高中数学《求二次分式型函数的值域》精品PPT课件
所以函数 y＝x2－x＋x＋1 2的值域为[－17，1]．
点评 转化成二次方程是否有解去解决。
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________．
方法二、令 t＝x＋1，x∈[－1，2]，则 x＝t－1，且 t∈[0，3]， 得 y＝(t－1)2－t(t－1)＋2＝t2－3tt＋4，t∈R，
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________．
方法二、令 t＝x＋1，x∈[－1，2]，则 x＝t－1，且 t∈[0，3]， 得 y＝(t－1)2－t(t－1)＋2＝t2－3tt＋4，t∈R， （1）当 t＝0，y＝0；
（2）当 t∈(0，3]，y＝t＋4t1－3，t＋4t ∈[4，＋∞)，
t＋4t －3∈[1，＋∞)， t＋41t －3∈ (0,1]．所以函数 y＝x2－x＋x＋1 2的值域为[0，1]．
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________． 点评 若定义域范围有新的限定，转化成二次方程是否有解较困难。
典例
3. 函数 y＝2xx22－ －3x＋x＋23的值域为_____________．
求二次分式型函数的值域
What —求二次分式型函数的值域
形如 y＝ax2＋dbx＋c、y＝ax2d＋x＋bxe＋c、 y＝ax2d＋x＋bxe＋c、y＝adxx22＋＋bexx＋＋cf 的结构令 t＝x2－x＋2＝(x－12)2＋74，x∈R，则 t∈[74，＋∞)， 得 y＝2t ，t∈[74，＋∞)，
所以 Δ＝y2－4y(2y－2)≥0，解得 0＜y≤87，
所以函数 y＝x2－2x＋2的值域为(0，87]．
点评 整体法解决；转化成二次方程是否有解去解决。
典例
2. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2的值域为_____________．
方法一、原题转化为 yx2－(y＋1)x＋2y－1＝0， （1）当 y＝0，x＝－1，成立，所以 y＝0 符合； （2）当 y≠0，关于 x 的方程 yx2－(y＋1)x＋2y－1＝0 有实根， 所以 Δ＝(y＋1)2－4y(2y－1)≥0，解得－17≤y≤1，且 y≠0．
方法二、原题转化为 x2y－xy＋2y－2＝0， （1）当 y＝0，－2＝0 不成立，所以 y≠0；
典例
1. 求函数 y＝x2－2x＋2的值域．
方法二、原题转化为 x2y－xy＋2y－2＝0， （1）当 y＝0，－2＝0 不成立； （2）当 y≠0，关于 x 的方程 x2y－xy＋2y－2＝0 有实根，
典例
1. 求函数 y＝x2－2x＋2的值域．
方法一、令 t＝x2－x＋2＝(x－12)2＋74，x∈R，则 t∈[74，＋∞)， 得 y＝2t ，t∈[74，＋∞)，1t ∈(0，47]，2t ∈(0，87]， 所以函数 y＝x2－2x＋2的值域为(0，87]．
典例
1. 求函数 y＝x2－2x＋2的值域．
方法一、原函数转化为 y＝2(x2－x＋x22)－＋x2＋x－24－3x＋3＝2－x2－x＋x＋1 2．
点评 通过联系，把新问题转换成熟悉的问题解决
典例
3. 函数 y＝2xx22－ －3x＋x＋23的值域为_____________．
y＝adxx22＋＋bexx＋＋cf
y＝ax2d＋x＋bxe＋c
点评 通过联系，把新问题转换成熟悉的问题解决
Sum
求二次分式型函数的值域
1 转化成二次方程是否有解的问题； 2 三种类型之间可以相互转化。
谢谢聆 听
点评 转化成二次方程是否有解去解决。
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________．
方法二、令 t＝x＋1，x∈[－1，2]，则 x＝t－1，且 t∈[0，3]， 得 y＝(t－1)2－t(t－1)＋2＝t2－3tt＋4，t∈R，
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________．
方法二、令 t＝x＋1，x∈[－1，2]，则 x＝t－1，且 t∈[0，3]， 得 y＝(t－1)2－t(t－1)＋2＝t2－3tt＋4，t∈R， （1）当 t＝0，y＝0；
（2）当 t∈(0，3]，y＝t＋4t1－3，t＋4t ∈[4，＋∞)，
t＋4t －3∈[1，＋∞)， t＋41t －3∈ (0,1]．所以函数 y＝x2－x＋x＋1 2的值域为[0，1]．
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________． 点评 若定义域范围有新的限定，转化成二次方程是否有解较困难。
典例
3. 函数 y＝2xx22－ －3x＋x＋23的值域为_____________．
求二次分式型函数的值域
What —求二次分式型函数的值域
形如 y＝ax2＋dbx＋c、y＝ax2d＋x＋bxe＋c、 y＝ax2d＋x＋bxe＋c、y＝adxx22＋＋bexx＋＋cf 的结构令 t＝x2－x＋2＝(x－12)2＋74，x∈R，则 t∈[74，＋∞)， 得 y＝2t ，t∈[74，＋∞)，
所以 Δ＝y2－4y(2y－2)≥0，解得 0＜y≤87，
所以函数 y＝x2－2x＋2的值域为(0，87]．
点评 整体法解决；转化成二次方程是否有解去解决。
典例
2. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2的值域为_____________．
方法一、原题转化为 yx2－(y＋1)x＋2y－1＝0， （1）当 y＝0，x＝－1，成立，所以 y＝0 符合； （2）当 y≠0，关于 x 的方程 yx2－(y＋1)x＋2y－1＝0 有实根， 所以 Δ＝(y＋1)2－4y(2y－1)≥0，解得－17≤y≤1，且 y≠0．
方法二、原题转化为 x2y－xy＋2y－2＝0， （1）当 y＝0，－2＝0 不成立，所以 y≠0；
典例
1. 求函数 y＝x2－2x＋2的值域．
方法二、原题转化为 x2y－xy＋2y－2＝0， （1）当 y＝0，－2＝0 不成立； （2）当 y≠0，关于 x 的方程 x2y－xy＋2y－2＝0 有实根，
典例
1. 求函数 y＝x2－2x＋2的值域．
方法一、令 t＝x2－x＋2＝(x－12)2＋74，x∈R，则 t∈[74，＋∞)， 得 y＝2t ，t∈[74，＋∞)，1t ∈(0，47]，2t ∈(0，87]， 所以函数 y＝x2－2x＋2的值域为(0，87]．
典例
1. 求函数 y＝x2－2x＋2的值域．
方法一、原函数转化为 y＝2(x2－x＋x22)－＋x2＋x－24－3x＋3＝2－x2－x＋x＋1 2．
点评 通过联系，把新问题转换成熟悉的问题解决
典例
3. 函数 y＝2xx22－ －3x＋x＋23的值域为_____________．
y＝adxx22＋＋bexx＋＋cf
y＝ax2d＋x＋bxe＋c
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求二次分式型函数的值域
1 转化成二次方程是否有解的问题； 2 三种类型之间可以相互转化。
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高中数学 2.2.2《二次函数的性质和图像》 课件三 新人教B版必修1
x (+,-)
B(-x,y)
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
函数图象画法
描点法
列表
y2 x
y x2
y1 x
描点 连线
y x2
用用用用自 用自用 自用 自用自自光 光光自光自左光左光左光左光左左滑滑滑左滑左向滑向滑向滑向滑向向曲曲曲向曲向右曲右曲右曲右曲右右线线线右线右顺线顺线顺线顺线顺顺连连连顺连顺次连次连次连次连次次结结结次结次连结连结连结连结连连时时时连时连结时结时结时结时结结要要要结要结要要要要
（2）抛物线
y
2 3
x2在x轴的
下
方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的
增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当x 0时，y<0.
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与( 3,6)
《二次函数》PPT优秀课件
。
• 3.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。
归纳总结
• 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数，叫 做二次函数。其中x是自变量，a叫做二次项系数，b叫做一次项 系数，c叫做常数项．
• 注意：判断二次函数注意自变量最高次数为2，且二次项系数不为0
03 例题练习
例题
练习
• 1.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率
都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝
．
• 2．多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为
为
；当d＝35时，多边形的边数n＝
．
，自变量n的取值范围是 且
练习
3.已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系， 求m的值．
4．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成的中间隔有一道 篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？
04 作业布置
作业布置
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1
二次函数
01
教学目标
目录
02 03
知识点框架
例题练习
04
作业布置
01
教学目标
掌握二次函数的定义并能根据实际问题列出二次函数解析式
02 知识点框架
二、新课讲授
• 1.设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y=
。
• 2.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之
高中数学 2.2.2《二次函数的性质与图象》 课件一 新人教B版必修1
3.a决定了图像在同一直角坐标 系中的开口大小: |a|越小图像开口
就越大
巩固性训练一
.下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(ห้องสมุดไป่ตู้),(1)
1 (1)f(x)=4
x2
;
(2)f(x)=
1 2
x2
1 (3)f(x)=-3
x2
;
(4)
f(x)=-3x2
实践探究 2
在同一坐标系中, 画出下列函数的图像：
(1) y=2x 2 ; (2) y=2(x+1) 2 ; (3) y=2(x+1) 2-3 .
观察发现
二次函数y=a(x+h)2+k (a0), a决定了二次函数图像的开口大小及方向；
而且“a正开口向上，a负开口向下”； ｜a｜越大开口越小；
h决定了二次函数图像的左右平移，
而且“h正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图像的上下平移，
而且“k正上移，k负下移”。
巩固性训练二
１.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶 点移到（－３，２） ，则它的解析式为 Y=3(x+3) 2+2
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大 小相同， 开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像 的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为Y=(x-3) 2+2
小结 １.a,h,k对二次函数y=a(x+h) 2 +k图像的 影响
２.y=x2 与y=a(x+h)2+k 的图像变换规律。
2.2.2 二次函数的性质与图像 课件
问题１
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
就越大
巩固性训练一
.下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(ห้องสมุดไป่ตู้),(1)
1 (1)f(x)=4
x2
;
(2)f(x)=
1 2
x2
1 (3)f(x)=-3
x2
;
(4)
f(x)=-3x2
实践探究 2
在同一坐标系中, 画出下列函数的图像：
(1) y=2x 2 ; (2) y=2(x+1) 2 ; (3) y=2(x+1) 2-3 .
观察发现
二次函数y=a(x+h)2+k (a0), a决定了二次函数图像的开口大小及方向；
而且“a正开口向上，a负开口向下”； ｜a｜越大开口越小；
h决定了二次函数图像的左右平移，
而且“h正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图像的上下平移，
而且“k正上移，k负下移”。
巩固性训练二
１.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶 点移到（－３，２） ，则它的解析式为 Y=3(x+3) 2+2
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大 小相同， 开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1， f(x)图像 的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为Y=(x-3) 2+2
小结 １.a,h,k对二次函数y=a(x+h) 2 +k图像的 影响
２.y=x2 与y=a(x+h)2+k 的图像变换规律。
2.2.2 二次函数的性质与图像 课件
问题１
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
高中函数值域方法汇总-张杰课件PPT
6
例3 求函数
y
e x 1 的反函数的定义域. ex 1
分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的
值域，可用不等式法求解。
解：变形可得 (y1)ex 1y, y1 , ex1y0 1y
即 y y ＋ - 1 10 (y 1 )(y 1 ) 0 ,故 － 1 < y < 1 .
∴反函数的定义域为(-1,1)。
b ( a 1 ) a 3 0 , a 1 0 .
ab(a 1 )452(a 1 ) 459 ,
a 1
a 1
当且仅当a=3时取等号。
故ab∈〔9，+∞）
9
解法2：（不等式法）
由 a b a b 3 2 a b + 3 得 ， a b 2 a b 3 0
即 （ a b 3 ) (a b 1 ) 0 由 于 a b 0 a b 3 0 , 即 a b 3 ,
于 是 y=5-1(t2+1)+t=-1(t-3) 2+65,
3
3 2 12
t3 2， ym in1 62 5,故 y- ,1 62 5.
11
( 2 ) 令 x = 2 c o s , 0 , , 有 y 2 c o s 2 4 4 c o s
2(cossin1 )22sin()2,
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y ∈〔1/2,+∞).
13
(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故 y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函
数值域的为y ∈〔-1,+∞)。 例7 求下列函数的值域： （1）y=√x-3+√5-x; (2)y=√x-3-√5-x.
例3 求函数
y
e x 1 的反函数的定义域. ex 1
分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的
值域，可用不等式法求解。
解：变形可得 (y1)ex 1y, y1 , ex1y0 1y
即 y y ＋ - 1 10 (y 1 )(y 1 ) 0 ,故 － 1 < y < 1 .
∴反函数的定义域为(-1,1)。
b ( a 1 ) a 3 0 , a 1 0 .
ab(a 1 )452(a 1 ) 459 ,
a 1
a 1
当且仅当a=3时取等号。
故ab∈〔9，+∞）
9
解法2：（不等式法）
由 a b a b 3 2 a b + 3 得 ， a b 2 a b 3 0
即 （ a b 3 ) (a b 1 ) 0 由 于 a b 0 a b 3 0 , 即 a b 3 ,
于 是 y=5-1(t2+1)+t=-1(t-3) 2+65,
3
3 2 12
t3 2， ym in1 62 5,故 y- ,1 62 5.
11
( 2 ) 令 x = 2 c o s , 0 , , 有 y 2 c o s 2 4 4 c o s
2(cossin1 )22sin()2,
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y ∈〔1/2,+∞).
13
(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故 y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函
数值域的为y ∈〔-1,+∞)。 例7 求下列函数的值域： （1）y=√x-3+√5-x; (2)y=√x-3-√5-x.
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
高中数学第二章函数2.2.2二次函数的性质与图象课件新人教B版必修1
(2)对称轴 x=h 在区间[p,q]之间,即当 p≤h≤q 时,f(x)min=f(h)=k.
当
p≤h≤������+2 ������
时,f(x)max=f(q);当
h=
������+������ 2
时,f(x)max=f(p)=f(q);当
������+������ 2
<
ℎ≤q 时,f(x)max=f(p).
坐标为
-
������ 2������
,
4������������-������2 4������
, 对称轴为x=− 2������������.
(2)当
a>0
时,抛物线开口向上,函数在
x=−
������ 2������
处取得最小值
ymin
=
4������������-������2 4������
,
B.开口向上,顶点是(1,1)
C.开口向下,顶点是
-
1 2
,
3 4
D.开口向上,顶点是
-
1 2
,
3 4
答案:D
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
������ 2������
<
0,
故选C.
答案:C
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
求函数的值域课件.ppt
三：换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为 代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例2 求函数 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复 y=x+ 1-x 杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后 新元的取值范围。
求下列函数的值域： （ 1） y = x +
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
会生活。
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 A．电话 C．电报 B．汽车 D．火车 ( )
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。 答案：D
[典题例析] [例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江 居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 A．江南制造总局的汽车 B．洋人发明的火车 ( )
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析]
由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民
到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。 [答案] C
[题组冲关] 1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
高中二次函数课件ppt
二次函数的开口方向
当二次函数的二次项系数大于 0时，抛物线开口向上。
02
开口向下
01
开口向上
当二次函数的二次项系数小于0时 ，抛物线开口向下。
二次函数的对称轴
对称轴公式
对称轴的方程是 $x = -frac{b}{2a}$ ，其中 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一 次项系数。
对称轴位置
对称轴的位置取决于 $a$ 和 $b$ 的 符号。如果 $a > 0$ 且 $b = 0$，对 称轴是 $x = 0$；如果 $a < 0$ 且 $b = 0$，对称轴是 $x = infty$。
总结词
二次函数的顶点式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线的顶点坐标 。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过 $(h, k)$ 确定了抛物线的顶点位置， 并围绕这一点展开。这种形式直观地展示了抛物线的开口方向和大小，以及顶点 的位置。
03
二次函数的图像与性质
二次函数的最值
最值公式
最值的坐标为 $left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
最值类型
当 $a > 0$ 时，函数有最小值；当 $a < 0$ 时，函数有最大值。
04
二次函数的应用
生活中的二次函数
01
抛物线型拱桥ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数可以用来描述抛物线 型拱桥的形状和受力情况。
进阶习题
进阶习题1
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$( - infty, a)$上是减函数，求实数$a$的 取值范围。
次分式函数值域的求法
次分式函数值域的求法 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】二次分式函数值域的求法甘肃王新宏一定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法解题步骤：1把函数转化为关于x 的二次方程2 方程有实根，△≥03 求的函数值域例1：求y=22222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立由y=22222+++-x x x x 得， （y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R②当y-2≠0时，即y ≠2时,∵x ∈R∴方程（y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根∴△=(y+1)2-(y-2)×(y-2)≥0∴3y 2-18y+15≤0∴1≤y ≤5∴函数值域为[]5,1练习1：求y=432+x x 的值域 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43 二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。
先来学习“√”函数。
形如y=x+x k(x>0,k>0)的函数，叫“√”函数图像单调性：在x ∈[]k ,0时，单调递减。
在x ∈[]+∞,k 时，单调递减。
值域：[]+∞,2k解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围②把原函数化为关于t 的函数③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域例2求y=12122-+-x x x （321≤<x ）的值域解令2x-1=t,得0<t ,5≤x=21+t∴y=2112++t t212+≥ 当且仅当t t12=时，即t=2时，取“=”。
∴y 212+≥ ∴值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,212练习2求y=2cos 4cos 3)(sin 2--+x x x 的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,1三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=edx cx b ax +++2(ac 0≠) 解题步骤：①令分子为t,求出t 的范围，把原函数化为关于t 的函数②分子分母同除以t ，把分母化为关于t 的“√”函数③根据复和函数的单调性得出原函数值域例3y=3312+++x x x x ()+∞-∈,1 解令x+1=t,得t ∈()+∞,0且x=t-1∴y=12++t t t =tt 111++ ∵1+t+t13≥(t=1时取“=”) ∴y 31≤且y>0 ∴值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 练习3:求y=12+x x 的值域？ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 四分子分母均为二次的二次分式函数可化为“三“求之。
函数的值域ppt课件
]
六、均值不等式法
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要 注意满足条件“一正、二定、三等”.
例6 求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[-1, 1]
[4, +∞)
七、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用
世界上最好的课堂在老人的脚下.
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Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
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