沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步本章复习题

沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵

和行列式初步本章复习题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．二元一次方程组35,27

x y x y +=??-+=?的增广矩阵是___________． 2．方程3

223x x x =-的实数解是________．

3．若ABC 的三个顶点坐标为(1,3),(1,2),(3,7)A B C -，其面积为________． 4．设5x π

=，计算：cos2sin 2sin3cos3x x

x x =________．

5．若关于,x y 的二元一次方程组420

x my m mx y m +=-??++=?有无穷多组解，则m =______． 6．将122313122313a b a b a b b a b a b a ++---表示成一个三阶行列式为________． 7．函数2211

sin cos y x x

=的最大值是_________． 8．计算：2

2211

1x y

z x y z =__________．

二、双空题

9．若121A ?? ?= ? ???

，(111)B =-，410C a ?? ?= ? ???，()168b AB C ?? ?= ? ???，

则a =______，b =______． 10．已知矩阵0110A ??= ???，矩阵23B ??= ???，向量23?? ???

经过矩阵A 变换为向量AB =_______，变换后的向量与原向量关于直线__________对称．

三、单选题

11．三阶行列式的两行成比例的是这个行列式的值为零的（ ）

A ．充分条件

B ．充要条件

C ．必要条件

D ．非充分非必要

条件

12．若31110101x ????= ? ?????

，则x 的值是（ ）． A ．1 B ．1- C ．1

3- D ．13

13．已知1

110D a b c k d

e f ==≠，则222

222a b c d e f =（ ）． A ．2k B ．4k C ．8k D ．64k

14．已知,,A B C 是33?阶矩阵，m R ∈，则下列结论中错误的是（ ）．

A ．A

B

C C B A ++=++

B ．AB

C CBA = C ．mA A m =?

D ．()m A B mA mB +=+

四、解答题 15．已知矩阵3210A ??= ?-??

，2530B ??= ?-??，120123C ??= ?--??，计算： （1）2A B -；

（2）AB ；

（3）AC ．

16．关于,x y 的二元一次方程组2,231x ay x y a +=??-=+?

有唯一一组正解，求实数a 的取值范围．

17．用矩阵变换的方法解方程组：1240233x y z x y z x y z ++=??-++=??+-=-?

.

18．已知矩阵111212122212

n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ???，定义其转置矩阵1121112

22212n n n n

nn a a a a a a A a a a '?? ? ?= ? ???．若123123123a a a A b b b c c c ?? ?= ? ???，写出A 的转置矩阵A '，并求行列式||A 与A '．说明两者有什么关系．

19．已知()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ．求证：,,A B C 三点共线的充要条件是

11 22 331

10 1

x y

x y

x y

．

参考答案

1．315127?? ?-??

【分析】

利用增广矩阵的定义求解.

【详解】

由增广矩阵的定义得：

二元一次方程组35,27x y x y +=??-+=?

的增广矩阵是315127?? ?-??， 故答案为：315127?? ?-??

【点睛】

本题主要考查增广矩阵，属于基础题.

2．1-或6

【分析】

根据二阶行列式的计算得出关于x 的二次方程，由此可得出实数x 的值.

【详解】

()23

3636223

x x x x x x x =--=--=-，即2560x x --=，解得1x =-或6. 因此，方程3223x x x =-的实数解是1-或6.

故答案为：1-或6.

【点睛】

本题考查二阶行列式的计算，同时也考查了一元二次方程的求解，考查计算能力，属于基础题.

3．6

【分析】

先求出三角形的三条边长，再由余弦定理求出三角形的一个内角的余弦值，进一步求出正弦值，由三角形的面积公式可得答案.

【详解】

由(1,3),(1,2),(3,7)A B C -

则AB ==AC ==

BC ==

所以222

cos

2AB AC BC

A A

B A

C +-===?

则sin A ===

所以11sin 622ABC S AB AC A =??== 故答案为：6

【点睛】

本题考查两点间的距离公式，余弦定理求角，同角关系和求三角形的面积公式，属于基础题. 4．1- 【分析】

根据公式化简整理即可.

【详解】

解：cos 2sin 2cos 2cos3sin 2sin3cos5cos 1sin3cos3x x x x x x x x x π=-===-，

故答案为：1-.

【点睛】

考查行列式的运算；基础题.

5．2-

【分析】

根据两直线重合的条件，求得m 的

【详解】

依题意二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=??++=?

有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由41m m ?=?解得2m =或2m =-.

当2m =时，二元一次方程组为42020220220x y x y x y x y +=+=?????++=++=??

，两直线不重合，故2m =不符合题意.

当2m =-时，二元一次方程组为4240220220220x y x y x y x y -+=-+=?????-+-=-+=??

，两直线重合，符合题意.

综上所述，m 的值为2-.

故答案为：2-

【点睛】

本小题主要考查二元一次方程组有无穷多组解的条件，属于基础题.

6．112

2331

11a b a b a b - 【分析】

根据三阶行列式的计算公式，求得其三阶行列式.

【详解】

依题意，122313122313a b a b a b b a b a b a ++---

()()231213231312111111a b a b b a b a a b b a ?+-=?+???-??-?-????-

112233

1

11a b a b a b =-. 故答案为：112

2331

11

a b a b a b - 【点睛】

本小题主要考查三阶行列式的计算，属于基础题.

7．1

【分析】

根据行列式的运算性质和三角函数的恒等变换，化简得22cos sin cos 2y x x x =-=，结合余弦函数的性质，即可求解

【详解】 根据行列式的运算性质，可得222211

=cos sin cos 2sin cos y x x x x x =-=

又由[]

cos21,1x ∈-，所以函数的最大值为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查了行列式的运算性质，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合余弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8．()()()z y y x z x ---

【分析】

根据三阶行列式的计算方法，计算出所求结果.

【详解】

原式222222111111y z z x x y z y x z y x =??+??+??-??-??-?? ()()()222yz z y x z y x z y =-+---

()()()()2yz z y x z y x z y z y =-+--+-

()()2z y yz x xz xy =-+--

()()()z y y x z x =---

故答案为：()()()z y y x z x ---

【点睛】

本小题主要考查三阶行列式的计算，属于基础题.

9．6 8

【分析】

利用矩阵与矩阵的乘法原则进行，先计算111222111AB -?? ?==- ? ?-??

，再计算

14()28214a a B C a A -?? ?== ?-?

-??与已知比较得解.

【详解】

121A ?? ?∴= ? ???，(111)B =-,410C a ?? ?= ? ???

11112(111)2221111AB -???? ? ?∴=-=- ? ? ? ?-????

，

2821111414()222111410a a B a a A C --???-??? ??? ?∴-=-= ??? ? ??? ?-??????

又()168b AB C ?? ?= ? ???

1428216148a b a a -=??∴-=??-=?

，6{8a b =∴= 故答案为：6；8

【点睛】

本题考查矩阵与矩阵的乘法.矩阵与矩阵的乘法运算规则

(1) 行数与（左矩阵）相同，列数与（右矩阵）相同，相乘才有意义

(2)ij C 由A 的第i 行元素与B 的第j 列元素对应相乘，再取乘积之和

10．32?? ???

y x = 【分析】

根据a b x ax by c d y cx dy +??????= ??? ?+??????

即可求解,由几何意义可知对称情况. 【详解】

根据矩阵对向量的变换可得

201103?? ????? ???021*******?+?????== ? ??+?????,它的几何意义是向量23?? ???

经过矩阵A 变换得到的向量与原向量关于y x =对称.

故答案为：32?? ???

；y x =. 【点睛】

本题考查矩阵与向量乘法的运算及其意义，考查计算能力，属于基础题.

11．A

【分析】

分别判断充分性和必要性，判断得到答案.

【详解】

三阶行列式的两行成比例，通过线性变换可以让某一行全为0，则行列式的值为零，充分性； 三阶行列式的值为零，行列式的两行不一定成比例，比如：111

121141

，非必要.

故选：A

【点睛】

本题考查了充分非必要条件，意在考查学生的推断能力.

12．D

【分析】

由矩阵的乘法运算法则先求出3

101x ?? ???

，再由矩阵相等求出x 的值.

【详解】 3111112113110101010101010101x x x x x x x =????????????????=== ? ????? ??? ? ?????????????????

所以31x =，得13

x =

故选：D

【点睛】

本题考查矩阵的乘法运算和根据矩阵相等求参数，属于基础题.

13．B

【分析】 利用行列式的计算规则进行求解，先化简1

11D a b c d e f =，再化简222222a

b c d e f

，可得结果.

【详解】 因为1

110D a b c k d

e f ==≠， 所以111b c a c a b k bf ec af cd ae bd e f d f d e =?

+?+?=-+-+-；

所以 2

22222a

b c d e f =222222222b c a c a

b e f d f d e

?+?+?()()()4444bf ec af cd ae bd k =-+-+-=，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查行列式的计算，明确行列式的计算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

14．B

【分析】

根据矩阵的运算规则，矩阵满足加法交换律，数乘矩阵交换律、分配律，不满足矩阵乘法的交换律，即可选出答案.

【详解】

根据矩阵的运算规则，矩阵满足加法交换律，A 正确；数乘矩阵交换律、分配律，故CD 正确；不满足矩阵乘法的交换律，故B 错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩阵的运算规则，属于容易题.

15．（1）18250A B --??-= ??? （2）01525AB ??= ?--??

（3）1106120AC -??= ?--?? 【分析】

（1）根据矩阵加减运算法则求解；

（2）根据矩阵乘法运算法则求解；

（3）根据矩阵乘法运算法则求解.

【详解】

（1）32253210182103010605042A B --??????????-=-= ? ? ? ?- ?----????????=??

； （2）3225322(3)3520

0151030120(3)

150025AB

； （3） 32120312(1)3222302(3)=10123(1)10(1)(1)202(1)00(3)AC ?+?-?+??+?-??????= ??? ?----?+?--?+?-?+?-??????

1106120-??= ?--??

【点睛】

本题考查矩阵加减运算以及乘法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．1,12a ??∈- ???

【分析】

对a 进行分类讨论， 当12

a =-时，该二元一次方程组明显无解， 当12a ≠-时，利用行列式可求得，232213321a a x a a

y a ?++=??+?-?=?+?

，

然后，利用0,0x y >>，可得23202133021a a a a a ?++>??+?-?>?+?

然后，求解该不等式组即可求出a 的取值范围.

【详解】

11221

a a =--- 当12a =-

时，该二元一次方程组明显无解， 当12

a ≠-时， 由已知得，2231x ay x y a +=??-=+?，利用行列式得到2231132

12121122313312121a a a a x a a a a y a a ??+-++?==?+?-????+-==?+??-?

， 所以

232213321a a x a a

y a ?++=??+?-?=?+?

，由于,x y 的二元一次方程组2,231x ay x y a +=??-=+?有唯一一组正解， 故有23202133021

a a a a a ?++>??+?-?>?+?，化简得()()221320(21)(1)0

a a a a a ?+++>??+-，

故再次整理不等式组可得，210(21)(1)0

a a a +>??+-

【点睛】

本题考查利用行列式解二元一次方程组，以及解二元一次不等式方程组的问题，属于中档题.

17．10711787x y z ?=???=-???=??

. 【分析】

写出方程组的增广矩阵，然后通过矩阵变换求方程组的解.

【详解】

111111111111511240035101332313013514160033?? ????? ? ? ? ?-→→ ? ? ? ? ?---- ?????-- ???

1101101001111775

11111010100103377888001001001777??????- ? ? ? ? ? ? ? ? ?→-→- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????

∴原方程组的解为10711787x y z ?=???=-???=??

. 【点睛】

本题考查用矩阵变换的方法解方程组，利用矩阵变换解线性方程组的一般过程为：写出方程组的增广矩阵，通过矩阵变换使系数矩阵变成单位矩阵，则增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解；考查运算求解能力，是基础题.

18．111222333a b c A a b c a b c '?? ?= ? ???

；()()()123322133131221||A a b c b c a bc b c a bc b c =---+-；()()()123322133131221A a b b b c a b c b c a b c b c '=---+-； ||A A '=

【分析】

根据转置矩阵的定义即可写出A 的转置矩阵A '，根据行列式的公式计算即可得出||A ，A '

进而得出关系．

【详解】 A 的转置矩阵111222333a b c A a b c a b c '?? ?= ? ???，231312123231312

||b b b b b b A a a a c c c c c c =-+=()()()123322133131221a b c b c a b c b c a b c b c ---+-．

()()()22111112312332213313122133332

2b c b c b c A a a a a b b b c a b c b c a b c b c b c b c b c '=-+=---+-．由上面计算知，||A A '=

【点睛】

本题考查根据已知转置矩阵定义求转置矩阵，考查三阶行列式的计算，属于基础题. 19．见解析

【分析】

根据向量共线的坐标公式以及行列式的运算性质证明即可.

【详解】

因为()2121,AB x x y y =--，()3131,AC x x y y =--

所以,,A B C 三点共线

()()()()()213121312323//AB AC x x y y y y x x x y y x ??--=--?-()()11221111122131132233332233100101

x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+-=?

+-=?= 【点睛】

本题主要考查了行列式的初步应用以及由坐标解决三点共线问题，属于中档题.