初三数学下期中第一次模拟试题及答案
初三数学下期中第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．小红小学毕业时的照片和初中毕业时的照片相似
B．商店新买来的一副三角板是相似的
C．所有的课本都是相似的
D．国旗的五角星都是相似的
2．已知一次函数y1=x－1和反比例函数y2=2
x
的图象在平面直角坐标系中交于A、B两
点，当y1＞y2时，x的取值范围是( )
A．x＞2B．－1＜x＜0C．x＞2，－1＜x＜0D．x＜2，x＞0
3．在反比例函数y＝1k
x
的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是
（）
A．－1B．1C．2D．3
4．如图所示，在△ABC中， cos B＝
2
2
，sin C＝
3
5
，BC＝7，则△ABC的面积是()
A．21
2
B．12C．14D．21
5．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（）
A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．5：4
6．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：
①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
7．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（）
A．1:3B．1:4C．1:6D．1:9
8．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3，则AC的长是( )
A．10米B．53米C．15米D．103米
9．在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）
A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）
10．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将
△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的1
2
，得到△COD，则CD的长度是（）
A．2 B．1 C．4 D．25
11．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
12．在反比例函数
4
y
x
的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）
A．B． C．D．
二、填空题
13．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，
FE ⊥AD ，EG =15里，HG 经过A 点，则FH =__里.
14．如图，已知点A ，C 在反比例函数(0)a y a x
=>的图象上，点B ，D 在反比例函(0)b y b x
=
<的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB=5，CD=4，AB 与CD 的距离为6，则a ?b 的值是_______.
15．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA =，则FG BC
=______．
16．如图，在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆2AB m =，它的影子 1.6BC m =，木杆PQ 的影子有一部分落在了墙上， 1.2PM m =，0.8MN m =，则木杆PQ 的长度为______m ．
17．如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似．
18．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园至少需要投资________元．
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且
∠AOB=60°，反比例函数y=k
x
(k>0)在第一象限内过点A，且与BC交于点F．当F为BC
的中点，且S△AOF=123时，OA的长为__________．
20．如图，点A在双曲线y＝6
x
（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB
上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝k
x
（x＞0）经过点C，则k＝_____．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．
(1)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形
△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
(2)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标．
22．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
23．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡
AC=米后，斜坡AB改造为AB=米，坡度为1:3；将斜坡AB的高度AE降低20
200
斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
24．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB?AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD=2，AB=3，求的值．
25．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P6≈2.449，结果保留整数）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
观察图形，看它们的形状是否相同，形状相同的两个图形是相似图形.
【详解】
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片，形状不相同，不相似；
B．商店新买来的一副三角板，形状不相同，不相似；
C．所有的课本都是相似的，形状不相同，不相似；
D．国旗的五角星都是相似的，形状相同，相似.
故选D．
【点睛】
本题考查了相似图形，相似图形是指形状相同的图形，仔细观察看每组图形是否相同，如果相同就相似，否则就不相似．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
因为一次函数和反比例函数交于A、B两点，可知x-1=2
x
，解得x=-1或x=2，进而可得
A、B两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1
【详解】
解方程x ?1=2x
，得 x =?1或x =2，
那么A 点坐标是(?1,?2),B 点坐标是(2,1)，
如右图，
当x >2时, 12y y >,以及当?1
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用反比例函数的增减性，y 随x 的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．
【详解】
∵反比例函数y=1?kx 图象的每一条曲线上，y 随x 的增大而减小，
∴1?k>0，
解得k<1.
故选A.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k 的值.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：过点A 作AD ⊥BC ，∵△ABC 中，2，sinC=35，AC=5，∴2BD AB ，∴∠B=45°，∵sinC=35=AD AC =5AD ，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，则
△ABC 的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212
．故选A ．
考点：1．解直角三角形；2．压轴题．
5．A
解析：A
【解析】
试题解析：∵ED ∥BC ，
.DOE COB AED ACB ∴V V V V ∽，∽
:4:9DOE BOC DOE COB S S V V Q V V ∽，，=
:2:3.ED BC ∴=
AED ACB QV V ∽，
::.ED BC AE AC ∴=
:2:3,?::ED BC ED BC AE AC Q ，==
:2:3AE AC ∴=，:2:1.AE EC ∴=
故选A.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据互余角性质得∠PAM ＝∠PBC ，进而得△PAM ∽△PBC ，可以判断①；
由相似三角形得∠APM ＝∠BPC ，进而得∠CPM ＝∠APB ，从而判断②；
根据对角互补，进而判断③；
由△APB ∽△NAB 得
AP AN BP AB
=，再结合△PAM ∽△PBC 便可判断④． 【详解】
解：∵AP ⊥BN ，
∴∠PAM+∠PBA ＝90°，
∵∠PBA+∠PBC ＝90°，
∴∠PAM ＝∠PBC ，
∵∠PMA ＝∠PCB ，
∴△PAM ∽△PBC ，
故①正确；
∵△PAM ∽△PBC ，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；
∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，
∴B、C、P、M四点共圆，
∴∠MPB＝∠MCB，
故③正确；
∵AP⊥BN，
∴∠APN＝∠APB＝90°，
∴∠PAN+∠ANB＝90°，
∵∠ANB+∠ABN＝90°，
∴∠PAN＝∠ABN，
∵∠APN＝∠BPA＝90°，
∴△PAN∽△PBA，
∴AN PA BA PB
=，
∵△PAM∽△PBC，
∴Al AP BC BP
=，
∴AN AM AB BC
=，
∵AB＝BC，
∴AM＝AN，
故④正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM⊥PC是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
∵两个相似三角形对应边之比是1:3，
∴它们的对应中线之比为1:3.
故选A.
点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】
Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1；
∴AC=BC÷
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.
【详解】
将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.
故选：B.
【点睛】
本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案．【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中
心缩小为原图形的1
2
，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
11．A
解析：A
【解析】
∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴CB CE
AC CD
=，即
CB CE
AB BC DE EC
=
++
，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
1 1.2
1 1.8 1.
2 AB
=
++
∴1.2AB=1.8，∴AB=1.5m．故选A．12．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据反比例函数
k
y
x
=中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩
形面积为|k|解答即可．
【详解】
解：A、图形面积为|k|=4；
B、阴影是梯形，面积为6；
C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（1
2
|k|）=4．
故选B．【点睛】
主要考查了反比例函数
k
y
x
=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂
线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂
线所围成的直角三角形面积S的关系即S=1
2
|k|．
二、填空题
13．05【解析】∵EG⊥ABFH⊥ADHG经过A点∴FA∥EGEA∥FH∴∠HFA＝∠AEG＝90°∠FHA＝∠EAG∴△GEA∽△AFH∴∵AB＝9里DA＝7里EG＝15里∴FA＝35里EA＝45里∴
解析：05
【解析】
∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA ＝∠AEG ＝90°，∠FHA ＝∠EAG ，
∴△GEA ∽△AFH ，∴EG EA AF FH =． ∵AB ＝9里，DA ＝7里，EG ＝15里，
∴FA ＝3.5里，EA ＝4.5里，∴
15 4.53.5FH
=， 解得FH ＝1.05里．故答案为1.05． 14．【解析】【分析】利用反比例函数k 的几何意义得出a-b=4?OEa -b=5?OF 求出=6即可求出答案【详解】如图∵由题意知：a-b=4?OEa -b=5?OF ∴OE=OF=又∵OE+OF=6∴=6∴a-
解析：403
【解析】
【分析】
利用反比例函数k 的几何意义得出a-b=4?OE ，a-b=5?OF ，求出
45
a b a b --+=6，即可求出答案．
【详解】
如图，
∵由题意知：a-b=4?OE ，a-b=5?OF ，
∴OE=4a b -，OF=5
a b -， 又∵OE+OF=6，
∴45
a b a b --+=6， ∴a-b=403
， 故答案为：403
． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程
45a b a b --+=6是解此题的关键．
15．【解析】【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案
【详解】四边形ABCD 与四边形EFGH 位似其位似中心为点O 且则故答案为：
【点睛】本题考查了位似的性质熟练掌握位似的性质是解题的关键 解析：47 【解析】 【分析】 利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】 Q 四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且OE 4EA 3
=， OE 4OA 7∴
=， 则FG OE 4BC OA 7
==， 故答案为：
47． 【点睛】
本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
16．3【解析】【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长再根据此影长列出比例式即可【详解】解：过N 点作ND ⊥PQ 于D 又∵AB=2BC=16PM=12NM=08∴PQ=QD+DP=QD+NM=1
解析：3
【解析】
【分析】
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可．
【详解】
解：过N 点作ND ⊥PQ 于D ，
BC DN AB QD
∴= 又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8， 1.5AB DN QD BC ?∴=
=
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（m）．
故答案为：2.3．
【点睛】
在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
17．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似
解析：4或9．
【解析】
当△ADP∽△ACB时，需有AP AD
AB AC
=，∴
6
128
AP
=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需
有AP AD
AC AB
=，∴
6
812
AP
=，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相
似．
18．【解析】【分析】如图所示作BD⊥CA于D则在直角△ABD中可以求出BD 然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价【详解】如图所示
AB=10AC=30∠BAC=120°作BD⊥CA于D则在直角△AB
解析：6750
【解析】
【分析】
如图所示，作BD⊥CA于D，则在直角△ABD中可以求出BD，然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价．
【详解】
如图所示，AB=103，AC=30，∠BAC=120°，作BD⊥CA于D，
则在直角△ABD中，∠BAD=60°，
∴BD=ABsin60°=15，
∴△ABC面积=1
2
×AC×BD=225．又因为每平方米造价为30元，
∴总造价为30×225=6750（元）．
【点睛】
此题主要考查了运用三角函数定义解直角三角形，关键是通过作辅助线把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中解题．
19．8【解析】分析：过点A 作AH⊥OB 于点H 过点F 作FM⊥OB 于点M 设OA=x 在由已知易得：AH=OH=由此可得S△AOH=由点F 是平行四边形AOBC 的BC 边上的中点可得BF=BM=FM=由此可得S△B
解析：8
【解析】
分析：
过点A 作AH ⊥OB 于点H ，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，设OA=x ，在由已知易得：
，OH=12x ，由此可得S △AOH 2x 由点F 是平行四边形AOBC 的BC 边上的
中点，可得BF=
12x ，BM=14x ，FM=x ，由此可得S △BMF 2x ，由S △OAF =
可得S △OBF =S △OMF =232
x +，由点A 、F 都在反比例函数k y x =的图象上可得S △AOH =S △BMF ，由此即可列出关于x 的方程，解方程即可求得OA 的值. 详解：
如下图，点A 作AH ⊥OB 于点H ，过点F 作FM ⊥OB 于点M ，设OA=x ，
∵四边形AOBC 是平行四边形，∠AOB=60°，点F 是BC 的中点，S △OAF =
∴，OH=12x ，BF=12x ，∠FBM=60°，S △OBF =
∴S △AOH =28
x ，BM=14x ，x ，
∴S △BMF 2x ，
∴S △OMF =2x ， ∵由点A 、F 都在反比例函数k y x =
的图象上， ∴S △AOH =S △BMF ，
2=2x ， 化简得：23192x =，解得：1288x x ==-，（不合题意，舍去），
∴OA=8.
故答案为：8.
点睛：本题是一道考查“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”的综合题，熟记“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”是解答本题的关键.
20．2【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论【详解】解：连接OC∵点A在双曲线y＝（x＞0）上过点A作AB⊥x轴于点B∴S△OAB＝×6＝3∵BC：CA＝1：2∴S△OBC＝3×＝1
解析：2
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【详解】
解：连接OC，
∵点A在双曲线y＝6
x
（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△OAB＝1
2
×6＝3，
∵BC：CA＝1：2，
∴S△OBC＝3×1
3
＝1，
∵双曲线y＝k
x
（x＞0）经过点C，
∴S△OBC＝1
2
|k|＝1，
∴|k|＝2，
∵双曲线y＝k
x
（x＞0）在第一象限，
∴k＝2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
三、解答题
21．(1)图见解析，C1(－6，4)；(2)D1(2a，2b)．
【解析】
【分析】
（1）连接OB并延长，使BB1=OB，连接OA并延长，使AA1=OA，连接OC并延长，使CC1=OC，确定出△A1B1C1，并求出C1点坐标即可；
（2）根据A与A1坐标，B与B1坐标，以及C与C1坐标的关系，确定出变化后点D的对应点D1坐标即可．
【详解】
（1）根据题意画出图形，如图所示：
则点C1的坐标为（-6，4）；
（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．
【点睛】
运用了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
22．（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【解析】
分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知
S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
详解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE=1
2
AE×DE=
1
2
×2a×a=a2，
∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则S△ADC=1
2
AC?DE=
1
2
?（2a+2a）?a=2a2=2S△ADE；
在△ADE和△BGE中，
∵
AED BEG DE GE
ADE BGE ∠∠
?
?
?
?∠∠
?
＝
＝
＝
，
∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，
∴S△ABE=1
2
AE?BE=
1
2
?（2a）?2a=2a2，
S△ACE=1
2
CE?BE=
1
2
?（2a）?2a=2a2，
S△BHG=1
2
HG?BE=
1
2
?（a+a）?2a=2a2，
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
23．斜坡CD
的长是
【解析】
【分析】
根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长．
【详解】
∵90AEB =?∠，200AB =，坡度为1:3， ∴3tan 3
ABE ∠==， ∴30ABE ∠=?， ∴11002
AE AB ==， ∵20AC =，
∴80CE =，
∵90CED ∠=?，斜坡CD 的坡度为1:4，
∴
14CE DE =， 即8014
ED =， 解得，320ED =，
∴22803208017CD =+=米，
答：斜坡CD 的长是8017米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
24．(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB ，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得 到 CE=AE ，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明
=，由相似三角形的性
质列出比例式，计算即可．
【详解】
(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC=∠CAB ，
∵AC 2=AB?AD ，
∴= ， ∴△ADC ∽△ACB ；
(2)∵△ADC ∽△ACB ，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵点 E 为 AB 的中点，
∴CE=AE= AB= ，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴==，
∴=．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【解析】
【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB的长即可．
【详解】作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC=PC PA
，
∴PC=PA?cos∠3（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC=PC PB
，
∴PB=
403
cos
PC
BPC
=
∠
6≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．