常用载荷谱外推算法概述
大物实验论文-外推法在大学物理实验中的运用
外推法在大学物理实验中的运用*****大学**********摘要: 介绍大学物理实验设计中的重要方法——外推法的介绍及在科学实验研究中的意义, 以落球法测量液体的粘滞系数、半导体PN结的物理特性研究、金属电子逸出功与电子荷质比的测量三个实验为例说明外推法在大学物理实验设计中的应用关键词: 实验设计;外推法; 粘滞系数测量；金属电子逸出功测量Application of out-extend system in physical experiment-designAbstract: The important method in physical experiment-design—The introduce of out-extend system and it’s meanings in scientific studies of experiment s are in troduced. The applications of Out-extend system in exploratory experiment-design of physics , the exp erience of tungster’s out coming function are interpreted.Key words: experiment-design; out-extend system; viscosity measurement;leat squares methods引言：外推法（Trendextrapolation）是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称，用于科技、经济和社会发展的预测，是情报研究法体系的重要部分。
外推法(extrapolate) 通俗地说，它是一种很好的近似计算方法．对于已求得的低精度近似值，只要作几次最简单的四则运算，便立刻得到高精度的近似值．更简单地说，它是一种把低精度近似值加工到高精度的近似值的一种方法，简称精加工．线性外推法线性趋势外推法是最简单的外推法。
正弦载荷谱
正弦载荷谱：原理、应用与优化一、引言正弦载荷谱是一种描述交变载荷的数学模型，广泛应用于工程领域。
它以正弦函数为基础，通过调整振幅、频率和相位等参数，模拟各种实际工况下的交变载荷。
正弦载荷谱对于研究材料疲劳、结构强度和设备寿命等方面具有重要意义。
本文将详细介绍正弦载荷谱的原理、应用以及优化方法。
二、正弦载荷谱的基本原理正弦载荷谱以正弦函数为基础，描述交变载荷随时间的变化规律。
其数学表达式为：F(t) = F_mean + F_amp * sin(2πft + φ)其中，F_mean为平均载荷，F_amp为载荷振幅，f为频率，φ为相位角。
根据实际需要，可以调整这些参数来模拟不同的交变载荷工况。
三、正弦载荷谱在工程中的应用1. 材料疲劳研究通过正弦载荷谱，可以对材料进行疲劳试验，研究其在交变载荷作用下的疲劳性能。
这对于航空、汽车等行业的材料选择和结构设计具有重要意义。
2. 结构强度分析正弦载荷谱可用于分析结构在交变载荷作用下的强度。
通过对结构进行有限元分析，可以预测其在实际工作条件下的应力分布和变形情况，从而评估结构的可靠性。
3. 设备寿命预测根据正弦载荷谱，可以对设备进行寿命预测。
通过分析设备在交变载荷作用下的损伤累积过程，可以估算其使用寿命，为设备维护和更换提供依据。
四、正弦载荷谱的优化方法为了更好地模拟实际工况，需要对正弦载荷谱进行优化。
常用的优化方法包括：1. 多段正弦载荷谱拟合通过将实际载荷历程分解为多个正弦载荷谱的组合，可以更准确地模拟复杂工况。
这种方法需要根据实际数据进行拟合，以确定各段正弦载荷谱的参数。
2. 幅值调制与频率调制为了模拟实际工况中的非平稳过程，可以采用幅值调制和频率调制技术对正弦载荷谱进行优化。
通过调整振幅和频率随时间的变化规律，可以更好地反映实际载荷的动态特性。
3. 随机过程模拟在某些情况下，实际载荷可能具有随机性。
为了模拟这类工况，可以将正弦载荷谱与随机过程相结合，生成随机正弦载荷谱。
载荷谱数据处理方法
载荷谱数据处理方法载荷谱是指一段时间内物体所承受的力、压力、振动或其他形式的载荷的统计特性。
在工程领域中，载荷谱数据处理是一项重要的任务，它有助于评估和预测材料的耐久性、结构的可靠性以及设备的寿命。
本文将介绍一些常见的载荷谱数据处理方法。
首先，载荷谱数据的收集是处理的第一步。
可以通过传感器或仪器来采集实际工况中的载荷数据。
采集到的数据可以是时间域数据，即载荷随时间变化的曲线；也可以是频域数据，即载荷在不同频率上的分布。
在处理时间域数据时，最常用的方法是统计分析。
主要包括平均值、方差、标准差、峰值等统计量的计算。
通过对载荷谱数据进行统计分析，可以获得载荷的统计特性，例如均值和标准差可以反映载荷的平均水平和波动程度。
另一个重要的处理方法是周期性分析。
周期性分析主要通过傅里叶变换将时间域数据转换为频域数据。
频域数据可以提供载荷在不同频率上的成分和能量分布情况。
常用的周期性分析方法包括傅里叶变换、功率谱密度函数和自相关函数等。
对于频域数据，常用的处理方法有滤波和降阶。
由于实际工况中的载荷往往包含大量的噪声和杂波，因此需要对频域数据进行滤波处理，以提取感兴趣的载荷成分。
常用的滤波方法包括高通滤波、低通滤波和带通滤波等。
另一个常见的处理方法是降阶。
降阶是指通过分析载荷谱数据，将其表示为少量的载荷模态或载荷历程。
通过降阶处理，可以减少数据的维度，简化数据分析的计算量，并提取载荷谱中的主要特征。
此外，还可以将载荷谱数据进行模式识别和分类。
模式识别是指通过对载荷谱数据进行特征提取和分类，将不同类型的载荷进行识别和区分。
常用的模式识别方法包括主成分分析、聚类分析和支持向量机等。
最后，载荷谱数据的可视化也是一种常用的处理方法。
通过将载荷谱数据绘制成图表，可以直观地展示载荷的变化规律和分布特征。
常用的可视化方法包括时间域波形图、频域功率谱图、雨流计数图等。
综上所述，载荷谱数据处理是评估和预测材料、结构和设备性能的关键环节。
载荷谱
载荷谱载荷谱是整机结构或零部件所承受的典型载荷时间历程，经数理统计处理后所得到的表示载荷大小与出现频次之间关系的图形、表格、矩阵和其他概率特征值的统称。
机械结构部件多是在交变载荷作用下服役，因为载荷的变化，结构材料内部的应力应变也在发生变化，从而导致裂纹的产生、扩张，发生断裂，这个过程就是疲劳失效，大多数机械部件的失效都是疲劳失效。
载荷谱的研究对疲劳失效有很大作用。
载荷谱是进行可靠性设计的依据，是零部件结构定寿、延寿和动力学仿真、有限元分析等计算机辅助设计的先决条件，也是作为结构疲劳试验、强化试验、加速寿命试验和可靠性试验的基础。
一般机械产品，其载荷谱的编制流程如下：(1) 载荷样本数据的获取载荷数据一般通过产品现场工作时实测的途径来获取。
(2) 平稳性检验通过实测方法获得的载荷数据往往是一种随机过程，而在随机过程分析中，一组数据是否为平稳和历态的，对其进行统计处理所采用的方法是不相同的，因此需对试验获得的载荷数据进行平稳性分析。
(3) 无效幅值的去除测试获得的载荷数据中有许多载荷值小的循环，将不能构成疲劳损伤的小量载荷循环去除即为无效幅值的去除。
通过对无效幅值进行压缩和去除可以缩短试验时间，同时降低试验费用。
(4)载荷循环的统计计数将载荷-时间历程转化为系列载荷循环的过程叫做“计数法”。
在进行疲劳寿命分析时，常常以载荷-时间历程的损伤量为依据，对统计计数结果进行加速编辑。
(5) 总体分布的估计通过雨流计数法对随机载荷进行计数得到的是载荷均值和载荷幅值，之后进行统计处理得到二元（均值和幅值）随机变量的联合分布矩阵，采用二维（幅值和均值）函数进行分布参数的估计。
分布函数获得后，利用假设检验对幅值和均值分布函数进行检验，最后分析二者的相关性，确定最优分布模型。
不同的机械产品，其载荷谱的采集及编制方法均有所不同。
在对汽车零部件疲劳失效研究中，通常采集关键部位（如稳定连接杆、横拉杆等）的应变载荷和加速度信号作为载荷数据。
载荷谱外推方法的对比_刘岩
试验研究现代制造工程(Modern Manufacturing Engineering)2011年第11期载荷谱外推方法的对比*刘岩，张喜逢，王振雨，刘庆松，王继新(吉林大学机械科学与工程学院，长春130025)摘要:载荷谱的外推是载荷谱编制过程中的关键，外推的准确度直接影响零/部件疲劳寿命的预测精度。
通过综述参数法外推、雨流矩阵外推、时域外推和按里程分位点外推四种载荷谱外推方法，分析每种方法的应用条件及在实际外推过程中的关键环节，指出每种方法在应用中的优缺点，对载荷谱外推方法的使用提供参考。
关键词:载荷谱;外推;参数法;雨流矩阵;时域法中图分类号:TH16文献标志码:A文章编号:1671—3133(2011)11—0008—04Contrast of extrapolations in compiling load spectrumLIU Yan，ZHANG Xi-feng，WANG Zhen-yu，LIU Qing-song，WANG Ji-xin(College of Mechanical Science and Engineering，Jilin University，Changchun130025，China) Abstract:Load extrapolation is a key component in the process of compiling load spectrum．The accuracy of extrapolation is deci-sive importance and a dominant element for the accuracy of fatigue life prediction．Presents four extrapolation methods consisting of parametric method，rain-flow matrix extrapolation，time-domain extrapolation，duration and percentile extrapolation，analyzes ap-plication conditions and key segment in actual process of each method respectively，and also indicates their advantages and disad-vantages by analyzing the process of each method in application．According to the compared results，the appropriate load spectrum extrapolation method could be chosen．Key words:load spectrum;extrapolation;parametric method;rain-flow matrix;time-domain method目前载荷谱已经在飞机、坦克、桥梁、车辆及风力发电等领域得到广泛应用。
数值计算中的外推算法
数值计算中的外推算法在数值计算中，外推算法是一种递归的数值积分方法，它可以通过对多个不同步长的数值解进行线性组合来提高积分结果的精度。
外推算法在航天、地球科学等领域中有着广泛的应用，同时也是许多现代数学工具和库中常见的优化方法。
一、基本原理外推算法的基本思路是通过逐步增加步长，依次得到一系列逐渐精细的数值解，并利用这些数值解之间的关系进行线性组合以获得更高阶的精度。
设f(x)是要计算的积分函数，T(ℎ)是仅使用步长ℎ计算出的数值近似，S(ℎ)是更高阶的数值近似。
则可以通过外推算法递推得到更高阶精度：S1(ℎ)=T(ℎ)$S_{j+1}(h) = \\frac{4^jS_j(h/2) - S_{j-1}(h)}{4^j-1}, \\ \\ j \\ge 1$其中，S j(ℎ)表示使用步长ℎ计算的j阶数值近似，递推公式中的分母4j−1用于消除截断误差。
通过不断增加阶数j，可以逐渐提高积分结果的精度，并且使用递推公式计算新的数值解时，可以充分利用之前的计算结果，减少计算量的同时提高精度。
二、数值实现外推算法是一种比较简单的数值积分方法，可以使用各种编程语言轻松实现。
下面给出一个Python实现的例子，演示如何计算积分结果并观察不同步长之间的误差。
import numpy as npdef f(x):# 计算积分函数return np.sin(x)def Trapezoid(h):# 计算当前步长下的积分结果x = np.linspace(0, np.pi/2, int(np.pi/(2*h))+1)y = f(x)return h*(y[0]/2 + np.sum(y[1:-1]) + y[-1]/2)def Extrapolate(h, k):# 递推计算得到更高阶精度的积分结果T = np.zeros(k+1)S = np.zeros(k+1)T[0] = Trapezoid(h)for j in range(k):S[j] = T[j]/(2**(2*j) - 1)T[j+1] = (4**(j+1)*S[j] - T[j])/(4**(j+1) - 1) S[k] = T[k]/(2**(2*k) - 1)return S[k]for h in [np.pi/8, np.pi/16, np.pi/32]:# 比较不同步长下的积分结果print(f'Trapezoid({h}) =', Trapezoid(h))print(f'Extrapolate({h}, 1) =', Extrapolate(h, 1))print(f'Extrapolate({h}, 2) =', Extrapolate(h, 2))print(f'Extrapolate({h}, 3) =', Extrapolate(h, 3))本例中，首先定义了要计算的积分函数f(x)和Trapezoid函数，用于计算当前步长下的积分结果。
基于挡位的汽车传动系载荷谱提取与外推_刘彦龙
在进行目标里程外推之前， 需要对载荷数据进行 滤波、 去零漂、 剔除异常值等操作以提高信噪比。 由于在整车动力系统耐久性试验过程中强化耐久 循环、 动力循环、 高速循环的最终目标里程并不相 同， 而且最终在传动系试验台架进行加载时需要 同时考虑挡位、 扭矩、 转速 3 个因素， 因此需要提 取出每位驾驶员不同循环类型每个挡位的载荷信 息， 以此为处理单元进行后续的载荷频次统计、 载 荷外推、 多级载荷谱编制等。 本研究以 A 驾驶员配载 80% 的一个强化耐久 路循环载荷谱数据为例进行后续处理。 试验时选 择的强化耐久路总长约为 20 km， 完成 1 个循环所 需试验时间约为 50 min。 试验路面种类有卵石 路、 振动路、 变波距路、 井盖路、 斜坡、 大石铺装路、 住宅路等， 行驶速度在 10 ～ 50 km / h， 驱动扭矩变 化范围为 － 750 ～ 1100 N·m。 在进行各挡载荷数 据提取之前， 需要先根据式（ 1 ） 生成这一循环过程 的速比变化曲线， 根据速比变化曲线进行转速、 扭 矩信号的提取。利用 nCode 疲劳分析软件中的数 据处理模块 Glyphworks 对各挡载荷数据中的扭矩 信号进行了提取， 对各数据的衔接采用半正弦方 式连接， 从而使截取的信号较为平滑， 提取结果如 图 2 所示。 λ = πdn 16 ． 7 v （ 1）
由此可知雨流矩阵分位数外推法本质上考察的是不同驾驶者因大幅值载荷差异性导致的构件损伤差异性在对载荷数据进行处理时需要考虑样本内不同驾驶员间在相同载荷水平下载荷循环数的相关性进而对不同驾驶员载荷数据雨流矩阵中不同区域损伤进行量化并运用多维统计分析理论进行损伤分位点的（ 自然科学）
［4 ］ ［1 － 2 ］
法， 以挡位为载荷数据处理单元进行了后续数据 的统计和外推。
外推法在风力发电机载荷计算中的应用
Ｖ ｈ ｕ ｂ
，
可 以得 到 湍流 风 的湍流 强 度跟 风 速 成反 比 。
对 于某 一给 定风 速 ，通过 固定 的随机 程序模 拟
短期 的载荷 响应 规律 ，然 后 ，再 进一 步假设 极 值发 生 在非 常离 散 的点上 ，并 且彼此 间相 互独 立 ，进而
因此 在湍 流风 文件 的生 成 中 ，为 了得到 特定 风速 下 不 同的风 文件 ，在湍 流风模 型定 义 中引 入 了一个 伪 随机 变 量 一 种 子 ，通 过选 取不 同 的种 子 ，便 可 获 得 虽具有 不 同频 域特 『 生，但具 有相 同统计 特性 的湍 流 风 ，详见 参考 文献 ３附 录 Ｂ。
６
式 中 ，曰 一 叶 片个数 ；尺 一 叶 片半 径 （ ｉ ｎ ） ；ｐ 一 空气
对象 近 似值 的方 法 ，称 为外 推法 。该 方法 的基 本
密度 （ ｋ ｇ ／ ｍ ） ；ｃ 一叶素弦长 （ ｍ ） ； 一合 风速 （ ｍ ／ ｓ ）；Ｃ 一 升 力 系 数 ，与 攻 角 有
一
重 技术
的气 流 是三 维 的 ，所 以需 要对 二维 气 动系数 进行 修 正 。对 于 给定 的攻 角 Ｏ ｌ ，修 正后塔架 和 叶 片） ，其 中传 动链 可 以根据 风机 类 型 的不 同而 改变 。考 虑到计 算 效率 与
１ ． ２ Ｂ ｌ ａ ｄ ｅ ｄ结构 响应 模 型
在 观察 时 间 内分 析最 大 载 荷 大 于 给定 载 荷 Ｆ
的概 率
Ｐ ｒ ｏ ｂ （ Ｆ ￣ ＞Ｆ Ｉ ， １ Ｔ） ： １ 一 【
… ． ． ． ． ． … ． ． ． ． … … … … … … …
Ｖ）
载荷谱文档
载荷谱1. 载荷谱的定义载荷谱是指描述物体或结构所受到的力、力矩、压力等载荷在一定时间内的变化规律。
它是工程领域中重要的参数，用于分析和设计各种结构的性能和安全性。
载荷谱可以用于疲劳分析、结构优化设计、可靠性评估等方面。
2. 载荷谱的分类2.1 静载荷谱静载荷谱是指物体或结构所承受的常数或变化缓慢的载荷，例如常重荷载、自重荷载等。
静载荷谱可以通过工程规范、设计要求或实测得到。
2.2 疲劳载荷谱疲劳载荷谱是指物体或结构所承受的反复变化的载荷。
疲劳载荷谱通常由实际工况中获取的载荷数据统计得到，例如车辆行驶时的颠簸、波浪作用等。
2.3 冲击载荷谱冲击载荷谱是指物体或结构所承受的短暂而强烈的载荷，通常是突发事件引起的。
冲击载荷谱可以用于分析结构的抗冲击能力，例如地震、爆炸等。
3. 载荷谱的测量与分析3.1 载荷传感器为了获得准确的载荷数据，需要使用载荷传感器对物体或结构进行测量。
常见的载荷传感器包括应变片、力传感器、加速度传感器等。
这些传感器可以将物理载荷转化为电信号，并通过数据采集系统进行记录和分析。
3.2 载荷谱分析方法载荷谱分析方法包括频域分析和时域分析两种。
•频域分析是将载荷信号转换为频域表示，通过傅立叶变换将信号分解为不同频率成分。
常用的频域分析方法有傅立叶变换、功率谱密度分析等。
•时域分析是以时间为基准，直接观察和分析载荷信号的时变特征。
常用的时域分析方法有波形分析、峰值分析、时序分析等。
4. 载荷谱的应用载荷谱在工程领域中有着广泛的应用。
•在机械工程中，载荷谱可用于确定机械零部件的使用寿命和可靠性，优化设计和材料选用。
•在航空航天领域，载荷谱可以用于分析飞机在不同飞行阶段和工况下的受力情况，评估结构疲劳损伤和飞行安全性。
•在建筑工程中，载荷谱可以用于评估建筑物在地震、风吹等自然灾害和人员活动下的承载能力和稳定性。
•在汽车工程中，载荷谱可以用于评估车辆在不同路况和行驶速度下的受力情况，指导车身设计和悬挂系统调校。
基于自适应带宽核密度估计的载荷外推方法研究
2021年1月农业机械学报第52卷第1期doi:10.6041/j.issn.1000⁃1298.2021.01.042基于自适应带宽核密度估计的载荷外推方法研究牛文铁 才福友 付景静(天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室,天津300350)摘要:为了快速准确地得到玉米收获机车架的载荷谱,针对载荷谱编制过程中传统的载荷外推方法的局限性,提出一种基于四叉树算法的自适应带宽核密度估计(Kernel density estimation)算法,用来进行载荷外推㊂将经过预处理的实测原始载荷数据进行雨流计数统计,得到载荷循环均幅值矩阵,将小于载荷循环最大幅值10%的载荷滤除,其余的载荷循环均幅值数据根据四叉树分割算法进行不同区域的分割,选择高斯核函数,根据拇指法则计算各个区域的局部最优带宽,并根据数据区域内数据点的密集程度对核密度估计的输入进行优化,减少了核密度估计的计算量,最后结合蒙特卡洛模拟算法进行载荷外推㊂采用玉米收获机车架实测载荷数据进行实例验证,结果表明,与传统的固定带宽㊁自适应带宽核密度估计的载荷外推方法相比,本文提出的方法大大提高了计算效率,其概率密度函数图与实际载荷分布更为接近;载荷循环均幅值频次分布相关系数更接近于1,均方根误差更小;载荷循环幅值累积频次曲线的决定系数均大于0.99㊂关键词:玉米收获机;车架;载荷谱;载荷外推;自适应带宽核密度估计;蒙特卡洛模拟中图分类号:S225.5;TU413.4文献标识码:A文章编号:1000⁃1298(2021)01⁃0375⁃10OSID:收稿日期:20200614 修回日期:20200927基金项目:国家重点研发计划项目(2017YFD0700300)作者简介:牛文铁(1971 ),男,副教授,主要从事农业装备试验验证方法与技术和精密机床数字化设计研究,E⁃mail:niuwentie@Load Extrapolation Method Based on Adaptive BandwidthKernel Density EstimationNIU Wentie CAI Fuyou FU Jingjing(Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design ,Ministry of Education ,Tianjin University ,Tianjin 300350,China )Abstract :For the limitation of the traditional load extrapolation methods in the process of load spectrum compilation,an adaptive bandwidth kernel density estimation algorithm was proposed based on the quad⁃tree algorithm to obtain the load spectrum,which can obtain the corn harvester frame more accurately and quickly.Firstly,the rain flow counting method was applied to count the pretreated measured load data.The load cycles whose amplitudes were less than 10%of the maximum load cycle amplitude value were filtered.The remaining load data were segmented into different regions according to the quad⁃tree segmentation algorithm.The Gaussian kernel function was selected as the kernel function,and the local optimal bandwidth of the data in each region was calculated according to the rule of thumb.In addition,the input of the kernel density estimation was optimized according to the density of data points in the data area,which reduced the calculation consumption of kernel density estimation.The measured load data from the frame of the corn harvester were used for verifying the effectiveness of proposed pared with the traditional load extrapolation methods of fixed and adaptive bandwidth kernel density estimation,the proposed method greatly improved the computational efficiency,the probability density calculated by the proposed method was closer to the actual load distribution.The correlation coefficient of frequency distribution of load cycle mean and amplitude was closer to 1,and the root mean square error was smaller.The determining coefficient of the amplitude cumulative frequency curve was greater than 0.99.The results showed that the research result can provide reference for load extrapolation and load spectrum compilation.Key words :corn harvester;frame;load spectrum;load extrapolation;adaptive bandwidth kerneldensity estimation;Monte Carlo simulation0 引言载荷谱[1-2]是进行零部件疲劳寿命预测和优化设计的重要依据㊂目前,载荷谱已经在航天㊁汽车㊁高铁等领域得到了广泛研究与应用[3-5]㊂而我国大型玉米收获机关键零部件载荷谱的编制方法研究尚处于起步阶段,与国外发达国家相比还有较大的差距㊂国产玉米收获机故障频发,稳定性较差,其主要原因是设计水平不高,在研发设计初期大多以仿制和借鉴为主,很多零部件的结构设计并没有足够的载荷谱数据作为支撑㊂玉米收获机的车架是整车的核心承载部件,承受着割台㊁驾驶室㊁发动机㊁粮仓等传递的力和力矩,在实际工作过程中,经常会出现车架裂痕㊁甚至断裂的现象,严重影响了玉米收获机的整车性能㊂因此,采用合理的载荷外推方法进行多种工况下玉米收获机车架的载荷谱编制,对于玉米收获机车架的结构优化和整车性能提高具有重要意义㊂在实际载荷测试试验中,由于时间㊁天气㊁试验场地和成本等多种原因,只能进行一定时间内载荷时间历程的测量,实测载荷仅反映试验期间的载荷时间历程,不能反映全寿命周期下的载荷分布,因此需要对有限的载荷时间历程进行合理有效的载荷外推[6]㊂载荷外推是影响载荷谱编制准确性的关键环节㊂JOHANNESSON[7]提出了基于POT参数模型的时域外推方法,通过设置峰值的阈值,估计峰值的分布函数,在最大限度保留原始载荷时间序列的基础上,重构得到外推后的载荷时间历程㊂杨子涵等[8]对时域外推过程中的阈值选取方法进行了改进,提出了一种时域外推过程中阈值选取的量化方法,解决了时域外推过程中阈值选取主观性较强的问题㊂张英爽等[9]将经过雨流计数法统计后的载荷循环均值和载荷循环幅值的分布分别用正态分布和威布尔分布进行参数拟合,并以此进行载荷外推㊂翟新婷等[10]㊁GENG等[11]以混合分布函数作为函数拟合模型进行参数估计,该方法的拟合效果优于单分布的参数估计㊂但是,参数外推方法是用纯粹的分布函数来描述载荷的分布规律,对于复杂㊁随机性较大的载荷,则会产生较大的误差,大大降低了外推载荷谱与实际载荷谱的等效性㊂随着研究的不断深入,基于核密度估计法的非参数估计方法被应用于载荷外推中,该方法既可很好地保留载荷数据本身的分布规律,又能实现对任意载荷分布的拟合㊂李凡松等[12]采用基于自适应带宽的核密度估计方法进行载荷外推,每一个数据点都有其自身对应的带宽,该方法相较于固定带宽的核密度估计方法具有更好的拟合效果㊂本文针对核密度估计载荷非参数外推方法中带宽的选择问题,结合改进的四叉树分割算法,对核密度估计的带宽计算进行优化,提出一种改进的自适应带宽核密度估计的载荷外推方法㊂以玉米收获机车架为研究对象,通过与传统的基于核密度估计的固定带宽外推方法和自适应带宽外推方法进行比较,验证该自适应带宽核密度估计的载荷外推方法的准确性和合理性㊂1 核密度估计核密度估计是由ROSENBLATT[13]和PARZEN[14]提出的一种由实测分布函数未知的随机变量来估计其概率密度函数的非参数估计方法㊂该方法不需要知道数据的先验分布,也不必对数据进行任何的假设,只需要确定输入的数据变量㊁核函数以及带宽就可以估计输入数据的概率密度函数㊂目前,核密度估计已经在电力㊁医疗㊁地理等领域得到了非常广泛的应用[15-18]㊂玉米收获机工作时由于其结构复杂,工况多样,导致负载波动大,实测载荷信号具有很强的分散性和随机性,相较于一般的参数估计法来说,核密度估计能更好地描述载荷数据的分布规律,从而使得载荷外推更加准确㊂基于雨流计数矩阵的载荷外推是关于载荷循环均值和幅值的二维问题,二维核密度估计表达式为 ^f(x,y)=1nhxh y∑n i=1(K x-x i h x,y-y i h)y(1)其中K(㊃)≥0∬K(㊃)d x={1(2)式中 n 输入数据点的个数h x㊁h y 核密度估计载荷循环幅值㊁均值的带宽x i㊁y i 输入的第i个载荷循环幅值㊁均值K(㊃) 核函数只要选取的核函数和带宽合适,就可以无限制地去逼近任何随机变量真实的概率密度函数㊂大量研究表明,当输入的样本数据量足够大时,核函数的具体形式对概率密度估计的准确性产生的影响相对较小[19],本文选择光滑且连续㊁明显单峰分布的高斯核函数㊂二维高斯核函数表达式为(K x-x i hx,y-y i h)y=12π(exp-(x-x i)22h2x-(y-y i)22h2)y(3)673农 业 机 械 学 报 2021年与核函数相比,带宽h的选择对核密度估计的准确性影响更大[20]㊂带宽h决定了^f(x,y)的光滑程度,若h较大,则有较多的数据点影响此处的概率密度计算,^f(x,y)曲线在此处较光滑,但是其与实际概率密度曲线的偏差较大;若h较小,则有较少的数据点影响此处的概率密度计算,^f(x,y)曲线在此处较陡峭,但是其与实际概率密度曲线的偏差较小㊂因此,为了更加准确地进行核密度估计,带宽h的选择尤为重要㊂为了定量化实现最优带宽计算,提出了平均积分平方误差(MISE), MISE表达式为M ISE(h)=∫E(^f(x)-f(x))2d x(4)式中 ^f(x) 估计的概率密度f(x) 实测数据真实的概率密度E(㊃) 求均值函数拇指法则是目前应用最多的固定最优带宽的计算法则,拇指法则的最优带宽计算公式为h(=4d)+21d+4σn-1d+4(5)式中 d 核密度估计的维数,取2σ 输入二维数据样本的标准差此外,还可用无偏交叉验证(Unbiased cross validation)[21]㊁插入法(Plug⁃in)[22]等进行最优带宽的计算㊂上述方法计算的最优带宽是固定的,即每一个数据都有着同样的带宽,不能自动调节和变化,然而,在核密度估计的实际应用中,由于数据的随机性较强,分布不均匀,通过固定带宽核密度估计计算得到的概率密度可能与实际的分布相差较大,所以,希望带宽能够随数据的变化而变化,在数据密集的地方取得小一些,在数据稀疏的地方取得大一些㊂因此,自适应带宽核密度估计[23-24]得到了广泛的应用,该方法的具体计算公式为^f(x,y)=1n∑n i=11(λi h x)(λi h y)(K x-x iλi h x,y-y iλi h)y(6)其中λi=(g-1^f(x i,y i))-α(7)g=n∏n i=1^f(x i,y i)(8)式中 λi 带宽的自适应修订系数α 敏感性参数,取0~1^f(xi,y i) 固定带宽初步估计的概率密度一般情况下当α取0.5时,核密度估计的拟合效果较好[25],相对于固定带宽的核密度估计来说,自适应带宽在一定程度上提高了核密度估计的准确性,但由于数据集中的每一个数据都会影响彼此的带宽,当输入数据集较大时,会大大降低核密度估计的计算效率㊂当一定数量的数据聚集在一个很小的区域时,此区域内带宽的差异对核密度估计的影响十分有限,因此可以根据数据的聚集程度将同一区域内所有数据的带宽设置成相同的,就可以避免对这些点进行不必要的详细的带宽计算,在保证一定核密度估计准确性的前提下,提高了计算效率,所以针对核密度估计最优带宽的选择问题,为了更好兼顾核密度估计的计算效率与准确性,本文在上述方法的基础上进行改进,提出了一种新的自适应带宽计算方法㊂2 基于四叉树算法的自适应带宽核密度估计载荷外推 基于四叉树算法的自适应带宽核密度估计载荷外推主要由3个步骤组成,包括:核密度估计的数据输入㊁基于四叉树算法的数据区域分割以及基于四叉树算法的自适应带宽核密度估计㊂具体的载荷外推流程图如图1所示㊂图1 基于四叉树算法的自适应带宽核密度估计载荷外推流程图Fig.1 Adaptive bandwidth kernel density estimation loadextrapolation flow chart based on quad⁃tree algorithm 2.1 核密度估计的数据输入雨流计数法得到的应变与材料的应力应变迟滞回线具有很好的一致性,并且考虑了载荷循环幅值和均值2个变量,符合疲劳载荷本身固有的特性,能够满足疲劳寿命预估以及载荷谱编制的条件,是目前应用最为广泛的实测载荷时间历程的计数统计方法㊂首先将已经预处理的实测载荷利用该方法进行计数统计处理,得到载荷循环均幅值矩阵M(M m㊁M a),其中M m表示载荷循环均值,M a表示载荷循环幅值;在实际工作中,小幅值载荷循环的数量比大幅值载荷循环大,但是其造成的疲劳损伤非常小[26],所以可以将小于最大载荷循环幅值10%的载荷循环只进行简单的线性比例外推,这很大程度上减少了核密度估计的数据输入量,从而降低核密度估计773第1期 牛文铁等:基于自适应带宽核密度估计的载荷外推方法研究的计算量,提高了计算效率㊂已经过滤掉小幅值载荷循环的载荷循环均幅值矩阵记为M n (M mn ㊁M an ),并以此作为核密度估计的数据输入㊂2.2 基于四叉树算法的数据区域分割四叉树算法[27]是一种经典的空间分割与索引技术,目前在图像分割与空间索引领域已经得到了广泛的应用[28-29]㊂该算法可以通过对数据空间进行递归四等分割将数据区域分割成密度不等的块,数据越密集的地方,块的数量越多,块相对较小;而数据越稀疏的地方,块的数量越少,块相对较大,分割出的块的数量与大小从一定程度上反映出数据的密集程度㊂数据密集的地方采用较小的带宽,能够更好地反映出该区域分布的细节,与实际分布更加接近,拟合效果较好㊂根据四叉树分割算法分割出不同的数据块,计算各自的局部最优带宽,达到自适应带宽核密度估计的目的㊂将一个区域进行四叉树分割的流程如图2所示㊂图2 四叉树分割流程图Fig.2 Flow chart of quad⁃tree segmentation通过对区域不断执行上述四叉树分割流程,直到所有区域都不满足区域分割的条件,最后可以将原始数据区域分割成大小不尽相同的数据块㊂判断数据区域是否需要分割的阈值,数据区域内数据点个数的最大值N max 和数据区域最小宽度L min 对分割完成后数据块的大小和数量有着重要的影响,不同N max 对概率密度函数的影响如图3所示㊂由图3可知,N max 较大时,图3b 不能很好地反映出该区域内数据点分布的细节信息;N max 较小时,图3c 反映的细节信息和图3a 没有明显的差别,但是N max 越小,四叉树分割的层次就越深,计算量越大㊂四叉树分割相当于根据数据的密集程度进行数据的分类,数据块内的数据点影响着该区域的带宽,而数据块之间不互相影响㊂这与KNN KDE 理论[30]中根据每个数据点由相同个数的相邻点来确定区域有些相似,在每个区域内包含的点数相同的情况下,自适应带宽的大小与数据区域的大小呈正比㊂为了更好地进行数据区域的划分,根据KNN KDE 理论中二维数据的最优相邻个数将数据区域分割的阈值N max 设置成n ,n 为进行四叉树分割数据点的总个数㊂L min 的设置是为了避免四叉树分割进入太深层次㊂在数据特别密集的地方,带宽的变化很小,对最后分布拟合的影响有限,为了减少计算量,不需要进行太深层次的四叉树分割㊂通过雨流计数法得到的载荷均幅值矩阵通常按照64级来统计计数,每一级数据区域的边长定义为Δan =(max M an -min M an )/64(9)Δmn =(max M mn -min M mn )/64(10)式中 Δan 载荷循环幅值每一级的长度Δmn 载荷循环均值每一级的长度因此定义四叉树分割数据块的最小宽度L min =min(Δan ,Δmn ),这既能提高四叉树分割的计算效率,也能最小限度影响核密度估计的准确性㊂2.3 基于四叉树算法的自适应带宽核密度估计利用四叉树分割算法将数据区域分割成不同的数据块后,每个数据块内数据点的个数不相同,数据点带宽的计算流程如图4所示㊂其中,N min 是判断该数据块内数据点带宽计算的阈值条件,N min =N max ,N min 向下取整;h xi ㊁h yi 分别为数据块内载荷循环幅值和载荷循环均值的带宽,L xi ㊁L yi 分别为数据块载荷循环幅值和载荷循环均值的边长㊂不同数据块内数据点的带宽因为数据的差别而有所不同,但同一数据块内数据点的带宽是相同的㊂当一个数据块内的数据点密集程度比较高,彼此相差不大时,每一个数据点贡献的核密度估计分量的差别很微小,数据落入此数据块不同位置的概率近似相同㊂因此,为了进一步提高自适应核密度的计算效率,在数据密集程度比较高的块,不需要每一个数据点都进行核密度估计的计算,只需要将该数据区域数据点的平均值作为核密度估计的数据输入,再乘以该区域数据点的个数即可㊂在此将表示数据块内数据点密集程度的参数定义为γ=L sideH(11)其中L side =min(Δan ,Δmn )/2(12)H =max(h x ,h y )(13)当γ>1时,表示该数据块内的数据点密集程度高,可以对此数据块内的核密度估计计算进行优化㊂依873农 业 机 械 学 报 2021年图3 不同N max 对概率密度函数的影响Fig.3 Effects of different N max on probability densityfunction图4 数据点带宽计算流程图Fig.4 Flow chart of data point bandwidth calculation此改进的自适应核密度估计公式为^f(x ,y )=1N∑N 0i =11hxi h yin (x i ,y i )(K x i -x h xi ,y i -yh )yi(14)式中 N 优化前载荷数据点总个数N 0 优化后载荷数据点总个数当γ>1时,n (x i ,y i )表示此数据块内数据点的个数,x i ㊁y i 分别表示此数据块内数据点的载荷循环幅值以及载荷循环均值的平均值;当γ<1时,n (x i ,y i )等于1,x i ㊁y i 分别表示此数据块内每一个数据点的载荷循环幅值以及载荷循环均值㊂通过上述方法进行自适应带宽核密度估计后,再结合Monte Carlo 模拟算法进行载荷外推㊂3 实例验证3.1 试验方案玉米收获机在实际工作中,工况较多且复杂多变,由于地形㊁车辆载重以及操作行为不规范等原因,车架时常会出现裂纹,大大降低了车架的疲劳强度,影响整车性能,受到很大冲击时,甚至会出现车架整根断裂的问题,严重影响了粮食收获㊂由于试验环境较恶劣,并且测试部位空间有限,需要选用安装方便并且固定牢靠的传感器㊂因此本试验采用中航工业公司BE3504AA 型应变片进行数据测取,并通过有线连接的方式与HBM 公司的SoMat eDAQ 型数据采集仪连接㊂该数据采集仪具有极佳的密封性能和抗震性能,能有效应对水溅㊁扬尘㊁颠簸等测试环境,有线连接的方式能够确保信号传输的稳定性,通过数采的计算机终端软件将采样频率设置为500Hz㊂应变片的安装如图5所示,现场试验如图6所示,数据采集系统组成如图7所示㊂图5 应变片安装图Fig.5 Installation drawing of strain gauge sensor图6 现场试验图Fig.6 Photo of field test图7 数据采集系统组成Fig.7 Composition of data acquisition system 砂石路面工况下行驶较为平稳,载荷变化相对较小,大幅值载荷循环较少,载荷循环的分布相对集973第1期 牛文铁等:基于自适应带宽核密度估计的载荷外推方法研究中;田间收获工况下载荷容易受田间地面的软硬程度以及粮仓的使用率等因素的影响,载荷的随机性较高,平稳性较差,大幅值载荷循环相对多一些,载荷循环的分布也更为分散㊂根据通过四叉树分割算法得到的数据块的大小以及密集程度,能够很好地反映出这两种工况下数据的密集程度以及分布情况,并且这两种工况占玉米收获机实际工作工况中很大的比重,具有一定的代表性,为了降低结论的偶然性,本文采用2种工况下各3组样本进行对比验证,经过预处理的试验数据如图8所示㊂图8 预处理后的试验数据Fig.8 Preprocessed experimental data3.2 结果验证通过雨流计数法对上述已经完成预处理的车架实测原始载荷进行统计计数处理,得到的部分载荷循环均幅值频次分布图如图9所示㊂图9 载荷循环均幅值频次分布图Fig.9 Frequency distribution histograms of load cyclemean and range由图9可知,幅值较小的载荷循环占比较大,将小于最大幅值10%的载荷循环过滤掉,过滤完成的数据作为固定带宽和自适应带宽核密度估计的数据输入,本文方法的核密度估计的数据输入在过滤的基础上还需要通过改进的四叉树算法进行优化㊂首图10 载荷循环均幅值散点图Fig.10 Scatter diagrams of load cycle mean and range先将已经筛选好的载荷循环均幅值矩阵中的数据点绘制成如图10所示的散点图,并在此散点图上利用改进的四叉树算法进行数据区域的分割操作,数据区域信息如表1所示㊂083农 业 机 械 学 报 2021年表1 数据区域信息Tab.1 Information of data area工况样本分割后的数据块数分割前核密度估计输入数分割后核密度估计输入数计算减少率/%16464828855.6砂石路面27066234547.936164841236.516879737852.6田间收获26179932059.936475341445.0 经过基于四叉树算法的数据区域分割的计算,数据区域被分割成大小不相同的数据块,每个数据块都有各自的带宽,利用式(14)对数据块的自适应带宽核密度估计进行优化,在之前滤除小幅值载荷循环的基础上又大幅减少了核密度估计的输入,进一步提高了核密度估计的计算效率㊂为了验证本文提出的基于四叉树算法的自适应带宽核密度估计的载荷外推方法的准确性与合理性,与传统的基于核密度估计的固定带宽载荷外推和自适应带宽载荷外推以及实测原始载荷进行对比论证㊂由3种带宽选择方法计算得到的载荷循环均幅值概率密度分布如图11所示㊂将图11与图10进行对比,可以看出传统的固定带宽与自适应带宽核密度估计的曲线较为平滑,而本文提出的自适应带宽核密度估计的曲线较为曲折,能够很好地反映图10数据的密集程度,并且数据密集点的分布情况划分更加具体,细节信息表达更为清楚,能很好地拟合真实概率密度㊂为了进一步评价概率密度函数的拟合程度,将固定带宽㊁自适应带宽以及本文提出的自适应带宽核密度估计的概率密度函数的结果分别结合Monte Carlo 模拟算法进行载荷外推㊂将实测原始载荷数据和上述3种方法进行载荷外推后得到的载荷循环均幅值分别进行分级统计处理,并计算实测原始数据与3种带宽选择外推方法的均方根误差(RMSE),计算结果如表2所示㊂图11 3种不同方法的载荷循环均幅值概率密度分布Fig.11 Mean and range probability density distributions of three different methods of load cycle 表2 载荷循环均幅值的均方根误差Tab.2 RMSE of load cycle mean and range με工况样本序号固定带宽自适应带宽本文方法13.61313.46822.6441砂石路面23.23283.05222.409033.39973.22282.465614.24333.96042.9437田间收获24.51604.20722.656933.98273.70922.6873 由表2可知,相较于传统的固定带宽和自适应带宽核密度估计,本文提出的自适应带宽核密度估计载荷外推方法的均方根误差RMSE 最小,表明通过本文方法计算得到的概率密度更加接近于真实的概率密度㊂将实测原始载荷数据和上述3种方法进行载荷外推后得到的载荷循环均值和幅值数据分别进行分183第1期 牛文铁等:基于自适应带宽核密度估计的载荷外推方法研究级统计处理,结果如图12所示㊂为进一步分析频次分布的相关性和拟合程度,计算实测原始数据与3种带宽选择外推方法的相关系数(R )以及均方根误差(RMSE),结果如表3㊁4所示㊂图12 实测原始数据与3种不同方法的载荷循环均值㊁幅值频次分布比较Fig.12 Measured original data compared with mean and range frequency distribution of three different methods表3 载荷循环均值的相关系数及均方根误差Tab.3 R and RMSE of load cycle mean工况样本序号固定带宽自适应带宽本文方法R RMSE /μεR RMSE /μεR RMSE /με10.92853.75550.93023.69470.98361.8156砂石路面20.92213.43580.92753.30410.96542.294230.94022.61370.94272.53280.96911.871110.85945.02570.86234.93350.97302.2493田间收获20.91484.36880.92374.13960.98072.089330.92943.21190.93533.03330.96322.3032表4 载荷循环幅值的相关系数及均方根误差Tab.4 R and RMSE of load cycle range工况样本序号固定带宽自适应带宽本文方法R RMSE /μεR RMSE /μεR RMSE /με10.95828.44330.97336.81720.99552.5550砂石路面20.96338.14230.98395.57530.99791.825830.94749.41920.97217.02230.99402.964410.933612.64630.95989.68200.99503.2939田间收获20.900516.77090.925614.37270.99463.830430.923214.01790.949111.27750.99354.0161 由表3㊁4可知,相较于传统的固定带宽和自适应带宽核密度估计,本文提出的自适应带宽核密度估计载荷外推与实测原始载荷均值和幅值的相关系数R 最大,均方根误差最小,表明通过本文提出的自适应带宽核密度估计进行载荷外推得到的载荷循环均值和幅值分布与实测原始载荷的载283农 业 机 械 学 报 2021年。
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常用载荷谱外推算法概述
田维波;宋绪丁;万一品
【摘要】载荷谱编制流程中,由于时间、测试成本等原因,只能实现短时间内载荷时间历程的测量,且必须采用载荷谱外推的方法来获得全寿命载荷谱.要获得反应零部件长期受载情形的全寿命周期载荷谱,载荷外推是最重要的环节,外推方法的优劣直接决定了编制载荷谱的质量,进而影响后期分析和试验的结果.本文通过综述几种外推方法的算法流程,对载荷谱外推方法的流程提供参考.
【期刊名称】《南方农机》
【年(卷),期】2019(050)003
【总页数】2页(P103,108)
【关键词】载荷谱;外推方法;参数法;非参数法
【作者】田维波;宋绪丁;万一品
【作者单位】长安大学,陕西西安710064;长安大学,陕西西安710064;长安大学,陕西西安710064
【正文语种】中文
【中图分类】TH123.3
1 基于核密度估计的非参数外推方法
首先将实测载荷时间-历程通过雨流计数转化到雨流域载荷（from-to），对from-to矩阵进行二维核密度估计[1]。
二维核密度估计为：。
之后进行核函数的
选取和带宽的确定。
核函数主要使用高斯核函数和Epanechikov核函数。
高斯核
函数为，Epanechikov核函数为经过大量研究发现，使用不同的核函数对外推结
果影响甚微。
当核函数为高斯核函数时，最佳带宽为，当核函数为Epanechikov 时，最佳带宽为。
由于数据的变异性，使核密度估计灵活，自适应带宽法可以很好地解决这个问题。
首先采用固定带宽h，初步估计分布密度，计算自适应修正系数，采用自适应带宽，估计样本的密度函数[2]。
假设幅值服从双参数威布尔分布，可得频次曲线采用非线性最小二乘法拟合曲线，得到拟合参数。
根据外推因子得到外推后的幅值极值。
根据幅值载荷的极值运用公式采用迭代计算修正带宽。
重新对雨流矩阵进行核密度估计，采用蒙特卡洛方法进行载荷外推。
最后进行载荷谱的叠加。
2 基于POT模型的极值法外推
这种方法是直接利用实测的载荷时间历程，对长期载荷进行外推处理。
原理是在时域数据中，分别对峰值和谷值选择上阈值Umax和下阈值Umin，将超出阈值的
超出量视为随机变量，进行分布估计。
利用选择的概率分布函数模拟超出量，实现载荷外推。
具体流程如下：将实测时域信号进行峰谷值点的提取，以及雨流滤波处理。
对峰谷值选择阈值Umax和U-min，分别提取大于Umax的超出量和小雨Umin的超出量。
其中阈值的选取步骤是：基于POT分布的平均超出量函数，，
e(u)是u的线性函数，对于给定的样本，，u＞0。
根据样本数据绘制u与e(u)之间的关系图（超越量均值函数图），e(u)呈线性变化时阈值较为合理。
接着是模拟超出量的概率分布，POT分布的分布函数为，概率密度分布函数：。
采用极大似
然法对POT分布的参数ξ，σ，μ进行估计。
进而获得超阈值载荷样本的概率密度分布函数。
对GPD概率密度函数取对数得：
对σ，ξ求偏导，并令其等于零得到似然方程组：
用牛顿迭代法求出参数的估计值。
运用超出量的分布，模拟生成该分布的随机数并代替原来位置的超出量[3]。
直至产生的数据段数等于外推因子数，将产生的数据段拼接得到外推数据。
3 参数法外推
将实测的载荷-时间历程通过雨流计数法转化为雨流域载荷。
在此过程中对不能形成疲劳损伤的载荷循环（载荷变程值小于载荷历程的5%～10%）进行滤除处理。
雨流域载荷形式为Mean-Range矩阵。
对载荷幅值、均值的概率分布进行假设检验，将载荷均值、幅值分别用随机变量X、Y表示f(x)、f(y)分别为载荷均值、幅值的概率密度函数，假设：载荷均值服从正态分布，其概率密度函数为：f(x)=，载荷幅值服从三参数威布尔分布，其概率密度函数为：f(y)=，对均值、幅值概率分布进行相关性检验，判断二者是否相互独立[4]。
同时，通过最小二乘法或极大似然法对均幅值分布参数进行估计。
然后得出联合概率密函数：f (x，y)=。
计算第i个工况下载荷均值、幅值的极值。
设载荷均值、幅值的极值点为xmax、ymax，外推后的多工况载荷循环数为Ze，有：
可求得极值xmax、ymax。
将第i个工况的载荷均值、幅值进行载荷分级，采用不等间隔法确定各级均值水平和各级幅值水平。
假设载荷分级数为n，雨流矩阵具有n×n个离散单元。
外推后第i个工况的载荷循环数：Zi=
进而求得每个离散单元下的载荷循环数：
4 结束语
通过对三种外推方法算法的介绍，参数法外推使用比较简单，可以很直观的得到均幅值的概率分布，但是受主观影响大。
基于核密度估计的非参数外推方法得到的结果相对其他方法得到的结果比较精确。
POT模型的极值法外推方法原理简单，直
接利用时域载荷进行外推，保留了很多原始信息，但是自我纠正能力差。
每种外推方法都有其各自的优缺点，还需要进行不断地研究和改进。
【相关文献】
[1]宫海彬，苏建，王兴宇，等.基于极值外推的高速列车齿轮传动装置载荷谱编制[J].吉林大学学报(工学版)，2014，44(5)：1264-1269.
[2]刘岩，张喜逢，王振雨，等.载荷谱外推方法的对比[J].现代制造工程，2011(11)：8-11.
[3]李研.轮式装载机载荷谱编制中非参数外推方法研究[D].长春：吉林大学，2016.
[4]万一品，宋绪丁，员征文，等.装载机工作装置疲劳试验载荷谱编制方法[J].中国机械工程，2017，28(15)：1806-1811.。