2017高考数学(理科山东)二轮复习与策略课件：第1部分 专题5 突破点14 圆锥曲线的定义、方程、几何性质
a 即 c＝2，双曲线的渐近线方程为 y＝± bx，
bc 可得 F 到渐近线的距离为 d＝ 2 2＝b＝ 3， a ＋b 即有 a＝ c2－b2＝ 4－3＝1，
2 x 则双曲线的方程为 y2－ 3 ＝1.
p (2)设 M(x0，y0)，由题意 x0＋2＝2p，
3p 3p p 3p 2 2 则 x0＝ 2 ，从而 y0＝3p ，则 M 2 ， 3p或 M 2 ，－ 3p，又 F2，0，则
2．(2014· 全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝( 30 A. 3 C．12
3 ∴F4，0，
) B．6 D．7 3
C [∵F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，
∴AB 的方程为 y－0ห้องสมุดไป่ตู้tan
核 心 知 识 · 聚 焦
专题五
热 点 题 型 · 探 究
平面解析几何
突破点 14
圆锥曲线的定义、方程、几何性质
专 题 限 时 集 训
圆锥曲线的定义
|PF1|＋|PF2|＝2 a (2a＞|F1F2|)． (1)椭圆：________________
||PF1|－|PF2|| ＝2a(2a＜|F1F2|)． (2)双曲线：_____________
(2)(2016· 通化一模)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上 → → 一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝( 7 A.2 5 C.2 B．3 D．2 )
(1)A
(2)B [(1)若双曲线的焦点在 x
2 m ＋n＞0， 轴上，则 2 3m －n＞0.
热点题型 1
圆锥曲线的定义、标准方程
题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填 空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定 “型”，第二步，待定系 数法求“值”. x2 y2 (1)(2016· 全国乙卷)已知方程 2 － ＝1 表示双曲线， 且该双曲 m ＋n 3m2－n 线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( A．(－1,3) C．(0,3) ) B．(－1， 3) D．(0， 3)
1＋n＞0， 2 2 2 又∵(m ＋n)＋(3m －n)＝4，∴m ＝1，∴ 3－n＞0，
∴－1<n<3.
若双曲线的焦点在 y 轴上，则双曲线的标准方程为
2 n － 3 m ＞0， y x ＝1，即 2－ 2 2 n－3m －m －n －m －n＞0， 2 2
即 n>3m2 且 n<－m2，此时 n 不存在．故选 A. |PQ| 3 → → (2)如图所示，因为FP＝4FQ，所以 |PF| ＝4，过点 Q 作 QM⊥ l 垂足为 M，则 MQ∥x 轴， |MQ| |PQ| 3 所以 4 ＝ |PF| ＝4，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM| ＝3.]
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线).
圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
b2 c 1－a2 2 2 2 a ＝ b ＋ c ①在椭圆中：_____________；离心率为 e＝a＝__________； b2 c 1＋a2 2 2 2 c ＝ a ＋ b ②在双曲线中：____________；离心率为 e＝a＝__________.
x＝ 或 y＝
－4 2， 4＋b －2b 2， 4＋b
即第一象限的交点为
4 2b 2， 2. 4＋b 4＋b
8 由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形，其相邻两边长为 2， 4＋ b 8×4b 4b 2 ，故 ＝ 2 b ，得 b ＝12. 2 2 4＋b 4＋b x2 y2 故双曲线的方程为 4 －12＝1.故选 D.]
BF⊥OA， 即 kBF· kOA＝－1，
p 2pb2 a 2－ a2 bb b2 5 a b b 又 kBF＝ 2pb ＝4b－a，kOA＝a，所以有4b－aa＝－1，即a2＝4，故 C1 的离心 a c 率 e＝a＝ b2 1＋a2＝ 5 3 1＋4＝2.]
1 2 x2 5．(2013· 山东高考改编)抛物线 C1：y＝2px (p＞0)的焦点与双曲线 C2： 3 － y2＝1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p＝________.
3 2 b [ 双 曲 线 的 两 条 渐近 线 方 程为 y ＝ ±a x ， 与 抛 物线 方 程 联立 得 交 点
2pb 2pb2 2pb 2pb2 A a ， a2 ，B－ a ， a2 ，
抛物线焦点为
p F0，2， 由三角形垂心的性质， 得
3 x－ ，即 30° 4
3 3 y＝ 3 x－ 4 .
y2＝3x， 1 2 7 3 联立 得3x －2x＋16＝0. 3 3 y ＝ 3 x－ 4 ， 7 －2 21 21 ∴x1＋x2＝－ 1 ＝ 2 ，即 xA＋xB＝ 2 . 3 由于|AB|＝xA＋xB＋p， 21 3 ∴|AB|＝ 2 ＋2＝12.]
x2 y2 C. 7 － 3 ＝1
(2)(2016· 合肥二模)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( ) 【导学号：67722050】 A．± 3 3 C．± 4
(1)A
B．± 1 3 D．± 3
1 2 (2)A [(1)抛物线 y＝8x ，即 x2＝8y 的焦点为 F(0,2)，
1 1＋k 2 y1＋y22－4y1y2 . ____________________________________
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则① p2 2p 1 2 x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p ；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2α(α 为弦 AB 的倾斜角)；③|FA| 1 2 ＋|FB|＝p；④以弦 AB 为直径的圆与准线相切．
回访 3 弦长问题 1 6．(2015· 全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为2，E 的右焦点 与抛物线 C： y2＝8x 的焦点重合， A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点， 则|AB|＝( A．3 C．9 B．6 D．12 )
B [抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中 c＝2， c 1 又a＝2，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， x2 y2 从而椭圆方程为16＋12＝1. ∵抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2， ∴xA＝xB＝－2， 将 xA＝－2 代入椭圆方程可得|yA|＝3， 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选 B.]
回访 2
圆锥曲线的几何性质
x2 y2 3．(2016· 山东高考)已知双曲线 E：a2－b2＝1(a>0，b>0)，若矩形 ABCD 的 四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离 心率是________．
2 2b2 [如图，由题意知|AB|＝ a ，|BC|＝2c.
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” 1．定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准 方程． 2．计算，即利用待定系数法求出方程中的 a2，b2 或 p.另外，当焦点位置无 法确定时， 抛物线常设为 y2＝2ax 或 x2＝2ay(a≠0)， 椭圆常设 mx2＋ny2＝1(m＞0， n＞0)，双曲线常设为 mx2－ny2＝1(mn＞0)．
[ 变式训练 1]
y2 x2 (1)(2016· 威海模拟)已知双曲线 M：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)与
1 2 抛物线 y＝8x 有公共焦点 F，F 到 M 的一条渐近线的距离为 3，则双曲线方程 为( )
2 x A．y2－ 3 ＝1
x2 2 B. 3 －y ＝1 y2 x2 D. 3 － 7 ＝1
(0，－c) ，F2________ (0，c) ． F1__________
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线 ②抛物线
p p x＝∓2 ± ，0 2 y ＝± 2px(p＞0)的焦点坐标为________ 2 ，准线方程为________；
p p 0，± y＝∓2 2 2 ，准线方程为________. x ＝± 2py(p＞0)的焦点坐标为________
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
b x y y＝± x a ①双曲线 a2 － b2 ＝ 1(a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的渐近线方程为 __________ ；焦点坐标
2 2
(c,0) ； (－c,0) ，F2_______ F1_________
a y2 x2 y＝± ②双曲线 a2 － b2 ＝ 1(a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的渐近线方程为 _________ bx ，焦点坐标
回访 1
圆锥曲线的定义与方程
x2 y2 1．(2016· 天津高考)已知双曲线 4 －b2＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的 实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边 形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( x2 3y2 A. 4 － 4 ＝1 x2 y2 C. 4 － 4 ＝1 )
7．(2013· 全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝4 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF 的面积为( A．2 C．2 3 )
B．2 2 D．4
C [设 P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋ 2＝4 2，∴x0＝3 2， ∴y2 0＝4 2x0＝4 2×3 2＝24，∴|y0|＝2 6. 1 1 ∵F( 2，0)，∴S△POF＝2|OF|· |y0|＝2× 2×2 6＝2 3.]
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题3 突破点6 古典概型与几何概型
利用古典概型求事件概率的关键及注意点 1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数． 2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不 重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．
[ 变式训练 1]
(2016· 广州二模)从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个，组成一个没有 )
判断几何概型中的几何度量形式的方法 1．当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关． 2．当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量 在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几 何度量是面积(体积)． 提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、 直观．
A．100 C．400
B． 200 图 61 D．450
(1) B
(2)C
[(1)如图，若该行人在时间段 AB 的某一时
刻来到该路口，则该行人至少等待 15 秒才出现绿灯．AB 长 度为 40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的 40－15 5 概率为 40 ＝8，故选 B.
1 所以当 b＝1 时，有 a≥3，故 a 可取 1,2,3,4，共 4 个数； 4 当 b＝2 时，有 a≥3，故 a 可取 2,3,4，共 3 个数；
当 b＝3 时，有 a≥3，故 a 可取 3,4，共 2 个数； 16 当 b＝4 时，有 a≥ 3 ，故 a 无可取值． 综上，事件 A 包含的基本事件有 4＋3＋2＝9(种)． 又 a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有 4×4＝16(种)． 9 故所求事件 A 的概率为 P(A)＝16.故选 A.]
4．(2014· 全国卷Ⅰ)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一 行，则 2 本数学书相邻的概率为________． 2 3 [两本不同的数学书用 a1，a2 表示，语文书用 b 表示，则 Ω＝{(a1，a2，
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题2 突破点5 数列的通项与求和
12 分
给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2) 转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an. 提醒：在利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证 n＝1 时的情形．
n－1
2 1 [当 n＝1 时，S1＝3a1＋3，∴a1＝1.
1 2 2 1 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3an＋3－3an－1＋3＝3(an－an－1)， an ∴an＝－2an－1，即 ＝－2， an－1 ∴{an}是以 1 为首项的等比数列，其公比为－2， ∴an＝1×(－2)n 1，即 an＝(－2)n 1.]
[ 变式训练 1]
(1)(2016· 合肥三模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2an
－2n ，则 Sn＝__________. (2)已知数列{an}的各项均为正数， 其前 n 项和为 Sn， 且 2Sn＋2＝3an(n∈N*)， 则 an＝__________.
(1)n· 2n(n∈N*) (2)2×3n－1(n∈N*) [(1)由 Sn＝2an－2n 得当 n＝1 时，S1＝a1
n＋1
an {bn}其中bn＝qn，得
1 p bn＋1＝q· bn＋q，接下来用待定系数法求解．
m (6)取对数法： 形如 an＋1＝pan (p>0， an>0)， 先在原递推公式两边同时取对数，
再利用待定系数法求解.
数列求和
数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相 消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相 减法是常用的两种方法．
(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题6函数与导数突破点16函数的图象和性质课件理
(4) 若 __f(_a_＋__x_)＝__－__f_(_x)__或__f_a_＋__x_＝__f_1_x__(a_≠__0_)___ ， 则 函 数 y ＝ f(x) 是 以 ___2_|a_|为__周__期______的周期性函数．
(2)令 g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数 g(x)图象如图．
由yx＝＋lyo＝g22x，＋1， 得xy＝ ＝11.， ∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．]
热点题型 2 函数性质的综合应用
题型分析：函数性质的综合应用是高考的热点内容，解决此类问题时，性
回访 1 函数的性质
1．(2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，f(x)＝x3－1；当－
1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，fx＋12＝fx－12.则 f(6)＝(
)
A．－2
B．－1
C．0
D．2
D [由题意知当 x>12时，fx＋12＝fx－12， 则当 x>0 时，f(x＋1)＝f(x)． 又当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)， ∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)． 又当 x<0 时，f(x)＝x3－1， ∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选 D.]
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x ＋1<0⇔13<x<1.故选 A.
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题6突破点17函数与方程Word版含解析
突破点17 函数与方程(对应学生用书第167页)(1)f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点.已知函数零点个数，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．回访1 函数零点个数的判断1．(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．]2．(2014·福建高考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．2 [当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.]回访2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]4．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示， 则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]5．(2014·山东高考改编)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.](对应学生用书第167页)热点题型1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.(1)(2016·秦皇岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈(0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2016·青岛模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为( )【导学号：67722062】A ．8B ．10C ．12D ．16(1)A (2)C [(1)因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.(2)因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以当－1≤x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )，又因为函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝2k ＋1，k ∈Z ，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的大致图象如图所示，由图易得直线y ＝1与函数f (x )的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x ＝1和x ＝5对称，所以方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为2×1＋2×5＝12，故选C.]求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象交点的横坐标．其解题的关键步骤为：①分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③数交点的个数，即原函数的零点的个数．提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化．[变式训练1] (1)(2016·合肥二模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)已知函数f (x )＝cos π2x ，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2,6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和为( )A ．6B ．8C ．10D ．12(1)D (2)D [(1)在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝a (0＜a ＜1)的图象，如图所示：两图象共有5个交点，所以F (x )有5个零点．(2)函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y 1＝f (x )和y 2＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12.]热点题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋a －x 2－2(a ＞0)没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，2)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(0，2)∪(2，＋∞)(2)(名师押题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x ≥0，1＋4x cos (2π－πx )，x ＜0，g (x )＝kx ＋1(x ∈R)，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，113 B ．(22，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤22，113 D ．(23，4](1)C (2)C [(1)令f (x )＝0，得a －x 2＝2－|x |， 令y ＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥0，2＋x ，x ＜0.由y ＝a －x 2，得x 2＋y 2＝a (y ≥0)，在同一坐标系中分别画出y ＝2－|x |和y ＝a －x 2的图象． 如图所示：要使函数f (x )没有零点，则a ＜|0－0＋2|2＝1或a ＞2，即0＜a ＜1或a ＞2.(2)当x ＝0时，显然有f (x )≠g (x )，即x ＝0不是y ＝f (x )－g (x )的零点． 当x ≠0时，y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内的零点个数即方程f (x )＝g (x )(－2≤x ≤3)的实根的个数．当0＜x ≤3时，有kx ＋1＝x 2＋3，即k ＝x ＋2x ； 当－2≤x ＜0时，有kx ＋1＝1＋4x cos πx ，即k ＝4cos πx .则y ＝f (x )－g (x )(－2≤x ≤3)的零点个数等价于函数y ＝k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，0＜x ≤3，4cos πx ，－2≤x ＜0的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知22＜k ≤113，故选C.]求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围．提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果．[变式训练2] (1)(2016·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )【导学号：67722063】A.14B.18 C ．－78D ．－38(2)(2016·汕头一模)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)(1)C (2)C [(1)令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，且f (x )是奇函数，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个零点，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个零点，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78，故选C.(2)因为f (x )－f (－x )＝0， 所以f (x )＝f (－x )， 所以f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f (x )的图象如图所示：因为g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点， 所以y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上只有三个交点，所以⎩⎨⎧log a 3＜1，log a 5＞1，a ＞1，解得3＜a ＜5.]专题限时集训(十七) 函数与方程[A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x ＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象，由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎨⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x ＞0 ＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【导学号：67722064】3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧ b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧ x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.2分由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}.6分(2)由f (x )＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，10分观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2,2).12分10．(名师押题)已知函数f n(x)＝x ln x－x2n(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；(2)讨论函数f n(x)的零点个数．[解](1)因为f1(x)＝x ln x－x2，所以f1′(x)＝ln x＋1－2x，所以f1′(1)＝1－2＝－1.又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x －1)，即y＝－x.4分(2)令f n(x)＝0，得x ln x－x2n＝0(n∈N*，x＞0)，所以n ln x－x＝0.令g(x)＝n ln x－x，则函数f n(x)的零点与函数g(x)＝n ln x－x的零点相同．因为g′(x)＝nx－1＝n－xx，令g′(x)＝0，得x＝n，所以当x＞n时，g′(x)＜0；当0＜x＜n时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝n ln n－n.8分①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2＜2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；③当n≥3时，g(n)＝n ln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)＞n(ln e－1)＝0，因为g(e2n)＝n ln e2n－e2n＜2n2－4n＝2n2－(1＋3)n＜2n2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n (n －1)2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0， 所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13 C.13＜m ＜1 D.13＜m ≤1B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1，所以f (x ＋1)＝x ＋1，从而f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1， 于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1－1(－1＜x ＜0)，x (0≤x ≤1)，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数．当0≤x ≤32时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤32.则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) 【导学号：67722065】A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图17-1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图17-1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )(1) (2)图17-1A ．14B ．12C ．10D ．8A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0，由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.故m ＋n ＝14.故选A.]二、填空题5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 13(x ＋1)，x ∈[0，2)，1－|x －4|， x ∈[2，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________．1－3a [函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a ，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a .]6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )＞g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.] 三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4 (4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a＝1时，则t＝－34不合题意；②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝34或－3.若a＝34，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝1 2；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a－1＜0，解得a＞1.综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).12分8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【导学号：67722066】[解](1)∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根.4分(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)和f(x)的图象如图．8分∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.12分。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题1 突破点3 平面向量
数量积常见的三种应用
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)证明向量垂直：a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2 2 a· a x ＋ y 1 1 (2)求向量的长度：|a|＝_______＝________.
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 x ＋ y · x ＋ y |a||b| 1 1 2 2 (3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝_______＝_______________.
平面向量解题中应熟知的常用结论
→ → → (1)A，B，C 三点共线的充要条件是存在实数 λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且
λ＋μ＝1 _________.
→ 1 → → OC＝2(OA＋OB) (2)C 是线段 AB 中点的充要条件是_________________ ． → → → GA＋GB＋GC＝0 ，若△ABC 的三个 (3)G 是△ABC 的重心的充要条件为__________________
[ 变式训练 2]
π x∈0，2.
(2016· 德州模拟)设向量 a＝(sin x， 3sin x)， b＝(sin x， cos x)，
(1)若|a|＝|b|，求 x 的值； π (2)设函数 f(x)＝a· b，将 f(x)的图象向左平移6个单位得到函数 g(x)的图象， 求 g(x)的最大值及此时相应的 x 的值．
核 心 知 识 · 聚 焦
专题一
热 点 题 型 · 探 究
三角函数与平面向量 平面向量
突破点 3
专 题 限 时 集 训
平面向量共线、垂直的两个充要条件
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
x1x2＋y1y2＝0 . (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔______________
2017高考数学理山东专用二轮课件：1-3 函数与方程思想
-4考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三
函数与方程思想在解三角形中的应用 例1在四边形PABQ中,A,B为定点,且 AB= 3 ,P,Q为动点,满足 AP=PQ=QB=1. (1)写出cos A与cos Q的关系式; (2)设△PAB和△PQB的面积分别为S和T,求S2+T2的最大值.
-11考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三
-9-
故 f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增, 函数与方程思想在不等式中的应用 1+4-3 此时有 a ≤ f ( x ) = 2 . 4x+3≥0恒成立,则实数a的取值 min 例2当x∈[-2,1]时 ,不等式ax3=-x2 + -1 [ 6, 2] 范围是 . . 当 x=0 时,不等式恒成立
2 2
2 2
关闭
2 -4������-3 ������ 考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三 当 -2 ≤ x<0 时,不等式转化为 a≤ , ������3 ������2-4������-3 -������2+8������+9 -(������-9)(������+1) 令 f(x)= (-2≤x<0),则 f'(x)= = , 4 4 3 ������ ������ ������
������2-4������-3 ������2-4������-3 当 0<x≤1 时,a≥ ,令 g(x)= (0<x≤1), 3 3 ������ ������ -������2+8������+9 -(������-9)(������+1) 则 g'(x)= = , 4 4 ������ ������ 1-4-3 故 g(x)在(0,1]上单调递增,此时有 a≥f(x)max= 1 =-6.
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题6 突破点16 函数的图象和性质
与 y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则 ∑ (xi＋yi)＝(
i＝1
)
A．0 C．2m
B．m D．4m
(1)D
(2)B [(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[ －2,2] 是偶函数，
又 f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除 A，B. 设 g(x)＝2x2－ex，则 g′(x)＝4x－ex. 又 g′(0)＜0，g′(2)＞0， ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.
函数的图象
化简函数解析式 ， 利用函 (1)由解析式确定函数图象． 此类问题往往需要_________________ _______ 数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断 ，常用________ 排除法 ． ________________________________________
(2)已知函数图象确定相关函数的图象． 此类问题主要考查_______________ 函数图象的变换
关于原点成中心对称 ， 关于y轴对称 ． (4)奇函数的图象____________________ 偶函数的图象________________ 单调性相同 ，偶函数在关于原点 (5)奇函数在关于原点对称的区间上的______________ 单调性相反 对称的区间上的______________.
－x＋x f－x＋fx (2)因为 f(－x)＝2－f(x)，所以 f(－x)＋f(x)＝2.因为 2 ＝0， ＝ 2 x＋1 1 1，所以函数 y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数 y＝ x ＝1＋x ，故其图象也 x＋1 关于点(0,1)对称．所以函数 y＝ x 与 y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，„， m (xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以 ∑ xi＝0， ∑ yi＝2× 2 ＝ i ＝1 i ＝1
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题5突破点14圆锥曲线的定义、方程、几
突破点14圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第167页)(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a (212(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M (l 为抛物线的准线).(1)①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca ＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c,0)，F 2(c,0)；②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±p 2，0，准线方程为x ＝∓p 2； ②抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±p 2，准线方程为y ＝∓p 2.(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k 的直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2|y 1－y 2|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；③1|F A |＋1|FB |＝2p ；④以弦AB 为直径的圆与准线相切．回访1 圆锥曲线的定义与方程1．(2016·天津高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1D [由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b 4＋b2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3C [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.]回访2 圆锥曲线的几何性质3．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．2 [如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得，2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．]4．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．32 [双曲线的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2， 抛物线焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由三角形垂心的性质，得BF ⊥OA ，即k BF ·k OA ＝－1，又k BF ＝p 2－2pb 2a 22pb a ＝a 4b －b a ，k OA ＝b a ，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4b －b a ba ＝－1，即b 2a 2＝54，故C 1的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋54＝32.] 5．(2013·山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.433 [∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x . 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12px 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.② 由①②得p ＝433.] 回访3 弦长问题6．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2， 又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1. ∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.]7．(2013·全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A．2 B．2 2C．2 3 D．4C[设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋2＝42，∴x0＝32，∴y20＝42x0＝42×32＝24，∴|y0|＝2 6.∵F(2，0)，∴S△POF ＝12|OF|·|y0|＝12×2×26＝2 3.](对应学生用书第167页)热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”.(1)(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(2)(2016·通化一模)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2(1)A (2)B [(1)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.(2)如图所示，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34，过点Q 作QM ⊥l 垂足为M ，则MQ ∥x 轴，所以|MQ |4＝|PQ ||PF |＝34，所以|MQ |＝3，由抛物线定义知|QF |＝|QM |＝3.]求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1．定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．2．计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．[变式训练1] (1)(2016·威海模拟)已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y ＝18x 2有公共焦点F ，F 到M 的一条渐近线的距离为3，则双曲线方程为( )A ．y 2－x 23＝1B.x 23－y 2＝1 C.x 27－y 23＝1D.y 23－x 27＝1(2)(2016·合肥二模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )【导学号：67722050】A ．±3B ．±1C ．±34D ．±33(1)A (2)A [(1)抛物线y ＝18x 2，即x 2＝8y 的焦点为F (0,2)， 即c ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ，可得F 到渐近线的距离为d ＝bca 2＋b 2＝b ＝3， 即有a ＝c 2－b 2＝4－3＝1， 则双曲线的方程为y 2－x 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)，由题意x 0＋p2＝2p ，则x 0＝3p 2，从而y 20＝3p 2，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p 或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，－3p ，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则k MF ＝±3.]热点题型2 圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a ，c 的方程或不等式是求解的关键.(1)(2016·全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34(2)(2016·泰安三模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x(1)A (2)C [(1)如图所示，由题意得 A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 由PF ⊥x 轴得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .设E (0，m )，又PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m (a －c )a .①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |， 则|MF |＝m (a ＋c )2a .②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13. 故选A.(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为ab ，cos ∠CF 1F 2＝bc ，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －2＝0⇒ba ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .]1．求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca 的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab 的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[变式训练2] (1)(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32 C.3D ．2(2)(名师押题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) 【导学号：67722051】A.22 B ．2－ 3 C.5－2D.6－ 3(1)A (2)D [(1)法一：如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝ 2.法二：如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a . 在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13得 tan ∠MF 2F 1＝24.所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24， 整理得c 2－22ac －a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0.解得e ＝2(负值舍去)． (2)设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ， ∴4a ＝2m ＋2m ，m ＝2(2－2)a . ∴|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a . ∵|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2， ∴e 2＝9－62，e ＝6－ 3.]专题限时集训(十四)圆锥曲线的定义、方程、几何性质[A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2D [∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)． 将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx (k ＞0)得k ＝2.故选D.]2．(2016·石家庄一模)过点A (0,1)作直线，与双曲线x 2－y 29＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( )A ．0B ．2C ．4D ．无数C [过点A (0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A (0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．(2016·唐山二模)椭圆y 2＋x 2m 2＝1(0＜m ＜1)上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B [当点P 是短轴的顶点时∠F 1PF 2最大，因此若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则∠F 1PF 2≥90°，所以∠F 2PO ≥45°(O 是原点)，从而c a ≥22，即1－m 2≥12，又0＜m ＜1，所以0＜m ≤22.]4．(2016·济宁模拟)设点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＋S △IPF 2＝2S △IF1F 2，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.3－12A [因为S △IPF 1＋S △IPF 2＋S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，所以3S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则有32×2c ×r ＝12×(|PF 1|＋|PF 2|＋2c )×r ，整理得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，即2a ＝4c ，所以e ＝12.]5．(2016·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 【导学号：67722052】A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1D [椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32， 所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.因为双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，所以渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，所以b 2＝5，所以a 2＝4b 2＝20.所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D.] 二、填空题6．(2016·合肥二模)双曲线M ：x 2－y2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则P 点的横坐标为________．3＋12 [根据双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 1|＝c ＋2，所以|PF 2|＝c ，由勾股定理得(c ＋2)2＋c 2＝4c 2，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝3＋1，根据△OPF 2是等边三角形得P 点的横坐标为3＋12.]7．(2016·邯郸二模)已知F 1，F 2为x 2a 2＋y 216＝1的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则△MF 1F 2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则a 2＝________.【导学号：67722053】25 [由题意得内切圆的半径等于32，因此△MF 1F 2的面积为12×32×(2a ＋2c )＝3(a ＋c )2，即3(a ＋c )2＝12×|y M |×2c ，因为满足条件的点M 恰好有2个，所以M 为椭圆短轴端点，即|y M |＝4，所以3a ＝5c 而a 2－c 2＝16，所以a 2＝25.]8．(2016·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于第一、二象限内的两点分别为A ，B ，若△OAB 的外接圆的圆心为(0，2a )，则双曲线C 1的离心率为________．6－2 [由双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1，可得渐近线为y ＝±ba x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，b 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－2a 2＝2a ， 化为b 2－4ab ＋a 2＝0， 解得ba ＝2－ 3. ∴双曲线C 1的离心率为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝6－ 2.]三、解答题9．(2016·莱芜模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(2，2)，其焦点在⊙O ：x 2＋y 2＝4上，A ，B 是椭圆的左右顶点．图14-1(1)求椭圆C 的方程；(2)M ，N 分别是椭圆C 和 ⊙O 上的动点(M ，N 不在y 轴同侧)，且直线MN 与y 轴垂直，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，求证：PN ⊥QN .[解] (1)由椭圆焦点在⊙O ：x 2＋y 2＝4上可知，c ＝2，1分 ∴b 2＝a 2－4，将点(2，2)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得4a 2＋2a 2－4＝1，即a 4－10a 2＋16＝0，解得a 2＝8，或a 2＝2(舍)，3分 ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.4分(2)证明：设M (x 0，y 0)，直线AM 的斜率显然存在，设直线AM 方程为y ＝k (x ＋22)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y24＝1，y ＝k (x ＋22)，可得(1＋2k 2)x 2＋82k 2x ＋16k 2－8＝0.6分∴－22x 0＝16k 2－81＋2k 2，得x 0＝22－42k 21＋2k 2，y 0＝42k1＋2k 2，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－42k 21＋2k2，42k 1＋2k 2，8分 直线BM 的斜率为42k1＋2k 222－42k 21＋2k 2－22＝－42k 82k 2＝－12k ，9分∴直线BM 的方程为y ＝－12k (x －22)． 令x ＝0，可得P (0,22k )，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，2k ，10分设N (x N ，y 0)，则PN →＝(x N ，y 0－22k )，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎫x N ，y 0－2k ，PN →·QN →＝x 2N ＋y 20－⎝⎛⎭⎪⎫22k 2＋2k y 0＋4，11分 又x 2N ＋y 20＝4，y 0＝42k 1＋2k 2，∴PN →·QN →＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫22k 2＋2k 42k 1＋2k 2＋4＝8－8＝0，12分 ∴PN ⊥QN .13分10．(2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0).2分 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.4分因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.5分 (2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得 (3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.7分由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )， 故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.9分t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0.10分 由此得⎩⎨⎧ k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎨⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2).12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·唐山二模)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点，若以点M (0,8)为圆心，|OA |的长为半径的圆交抛物线C 于A ，B 两点，且△ABO 为等边三角形，则p 的值是( )A.38B ．2C ．6D.23D [由题意知|MA |＝|OA |，所以点A 的纵坐标为4，又△ABO 为等边三角形，所以点A 的横坐标为433，又点A 是抛物线C 上一点，所以163＝2p ×4，解得p＝23.]2．(2016·安庆二模)已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2a 2＋1＝1，随着a的增大该椭圆的形状( )A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆D [由题意知4a ＞a 2＋1且a ＞0，解得2－3＜a ＜2＋3，又e 2＝1－b 2a 2＝1－a 2＋14a ＝1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因此当a ∈(2－3，1)时，e 越来越大，当a ∈(1,2＋3)时，e 越来越小，故选D.]3．(2016·济宁二模)如图14-2，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为( )图14-2A. 3B.3＋12C ．2D ．23－1B [由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连接QF 2(图略)，由对称性可知，|QF 2|＝|QF 1|＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为|PF 2|＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，|PH |＝3c ，|HF 2|＝c ，则P (2c ，3c )，连接PF 1，则|PF 1|＝23c .由双曲线的定义知，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为c a ＝13－1＝3＋12.] 4．(2016·武汉二模)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) 【导学号：67722054】A.33B ．1 C.233D ．2A [设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2.∵a ＋b ＝AF ＋BF ＝2MN ，∴|AB |2≥34|2MN |2，∴|MN ||AB |≤33.]二、填空题5．(2016·哈尔滨二模)设F 1，F 2是椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，且AF 2⊥x 轴，则b 2＝________.23[由题意F 1(－c,0)，F 2(c,0)，AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|＝b 2，∴A 点坐标为(c ，b 2)，设B (x ，y )，则|AF 1|＝3|F 1B |，∴(－c －c ，－b 2)＝3(x ＋c ，y )，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b 2＝1.∵1＝b 2＋c 2，∴b 2＝23.]6．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．322 [设直线AB 的倾斜角为θ(0＜θ＜π)及|BF |＝m ， ∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，即cos θ＝13，则sin θ＝223. ∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∴△AOB 的面积为S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322.]三、解答题7．如图14-3，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |.图14-3(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，217在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ .求直线l 的方程及椭圆C 的方程．[解] (1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ，2分4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32.4分 (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b 2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1， 可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b 2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4b 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 即－3217(x 1－x 2)4＋417(y 1－y 2)＝0，从而k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，6分 ∴直线l 的方程为y －217＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，即2x －y ＋2＝0.8分 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1⇒x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0，9分Δ＝322＋16×17(b 2－4)＞0⇔b ＞21717，x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0,5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，11分从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12分 8．(2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.2分(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .4分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2.6分由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，8分 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，9分由k AB＝k DE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1).10分当AB与x轴垂直时，E与D(1,0)重合.11分所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.12分。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题2 突破点4 等差数列、等比数列
a2＋a4 30 ＋a3)＝90， 所以公比 q＝ ＝3， 首项 a1＝ 所以 an＝3n， bn＝1＋log33n 2 ＝3 ， a1＋a3 1＋q 15×2＋16 ＝1＋n，则数列{bn}是等差数列，前 15 项的和为 ＝135，故选 B. 2 (2)由题意知 S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，因为 S1，S2，S4 成等比数列， 所以
B．135 D．16
(2)设{an}是首项为 a1，公差为－1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 S1，S2， S4 成等比数列，则 a1＝( A．2 1 C.2 ) B．－2 1 D．－2
(1)B
(2)D [(1)设等比数列{an}的公比为 q， 由 a1＋a3＝30， a2＋a4＝S4－(a1
2 S2 ＝ S · S ，即 (2 a － 1) ＝a1(4a1－6)，解得 2 1 4 1
1 a1＝－2，故选 D.]
在等差(比)数列问题中最基本的量是首项 a1 和公差 d(公比 q)，在解题时往 往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问 题也就会迎刃而解．这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中 蕴含着方程思想的运用． 提醒：应用等比数列前 n 项和公式时，务必注意公比 q 的取值范围．
C [法一：∵{an}是等差数列，设其公差为 d， 9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
a1＋4d＝3， 又∵a10＝8，∴ a1＋9d＝8， a1＝－1， ∴ d＝1.
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选 C.
法二：∵{an}是等差数列， 9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100 成等差数列，且公差 d′＝a10－ a5＝8－3＝5. 故 a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选 C.]
高考改革与2017山东高考数学复习建议(2017年3月4-5日青岛讲座,82张PPT)
国标卷的特点及与山东卷的主要差异
• • • • • • • • 理念领先：贴近课标、贴近现实 难度适宜：分类制卷、控制难度 选学选考：从三选一到二选一 应用问题：备件成本、险费计算、线性回归 空间想象：空间直线的夹角（文）、作图（文） 几何直观：对称与周期、函数图象判断 数学文化：秦九韶算法、九章算术、更相减损术 逻辑推理：卡片猜数、城市旅游
• 招生采用“专业（类）+学校”志愿填 报和招生录取方式。 • 探索实行考生一档多投、多次选择的 投档模式，增加高校与考生之间双向 选择机会。
2016山东本科院校综合评价
考生综合成绩= 高考成绩+ 高校综合评价成绩+ 高中学业水平考试成绩 其中，高考成绩在其中占比原则上不低于50%，其余两项在 其中的占比由试点高校自行确定。 2016被北大清华录取：山东307人，裸分124人 浙江347人，裸分39人 北大清华：自主招生、保送、综合评价、博雅（领军）、 筑梦（自强）计划等
高考改革与 2017山东高考数学复习建议
研讨的主要问题
• 高考考试招生改革的现状和考纲与课标的修订 • 取消批次、综合评价、数学文化、几何直观 • 高考数学二轮复习 • 山东2007—2016高考数学解答题分类梳理 • 历年各类得分较低试题例析 • 压轴题的思考与命题分析 • 互动交流
国务院关于深化考试招生制度改革 实施意见〔2014〕
2016山东本科院校综合评价招生 试点院校及录取人数
山东大学（45） 中国海洋大学（21） 中国石油大学（华东）（135） 哈工大威海分校（18） 青岛大学（100） 山东师范大学（110） 山东科技大学（180） 青岛科技大学（60） 山东财经大学（60） 招生计划754人，全省报名7133人，最终录取629人