中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2019年3月8号测试理科数学试卷
sin(
−
6
)
+
3
=
0
，椭圆
C
的参数方程为
x
y
= =
2 cos sin
（
为参数）．
（1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）椭圆 C 上一点到直线 l 的最小距离是多少？
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
己知函数 f (x) = x +1 − x − 2 ．
（1）求不等式 f (x) 1的解集；
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
参考公式：
K
2
=
(a
+
n(ad − bc)2 b)(a + c)(c + d )(b
+
d
)
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（12 分）如图，封闭多面体 ABCDFE ，平行四边形 ABCD中， AC 与 BD 相交于点 O ， E 在平面 ABCD的射影为 O ， EF //平面 ABCD，且
A． p q
B． ( p) q
C． p ( q)
D． ( p) ( q)
x − y −2 0
4．设变量
x,
y
满足约束条件
x x
+ +
y0 2y − 4
，则
0
z
=
x
−
1 2
y
的最大值为（
）
A．－6
B． 3 2
C． 7 3
D． 3
5．我国古代名著《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“有
（1）求边 c ； （2）求 sin( B − ) 的值．
3
18．（12 分）有甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表： 班级与成绩列联表
甲班 乙班 合计
优秀 不优秀 合计
20
45
40
90
（1）请将上述 2×2 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为成绩与班级有关呢？ （2）针对调查的 90 名同学，各班都想办法要提高班级同学的优秀率，甲班决定从调查的 45 名同学中按分层抽 样的方法随机抽取 9 名同学组成学习互助小组，每单元学习结束后在这 9 人中随机抽取 2 人负责制作本单元思 维导图，设这 2 人中优秀人数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 参考数据：
A． 1 i 2
B． − 1 i 2
C． 1 2
D． − 1 2
2．已知集合 A = {x N + x 0}， B = x y = 4−x
1− log3 x ，则集合 A
B =（
）
A．
B． 1, 2, 3
C． 0,1, 2, 3
D．x 0 x 3
3．已知，命题 p : xR ，都有 ln x 0 ；命题 q : x 0，总有 sin x x ．则下列命题中是真命题的是（ ）
………5 分
c = 6
………6 分
（2）由余弦定理求出 cos B = 5 9
………7 分
再求出 sin B = 2 14 9
………8 分
（或者由正弦定理先求 sin B ，再求 cos B ）
sin(B − ) = sin B cos − cos B sin
3
3
3
………10 分
= 2 14 − 5 3 18
3
A． e2
3
B． − e2
−3
C． e 2
−3
D． − e 2
9．函数
y
=
ln( x +1) 的部分图像大致是（ x2 − 2x +1
）
y
y
y
y
-1 O 1
x
-1 O 1
x
-1 O 1
x
-1
10．已知函数 y = f (x) 对任意的 x( 0，+ ），满足 f (x) xf (x) （其中 f (x) 为函数 f (x) 的导函数），则下列
………12 分
18．（1）补充完整的 2×2 列联表如下：
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优秀 不优秀 合计
甲班 20 25
45
乙班 5
40
45
合计 25 65
90
………2 分
K 2 = 90 (20 40 − 25 5)2 = 162 12.46 10.828
2565 45 45 13
………4 分
=
5 9，
P( X
= 2) =
C42C50 C92
=
1 6
故 X 的分布列为：
X
0
1
2
5
5
1
P
18
9
6
数学期望 E( X ) = 0 5 +1 5 + 2 1 = 8 18 9 6 9
19．（1）取 CD 的中点 M，连接 FM、OM，OE
………10 分 ………12 分
EF∥平面ABCD ， EF 平面BCFE ， 平面ABCD 平面EFCB = BC
A．119
B．120
C．164
D．165
7．若函数 f (x) = sin( x + )( 0) 的最小正周期为 ，若将函数图象 y = f (x) 向左平移 个单位，得到函数
3
12
g(x) 的图象，则函数 g(x) 的解析式为（ ）
A． g(x) = sin( 1 x + ) 26
（一）必考题：60 分．
17.（12 分）
（1）由 5sin(B + C) = 3sin(A + C) 得 5sin A = 3sin B
由正弦定理得 5a = 3b
………2 分
a = 3，b = 5 ………3 分
………1 分
由余弦弦定理得 c2 = a2 + b2 − 2abcosC = 36
大值为（ ）
A． 6 + 2 10
B．8 + 2 5
C． 2 + 2 2
D．16 + 2 5
12．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆组成，O 为大圆圆心，线段 AB 为小
圆直径．△ AOB 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色月牙部分记为Ⅱ，两个小月牙之和（斜线部分）记为Ⅲ．在
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B B C B C DAAABD
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
5
13.
6
14. an = 2n−1
15. m [1 ,1] 3
3
3
16.
5
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（2）若 f (x) + 2 x − 2 m恒成立，求实数 m 的取值范围．
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中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 3 月测试
理科数学（一卷）答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
项公式为
．
15．已知函数 f (x) = 2x3 + ln( x + x2 +1) + x ，若 f (3m2) + f (1− 4m) 0 ，则实数 m 的取值范围是
．
16．要设计一容积为 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积是下底面的单位面
积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半．储油罐的下部圆柱的底面
半径 R =
造价最低．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）
在△ ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a , b , c ， a = 3， cosC = − 1 ， 5sin(B +C) = 3sin(A+C) ． 15
个女子善于织布，每天织布数量是前一天的两倍，五天共织布五尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据题目
的已知条件，求这位女子前四天共织布多少尺（ ）
A． 40 31
B． 75 31
C． 80 31
D． 4
6．在 (1+ x)3 + (1+ x)4 + + (1+ x)10 展开式中 x2 的系数为（ ）
3) 和 (− 2
2,
2 ) 两点． 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知 P 为椭圆 C 上不同于顶点的任意一点，A, B 为椭圆的左、右顶点，直线 AP, BP分别与定直线 l : x = −6
相交于 M, N 两点，设线段 MN 中点为 Q ，若 AQ BQ 的值最小，求此时 Q 的坐标． 21．（12 分）已知 f (x) = ln x − a(x −1) ．
FM 平面CFD 平面ABCD ⊥ 平面CFD ………4 分
THUSSAT2019年9月诊断性测试理科数学试卷
（第 18 题图）
19．（12 分）若数列 an
前 n 项和为Sn
，且满足 Sn
t = t −1 (an − 2)
(t为常数，且t 0, t 1)
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）设 bn
= 1− Sn ,且数列{bn}为等比数列，令cn
A．
−
1 2
,
0
0,
3 2
B．
−
1 2
,
0
0,
3 4
C．
−
1 4
,
0
0,
3 2
D．
−
1 4
,
0
0,
3 4
10．设 Fn 是斐波那契数列，则 F1 = F2 = 1，Fn = Fn−1 + Fn−2 ，右图是
C． +
2
D． +
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 5a = 8b = 10 ，则 3 + 1 =
．
ab
14．已知数列{an} 满足 a1
=
2,
an+1 + (n + 2) an + (n + 1)
=
n+3 n +1
，数列{an} 的通项公式为
an
=
．
15．已知边长为 2 的正方形 ABCD ，E, F 分别是边 BC , DC 上的两个动点，AE + AF = x AB + y AD ，若 x + y = 3 ，
2019湖北省八市高三3月调考数学理试题及答案
湖北省八市2019年高三年级三月调考数学（理科）试题本试卷共4页,全卷满分150分，考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。
２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效。
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数521i -的共轭复数是A ．21i +B ．12i --C ．21i -D ．12i -2．已知命题:,20x p x R ∀∈>，那么命题p ⌝为A ．,20x x R ∃∈≤B ．,20x x R ∀∈<C ．,20xx R ∃∈< D ．,20xx R ∀∈≤3.执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是A ．120B ．720C ．1440D ．50404.不等式组(3)()0,04x y x y x -++⎧⎨⎩≥≤≤表示的平面区域是A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形5.设a R ∈，函数()x xf x e a e -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x 'A ．1B ．12-C ．12D ．1-6．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数3y x =的图象与x 轴及1x =±围成的阴影区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为A ．116B ．18C ．14D ．12 7．下列结论正确的是①“14a =”是“对任意的正数x ，均有1a x x +≥”的充分非必要条件②随机变量ξ服从正态分布2(2,2)N ，则()2D ξ= ③线性回归直线至少经过样本点中的一个 ④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有c b a >>c A ．③④ B ．①② C ． ①③④ D ．①④ 8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道第6题图题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为A ．56 B ．103 C ．53 D ．1169．已知函数21(0)()log (0)x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，则函数[()]1y f f x =+的零点个数是A ．4B ．3C ． 2D ．110．抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且2π3AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为ABCD二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) （一）必做题（11—14题）11．在(13)n x -的展开式中，各项系数的和等于64，那么此 展开式中含2x 项的系数 ▲ .12．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位：cm )，则该三棱锥的外接球的表面积为 ___▲___2cm ．13. 函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是 ▲ ．（写出所有正确结论的编号．．） ① 图象C 关于直线11π12x =对称； ② 图象C 关于点2π(0)3，对称；③ 函数()f x 在区间π5π()1212-，内是增函数；④ 由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．14．如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为*(,)ij a i j N ∈，则（Ⅰ）99a = ▲ ；（Ⅱ）表中数82共出现 ▲ 次．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l第15题图第14题图∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙37312519137312621161162521171395191613107413119753765432第12题图 432侧视图俯视图正视图第1层 第2层 第3层 第4层入口第20题图的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=▲ ．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）设直线1l 的参数方程为13x ty a t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线2l 的方程为s i n 3c o s 40ρθρθ-+=，若直线1l 与2l 间的距离为，则实数a 的值为▲ .三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角且向量3(1,cos )(3sin cos ,)2222C C C m n ==+与共线。
理科数学(一卷)试卷THUSSAT3月测试高考资料高考复习资料中考资料
A．119
B．120
C．164
D．165
7．若函数 f (x) = sin( x + )( 0) 的最小正周期为 ，若将函数图象 y = f (x) 向左平移 个单位，得到函数
3
12
g(x) 的图象，则函数 g(x) 的解析式为（ ）
A． g(x) = sin( 1 x + ) 26
B． g(x) = sin( 1 x − ) 23
（2）若 f (x) + 2 x − 2 m恒成立，求实数 m 的取值范围．
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自信是迈向成功的第一步
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
参考公式：
K
2
=
(a
+
n(ad − bc)2 b)(a + c)(c + d )(b
+
d
)
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（12 分）如图，封闭多面体 ABCDFE ，平行四边形 ABCD中， AC 与 BD 相交于点 O ， E 在平面 ABCD的射影为 O ， EF //平面 ABCD，且
E
F
EF = 1 BC ，其中 AB = BC = AC = AE = a ． 2
（1）求证：平面 ABCD⊥平面 CFD ；
A
D
O
（2）求多面体 ACDFE 的体积； （3）求二面角 A−CE − B 余弦值．
B
C
THUSSAT中学生标准学术能力2023年3月诊断性测试数学试卷+答案
中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}2430A x x x =−+<，2112x B y y −−⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =A ．[)2,3B ．()1,3C ．[)2,+∞D ．()3,+∞2． 设z 是纯虚数，若31iz++是实数，则z 的虚部为A ．3−B ．1−C ．1D ．33． 已知函数()()()()cos 0,f x x x ωϕωϕωϕπ=+−+><，则“函数()f x 是偶函数”是“=3πϕ−”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若圆()()22320x a y −+−=上有四个点到直线210x y −+=则实数a 的取值范围是A ．1317,,22⎛⎫⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1317,22⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．37,,22⎛⎫⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．37,22⎛⎫−⎪⎝⎭ 5． 若111111777n n n nn n n C C C −−+++++++是9的倍数，则自然数n 为A ．4的倍数B ．3的倍数C ．奇数D ．偶数6． 现将0-9十个数字填入右方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a ，第二行的数字中最大的数字为b ，第三行的数字中最大的数字为c ，第四行的数字中最大的数字为d ，则满足a b c d <<<的填法的概率为A ．110B ．15C ．215D ．257． 在矩形ABCD 中，已知24AB AD ==，E 是AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，连接1AC ．当二面角1A DE C −−的平面角的大小为60︒时，则三棱锥1A CDE −外接球的表面积为 A ．563πB ．18πC ．19πD ．533π8． 已知0a >且1a ≠，若集合{}22log a A x x x =<，1ln ln 2B x y x x ⎧⎫⎛⎫==+−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且A B ≠⊂， 则实数a 的取值范围是A ．14e 10,1,e 4⎛⎤⎛⎫ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦B ．14e10,e ,4⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭C ．12e 1,11,e 4⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦D ．12e1,1e ,4⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 设0,0a b >>，满足321a b +=，下列说法正确的是A ．ab 的最大值为124B ．21a b+的最小值为 C ．22a b +的最小值为113D ．2294a b +的最小值为110．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12321a a a ++=，525S =，下列说法正确的是A ．23n a n =+B ．210n S n n =−+C ．{}n S 的最大值为5S D ． 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1099−11．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,ab c ，已知4,6b c ==，ABC ∆的面积S 满足()()228b c S a +=+，点O 为ABC∆的外心，满足AO AB AC λμ=+，则下列结论正确的是（第7题图）（第6题图）A ．=6SB ．10CB AO ⋅=C ．2213AO=D ．23λ=−12．已知()()1122,,,P x y Q x y 是椭圆229144x y +=上两个不同点，且满足121292x x y y +=−，则下列说法正确的是A ． 1122233233x y x y +−++−的最大值为6+B ． 1122233233x y x y+−++−的最小值为3C ． 11223535x y x y −++−+的最大值为D ． 11223535x y x y −++−+的最小值为10−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点M 为抛物线28y x =上的动点，点N 为圆()2245x y +−=上的动点，则点M 到y 轴的距离与点M 到点N 的距离之和最小值为．14．已知()f x 为R 上的偶函数，函数()()2=h x x f x 在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()()()2211330x f x x f x −−−++>的解集为．15．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有 个．16．若关于x 的不等式()e23xk x x −<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在数列{}n a 中，149a =，()()()2313912n n n n a n a ++⋅+=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，证明：525443n nn S +<−⋅． 18．（12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c −=．（1）求角B ；（2）设ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，若BD =2，求ABC ∆的面积的最小值． 19．（12分）如图所示，在三棱锥A BCD −中，满足BC CD ==，点M 在CD 上，且5DM MC =，ABD ∆为边长为6的等边三角形，E 为BD 的中点，F 为AE 的三等分点，且2AF FE =．（1）求证：FM面ABC ；（2）若二面角A BD C −−的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值． 20．（12分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．21．（12分）已知双曲线C 以20x ±=为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TFPQ是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 22．（12分）设()()ex xf x x =∈R ．（1）求()f x 的单调性，并求()f x 在12x =处的切线方程；（2）若()()()e ln 1x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围．（第19题图）中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．132 14．(),1−∞− 15．10816．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）()()()23+1391=2n n n n a n a +⋅++()()()()12233221n nn a n a n n +++∴=++即()()()()122321321n nn a n a n n +++=⋅++ ····································································· 2分 又()()12312111a +=+，所以数列()()221n n a n ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为13，公比为13的等比数列 从而()()21321n nn a n +⎛⎫= ⎪⎝⎭+，则()()2123n nn a n +=+⋅ ·················································· 5分 （2）()()2111+123233n nn n n n n n a n n +++==⋅<+⋅+··························································· 6分 21233133 12+12333323131233331两式相减得：12111111229311+121+3333333131n n n n n n n T −++⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+++−=−−111211152513636233n n n n n −++⎡⎤++⎛⎫=+−−=−⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦················································ 9分 从而525443n n n T +−⋅=，故525443nnn S +<−⋅ ····················································· 10分 18．（12分）（1）由已知及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C ⋅−=又在ABC ∆中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ························· 2分 2sin cos sin 2sin cos 2cos sin B A A A B A B ∴−=+即2sin cos =sin A B A −又sin 0A ≠，1cos 2B ∴=− ········································································ 4分 又0B π<<，2=3B π∴，即角B 的大小为23π·············································· 5分 （2）13sin 24ABC S ac B ac ∆== ····································································· 6分 BD 是ABC ∠的角平分线，而ABC ABDBCD S S S ∆∆∆=+11sin 60sin 6022AB BD BD BC =⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 即()44ac BD a c =⋅⋅+，ac BD a c =+∴ ················································· 8分 2BD =，()2ac a c ∴=+2a c ac +≥，ac ∴≥，即16ac ≥ ···············································10分 4a c ==1sin 162S ac B =⋅≥= 1219．（12分）（1）在BE 上取一点N ，使得12BN NE =，连接FN ，NM 6BD =，116BN BD ∴==，2NE =，3ED =12AF FE =，12BN AF NE FE ∴== 则FNAB ··························································································· 2分FN ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，FN∴面ABC15BN CM ND MD ==，NM BC ∴ ······························································· 4分NM ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，NM∴面ABCFNNM N =，∴面FNM面ABCFM ⊂面FNM ，FM∴面ABC ·························································· 5分 （2）AE BD ⊥，CE BD ⊥所以二面角A BD C −−的平面角为23AEC π∠= ············································ 6分 又AECE E =，BD ∴⊥面AECBD ⊂面ABD ，∴面ABD ⊥面AEC面ABD面=AEC AE ，过点C 作CH AE ⊥，则CH ⊥面ABD则sin3CH CE π=⋅=()2233332CE =−=，CH ∴==······························· 8分即C 到面ABD 的距离为256MD CD =，M ∴到面ABD 的距离为5624⨯= ······························ 9分322232EMEM+−=⇒=···············································11分∴EM与面ABD=·········································12分（其他方法酌情给分）20．（12分）（1）列联表如下：·····················2分()2230125490.4082 2.0721614219K⨯⨯−⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关 ············5分（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3则()3539542CP XC===···········································································6分()21453910121C CP XC=== ············································································7分()5243912145C CP XC=== ············································································8分()34391321CP XC===················································································9分X()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ··············································· 12分 21．（12分）（1）因为双曲线C以20x =为渐近线设双曲线方程为()()22x x λ=，即2245x y λ−= ························· 1分()0,3F ，0λ∴< ，即：22154y x λλ−=−−954λλ∴−−=，9920λ∴−=，即20λ=− ····················································· 3分 所以双曲线C 的方程为：22145y x −= ··························································· 4分 （2）设直线:3l y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y()22225420534203y x kx x y kx ⎧−=⇒+−=⎨=+⎩ 化简得：()225430250k x kx −++=··························································· 6分 此方程的两根为12,x x ，则12212230542554k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩PQ ∴==()2220154k k +==− ·············································· 8分 PQ 中点M 坐标为221512,5454kk k −⎛⎫− ⎪−−⎝⎭······················································· 9分 22121155454k ⎛⎫02275422754则22227151535454k TF k k +=+=−− ···························································· 11分 ()22221515543420154k TF k PQ k k +−∴==+− ········································································ 12分 22．（12分）（1）令()()2e e 10e e x xxx x xf x −−'==> ··································································· 1分 1x ∴<，即函数()f x 的单调递增区间为(),1−∞，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞·········································· 2分当12x =时，121122e f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴切点为12⎛ ⎝ 又12111222e ef ⎛⎫'==⎪⎝⎭，()f x ∴在12x =处的切线方程为：12y x y x ⎫=−⇒=⎪⎭················································· 4分 （2）()2e ln 1ex x k x ≤⋅+ ，ln 1ln 1ln 1e e e x x x x x k k x +++≤⋅=⋅ ()1,x ∈+∞，ln 1ln 10ex x ++∴>，ln 1e ln 1e x x xk x +∴≥+ ··············································· 6分 由（1）可知()=ex xf x 在()1,+∞上单调递减，下证：ln 1x x >+即证：ln 1x x −>在()1,x ∈+∞恒成立 令()ln g x x x =−，则()1110x g x x x−'=−=>1111 9 11()f x 在()1,x ∈+∞上单调递减()()ln 1f x f x ∴<+，即ln 1ln 1e ex x x x ++<，ln 1e 1ln 1e x x x x +∴<+ ································· 11分 1k ∴≥ ·································································································· 12分。
THUSSAT2019年3月测试理科综合试卷
C．A 和 C 形成的化合物与水反应可生成一种还原性气体
D．E 元素的氢化物对应的水溶液一定显强酸性
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10．萜类化合物广泛存在于动植物体内，关于下列萜类化合物的说法正确的是：
系曲线如图所示，下列说法中正确的是：
A．a 的分子式为 C10H12 B．a 和 c 分子中所有碳原子均处于同一平面上 C．a、b 均能使酸性 KMnO4 溶液褪色 D．a 的一氯代物有 5 种 11．工业上用活性炭吸附海带提碘后废水中的 I-制取 I2，其流程如下图：
1．下列有关细胞结构和功能的叙述，错误的是： A．水稻可通过根毛细胞的渗透作用吸收水分子 B．胰岛素在胰岛 B 细胞中的运输具有一定的方向性 C．肽键的形成是在核糖体中完成，需要模板和能量 D．核膜的主要成分是磷脂和蛋白质，不具有流动性
2．下列有关蛋白质和核酸之间关系的叙述，错误的是： A．同一个体不同体细胞，细胞核中 DNA 分子相同，但蛋白质不完全相同 B．基因的遗传信息最终通过指导蛋白质中的氨基酸排列顺序得以表达 C．在蛋白质合成旺盛的细胞中，DNA 分子不变，转录成的 mRNA 分子增多 D．对于人体，能进行 DNA 复制的细胞数目大于能进行蛋白质合成的细胞数目
（一）必考题：共 129 分。 22. （5 分）某研究性学习小组为了探究功与速度变化的关系，同学们设计了如图 1 所示的实验装置，在长木板的
左端固定了一个挡板，挡板上拴一只轻质弹簧，用一个装有遮光片的小木块压缩弹簧的右端，小木块能在弹力 的作用下由静止开始运动，当弹簧的长度为原长时，小木块恰好处于 O 点，O 点的正上方安装有一个光电门，
二、选择题：本题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，第 14～18 题只有一项符合题目 要求，第 19～21 题有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。
THUSSAT2019年3月8号测试文科数学答案
中学生标准学术能力测试诊断性测试2019年3月测试文科数学（一卷）答案一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.43 14. 2315. 01=−−y x 16.38 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17.（12分） （1）当1n =时，112a S ==………………2分当2≥n 时，()()()[]n n n n n S S a n n n 211221=−+−−+=−=−………………4分()n n n n ,b n n a 42122==≥=∴ ………………6分（2）nn n n b a 42⋅=⋅ 设{}n n 4⋅的前n 项和为n H()123231142434441424144nn n n n H n H n -n +=⨯+⨯+⨯++⋅=⨯+⨯++⋅+⋅，可得：1431343+⋅⎪⎭⎫⎝⎛−+−=−n n n H 1491394+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛−+=∴n n n H ………………10分()1491-n 3298+⋅+=∴n n T ………………12分 18.（12分）（1）选科方案中两门理科的情况有：物化历，物化政，物化地，物生历，物生政，物生地，化生历，化生政，化生地； ………………2分选科方案中三门理科的情况有：物化生； ………………4分因此至少选择两门理科学科的选科方案有10种。
………………6分（2）选科方案的情况有：物化生，物化历，物化政，物化地，物生历，物生政，物生地，化生历，化生政，化生地，历政地，历政物，历政化，历政生，历地物，历地化，历地生，政地物，政地化，政地生，共20种。
………………8分 选科方案中有包括物理但不包括历史的情况有：物化生，物化政，物化地，物生政，物生地，物政地，共6种。
2019年3月THUSSAT测试理科综合试卷及答案(一卷)
本试卷共 300 分，考试时间 150 分钟。
可能用到的相对原子质量：C-12 H-1 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Cu-64 一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分，共 78 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列有关细胞结构和功能的叙述，错误的是： A．水稻可通过根毛细胞的渗透作用吸收水分子 B．胰岛素在胰岛 B 细胞中的运输具有一定的方向性 C．肽键的形成是在核糖体中完成，需要模板和能量 D．核膜的主要成分是磷脂和蛋白质，不具有流动性 2．下列有关蛋白质和核酸之间关系的叙述，错误的是： A．同一个体不同体细胞，细胞核中 DNA 分子相同，但蛋白质不完全相同 B．基因的遗传信息最终通过指导蛋白质中的氨基酸排列顺序得以表达 C．在蛋白质合成旺盛的细胞中，DNA 分子不变，转录成的 mRNA 分子增多 D．对于人体，能进行 DNA 复制的细胞数目大于能进行蛋白质合成的细胞数目 3．为探究“植物根系等比例吸收矿质元素和水分”的假设。某研究小组设计了如下表格记录实验数据。实验中不 考虑光照对植物光合作用的影响。下列叙述错误的是： 检测参数 水分 光照 黑暗 Z1 Z3 Ca2+ Z2 Z4
生产者
d
a
X d
b
Y d
Z d
分解者
A．实验中检测参数可能是“一定时间内物质的吸收量” B．为证明假设，还需增加 Mg2+等多组矿质元素的实验 C．比较 Z1－Z3 和 Z2－Z4 的两个差值可初步检验假设 D．此实验通过是否光照控制叶片的蒸腾作用强度进而改变根系对水的吸收量 4．染色体数目不稳定是肿瘤标志性特征之一。为探 究 KLF14 基因在肿瘤形成中的作用， 科学家检测 了正常小鼠和 KLF14 基因敲除小鼠体内不同染 色体数的细胞占有丝分裂细胞的比例，结果如图 所示。 （图中★代表相互之间差异显著， ★★代表 相互之间差异极显著） 。下列叙述错误的是：
(理科数学答案) 2019年高三年级第三次诊断性测试
2019年高三年级第三次诊断性测试（理科数学答案）一、选择题：每小题5分.1~5 BABBC 6~10 ABDCD 11~12 CC 二、填空题：每小题5分. 13.23π14.3 15.2 16.15,28éö÷ê÷êëø三、解答题：17.（12分）（Ⅰ）由正弦定理得1sin C=Û()sin cos cos sin C B B C C B =+-()()()sin tan B C B C B C Û+=+Û+=∴60B C +=°，∴120A =°； …6分（Ⅱ）1sin 2S bc A ==，∵222222cos 3a b c bc A b c bc bc =+-=++³，即33bc ³∴1bc £，∴1sin 2S bc A ==£…12分 18.（12分）（Ⅰ）如图，取AD 中点G ，联结CG 交BD 于Q ，∴1//CG C E ，联结AF 交BD 于P ， ∵,F G 都是中点，∴AFCG 是平行四边形， ∴//PF CG ，∴//PF 平面1DEC ， 又∵//AF CG ，∴BP PQ QD ==，∴133BP BD ==； …6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系，易得二面角1P EC D --的余弦值为13. …12分19. （12分）（Ⅰ）由已知可得100x =，()922221100671496000i i x ==´+++=å ，∴9221996000900006000i i x x =-=-=å，又()91ln 2522i i i x y =×=å，24.022.679v =»，∴25229 2.67100119ˆ0.0260006000b-´´==»， ˆ 2.670.021000.67a =-´=， ∴回归方程为：0.020.67x y e +=； …6分 （Ⅱ）由 3.67ˆ39.25ye =»，而39.25 1.247.147´=>， ∴这一在校男生的体重是正常的. …12分 20.（12分）（Ⅰ）由2b =，e =，得21c =，25a =，∴椭圆的方程为22154x y +=； …5分（Ⅱ）设P 为MN 的中点，由题意得2BF FP =，()0,2B ，()1,0F ，设(),P x y ，则()1,2BF =- ，∴1,12FP æöç÷=-ç÷èø ，即3,12P æöç÷-ç÷èø， 设直线l ：312y k x æöç÷+=-ç÷èø，即312y kx k æöç÷=-+ç÷èø，代入2245200x y +-=得 ()()222354532512002k x k k x k æöç÷+-+++-=ç÷èø， ∴()22253231510151254k k k k k k +=Þ+=++，∴65k =， ∴直线l 的方程为65140x y --=，联立2215465140x y x y ì+=ïíï--=ïî得2721120x x -+=， ∴MN =又d ==，∴11223535BMN S d MN D =××==. …12分21. （12分） （Ⅰ）由()()()()'221111xx x e ax e x fx a x xx --æö-ç÷=+-=ç÷èø，∴()22'2244e e a f -==， ∴0a =； …5分（Ⅱ）由()()()()'210xx eaxfx x x--=>设()()0x g x e ax x =->，则()'x g x e a =-，∴()()01g x g >=， ∴①若01a <£时，()'x g x e a =-，∴()()01g x g >=，∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减，∴()()min 11f x f e a e ==-³-，显然满足()20f x e +³，②若1a e <£时，()'0ln g x x a =Þ=，∴()()()ln ln 1ln 0g x g a a a a a a ³=-=-³， 同①则()()min 10f x f e a ==-³，也满足()20f x e +³， ③若2e a e <£时，()'0x g x e a =Þ=，∴(]ln 1,2x a =Î，∴()()()min ln 1ln 0g x g a a a ==-<， ∴()g x 在()0,+¥上存在两个零点12,x x ，且()10,1x Î，()21,x Î+¥，()f x 在()0,1和()21,x 上是减函数，在()1,1x 和()2,x +¥上是增函数，∴()f x 在1x 和2x 处取得极小值，由()()()1111111ln ln x e f x a x x a a x x x =+-=+-，又11x e ax =，∴11ln ln x a x =+，即11ln ln x x a -=-，∴()()1ln 1ln f x a a a a a =-=-，同理()()21ln f x a a =-，∴()()min 1ln f x a a =-， 记()()()21ln h a a a e a e =-££，则()()''ln 11ln ln 0h a a a a a a =-=--=-<，∴()()()222min 12h a h e e e ==-=-，∴2e a e ££时，()()221ln 0f x e a a e +³-+³， 综上所述 20a e ££时()20f x e +³成立. …12分 22. （10分）（Ⅰ）sin cos 0x αy α-=，()2221x y -+=； …5分 （Ⅱ）直线参数方程代入圆的方程得()()22cos 2sin 1t αt α-+=，化简得24cos 30t t α-+=，当06πα<<cos 1α<<，2316cos 04αæöç÷D =->ç÷èø成立，∴12124cos OA OB t t t t α+=+=+=，∵06πα<<，∴4OA OB <+<. …10分 23. （10分）（Ⅰ）()32f x x >-+，即123x x +++>，由数轴得()(),30,x Î-¥-+¥∪； …5分 （Ⅱ）∵()[]11,1f x x x x -=+-Î-，要证()f x x -£1£∵2a b +=2a b =+³14ab £，1==³. …10分以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．。
中学生标准学术能力诊断性测试2019届高三3月测试(理数试题pdf版)
sin(
−
6
)
+
3
=
0
，椭圆
C
的参数方程为
x
y
= =
2 cos sin
（
为参数）．
（1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）椭圆 C 上一点到直线 l 的最小距离是多少？
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
己知函数 f (x) = x +1 − x − 2 ．
（1）求不等式 f (x) 1的解集；
（2）若 f (x) + 2 x − 2 m恒成立，求实数 m 的取值范围．
第3页 共4页
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（1）求边 c ； （2）求 sin( B − ) 的值．
3
18．（12 分）有甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表： 班级与成绩列联表
甲班 乙班 合计
优秀 不优秀 合计
20
45
40
90
（1）请将上述 2×2 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为成绩与班级有关呢？ （2）针对调查的 90 名同学，各班都想办法要提高班级同学的优秀率，甲班决定从调查的 45 名同学中按分层抽 样的方法随机抽取 9 名同学组成学习互助小组，每单元学习结束后在这 9 人中随机抽取 2 人负责制作本单元思 维导图，设这 2 人中优秀人数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 参考数据：
E
F
EF = 1 BC ，其中 AB = BC = AC = AE = a ． 2
（1）求证：平面 ABCD⊥平面 CFD ；
A
D
O
中学生标准学术能力诊断性测试(THUSSAT)2024届高三下学期3月测试数学试卷(含解析)
中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}{}22,4,10,10,24,25A a a B a a =−−=−+−−，且{}10AB =−，则A ．{}8,2,10A =−−C ．2a =或20B ．{}10,78,25B =−−D ．{}800,16,10,82,25AB =−−2． 已知函数()233,3log ,>3x x x f x x x ⎧−≤=⎨⎩，若0x ∃∈R ，使得()20104f x m m ≤+成立，则实数m 的取值范围为 A ．91,44⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦ C ．91,,44⎛⎤⎡⎫−∞−−+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．5,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ D ．[)5,0,2⎛⎤−∞−+∞ ⎥⎝⎦3． 已知21sin 75απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么31tan 14απ⎛⎫−= ⎪⎝⎭A ．15−B ．±C D ．4． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n S n n =+，若首项为12的数列{}n b 满足111n n na b b +−=，则数列{}n b 的前2024项和为 A ．10122023B ．20252024C ．20232024D ．202420255． 已知点()()()72,6,2,3,0,1,,62A B C D ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则与向量2AB CD +同方向的单位向量为A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭6． 已知圆()22:20>0M x y ax a+−=的圆心到直线22x y +=距离是，则圆M 与圆()()22:211N x y −++=的位置关系是A ．外离B ．相交C ．内含D ．内切 7． 已知213nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为4096，则展开式中6x 的系数为A ．15B ．1215C ．2430D ．818． 设a ∈R ，若复数23i2ia +−（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线y x =−上，则a =A ．2−B ．10−C ．25 D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分. 9． 下列说法正确的是A ．不等式2451>0x x −+的解集是1><14x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 B ．不等式2260x x −−≤的解集是322x x x ⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或C ．若不等式2821<0ax ax ++恒成立，则a 的取值范围是∅D ．若关于x 的不等式223<0x px +−的解集是(),1q ，则p q +的值为12−10．已知m n 、为两条不重合的直线，αβ、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是A ．若,m n αβ⊥⊥且αβ，则m n C ．若,,mn n ααβ⊂，则m β B ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D ．若,,,mn n m ααββ⊥⊥⊄，则m β11．设椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点分别为12,F F P 、是C 上的动点，则下列结论正确的是A ．125PF PF +=B ．离心率3e 5=C ．12PF F ∆面积的最大值为12D ．以线段12F F 为直径的圆与圆()()22434x y −+−=相切12．已知函数()3,1log ,>1kx k x f x x x −≤⎧=⎨⎩，下列关于函数()()2y ff x =−的零点个数的判断，其中正确的是A ．当>0k 时，有2个零点 C ．当>0k 时，有1个零点B ．当<0k 时，至少有2个零点 D ．当<0k 时，可能有4个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量,x y 满足约束条件21024020x y x y y +−≤⎧⎪−+≥⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值是 ．14．在平面直角坐标系中，已知点()()1,22,4,A B E F −−、、是直线3y x =+上的两个动点，且32EF =AE BF ⋅的最小值为 ．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若761311S S =，则1511SS = ． 16．若,a b 是两个夹角为120的单位向量，则向量53a b −在向量a b +方向上的投影向量为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3tan 24C =−．（1）求cos C ；（2）若4c =，求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）设数列{}n a 满足：112,244n n a a a n +==+−． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}3n n n a +的前n 项和n S ．19．（12分）已知过点()1,0的动直线l 与圆221:40C x y x +−=相交于不同的两点,A B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．20．（12分）某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以[)[)[)[)[)[)[)10,20,20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80分组的频率分布直方图如图所示，年薪在[)50,60的毕业生人数比年薪在[)10,20的毕业生人数多22人．（第20题图）（1）求直方图中x ，y 的值；（2）①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．21．（12分）已知函数()22exx ax af x −+=，其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()f x 的极大值恒为正数．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x E y +=的左、右焦点分别为12F F 、，点A在椭圆E 上且在第一象限内，12AF AF⊥，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）求A 点坐标；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线y =Q ，求OP OQ ⋅的最大值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为12,S S ，若122S S =，求点M 的坐标．10 20 30 40 50 60 70 80 毕业生年薪情况（单位：万元）中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．16 14．1858−15．64545116．a b +四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）22tan 3tan 21tan 4C C C ==−− ········································································· 2分解得tan 3C =，故cos 10C =·································································· 4分（2）2222cos 1625a b c ab C ab +=+=+≥ ·············································· 6分解得809ab +≤·················································································· 8分 由（1）知sinC =12 1018．（12分）（1）对于2n ≥时，()()1412824n n n a n a n a n +++=+=+ ······································ 2分 112,416a a =+⨯=，432,324n n n n a n a n +=⨯=⨯− ··································································· 3分 经验算，1a 符合上述结果，故324nn a n =⨯− ················································· 4分 （2）设33643nnnn n b n a n n =+=+⨯−⨯，则()()1816143216nnn n n S n ⨯−+=+−⨯− ························································· 6分设43nn T n =⨯，123438312343n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，23413438312343n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ····················································· 7分作差得到123124343434343n n n T n +=−⨯−⨯−⨯−−⨯+⨯ ······························ 8分故()()1161323213313n n n n T n n ++−⨯−=+⨯=−⨯+− ·········································· 10分 ()()18161216nn nn n S T⨯−+=+−−故()21183362132255n n n n n S n +=++⨯−−⨯− ················································ 12分 19．（12分）（1）圆1C 的方程可变形为()2224x y −+= ···························································· 2分 故1C 的圆心坐标为()2,0，半径为2······························································· 4分 （2）设(),M M M x y ，因为点M 是AB 的中点，1C M AB ∴⊥，11 61218由此可得22320M M M x x y −++=··································································· 10分 故轨迹方程为223124M M x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，轨迹是以圆心为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12的圆 ······· 12分 20．（12分）（1）解：10100.005100.0110100.019100.02100.0271x y +⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=，故0.019x y +=························································································· 1分 200102001022y x ⨯−⨯=，故0.011y x −= ························································································· 2分 解得0.004,0.015x y == ············································································ 3分 （2）①学院毕业生年薪在[)30,80区间的人数比例为：()0.020.0270.0150.010.005++++1077%⨯=，故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元········································ 5分 ②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率()0.0050.010.015100.3P =++⨯=， 故随机变量3~4,10B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 故()()4010.30.2401P ξ==−= ·································································· 6分 ()()314110.30.30.4116P C ξ==⨯−⨯= ························································ 7分 ()()2224210.30.30.2646P C ξ==⨯−⨯= ······················································ 8分 ()()334310.30.30.0756P C ξ==⨯−⨯= ······················································· 9分()440.30.0081P ξ=== ········································································· 10分ξ的分布列为：ξ的数学期望()0.34 1.2E ξ=⨯= ······························································· 12分21．（12分） （1）()()()()()2224e e 2242e e x x xx x a x ax a x a x af x −−−+−++−'== ······················· 2分当1a =时，()2252exx x f x −+−'=，()02f '=− ············································ 4分 又()01f =，故曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为21y x =−+ ············ 5分（2）()()()()2242220e e x xx a x a x a x f x −++−−+−'===，解得知122,2a x x ==··················································································· 7分 若()>4,a f x 在(),2,,2a ⎛⎫−∞+∞⎪⎝⎭递减，2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增 ······································· 8分极大值2>02e a a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭··············································································· 9分 若=4a ，函数单调递减，无极大值 ····························································· 10分 若()<4,a f x 在(),,2,2a ⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭递减，,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增 ····································· 11分 极大值()282>0ea f −=············································································ 12分 综上，()f x 的极大值恒为正数． 22．（12分）（1）椭圆22:14x E y +=的左，右焦点分别为())12,F F ，设()12,,A m n AF AF ⊥，故()12,,0AF AF m nm n ⋅=−−−= ··············· 1分即223m n += ··························································································· 2分 221433333 4（2）设P 点坐标为(),0p ，则可得Q 点坐标为(2p ································· 5分()(22,022232OP OQ p p p p ⎛⋅==−+=−−+ ⎝⎭ ················· 7分当2p =时，OP OQ ⋅取最大值，最大值为3 ················································ 8分（3）A 点坐标为⎝⎭，B 点坐标为⎛ ⎝⎭，点O 到线段AB 的距离1h =····································································· 9分若122S S =，则点M 到线段AB 的距离应为2h =故M 点的纵坐标为6或2，代入椭圆方程，解得M 点的横坐标为3±或1± ······························································· 11分故M 点的坐标为：⎛ ⎝⎭或⎛±⎝⎭ ·············································· 12分。