2019-2020年高考最后一卷(押题卷)理科数学(第五模拟)含解析

2019-2020年高考最后一卷（押题卷）理科数学（第五模拟）含解析一、选择题：共10题1．已知集合A={x|y=ln(x-3)},集合B={y|y=2x,x∈A},则A∩(∁R B)=A.(3,8)B.(3,8]C.(8,+∞)D.(3,+∞)【答案】B【解析】本题考查集合的运算.求出集合A,B后按照集合的运算法则求解即可.集合A=(3,+∞),集合B=(8,+∞),∁R B=(-∞,8],所以A∩(∁R B)=(3,8].2．已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的运算、复数的几何意义等知识,考查考生基本的运算能力.∵i2015=i4×503+3=i3=-i,∴z=-i,∴+i,其在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.3．已知a,b是实数,则“a>0或b>0”是“a+b>0且>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查充要关系的判断.解题时,利用充分条件、必要条件的定义,从两个方面进行判断.若“a>0或b>0”,则不一定有“a+b>0且>0”成立,如取a=1,b=-1,则a+b=0,且=-1;反之,若“a+b>0且>0”,则a>0且b>0,从而“a>0或b>0”成立.综上,选B.4．已知直线3x+ay=0(a>0)被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则a的值为A. B. C.2 D.2【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.解题时,利用点到直线的距离公式构建方程求a.由已知条件可知,圆的半径为2,又直线被圆所截得的弦长为2,故圆心到直线的距离为,即,得a=.5．若关于x的不等式|a-1|≥|2x+1|+|2x-3|的解集非空,则实数a的取值范围为A.(-∞,-3]∪[5,+∞)B.(-∞,-3)∪(5,+∞)C.[-3,5]D.(-3,5)【答案】A【解析】本题考查绝对值不等式的性质及其解法,考查考生的运算求解能力.只要|a-1|不小于函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|的最小值即可.又|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,所以|a-1|≥4,解得a≤-3或a≥5.6．函数f(x)=ln||的图象可能是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查函数的图象与性质,考查数形结合思想.易知函数f(x)是偶函数,故其图象关于y轴对称,排除选项C.函数的定义域是x≠0,排除选项D.||=||=|1+|>1,所以f(x)>0,排除选项B.故选A.7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点M是BB1的中点,则三棱锥C1-AMC的体积为A. B. C.2 D.2【答案】A【解析】本题考查线面垂直的证明、三角形的面积公式、三棱锥的体积公式,考查考生的空间想象能力.由题目条件知选取△MCC1(或△ACC1)作为三棱锥的底面时,计算该三棱锥的体积更为简单.取BC的中点D,连接AD.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,所以AD⊥BC,又BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD,又BB1∩BC=B,所以AD⊥平面BCC1B1,即AD⊥平面MCC1,所以点A到平面MCC1的距离就是AD.在正三角形ABC中,AB=2,所以AD=,又AA1=3,点M是BB1的中点,所以×2×3=3,所以×3×.8．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则g(x)=f(x)+f(+x)的单调递增区间是A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)C.[kπ-,kπ+](k∈Z)D.[kπ+,kπ+](k∈Z)【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想.根据图象可得A=,-,解得ω=2.因为,故sin(2×+φ)=,即sin(2×+φ)=1.由于-π<φ<π,所以+φ<,即+φ=,得φ=-,所以f(x)=sin(2x-),所以g(x)=sin(2x-)+sin(+2x-)=sin(2x-)+cos(2x-)=sin(2x-+)=sin(2x-).由不等式2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函数g(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).9．已知函数f(x)=e x-1+4x-4,g(x)=ln x-,若f(x1)=g(x2)=0,则A.0<g(x1)<f(x2)B.f(x2)<g(x1)<0C.f(x2)<0<g(x1)D.g(x1)<0<f(x2)【答案】D【解析】易知f(x)=e x-1+4x-4,g(x)=ln x-在各自的定义域内是增函数,而f(0)=e-1+0-4=-4<0,f(1)=e0+4×1-4=1>0,g(1)=ln 1-=-1<0,g(2)=ln 2-=ln>ln 1=0.又f(x1)=g(x2)=0,所以0<x1<1,1<x2<2,所以f(x2)>f(1)>0,g(x1)<g(1)<0,故g(x1)<0<f(x2).10．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为A. B.2 C. D.2【答案】C【解析】本题考查抛物线的定义及简单几何性质,考查利用基本不等式求最值,余弦定理的应用等知识.先画出图形,作出辅助线,设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线的定义及梯形的中位线得2|MN|=a+b,由题意和余弦定理可得|AB|2=(a+b)2-ab,再根据基本不等式求得|AB|2的取值范围,代入化简即可得到结果.如图,过A、B分别作准线的垂线AQ、BP,垂足分别是Q、P,设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.在△ABF中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2ab cos 120°=a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab,因为ab≤()2,则(a+b)2-ab≥(a+b)2-()2=(a+b)2,即|AB|2≥(a+b)2,当且仅当a=b时等号成立,所以≥=3,则≥,即所求的最小值为.二、填空题：共5题11．执行如图所示的程序框图,则输出的结果是.【答案】173【解析】本题考查程序框图的知识,考查考生的运算求解能力.按照程序逐步计算即可求出结果.第一次循环后,S=1,i=2;第二次循环后,S=5,i=3;第三次循环后,S=32,i=4;第四次循环后,S=48,i=5;第五次循环后,S=173,i=6.故输出的结果为173.12．已知(x+1)(x-2)n的展开式中x的系数为-128,则n=.【答案】6【解析】本题考查二项式定理的简单应用.列出关于n的方程解之即可求出n的值.(x+1)(x-2)n 的展开式中x的系数为(-2)n-1+(-2)n=-128,即n(-2)n-1+(-2)n=-128,验算解得n=6.13．已知在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,点M为AB边上任意一点,则·+·的取值范围是.【答案】[36,64]【解析】本题考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力,考查数形结合思想.可以把向量坐标化后,使用坐标方法求解.显然△ABC是直角三角形,以点C为坐标原点,射线CA、CB 分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系,则A(6,0),B(0,8),设=λ,则+λ=(6,0)+λ(-6,8)=(6-6λ,8λ),其中0≤λ≤1.·+··(+)=(6-6λ,8λ)·(6,8)=36+28λ,因为0≤λ≤1,所以36≤·+·≤64.14．已知x,y满足不等式组若目标函数z=x+3y的最大值的取值范围是[6,10],则k的取值范围是.【答案】[-2,0]【解析】本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想,考查考生分析问题、解决问题的能力.当k>时,不等式组表示的是一个无限区域,根据目标函数的几何意义可知,此时目标函数不存在最大值,故k≤.当<k≤时,不等式组不表示任何区域.当k=时,不等式组表示点(4,0),此时目标函数只取一个值4.当k<时,不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义,可知此时在直线x+y=4与直线kx+y=1的交点B处取得最大值,解方程组得B(,),且目标函数的最大值+3×.由不等式6≤≤10,解得-2≤k≤0.15．对于实数a,b,定义运算“”:ab=.设f(x)=(x-4)(x-4),若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.【答案】(-1,1)∪(2,4)【解析】本题考查分段函数的解析式及图象,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想和分类讨论思想的应用等.根据新定义写出分段函数f(x)的解析式,并将关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)的实数根的个数转化为两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)交点的个数问题进行处理,最后利用数形结合思想和函数与方程思想列出关于实数m的不等式组求解.由题意得,f(x)=(x-4) (x-4)=,画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有四个不同的交点,则或或,得2<m<4或-1<m<1.三、解答题：共6题16．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=120°,a=3.(1)求bc的最大值;(2)若D为BC边上靠近点B的一个三等分点,求AD的取值范围.【答案】(1)根据余弦定理得(3)2=b2+c2-2bc cos 120°,又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时等号成立),所以27≥2bc+bc,所以bc≤9,即bc的最大值为9.(2)如图,由于点D为靠近点B的一个三等分点,故BD=.根据正弦定理,所以AB=6sin C.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B=36sin2C+3-12sin C cos B=36sin2C+3-12sin C cos(60°-C)=36sin2C+3-12sin C(cos C+sin C)=18sin2C-6sin C cos C+3=9(1-cos 2C)-3sin 2C+3=12-3(sin 2C+3cos 2C)=12-6sin(2C+60°).因为在△ABC中,0°<C<60°,0°<2C<120°,所以60°<2C+60°<180°,所以0<sin(2C+60°)≤1,所以12-6≤12-6sin(2C+60°)<12.所以≤AD<,即3-≤AD<2,故AD的取值范围是[3-,2).【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,三角函数的性质等知识.(1)使用余弦定理和基本不等式求解;(2)先将AD用角C的正弦函数表示,再利用三角函数的性质即得结果.【备注】解三角形试题求解的关键是使用正弦定理、余弦定理得出三角形中边和角满足的方程,在三角形中处理取值范围问题时,要注意使用变量表达求解目标,然后利用三角函数的性质求解.17．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有40人,不超过100 km/h的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过100 km/h 的有20人,不超过100 km/h的有25人.(1)完成下面2×2列联表,并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”?附:K2=,其中n=a+b+c+d.(2)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人,求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率;(3)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆数为X,求X的分布列和数学期望EX.【答案】(1)完成的2×2列联表如下:K2=≈8.249>7.879,所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”.(2)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人,从中随机抽取2人的方法总数为,记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A,则事件A所包含的基本事件数为,所以所求的概率P(A)=.(3)根据样本估计总体的思想,从总体中任取1辆车,平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为,故X~B(3,).所以P(X=0)=()0()3=;P(X=1)=()()2=;P(X=2)=()2()=;P(X=3)=()3()0=.所以X的分布列为EX=0×+1×+2×+3×(或EX=3×).【解析】本题主要考查独立性检验、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望等,考查考生的运算求解能力和应用意识.(1)计算K2的值后与临界值比较即可;(2)属于古典概型,利用组合数求基本事件总数和所求的随机事件含有的基本事件个数后,使用古典概型的概率计算公式求解;(3)首先分析得到X服从二项分布,然后按照相关公式计算即可.【备注】离散型随机变量及其分布是高中概率与统计的核心内容,也是高考考查的重点,备考中要通过各类练习,熟练掌握其解法.18．如图1,已知△ABC为正三角形,D为AB的中点,AE=A C.现沿DE将△ADE折起,折起过程中点A仍然记作点A,使得平面ADE⊥平面BCED,如图2.图1 图2(1)证明:AD⊥CE;(2)求平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的余弦值.【答案】(1)在正三角形ABC中,取AC的中点G,连接BG,此时E为AG的中点,所以DE∥BG,因为BG⊥AC,所以DE⊥CE,DE⊥AE.在折起的图形中,因为平面ADE⊥平面BCED,所以AE⊥平面BCED,所以AE⊥CE.因为AE∩DE=E,所以CE⊥平面ADE.因为AD⊂平面ADE,所以AD⊥CE.(2)由(1)的证明可知ED,EC,EA两两垂直,以点E为坐标原点,射线ED,EC,EA的正方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设正三角形ABC的边长为4,则A(0,0,1),B(2,1,0),D(,0,0),=(2,1,-1),=(,1,0).设平面ABD的法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0,即2x+y-z=0,x+y=0,令x=,得y=-3,z=3,所以平面ABD的一个法向量为m=(,-3,3).显然n=(1,0,0)为平面ACE的一个法向量.设平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的大小为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=.所以平面ABD与平面ACE所成角(锐角)的余弦值为.【解析】本题考查空间垂直关系的证明、二面角的计算,考查空间向量在立体几何中的应用,考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(1)根据折起后不变的垂直关系和平面ADE⊥平面BCED,证明CE⊥平面ADE,进而可得结论;(2)建立空间直角坐标系后使用空间向量法求解.【备注】立体几何解答题重点考查的是空间位置关系的证明和空间角的求解,在空间位置关系的证明中一般采用几何法,空间角的求解一般使用向量法,复习备考中注意立体几何解答题的这种考查方式,通过不同类型的题目,熟练掌握其解法.19．已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=(+a n),a n>0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,数列{b n}的前n项和为T n,则是否存在正整数m,使得m≤T n<m+3对任意的正整数n 恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)S n=(+a n),即+a n-2S n=0,①当n≥2时,S n-1=(+a n-1),即+a n-1-2S n-1=0,②①-②得(a n-a n-1)(a n+a n-1)+a n-a n-1-2a n=0,(a n+a n-1)(a n-a n-1-1)=0,∵a n>0,∴a n-a n-1=1,当n=1时,+a1-2a1=0,∵a n>0,∴a1=1,∴a n=1+(n-1)=n.(2)由(1)知b n=,所以T n=1×()0+2×()1+…+n()n-1,③T n=1×()1+2×()2+…+n()n,④③-④得T n=1++…+()n-1-n()n=2[1-()n]-n()n,故T n=4[1-()n]-2n()n=4-4×()n-2n()n=4-(2n+4)()n.易知T n<4,∵T n+1-T n=4-(2n+6)()n+1-4+(2n+4)()n=(n+1)()n>0,∴T n≥T1=1,故存在正整数m=1满足题意.【解析】本题考查等差数列的通项公式、错位相减法求和等知识,考查运算求解能力,属于中等难度题.(1)先判断{a n}为等差数列,再求通项公式;(2)先利用错位相减法求和,再求出T n的最值,最后判定m存在.【备注】数列是山东高考试卷的一个难点,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质,递推数列,数列求和,简单的数列不等式的证明等,考生要重视教材和基础知识、基本方法、基本技能,重视考纲的导向作用.20．已知椭圆Ω:+=1(a>b>0)与双曲线Ε:x2-y2=1有共同的焦点,且双曲线Ε的一条渐近线被椭圆Ω截得的线段长为.(1)求椭圆Ω的方程;(2)设B为椭圆Ω的上顶点,e为椭圆Ω的离心率,直线l与椭圆Ω交于不同的两点P,Q(均异于点B),且BP,BQ的斜率之积等于e2,求直线l的斜率的取值范围.【答案】(1)双曲线Ε的焦点坐标为(±,0),一条渐近线方程为y=x,设椭圆Ω的半焦距为c,则c=.把y=x代入椭圆Ω的方程,得x2=,根据已知,得x2+y2=()2,因为y=x,所以x2=,即,即4a2b2=3(a2+b2),将a2=b2+2代入上式,得2b4+b2-3=0,即(b2-1)(2b2+3)=0,因为2b2+3>0,所以b2=1,a2=3,所以椭圆Ω的方程为+y2=1.(2)由(1)知B(0,1),e=.因为BP,BQ的斜率之积等于e2=>0,故直线l的斜率不等于零.设直线l的方程为x=ty+m,代入椭圆方程,得(3+t2)y2+2tmy+m2-3=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=.k BP·k BQ=·,即3(y1-1)(y2-1)=2x1x2=2(ty1+m)(ty2+m),整理得(2t2-3)y1y2+(2tm+3)(y1+y2)+2m2-3=0,即(2t2-3)·-(2tm+3)·+2m2-3=0,整理得3t2+2tm-m2=0,即(t+m)(3t-m)=0,所以m=-t或m=3t.当m=-t时,直线l的方程为x=ty-t,该直线过点B,不合题意,所以m=3t,直线l的方程为x=ty+3t.因为直线l与椭圆Ω交于不同的两点,所以方程(3+t2)y2+2tmy+m2-3=0有两个不相等的实根,所以Δ=(2tm)2-4(3+t2)(m2-3)=-12(m2-t2-3)=-12(8t2-3)>0,t2<,所以直线l的斜率k满足k2=,即k>或k<-,即直线l的斜率的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).【解析】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识,考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.(1)根据条件列出关于a2,b2的方程组,解方程组求出a2,b2,即得椭圆Ω的方程;(2)设出直线l的方程,联立直线与椭圆Ω的方程,利用根与系数的关系求解.21．已知函数f(x)=ln x+(k∈R).(1)若f(x)存在极小值h(k),且不等式h(k)≤ak对f(x)存在极小值的任意k恒成立,求实数a的取值范围;(2)当k>0时,如果存在两个不相等的正数α,β,使得f(α)=f(β),求证:α+β>2k.【答案】(1)f'(x)=-,x>0.当k≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.当k>0时,当0<x<k时,f'(x)<0,当x>k时,f'(x)>0,故f(x)的单调递减区间是(0,k),单调递增区间是(k,+∞),f(x)的极小值为h(k)=f(k)=ln k+1.当k>0时,h(k)≤ak恒成立,即ln k+1≤ak,即a≥恒成立.令φ(k)=,则φ'(k)=,令φ'(k)=0,得k=1,当0<k<1时,φ'(k)>0,φ(k)单调递增,当k>1时,φ'(k)<0,φ(k)单调递减,故k=1为φ(k)在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,所以φ(k)max=φ(1)=1,所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).(2)由(1)知,当k>0时,f(x)在(0,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,设α<β,则一定有0<α<k<β.构造函数g(x)=f(x)-f(2k-x)=ln x+-ln (2k-x)-,0<x<k,g'(x)=+---.因为0<x<k,所以g'(x)<0,即g(x)在(0,k)上单调递减,又f(k)-f(2k-k)=0,所以g(x)>0,所以f(x)>f(2k-x).因为0<α<k,所以f(α)>f(2k-α),因为f(α)=f(β),所以f(β)>f(2k-α),因为0<α<k,所以2k-α>k,又函数f(x)在(k,+∞)上单调递增,所以β>2k-α,所以α+β>2k.【解析】本题考查导数及其应用,考查运算求解能力、逻辑推理能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等.(1)求出k在何种范围内取值时,f(x)有极小值,然后使用分离参数的方法把问题转化为求一个关于k的函数的最值;(2)即证明β>2k-α,利用(1)的结论得出α,β的范围,构造函数g(x)=f(x)-f(2k-x),研究该函数的性质即可.【备注】函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点与热点,导数与不等式等结合的题目成为整套试卷的压轴题,并且其难度仍有上升趋势,因而预测2016年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的背景和结构形式不会太复杂,因而本卷试图在函数表达式简单的基础上加大问题设置上的变化,在不增加考生理解题意难度的基础上,力争考查考生更多的知识与能力.。