江西省宜春市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含解析

江西省宜春市2017-2018学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 计算=（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：
本题选择B选项.
2. 在等比数列中，则（）
A. 16
B. 16或－16
C. 32
D. 32或－32
【答案】A
【解析】在等比数列中，,所以.
=16，故选A.
3. 已知则=（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则：，解得： .
本题选择D选项.
4. 正项数列中，，则（）
A. 16
B. 8
C. 2
D. 4
【答案】D
【解析】试题分析：由题意,数列是以1为首项,公差为3的等差数列,所以, 故选D.
考点：等差数列.
5. 如图所示，在△ABC中，若，则=( )
A. B. C. ...
D. E.
【答案】C
【解析】因为
所以由已知，得
化简.
故选C.
6. 《张丘建算经》“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同。

已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）
A.尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺
【答案】B
【解析】试题分析：由题可知女子每天织布尺数呈等差数列，设为，首项为，，可得
，解之得.
考点：等差数列的性质与应用.
7. 已知两点，为坐标原点，点在第二象限，且，设向
，则实数=（）
A. －1
B. 2
C. 1
D. －2
【答案】C
【解析】；
即C(λ−2,λ),又∠AOC=所以：
tan，解得λ=1.
故选C.
8. 已知数列满足，则前6项和是（）
A. 16
B. 20
C. 33
D. 120
【答案】B
【解析】∵，
∴a2=2a1=2，a3=a2+1=2+1=3，a4=2a3=6，a5=a4+1=7，a6=2a5=14
∴其前6项之和是1+2+3+6+7+14=33
故选C.
9. 已知点在△ABC所在平面内，且，，且
，则点依次是△ABC的（）
A. 重心，外心，垂心
B. 重心，外心，内心
C. 外心，重心，垂心
D. 外心，重心，内心
【答案】C
【解析】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C....
考点：向量在几何中的应用.
10. 已知函数的一部分图象如下图所示，如果则（）
A. A=4
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图根据函数的最大值和最小值得求得.
函数的周期为，即.
当时取最大值，即，
，
所以
综上所述：答案为D.
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
11. 已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别是，若则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：
考点：正弦定理与余弦定理
点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。

12. 定义为个正数······的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，且则···+等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得的前项和
...
，,故选C.
考点：与的关系；裂项相消数列求和.
【易错点睛】本题主要考查了的关系；裂项相消数列求和等知识.用裂项相消法求和应注意的问题:利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．本题难度中等.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知向量的夹角为，且，则=_______.
【答案】
【解析】试题分析：的夹角，，，
，.
考点：向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数
量积来解决．列出方程组求解未知数.
14. 若___________。

【答案】
【解析】∵cosα=，
∴.
故答案为：.
15. 已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则
___________。

【答案】63
考点：1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．
16. 右表给出一个＂三角形数阵＂，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，记第行第列的数为，则__________.
【答案】
【解析】由题意，a11=，
∵每一列成等差数列，
∴，
∵从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，
∴.
三、解答题（共70分）
17. 已知
（1）若的夹角为，求;
（2）若向量互相垂直，求的值。

...
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由，结合已知条件利用向量的数量积公式能求出结果．
（2）由向量互相垂直的性质得，由此能求出k的值．
试题解析：
（1）∵.
∴
（2）由题意可得：
即－
∴
∴
点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
18. 已知向量与互相垂直，其中.
（1）求和的值;
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ） (1)∵，∴＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝，
又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝. 6分
（Ⅱ）∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝cosφ＋2sinφ＝3cosφ，
∴cosφ＝sinφ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
∵0<φ<，∴cosφ＝. 12分
考点：向量坐标运算位置关系及三角函数公式
点评：若则，用到的三角函数公式有，
19. 等差数列中，.
（1）求的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意，根据等差数列的通项公式，列出关于首项，公差的方程组，再解方程组，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，根据其通项公式特点，可利用裂项相消法进行运算即可.
试题解析：（1）设等差数列的公差为，则.
因为，所以，...
，所以，
解得，所以的通项公式为.
（2），
所以.
20. 如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长为80米，设在同一水平面上，从看的仰角分别为.
（1）若，求的长。

（2）设计中是铅垂方向（垂直于），若要求，问的长至多为多少？
【答案】（1）；（2）的长至多约为米.
【解析】试题分析：（1）利用正弦定理求解即可；
（2）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．
试题解析：
（1）∵
∴
∵
∴.
（2）∵
∴
解得∴的长至多约为米。

21. 已知函数.
（1）求的单调递增区间;
（2）在△ABC中，三内角A,B,C的对边分别为,已知成等差数列。

且，求的值.
【答案】（1）的单调递增区间为；（2）.
【解析】试题分析：（1）由函数，利用三角函数的二倍角公式，以及角的和差的正余弦公式，即可化为一个角的三角函数的形式，再根据三角函数的单调递增区
间求出相应的x的取值范围.
（2）
试题解析：（1）
由得，故
的单调递增区间是
（2）
于是，故，由成等差数列得：，...
由得，由余弦定理得，，于是
考点：1.三角函数变换.2.三角函数性质.3.三角形.4.平面向量.5.等差数列.
22. 已知等差数列的前项和为，且，数列满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）设是数列的前项和，，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由。

【答案】（1），；（2）存在最大值为.
【解析】试题分析：（1）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项，由得为等比数列，应用等比数列的通项即可求出；（2）运用错位相减法求出前n项和，化简，运用相邻两项的差，判断的增减性，从而判断是否存在最大值．
试题解析：
（1）由
得
∵∴
∴
∴
∵
∴
∴
由题意知
∴
∴
（2）由（1）得
.
∴
又∵
∴.
. 当时，
当时，
又∵
∴存在最大值为....。