初中数学图形的平移变换
初中数学 平移的基本要素是什么
初中数学平移的基本要素是什么
平移是一种基本的几何变换，它有以下三个基本要素：
1. 平移向量：平移向量是平移的基本要素之一。
它描述了平移的方向和距离。
平移向量通常用箭头表示，箭头的长度表示平移的距离，箭头的方向表示平移的方向。
平移向量可以在平面或空间中的任意位置开始，然后将图形的每个点按照相同的距离和方向移动。
2. 起始点：平移的起始点是平移的另一个基本要素。
它是平移过程中的参考点，图形中的每个点都相对于起始点进行移动。
平移的起始点可以是图形中的任意点，它的选择会影响平移后图形的位置。
3. 平移后的图形：平移的最终结果是平移后的图形。
通过将图形的每个点按照平移向量的方向和距离进行移动，可以得到平移后的图形。
平移后的图形与原始图形具有相同的形状和大小，只是位置发生了改变。
平移后的图形可以在平面或空间中的任意位置。
这些基本要素共同定义了平移的特征和效果。
平移向量指导了平移的方向和距离，起始点确定了平移的参考点，而平移后的图形展示了平移的结果。
通过调整这些基本要素的值，可以实现不同的平移效果和位置变化。
需要注意的是，平移是一种保持形状、大小和内部结构不变的变换。
它只改变图形的位置，而不会改变其他性质，如角度、长度和形状的相对关系。
因此，平移是一种重要的几何工具，广泛应用于数学、物理、工程和计算机图形学等领域。
人教版《平移》课件初中数学_人教版6
B A
B' A'
C
C'
（1）位置：AA′//BB′//CC′
（2）长短：AA′ =BB′ =CC′
把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的 图形，图形的这种移动，叫做平移.
图形的平移是一种位置变换，平移只改变图形的位置， 不改变图形的形状和大小.
观察以下几种移动，想一想平移有什么要素？
平移的要素：1.平移的方向；2.平移的距离.
人教版 · 数学· 七年级（下）
第5章 相交线与平行线 5.4 平移
学习目标
1.理解平移的概念及决定因素。 2.会找出平移前后图形中对应点、对应角和对应线段。 3.掌握平移的性质及其运用。
回顾旧知
小学阶段我们学习了哪些图形的变换方法？
平移、轴对称和旋转.
导入新知
仔细观察下面一些美丽的图案，它们有什么共同的特点？ 能否根据其中的一部分绘制出整个图案？
合作探究
新知一 平移的相关概念
如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如图的 雪人呢？
可以把半透明的纸盖在图上，先描出一个雪人，然后按同 一方向陆续移动这张纸，再描出第二个、第三个⋯⋯
思考 在所画出的相邻两个雪人中，找出三组对应点，连接这 些对应点，观察得出的线段，它们的位置、长短有什么关系？
关系？
PA
DQ
C F
B
E
平移前后两个图形中的对应线段平行(或在同一条直线上) 且相等，对应角相等.
“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的 图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来 的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分.
平移的性质
归纳
1.平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同； 2.连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等. 3.平移前后两个图形中的对应线段平行(或在同一条直线 上)且相等，对应角相等.
初一平移的定义及三要素知识点
初一平移的定义及三要素知识点一、初一平移的定义平移是指在平面上保持形状不变的情况下，通过将每一个点沿着同一方向移动相同的距离，来改变图形的位置。
在初中数学中，我们学习了平移的概念和相关的知识点。
二、初一平移的三要素平移作为一种几何变换，有三个要素：平移向量、平移前的图形和平移后的图形。
1. 平移向量平移向量是指平移的方向和距离。
在平面上，平移向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示平移的距离，箭头的方向表示平移的方向。
例如，如果一个平移向量是向右平移2个单位，那么我们可以用一个向右的箭头表示，箭头的长度为2个单位。
2. 平移前的图形平移前的图形是指进行平移操作前的原始图形。
它可以是任意形状的图形，比如矩形、三角形、多边形等。
在进行平移操作时，我们需要明确平移前的图形是什么样的。
3. 平移后的图形平移后的图形是指经过平移操作后得到的新图形。
它与平移前的图形形状相同，只是位置发生了改变。
平移后的图形与平移前的图形之间的关系是位置上的改变，而形状、大小等方面保持不变。
三、平移的示例和应用平移在日常生活和数学中都有广泛的应用。
以下是一些平移的示例和应用：1. 平面地图平面地图是平移的典型应用之一。
当我们需要将地图上的一个城市或地区平移到另一个位置时，可以使用平移操作来完成。
这样可以保持地图上其他地点的相对位置不变，只改变平移的目标地点的位置。
2. 图像处理在图像处理领域，平移也是一种常见的操作。
通过对图像进行平移，可以实现图像的移动效果。
比如在电影中，我们经常看到图像在屏幕上平移的效果，这就是通过对图像进行平移操作来实现的。
3. 几何证明在几何证明中，平移也是一种常用的工具。
通过将图形进行平移，可以改变图形的位置，从而使得证明过程更加简化和清晰。
平移还可以用来证明一些几何定理和性质，例如平行线的性质、三角形的性质等。
总结：初一平移是指在平面上保持形状不变的情况下，通过将每一个点沿着同一方向移动相同的距离，来改变图形的位置。
初中数学中的图形变换
初中数学中的图形变换图形变换是指将原来的图形按照一定规律进行变换，得到新的图形。
在初中数学中，图形变换包括平移、旋转、对称。
一、平移平移是指在平面上将一个图形沿着一个方向移动一段距离，并保持方向与大小不变。
平移可以理解为图形在平面上的“平移”或“搬家”。
1. 平移的定义平移变换可以用矢量来表示。
设平移矢量为$\\vec{v}$，平移作用于点 $P$，则平移后的点 $P'$ 的坐标为 $P' = P + \\vec{v}$。
2. 平移的性质（1）平移前后图形形状不变；（2）所有点沿着相同方向移动相同距离；（3）平移不改变图形的大小、面积、周长和角度；（4）平移不改变图形的方向。
二、旋转旋转是指将一个图形按照既定的中心点绕一个旋转角度旋转。
旋转可以理解为图形在平面上的“转动”。
1. 旋转的定义设点 $O$ 为旋转中心，旋转角为 $\\theta$，点$P$ 绕 $O$ 逆时针旋转后的点为 $P'$，则点 $P$ 关于$O$ 旋转 $\\theta$ 度所得的点 $P'$ 的坐标为$$\\begin{cases}x' = (x - x_0)\\cos\\theta - (y -y_0)\\sin\\theta + x_0 \\\\y' = (x - x_0)\\sin\\theta + (y -y_0)\\cos\\theta + y_0\\end{cases}$$其中，$(x_0,y_0)$ 是旋转中心的坐标。
2. 旋转的性质（1）旋转前后图形形状不变；（2）旋转不改变图形的大小、面积、周长和角度；（3）旋转改变图形的方向；（4）旋转后图形对称轴仍然存在，但位置发生变化。
三、对称对称是指按照某个点、直线或者平面，将一个图形折叠后得到的两部分完全重合的变换。
对称可以理解为对图形进行“翻转”。
1. 点对称点对称是指以某个点为对称中心，把一个点及其对称点规定到另一点上的变换。
初中数学学习方法：图形的平移定义
初中数学学习方法：图形的平移定义
初中数学学习方法：图形的平移定义
（1）平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。
（2）平移的性质：
①对应点的连线平行（或共线）且相等
②对应线段平行（或共线）且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（四个端点共线除外）
③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
（3）用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长。
（4）平移的条件：图形的原来位置、方向、距离
（5）平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。
以上对图形的平移定义知识的总结学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望上面的知识给同学们的学习很好的帮助。
七年级平移的知识点
七年级平移的知识点平移是初中数学中重要的内容之一，也是数学中的基本概念。
在七年级的数学学习过程中，平移也是必须要学习的。
本文将详细介绍七年级平移的知识点，包括平移的定义、平移的原理、平移的性质等。
一、平移的定义平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一定距离后所得到的新位置，移动前后的图形形状大小不变。
平移的基本要素包括平移向量和被平移图形。
二、平移的原理平移是将向量作为操作工具的一种数学运算方式。
向量是指既有大小又有方向的量，平移向量是指平移的方向和距离。
三、平移的性质1. 平移性质一：平移是一种等距变换，即形状和大小不变。
2. 平移性质二：平移叠加原理，即两个或多个平移操作可以看作是一次平移操作。
3. 平移性质三：平移可以用向量表示，平移向量的方向、模长、起点等信息均可以确定一次平移操作。
4. 平移性质四：平移和旋转、翻转、缩放等变换操作可以相互转换。
四、平移的应用在日常生活和工作中，平移有着广泛的应用。
1. 平面图形的排版、设计、图案制作等；2. 工程绘图中的构建、计算、布置等；3. 地图绘制、流程图、架构图、电路图等的制作。
五、平移的练习1. 给定图形和平移向量，画出平移后的图形。
2. 已知图形的某一点的坐标和平移向量，求点的平移后的坐标。
3. 证明两个平移可以相互转化成一次平移和一个等比例变换。
六、学习平移需要注意的注意事项1. 熟练掌握平移的定义和原理；2. 了解平移的性质，理解平移的应用；3. 平移的练习需要逐步加深难度，注意形象思维能力的训练。
综上所述，平移是数学中的基本概念之一，也是七年级数学学习中必须要掌握和理解的内容。
理解平移的定义、原理和性质，掌握平移的应用和练习技巧，对于数学的学习和日常生活有很大的帮助。
初中数学 平移的公理有哪些
初中数学平移的公理有哪些
在初中数学中，平移的公理是用来描述平移变换的基本性质和规则。
以下是平移的一些公理：
1. 公理1：平移是一种变换，通过将一个图形的所有点按照相同的方向和距离移动，得到一个新的图形。
2. 公理2：平移保持图形的形状不变。
即平移后得到的图形与原始图形具有相同的形状。
3. 公理3：平移保持图形的大小不变。
即平移后得到的图形与原始图形具有相同的大小。
4. 公理4：平移保持图形的内部结构不变。
即平移后图形内部的点的相对位置关系保持不变。
5. 公理5：平移保持图形的角度不变。
即平移后得到的图形中的每个角度与原始图形中的对应角度相等。
6. 公理6：平移保持线段之间的距离不变。
即平移后得到的图形中的线段与原始图形中的对应线段之间的距离相等。
7. 公理7：平移保持平行关系。
如果两条线段在平移前是平行的，那么它们在平移后仍然是平行的。
8. 公理8：平移是可逆的。
即对于任意的平移，都存在一个逆平移，使得对同一图形进行逆平移后，可以回到原始位置。
这些公理描述了平移变换的基本性质和规则。
根据这些公理，我们可以推导出平移的一些重要性质和定理，帮助我们解决几何问题和分析几何中的各种情况。
平移的公理为我们提供了一种严谨的数学语言来描述和研究平移变换。
初中数学《图形的平移》
3.小明和小华在手工课上用铁丝制作楼梯模型如图所示，那么他们用的铁丝（ ）
A.一样多 C.小华的多
B.小明的多 D.不能确定
六、作业设计 巩固新知
1.如图是一块长方形的草地, 长为21m.宽为15m. 在草地上有两条宽为1
米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少?
1m A
D
对应线段：线段AB、AC、BC的对应线段分别是DE、DF、EF；
对应角：∠A、∠B、∠C的对应角分别是∠D、∠E、∠F
辨析概念 归纳总结
辨析概念 归纳总结
二、类比思考 探究性质
•1.下图中，对应点所连的线段，有怎样的位置和大小关系？ •2.下图中，对应线段之间有怎样的大小和位置关系？ •3.下图中，对应角具有怎样的关系？
一、情境引入 抽象概念
平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图
形的这种变化称为平移.
平移前后的图形是全等形，平移不改变图形的大小和形状。
A
D
B
E
C
F
一、情境引入 抽象概念
如图，△ABC经过平移得到△DEF，你能找到其中对应点、对应线段和对应角吗？
A
D
B
E
C F
对应点：点 A、B、C的对应点分别是D、E、F；
初中数学
图形的平移
学习目标
1.通过实例认识图形的平移，理解并掌握平移的概念，
图 发展抽象能力。
形 2.经理观察、猜想、操作、验证等过程，探索并掌握
的 平 移
平移的性质，利用平移的基本性质进行简单的作图， 积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观 念。 3.认识和欣赏平移的应用价值。
一、情境引入 抽象概念
初中数学图形的平移与旋转知识点归纳
初中数学图形的平移与旋转知识点归纳在初中数学中，图形的平移和旋转是涉及到几何图形的基本操作。
通过平移和旋转，我们可以改变图形的位置和朝向，从而建立几何图形之间的联系和性质。
本文将对初中数学中与图形的平移和旋转相关的知识点进行归纳和总结。
一、图形的平移平移是指将一个图形沿着指定的方向和距离移动，而不改变该图形的大小、形状和方向。
图形的平移可以通过向左、向右、向上或向下平移来完成。
以下是与图形的平移相关的知识点：1. 平移向量：平移向量表示平移的方向和距离，可以用箭头表示。
平移向量的长度表示平移的距离，箭头的方向表示平移的方向。
2. 平行平移：平行平移是指图形沿着平行于给定方向的线段移动。
在平行平移过程中，图形的各个点保持相对位置不变。
3. 坐标平移：坐标平移是指根据给定的平移向量，将图形上每个点的坐标分别增加或减少相应的数值。
例如，对于二维平面上的点A(x, y)，进行平移向量为(3, 4)的平移，那么新的点A'(x+3, y+4)就是平移后的坐标。
二、图形的旋转旋转是指将一个图形按照一定的角度围绕某个固定点旋转，使得图形绕着该点旋转后，图形上的各个点的位置发生相应的变化。
以下是与图形的旋转相关的知识点：1. 旋转中心：旋转中心是围绕其进行旋转的点，也称为旋转的原点。
2. 旋转角度：旋转角度是指旋转的角度大小，可以是正数、负数或零。
正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。
3. 旋转方向：旋转方向可以根据旋转角度的正负来确定，正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。
4. 中心旋转：中心旋转是指图形围绕一个给定的点旋转。
在中心旋转中，图形上的各个点以旋转中心为中心点，按照给定的旋转角度进行旋转。
5. 角度旋转：角度旋转是指图形围绕一个给定的角度进行旋转。
在角度旋转中，旋转中心通常是坐标原点，图形上的各个点按给定的旋转角度进行旋转。
三、图形的平移与旋转的性质和应用图形的平移和旋转不仅是数学中的重要概念，也在实际生活中广泛应用。
初中数学 几何变换之平移
平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一 平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠． 请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠） （5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动） （5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒， 易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ， 可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=． 在此基础上可求得EF 、AF 的长， 进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=． （方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △． 易得PQR △的边长为1337++=， 则7322EF =--=，7124FA =--=， 故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积． 易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系． 作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=． 在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二 共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点． 下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠． 在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =． 在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =． 连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线 且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。
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图形的平移变换
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【教学目标】
通过具体实例认识图形的平移变换，通过现实生活中各种丰富的实例，让学生体会图形的平移现象，让学生通过各种图形的平移，体验感受图形平移的主要因素是移动的方向和移动的距离。
【知识要点】
1、把图形上的各点都按一定方向移动一定的距离得到图形，则由到的变换叫做平移变换，简称
平移。
平移三要素：几何图形—运动方向—运动距离。
平移两要素：图形—有向线段。
平移变换具有如下性质：
（1）平移变换的两个图形中的对应线段平行且相等；
（2）平移变换的两个图形中的对应角相等。
2、利用平移变换及其性质解题的方法叫做平移变换法。
平移变换的基本特征：形状、大小不变；位置改变。
3、若题设中有平行条件或问题中关于线段或角的已知条件位置分散，常可用平移变换将一部分条件转移到同一个三角形或平行四边形中。
4、如何作出平移后的图形：首先根据平移的方向和距离确定一些关键点平移后的位置，再按原图的连结方式连结各点．
【典型例题】
欣赏并判断是否生活中的平移现象：
１、
2、一列火车在一笔直的轨道上行使着
3、一辆汽车在笔直的公路上行使着
4、人在冰面上沿着直线滑冰
5、飞机在空中直线飞行
6、足球在草坪上滚动；
7、山羊在山路上跑动；
8、橡皮艇在山涧漂流；
9、皮箱在自动扶梯上；
M
A
10、开关抽屉；
11、推开铝合金窗；
12、推拉木门；
13、自动门开关；
14、乘坐手扶电梯。
【典型例题】
例1.（1）图形平移时，图形上所有点移动的方向是一定的。
（）
（2）△ABC沿射线BC方向平移到△C
B
A'
'
'，那么
△C
B
A'
'
'也能沿射线BC方向平移到△ABC。
（）
（3）如图16-54，用丁字尺画平行线，所画直线a、b
互相平行的理由是。
（4）如图16-55，△ABC经过运动，能够和
△DEF重合，其中∠B= ，AC= 。
（5）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标
分别为A（3,3）、B（-1,1）、C（2,-3），将△ABC平移后得△C
B
A'
'
'，其平移方向为x轴的正方向，平移的距离为2个单位长度，则对应点A'、B'、C'的坐标分别是、、。
例2.将图中的小船向左平移四格.
经过平移，下图中A点移到M点，作出平移后的图形。
例3. 欣赏下面图案，分析图案的形成过程。
例4.如图，已知：点A及射线XY。
求作：点A沿射线XY方向平移3 cm后的图形。
（2）
（1）
例5.如图，已知：线段AB及射线XY。
求作：线段AB沿射线XY方向平移3cm后的图形。
例6.如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB 的大小关系是（）.
Ａ. AC+BD<AB
Ｂ. AC+BD=AB
Ｃ. AC+BD≥AB
Ｄ. 无法确定
例7.如图（1），已知□ABCD，
（1）画出□A1B1C1D1，使□A1B1C1D1与□ABCD关于直线MN对称.
（2）画出□A2B2C2D2，使□A2B2C2D2与□ABCD关于点O中心对称.
（3）□A1B1C1D1与□A2B2C2D2是对称图形吗？若是请在图上画出对称轴或对称中心；
（4）画出□ABCD绕点O逆时针旋转90°后的图形□A3B3C3D3，□A3B3C3D3和□A1B1C1D1是对称图形吗？若是请在图上画出对称轴或对称中心。
（4）画出□ABCD绕点O逆时针旋转90°后的图形□A3B3C3D3，□A3B3C3D3和□A1B1C1D1是对称图形吗？若是请在图上画出对称轴或对称中心.
例8.已知线段MN为正六边形ABCDEF平移后所得的一条边，请画出平移后的图形。
例9.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到
△A’B’C’的位置。
（1）若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；
（2）若平移距离为x（），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，
并写出y与x的关系式。
例10.如图16-56，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，（1）将△AOD平移后所得三角形是△BEC，其平移方向为射线AB的方向，则平移的距离是多少？（2）在题（1）所得的图形中，四边形BECO是浊平行四边形？为什么；（3）如果四边形ABCD的面积为S，那么五边形ABECD的面积是多少？
例11.如图16-58，平行线
l与2l之间的距离为9cm，直角三角形A与长方形B分别沿1l与2l按箭头所示方
1
向平移，A的速度是1cm/s，B的速度是3cm/s，初始位置及有关长度如图所示（单位：cm），问；平移过程中A与B重叠部分的面积保持定值（不为零）的时间有多少秒？
例12.如图16-60，有一边长为5厘米的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5厘米，QR=8厘米，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为S平方厘米。
解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值。
【课堂练习】
1.如图，下列各组图形，可经平移变换，由一个图形得到另一个图形的是（）.
2.一个图形经过平移变换后，有以下几种说法，其中不恰当的说法是（）.
Ａ. 平移后，图形的形状和大小都不改变
Ｂ. 平移后的图形与原图形的对应线段相等，对应角相等
Ｃ.平移后的图形的形状不变，但大小可以改变
Ｄ. 利用基本图形的平移可以设计出美丽的图案
3.将长度为5cm 的线段向上平移10cm所得线段长度是（）
（A）10cm （B）5cm （C）0cm （D）无法确定
4.在以下现象中，
① 温度计中，液柱的上升或下降；② 打气筒打气时，活塞的运动；
③ 钟摆的摆动；④ 传送带上，瓶装饮料的移动
属于平移的是（）（A）① ，②（B）①，③（C）②，③（D）② ，④
5.如果同一平面的两个图形通过平移，不论其起始位置如何，总能完全重合，则这两个图形是（）（A）两个点（B）两个半径相等的圆
（C）两个点或两个半径相等的圆（D）两个全等的多边形
6．在下面A、B、C、D四幅图中，由左边图形通过平移得到的是（）
A．B． C. D.
7.如图，由三角形ABC平移得到的三角形有几个？
8.在下列方格中作出平移后的图形。
9.将图（1）中的顶点A沿箭头方向移到了A′，作出平移后的图形.
10.如下图，将Rt△ABC沿斜边AB向右平移5cm，得到Rt△DEF，已知AB=10cm，BC=8cm，则图中阴影部分三角形的周长为.
11.如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。
A
B
C。