
挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为
非劣解，或有效解。
多目标规划解的概念
对于一般的多目标规划问题：
(VP)
V-min F(X)=(f1(X), f2(X),…,fp(X))T
s.t. gi(X)≤0, i=1,2,…,m
其中X=(x1,x2,…,xn)T, p≥2
设R={X| gi(X)≤0, i=1,2,…,m}
多目标规划解的性质
类似地可证明：像集F(R)的有效点一
定是弱有效点，即
E
* pa
E w* p
通过在像集F(R)上寻找有效点（或弱 有效点），就可以确定约束集合R上 的有效解（或弱有效解）。对此，有 如下的定理。
多目标规划解的性质
定理4 在像集F(R)上，若Epa*已知，则在约 束集合R上，有
X∈R
p-1
其中Rp-1=Rp-2∩{X |fp-1(X)≤fp-1*}
处理多目标规划的一些方法
此时求得最优解X*，最优值为fp*，则 X*就是多目标问题(VP)在分层序列意 义下的最优解。进一步有下列定理。
定理6 设X*是由分层序列法所得到的 最优解，则X*∈Rpa*.
处理多目标规划的一些方法
(2)若fj(Y)= fj(X*), j=1,2,…,j0-1 但fj0(Y)<fj0(X*) 2≤j0≤p 此时必有fj(Y)= fj(X*)≤fj*, j=1,2,…,j0-1 因此，Y是问题 (Pj0) min fp(X) X∈Rj0-2∩{X |fj0-1(X)≤fj0-1*} 的可行解，又由
X∈R
然后求解该问题，并将其最优解X*作为(VP) 的最优解。 由于构造评价函数的多种多样，也就出现 了多种不同的评价函数方法。
处理多目标规划的一些方法
1. 线性加权和法 对 重 且(要 ∑V程λPj)=中度1，的给然p以个后适目构当标造的f评1权(X价系),函数f2数(λXj≥),0…(j,=f1p(,X2,)…按,p其),
挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为
非劣解，或有效解。
多目标规划解的概念
对于一般的多目标规划问题：
(VP)
V-min F(X)=(f1(X), f2(X),…,fp(X))T
s.t. gi(X)≤0, i=1,2,…,m
其中X=(x1,x2,…,xn)T, p≥2
设R={X| gi(X)≤0, i=1,2,…,m}
多目标规划解的性质
类似地可证明：像集F(R)的有效点一
定是弱有效点，即
E
* pa
E w* p
通过在像集F(R)上寻找有效点（或弱 有效点），就可以确定约束集合R上 的有效解（或弱有效解）。对此，有 如下的定理。
多目标规划解的性质
定理4 在像集F(R)上，若Epa*已知，则在约 束集合R上，有
X∈R
p-1
其中Rp-1=Rp-2∩{X |fp-1(X)≤fp-1*}
处理多目标规划的一些方法
此时求得最优解X*，最优值为fp*，则 X*就是多目标问题(VP)在分层序列意 义下的最优解。进一步有下列定理。
定理6 设X*是由分层序列法所得到的 最优解，则X*∈Rpa*.
处理多目标规划的一些方法
(2)若fj(Y)= fj(X*), j=1,2,…,j0-1 但fj0(Y)<fj0(X*) 2≤j0≤p 此时必有fj(Y)= fj(X*)≤fj*, j=1,2,…,j0-1 因此，Y是问题 (Pj0) min fp(X) X∈Rj0-2∩{X |fj0-1(X)≤fj0-1*} 的可行解，又由
运筹学第五章
A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和 不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标 约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严 格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些 约束中可以加入正负偏差变量。
16
例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐 玲
OR2
1
第五章
目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题 多目标线性规划 产品 例1
资源 原材料（kg) 设备（台时） 单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：
多目标规划
指标往往相互矛盾（诸如资源可供 量与利润，利润与污染程度等）， 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解，只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。
在上例中，如果利润指标与污染指标的重 要程度不同，比如：利润指标比污染指标 重要10 倍， 那么，目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的，比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润， 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值， k1＞＞＞k2，表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是：引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。
应用领域
多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型，可以 解决供应商的选择问题（1、分析各供应商评价
标准的优先次序；2、建立多目标规划模型）
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……
多目标规划的研究趋势
( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在，当约束方程中有矛盾方程时， 线性规划问题就无可行解，为了防止 出现这种现象，可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念： 正偏差 是超出现有资源的部分， 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。
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•多目标线性规划单纯形表(1)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 3 2 0 0 0 0 z2 0 1 -1 2 0 0 0 0 x3 0 0 1 1 1 0 0 6 x4 0 0 2 1 0 1 0 10 x5 0 0 1 2 0 0 1 10
如果非基变量在两个目标中的检验数都大于0，当前的基础 可行解是劣解。这个非基变量进基，两个目标都会改善。
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(4)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 0 -1 -1 0 -16 z2 0 1 0 0 -5 3 0 0 x2 0 0 0 1 2 -1 0 2 x1 0 0 1 0 -1 1 0 4 x5 0 0 0 0 -3 1 1 2 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,0,2), z1=16, z2=0是 Pareto解。对应于B点。 •x3进基，x2离基，两个目标同时会变差，回到劣解A。 •x4进基，x5离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解C。
楼层 四层 七层 三层
第五章多目标规划
• 确定各目标最理想和最不理想的值，将各目标进 行归一化处理。最理想的值为1，最不理想的值为0， 将各决策方案的实际目标值转化为0～1之间的值。
最好
最差
实A 际B 指 标C
归A 一B 化C
面积（m2） 200 (1.0) 75 (0.0) 200 180 150 1.0 0.84 0.60
•当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,5,1,5,0), z1=10, z2=8是 Pareto解。对应于D点。
•x1进基，x3离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解C。 •x5进基，x2离基，z1会变差，z2会变差，将回到劣解O。 •已搜索到这个多目标规划的所有Pareto解B点，C点，D点。
•F
•C •B
•O
•A
• 当一个可行解的优化方向集合和可行域的交集为非空时， 两个目标z1，z2可以同时改善，即这样的可行解是劣解。优化方 向集合和可行域的交集为空集时，两个目标函数不可能同时改 善。这样的可行解是多目标规划的Pareto解。图中的可行解 B,C,D是多目标规划的Pareto解。Pareto解集为折线BCD。
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(5)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 0 -4 0 1 -14 z2 0 1 0 0 4 0 -3 -6 x2 0 0 0 1 -1 0 1 4 x1 0 0 1 0 2 0 -1 2 x4 0 0 0 0 -3 1 1 2 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,2,0), z1=14, z2=6是 Pareto解。对应于C点。 •x3进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解D。 •x5进基，x4离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解B。
产量（吨）
1 1 1 总产量不低于12吨
•利润最大化的线性规划模型为：
•max z=9x1+4x2+x3
•s.t. 4x1+ 2x2+ 5x3≤38
• 2x1+ x2+ 3x3≤25
• 30x1+10x2+20x3≥100
• x1+ x2+ x3≥12
•
x1, x2, x3≥0
耗用原料约束 排放污染约束 销售总额约束 产量约束
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(3)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 1/2 0 -3/2 0 -15 z2 0 1 0 5/2 0 1/2 0 5 x3 0 0 0 1/2 1 -1/2 0 1 x1 0 0 1 1/2 0 1/2 0 5 x5 0 0 0 3/2 0 -1/2 1 5 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(5,0,1,0,5), z1=15, z2=-5是劣解。 对应于A点。 •x2进基，x3离基，z1，z2同时改善，进到Pareto解B。 •x4进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，回到劣解O。
产量（吨）
总产量不低于12吨
总产量12吨
•如果允许排放的污染量从25立方米逐步减少，最优解 也将发生变化。变化情况如下表：：
第五章多目标规划
•多目标规划的例子(3)
允许排放的 产品A产量 产品B产量 产品C产量 最大利润 污染(m3) （吨） （吨） （吨） （万元）
25
7
5
0
83
19
7
5
0
83
18
第五章多目标规划
•多目标规划的例子(2)
•最优解如下表：
产品
条件
最优解
利润（万元/吨）
目标函数，最大化
总利润83万元
耗用原料（吨/吨） 耗用原料不超过38吨 耗用原料38吨
排放污染（m3/吨） 排放污染不超过25m3 排放污染19m3
销售价格（万元/吨） 销售总额不低于100万元 销售总额260万元
• a21x1+a22x2≤b2 • x1, x2≥0
•E
•设以z1为单目标的线性规划
最优解为B，以z2为单目标的
线性规划最优解为D。可行
域内部（不包括边界）的可
行解都是劣解。
•O
•z
2
•D
•z
2
•F
•C
•z
1
•B •z
1
•A
第五章多目标规划
•z2 •D
•C
•目标函数z1和z2
•E
•z2
同时改善的方向
6
6
0
78
17
5
7
0
73
16
4
8
0
68
15
3
9
0
63
14
2
10
0
58
13
1
11
0
53
12
0
12
0
48
11
没有可行解
第五章多目标规划
•利润最大化和排放污染最小化双目标问题的图
示 •最大利润（万元） •8
•排放污染最小和利润最大两 个目标可以同时实现的区域
3
•7
8
•允许排放的污染和
最大利润之间的关系
•7
劣解”或“Pareto”解，
非劣解的两个目标不可 •劣解 •劣解
•两个目标都可能实现的区域
能同时改进。
第五章多目标规划
•多目标规划问题的非劣解和非劣解集
•设多目标规划的可行域为，设其中的一个可行解 X*∈ ，它的K个目标值分别
•
f1(X*) ，f2(X*)， ……，fk(X*)
•如果对于任意的可行解X ∈ ，都至少有一个目标i， 使得
单价（元/m2） 3000 (1.0) 6000 (0.0) 4800 5500 4000 0.400 0.167 0.667
朝向 南 (1.0) 北 (0.0)
南 西
地段 甲 (1.0) 丁 (0.0)
丙 甲
楼层 三层 (1.0) 一层 (0.0)
四层 七层
东
乙
三层
1.0
0.4
0.9
0.4
•
fi(X)>fi(X*)
•则称X*为这个多目标规划的一个Pareto解（也称为非劣 解、有效解）。
•如果一个多目标规划问题有一个以上的Pareto解，这些 Pareto解组成的集合称为Pareto解集。
第五章多目标规划
•Pareto解集的图解
•f(x)
•f1(X) •f2(X)
•xz2的最优 解
•4
•x5= 0
•多目标规划的Pareto•解s.t集. x1+
•C
• 2x1+
x2 x2
≤6 ≤10
• x1+2x2 ≤10
•3
•z •x1=
2 •2 0
•1
•O
•x3= 0
•目标z1的• 最优x1，x2≥0
解
•B
•z1
•x4=
•x2=
0 •A
•0123456
0
第五章多目标规划
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(6)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 2 0 0 0 -1 -10 z2 0 1 -2 0 0 0 -1 -8 x2 0 0 1/2 1 0 0 1/2 5 x3 0 0 1/2 0 1 0 -1/2 1 x4 0 0 3/2 0 0 1 -1/2 5
值Z2A，得到A点。……
用同样的方法得到B点。
•非劣解(Pareto解)
依次进行，得到两个目 •z2B
•B
标之间关系的曲线AB 和相应的区域。
•M •P’
•非劣解(Pareto解)
•区域内部的点N和M称
•N
为“劣解”，劣解的两 •z2A
•P •A
个目标同时可以改进。
曲线AB上的点称为“非
•z1B
•z1A •第一个目标
如果任何一个非基变量在两个目标中的检验数不同时大于0， 这个基础可行解是Pareto解，任何一个非基变量进基，一个 目标将会改善，而另一个目标将会变差。
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(2)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 3 2 0 0 0 0 z2 0 1 -1 2 0 0 0 0 x3 0 0 1 1 1 0 0 6 x4 0 0 2 1 0 1 0 10 x5 0 0 1 2 0 0 1 10 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,0,6,10,10), z1=0, z2=0是劣 解，对应于图中的O点。 •x1进基，x4离基，z1会改善，z2将会变差，进到劣解A。 •x2进基，x5离基，z1，z2可以同时改善，进到Pareto解D。