丘成桐中学数学奖参赛论文

丘成桐中学数学奖参赛论文圆明园迷宫设障游戏中的迷宫算法研究参赛队员：申靓博，谭侃然指导老师：纪荣强参赛学校：北京四中圆明园迷宫设障游戏中的迷宫算法研究摘要现在的游戏为了玩家的方便，都开始提供迷宫的自动导航功能。

对于大规模的迷宫，要提供实时的导航，必须要有高效的迷宫算法。

本文着重描述了A*算法的思想，然后从理论上证明了算法的可接纳性和一致性，最后对几种算法的运行效率进行了比较，并在算法实现过程中提出了改进算法。

关键词：迷宫算法，A*算法，迪杰斯特拉算法AbstractNow the game for players convenience, are beginning to offer a maze of automatic navigation function. For the large-scale maze, to provide real-time navigation of the maze algorithm must be efficient. In this paper, describes the A * algorithm, and then theoretically proved that the algorithm is the admissibility and consistency, the last of the operational efficiency of several algorithms were compared and proposed algorithm of the improvements.Keywords: maze algorithm, A star algorithm, Dijkstra algorithm1 问题背景随着现代科技的发展，计算机开始普及，计算机游戏也达到了空前的繁荣。

提到游戏，不得不提到游戏中的迷宫。

国内游戏中最早出现的最有名的迷宫当数仙剑奇侠传1中的迷宫，曾令多少玩家为之痴迷。

随着网络的普及，网络游戏正如火如荼的发展，当然，网络游戏中也少不了迷宫地图，但现在大部分游戏为方便玩家的操作，都提供了一种称为自动导航、自动寻路的功能，只要在当前地图中确定出发点与目的点，系统就能自动找出一条可行的、最优（局部最优）的路径并使玩家自动移动到目的地。

本文研究的就是如何能够在迷宫地图中更快地找到一条路径满足当前的移动需求，并且考虑到游戏中有多个玩家同时进行时，会相互构成动态障碍，从而产生了一种动态设障迷宫算法改进的需求。

本文以圆明园迷宫为例来探索迷宫路径搜索算法的一种改进。

圆明园迷宫相传是由意大利传教士郎士宁、法国传教士蒋友仁、艾启蒙等为中国皇帝设计修建。

迷宫由宫墙和凉亭组成。

宫墙高1.60米，总长1660米，占地6000平方米。

墙身由特别烧制有“万”字不到头的图案的灰砖砌成。

凉亭位于迷宫中心，高11米，汉白玉建筑，亭柱上雕镂着精美的花纹图案，半圆形的亭顶突出欧式建筑风格，站在亭中俯首四望，迷阵一览无遗。

清代，每当中秋之夜，皇帝在此举行盛大灯火晚会，嫔妃宫女们手持黄色宫灯，由四门而入，为争先到达阵中凉亭，嫔妃们追逐嬉戏，各选捷径，此时皇帝居于凉亭中，四面望去，只见无数黄花灯在阵内游动，甚为壮观。

所以，迷宫又称为黄花阵、万花阵。

2 算法理论分析传统的迷宫算法主要有两种，深度优先搜索算法和DIJKSTRA（迪杰斯特拉）算法。

2．1 深度优先搜索算法深度优先搜索算法是最基本的一种搜索算法，这种算法能保证只要迷宫中有通路，算法一定能返回一条通路，但当迷宫中有多条通路可走时，这种算法一般情况下给不出最优结果。

而且，同样的搜索条件可能给出不同的路径。

深度优先搜索算法是把最近刚产生的结点优先扩展，直到达到一定的深度限制。

若未找到目标或无法再扩展时，再回朔到另一个结点继续扩展。

从初始状态S开始，利用规则生成搜索树下一层任一个结点，检查是否出现目标状态G。

若未出现，以此状态利用规则生成再下一层任一个结点，再检查是否为目标状态G，若不是，继续以上操作过程，一直进行到叶结点(即不能再生成新状态结点)。

当没有发现目标状态G时，回溯到上一层结果，取另一可能扩展搜索的分支，生成新状态结点；若仍不足目标状态，就按该分支一直扩展到叶结点。

若仍没有发现目标状态，采用相同的回溯办法回退到上层结点，扩展可能的分支生成新状态；如此一直进行下去，直到找到目标状态G为止。

2．2 DIJKSTRA（迪杰斯特拉）算法对于黄花阵迷宫，其内的很多通路是多条的，我们的目的就是要找到最优的路径，因此，可以考虑使用DIJKSTRA算法。

该算法是由迪杰斯特拉（Dijkstra,1959）提出的，其想法是：设已知图中最接近于顶点s的m个顶点以及从顶点s到这些顶点中每一个顶点的最短路（从s 到其本身的最短路是零路，即没有弧的路，其长度为0）。

对顶点s和这m个顶点着色。

然后，最接近于s的第m+1个顶点可如下求之：对于每一个未着色的顶点y，考虑所有已着色顶点x，把弧（x，y）接在从s 到x的最短路后面，这样就得到从s到y的m条不同路。

从这m条路中选出最短的路，它就是从s到y的最短路。

相应的y点就是最接近于s的第m+1个顶点。

因为所有弧的长度都是非负值，所以从s到最接近于s的第m+1个顶点的最短路必然只使用已着色的顶点作为中间顶点。

从m=0开始，将这个过程重复进行下去，直至求得从s到t的最短路为止。

算法步骤：第1步开始，所有弧和顶点都未着色。

对每个顶点x指定一个数d(x)，d(x)表示从s到x的最短路的长度（中间顶点均已着色）。

开始时，令d(s)=0，d(x)=∞（对所有x≠s）。

y表示已着色的最后一个顶点。

对始点s着色，令y=s。

第2步对于每个未着色顶点x，重新定义d(x)如下：d(x)=min{ d(x)，d(y)+a(y，x)}对于所有未着色顶点x，如d(x)=∞，则算法终止。

因为此时从s到任一未着色的顶点都没有路。

否则，对具有d(x)最小值的未着色顶点x进行着色。

同时把弧(y，x)着色（指向顶点x的弧只有一条被着色）。

令y=x。

第3步如果顶点t已着色，则算法终止。

这时已找到一条从s到t的最短路。

如果t未着色，则转第2步。

注意：已着色的弧不能构成一个圈，而是构成一个根在s的树形图，此树形图称为最短路树形图。

若x是最短路树形图中的任一顶点，则从s到x的唯一的一条路是从s到x的最短路。

这个算法可以看成是根在顶点s的树形图的生长过程。

一旦到达顶点t，生长过程就停止。

2．3 A*算法DIJKSTRA算法能保证最后输出一条最优路径，但相对于A*算法，它要搜索的节点数要明显多于A*算法，搜索的效率不如A*算法。

下面着重介绍下A*算法的思想，并对A*算法给出相关的证明。

A*算法最早是在1968年由Peter Hart, Nils Nilsson 和Bertram Raphael等人提出的，这是一种启发式的算法，利用人工智能的思想，按照某种启发方式来重排要搜索的节点的顺序，从而完成高效的搜索。

为了更准确地解释启发式搜索的过程，这里提出一个通用的图搜索算法，它允许各种用户进行定制。

这里把这个算法叫做图搜索（GRAPHSEARCH）。

下面是它的定义。

GRAPHSEACH（1）生成一个仅包含开始节点n0搜索树Tr。

把n0放在一个称为OPEN的有序列表中。

（2） 生成一个初始值为空的列表CLOSED.（3） 如果OPEN 为空，则失败并退出。

（4） 选出OPEN 中的第一个节点，并将它从OPEN 中移出，放入CLOSED 中。

称该节点为n 。

（5） 如果n 是目标节点，顺着Tr 中的弧从n 回溯到n 0找到一条路径，获得解决方案，则成功退出（弧在第6步产生）。

（6） 扩展节点n ，生成n 的后继节点集M 。

通过在Tr 中建立从n 到M 中每个成员的弧生成n 的后继。

（7） 按照任意的模式或启发式方式对列表OPEN 重新排序。

（8） 返回步骤3。

这个算法可用来执行最优搜索、广度优先搜索或深度优先搜索。

在广度优先搜索中，新节点只要放在OPEN 的尾部即可（先进先出，FIFO ），节点不用重排。

在深度优先搜索中，新节点放在OPEN 的开始（后进先出，LIFO ）。

在最优（也叫启发式）搜索中，按照节点的启发方式来重排OPEN 。

算法A*在GPAPHSEACH 的第7步中，我们定义代价函数f ˆ，并按照f ˆ值的大小，从小到大排列OPEN 表中的节点。

为了确定要用的函数f ˆ族，必须先介绍一些其他符号。

设=)(n h 节点n 和目标节点（遍及所有可能的目标节点以及从n 到它们的所有可能路径）之间的最小代价路径的实际代阶。

设=)(n g 从开始节点n 0到节点n 的一个最小代价路径的代阶。

那么)()()(n h n g n f +=就是从n 0到目标节点并且经过节点n 的最小代价路径的代价。

注意)()(00n h n f =是从n 0到目标节点的一个（不受限的）最小代价路径的代价。

对每个节点n ，设)(ˆn h(启发因子)是)(n h 的某个估计， )(ˆn g （深度因子）是由A*发现的到节点n 的最小代价路径的代价。

在算法A*中，我们用h gf ˆˆˆ+=。

注意，如果算法A*中的hˆ恒等于0，就成为相同代价搜索。

弧的代价f(n 0)=到达一个目标的最低代的代价达一个目标的最通过节点n佳路径的代价(本8)个目标的优化路径的代价的估计分别是对h g f h g f,,ˆ,ˆ,ˆh g f ˆˆˆ+=2．3．1 A*的可接纳性对图和h ˆ施加一些条件可以保证应用到图的算法A*总能找到最小代价路径。

图的条件是：(1) 图中每个节点的后继是有限的(如果有的话)；(2) 图中所有弧的代价都大于某个正数ε。

hˆ的条件是： (3) 对搜索图中的所有节点n ，)()(ˆn h n h≤。

也就是说，h ˆ决不会超过实际值h 的估计。

（这样的h ˆ函数有时被称为优化概算机） 用这三个约束条件，只要存在到达目标的路径，算法A*可以保证找到一条到达目标的最佳路径。

把这个结果作为一个定理，下面给出这个定理的证明。

定理1 如果图和h ˆ具有上述的稳定条件，而且从开始节点n 0到目标节点有一条有限代价的路径，那么算法A*保证终止于到达目标的一条最小代价路径。

为了证明这个定理，首先要证明一个引理。

引理1 在A*终止前的每一步，总有一个节点n*，它OPEN 上有下面的特性：(1) n*在到达目标的一条最佳路径上。

(2) A*已经发现了到达n*的一条最佳路径。

(3) )(*)(ˆ0n f n f ≤引理证明：为了证明A*每一步保证引理结论，只要证明(1)在算法开始时结论正确；(2)如果一个节点扩展前结论正确，那么节点扩展后结论继续正确。